Kalkulator Matriks

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

Matriks A, baris 1 / baris 2

Matriks pertama, satu baris per kotak dan dua angka di tiap kotak, seperti 4 7 dan 2 6. Baris, bukan empat sel terpisah, karena matriks itu satu objek: memecahnya menjadi empat kotak akan mengubah satu masukan menjadi empat dan memungkinkan Anda mengisi sesuatu yang bukan matriks sama sekali.

Matriks B, baris 1 / baris 2

Matriks kedua, ditulis dengan cara yang sama, dan satu-satunya masukan opsional di halaman ini. Penjumlahan dan perkalian membutuhkannya; invers mengabaikannya sepenuhnya, jadi dengan operasi itu dipilih Anda boleh membiarkan kedua kotaknya kosong. Membiarkannya kosong bukan kesalahan — kuncinya memang tidak ada.

Operasi

Mana dari ketiga hal yang dikerjakan: jumlahkan kedua matriks, kalikan keduanya, atau balik matriks pertama. Satu halaman, bukan tiga, karena ketiganya memakai masukan yang sama dan hanya berbeda pada aritmetika yang diterapkan.

Hasil, baris 1 kolom 1

Elemen kiri atas jawabannya, dan dengan label yang sama ketiga elemen lainnya. Untuk penjumlahan ia adalah jumlah kedua angka kiri atas; untuk perkalian ia adalah seluruh baris pertama A terhadap seluruh kolom pertama B, itulah sebabnya ia bukan sekadar hasil kali kedua angka kiri atas.

det A

Determinan matriks pertama: kiri atas kali kanan bawah, dikurangi kanan atas kali kiri bawah. Dicetak untuk setiap operasi dan selalu milik A, bukan milik jawabannya — ia sifat matriks yang Anda ketik, jadi tidak berubah ketika Anda berpindah dari menjumlahkan ke mengalikan ke membalik angka yang sama.

1 ÷ det A

Faktor pembagi pada invers, dan alasan determinan nol ditolak: angka inilah yang membagi inversnya. Penjumlahan dan perkalian tidak memerlukannya sama sekali, itulah sebabnya keduanya tetap bekerja pada matriks yang determinannya nol.

A⁻¹

Matriks yang membatalkan A: kalikan keduanya dalam urutan mana pun dan Anda mendapat matriks identitas, satu di sepanjang diagonal dan nol di luarnya. Itulah yang membuatnya berharga, dan ia ada tepat ketika determinannya tidak nol.

Matriks identitas

Matriks dengan angka satu di sepanjang diagonal dan nol di luarnya, yang bagi perkalian matriks sama perannya dengan angka 1 bagi perkalian biasa. Cara memeriksa bahwa sebuah invers benar adalah mengalikannya kembali dan memperoleh matriks ini.

Empat angka desimal

Seberapa lebar keluarannya ditulis. Penjumlahan dan perkalian bilangan bulat memberi hasil yang eksak, begitu pula invers dari matriks yang determinannya 1 atau −1; sisanya dibulatkan, dan matriks diagonal yang memuat angka 3 adalah kasus paling sering yang tidak keluar bulat.

Penjumlahan adalah operasi yang hampir tidak dicari orang, dan ia ada di sini terutama supaya ketiganya bisa berdiri berdampingan: ia menjumlahkan elemen per elemen, ia selalu berhasil, dan hanya di situ matriks berperilaku seperti bilangan biasa. Perkalian matriks adalah yang penting untuk transformasi — menerapkan rotasi lalu skala pada bangun yang sama berarti mengalikan kedua matriksnya, dan urutan Anda mengalikannya adalah urutan Anda menerapkannya. Invers untuk membatalkan: kalau sebuah matriks mengubah koordinat ke satu arah, inversnya mengembalikannya, dan itulah yang Anda butuhkan ketika Anda memiliki hasil sebuah transformasi dan perlu tahu masukan yang menghasilkannya. Determinan, yang dicetak di sampingnya, layak dibaca sendiri. Determinan nol berarti matriks itu memampatkan bidang menjadi sebuah garis, sehingga masukan yang berbeda mendarat pada keluaran yang sama dan tidak ada yang bisa dibatalkan — itu pernyataan yang sama dengan inversnya tidak ada. Tandanya memberi tahu Anda apakah matriks itu mempertahankan orientasi bidang atau membalikkannya. Dua hal yang perlu diingat saat memakai halaman ini. Perkalian matriks tidak komutatif: menukar kedua matriks memberi jawaban yang berbeda, jadi kalau Anda menyusun transformasi, urutannya adalah bagian dari soalnya, bukan rincian. Dan hanya determinan matriks pertama yang ditampilkan, jadi kalau Anda juga ingin determinan matriks kedua, balikkan matriks itu sendirian — daftar turun, bukan kotaknya, yang menentukan matriks mana yang dianggap pertama.

1. 4 7 di atas 2 6, kali 1 2 di atas 3 4

   1. Kiri atas: (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
   2. Kanan atas: (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
   3. Kiri bawah: (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
   4. Kanan bawah: (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
   5. Determinan A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

   Masukan yang dimuat halaman ini. Setiap elemen jawabannya adalah satu baris penuh matriks pertama terhadap satu kolom penuh matriks kedua, dan itulah yang perlu diperhatikan di sini: kiri atas jawabannya adalah 25, sedangkan tidak satu pun dari kedua angka yang duduk di kiri atas masukan, 4 dan 1, bernilai 25. Hasil kali keduanya 4. Determinan 10 juga dicetak, dan itu milik A — 4 dan 7 di atas 2 dan 6 — bukan milik jawabannya.

2. Dua matriks yang sama, dijumlahkan

   1. Kiri atas: 4 + 1 = 5
   2. Kanan atas: 7 + 2 = 9
   3. Kiri bawah: 2 + 3 = 5
   4. Kanan bawah: 6 + 4 = 10
   5. Determinan A: tetap 10, karena A adalah matriks yang sama seperti pada contoh sebelumnya

   Contoh sebelumnya dengan satu hal diubah: daftar turunnya. Setiap elemen sekarang jumlah biasa, dan inilah satu-satunya dari ketiga operasi yang membuat matriks berperilaku seperti bilangan biasa — urutan tidak berpengaruh, dan tidak ada yang bisa salah. Determinannya masih 10, karena ia fakta tentang A dan A tidak berubah. Menggeser daftar turun bolak-balik antara penjumlahan dan perkalian adalah cara tercepat untuk melihat bahwa determinan bukan sifat perhitungannya.

3. Invers dari 4 7 di atas 2 6

   1. Determinan A: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
   2. Tukar kedua elemen diagonalnya: 6 dan 4
   3. Ubah tanda kedua elemen di luar diagonal: −7 menjadi 7, 2 menjadi −2
   4. Bagi masing-masing dengan determinannya: 6 ÷ 10 = 0,6; −7 ÷ 10 = −0,7; −2 ÷ 10 = −0,2; 4 ÷ 10 = 0,4
   5. Periksa: (4 × 0,6) + (7 × −0,2) = 2,4 − 1,4 = 1, yaitu kiri atas matriks identitas

   Yang pertama dari ketiga operasi yang punya syarat, dan kotak matriks kedua sengaja dibiarkan kosong — invers hanya membaca A, dan halaman ini tidak keberatan. Resepnya selalu empat langkah yang sama: tukar diagonalnya, ubah tanda dua elemen lainnya, bagi dengan determinannya. Pemeriksaan di akhir layak dilakukan sekali dengan tangan: mengalikan jawabannya kembali ke matriks asalnya memberi angka satu di sepanjang diagonal dan nol di luarnya, dan hasil lain berarti ada tanda yang tergelincir.

4. 1 2 di atas 3 4, kali 5 6 di atas 7 8

   1. Kiri atas: (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
   2. Kanan atas: (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
   3. Kiri bawah: (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
   4. Kanan bawah: (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
   5. Determinan A: (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

   Baris untuk ditukar. Masukkan keempat angka yang sama dengan posisi A dan B ditukar, dan jawabannya menjadi 23, 34, 31, dan 46 — matriks yang sama sekali berbeda, dari masukan yang sama dalam urutan yang lain. Perkalian matriks tidak komutatif, dan inilah artinya dalam praktik: kalau kedua matriks itu dua transformasi, urutan mengalikannya adalah urutan menerapkannya. Perhatikan bahwa determinan A di sini −2 dan di sana juga −2, karena kebetulan kedua matriksnya punya determinan yang sama — dua jawabannya berbeda pada keempat elemen hasilnya, dan kolom determinan tidak bisa membedakan keduanya.

5. Matriks yang determinannya nol, dikalikan

   1. Kiri atas: (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
   2. Kanan atas: (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
   3. Kiri bawah: (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
   4. Kanan bawah: (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
   5. Determinan A: (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

   Matriks pertamanya punya determinan nol — baris keduanya tepat dua kali baris pertamanya, jadi ia memampatkan bidang menjadi garis — dan perkaliannya tetap dihitung seperti biasa. Itulah inti contoh ini: determinan nol adalah masalah untuk invers dan tidak untuk yang lain. Minta halaman yang sama membalik matriks ini dan ia akan menolak. Minta ia menjumlahkan atau mengalikan dan ia akan menjawab, karena keduanya punya jawaban yang jelas di sini. Kolom determinannya terbaca 0 pada kedua kasus.

Hanya matriks 2×2 yang diterima, satu baris per kotak, dua angka di tiap kotak. Matriks yang lebih besar akan memerlukan tata letak yang lain, bukan kotak yang lebih besar, karena jumlah selnya tumbuh sebanding kuadrat ukurannya. Kotak matriks kedua boleh dibiarkan kosong, dan apakah kotak itu harus diisi bergantung pada operasinya, bukan pada kotaknya: penjumlahan dan perkalian memerlukan kedua matriks, invers hanya membaca matriks pertama. Invers hanya ada ketika determinannya tidak nol, dan uji itu dilakukan terhadap nol yang eksak, bukan nol yang hampir, dan itu keterbatasan sekaligus keputusan. Toleransi akan memaksa penolakan matriks yang sebenarnya bisa dibalik hanya untuk menangkap kasus di dekat batasnya, jadi tidak ada toleransi; harganya, matriks yang diisi dengan angka desimal dan singular secara aritmetika eksak bisa menghasilkan determinan seperti 1,4e-17 alih-alih 0 lalu tetap dibalik, dan memberi empat angka yang sangat besar alih-alih penolakan. Memasukkan bilangan bulat menghindari ini sepenuhnya, dan determinan yang sekecil itu sendiri sudah merupakan petunjuk. Hanya determinan matriks pertama yang ditampilkan, jadi determinan matriks kedua harus dicari dengan menaruhnya di posisi pertama. Empat angka desimal adalah lebar tampilan, bukan klaim tentang presisi, dan inversnya dihitung dari determinan yang belum dibulatkan, sehingga mengalikan jawaban tercetak kembali ke A belum tentu memberi angka satu dan nol yang persis pada angka-angka yang tercetak. Tidak ada satuan di mana pun di halaman ini, dan tidak ada yang tersirat: elemennya bilangan biasa, dan empat angka desimal itu satu-satunya klaim tentangnya.

Mengapa satu kotak per baris, bukan satu kotak per angka?

Karena matriks itu satu objek, dan empat kotak akan mengubahnya menjadi empat masukan yang bisa diisi sendiri-sendiri — termasuk dengan cara yang bukan matriks sama sekali. Satu matriks utuh di satu kotak punya masalah sebaliknya: tidak ada cara membedakan elemen yang hilang dari elemen yang salah tempat. Satu kotak per baris menjaga kedua angka satu baris tetap bersama dan tetap memungkinkan halaman ini memeriksa bahwa tiap baris berisi tepat dua angka.

Kapan saya boleh membiarkan matriks kedua kosong?

Ketika operasi yang Anda pilih tidak membutuhkannya. Invers hanya membaca matriks pertama, jadi kedua kotak matriks kedua boleh tetap kosong dan tidak ada yang kurang. Penjumlahan dan perkalian memerlukan keduanya, dan halaman ini akan menunggu alih-alih mengeluh selama Anda masih mengetik. Apakah sebuah kotak harus diisi ditentukan oleh operasinya, bukan oleh kotaknya.

Mengapa invers sebuah matriks kadang ditolak?

Karena invers adalah matriks yang membatalkan matriks pertama, dan matriks singular — yang determinannya nol — tidak punya invers semacam itu: matriks pertamanya memampatkan bidang menjadi garis, sehingga masukan yang berbeda mendarat pada keluaran yang sama dan tidak ada yang bisa dibalik. Halaman ini menolak alih-alih mencetak empat angka yang terlihat seperti jawaban. Menjumlahkan dan mengalikan matriks yang sama berjalan normal.

Determinan itu milik matriks yang mana?

Selalu milik matriks pertama, operasi apa pun yang Anda pilih, jadi ia tidak berubah saat Anda berpindah antara menjumlahkan, mengalikan, dan membalik masukan yang sama. Ia sifat matriks tersebut, bukan sifat jawabannya, dan itulah yang menentukan ada atau tidaknya invers. Kalau Anda ingin determinan matriks kedua, taruh matriks itu di posisi pertama lalu balikkan.

Apakah urutan kedua matriks berpengaruh?

Untuk perkalian matriks, ya, dan itu perbedaan yang nyata, bukan soal teknis: menukar kedua matriks memberi empat elemen yang berbeda. Kalau keduanya dua transformasi, urutan mengalikannya adalah urutan menerapkannya. Penjumlahan adalah pengecualiannya — matriks dijumlahkan seperti bilangan biasa, dan urutannya sama sekali tidak berpengaruh.

Untuk apa inversnya?

Untuk membatalkan matriksnya. Kalikan sebuah matriks dengan inversnya dalam urutan mana pun dan Anda mendapat matriks identitas: angka satu di sepanjang diagonal, nol di luarnya. Itulah yang membuatnya berguna untuk berjalan mundur — dari koordinat yang sudah ditransformasi kembali ke koordinat yang menghasilkannya. Halaman ini mencetak determinannya di sebelahnya karena determinan nol justru kasus ketika hal itu tidak bisa dilakukan.

• Matrix — the object this page takes as input, with the definitions of addition, multiplication and the identity matrix that the three operations here follow — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrix inverse — the matrix that undoes another, its formula for the 2×2 case as used on this page, and the condition that it exists only when the determinant is not zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the number the page prints beside every answer: how it is computed for a 2×2 matrix, why the inverse is divided by it, and what a value of zero says about the matrix — Wolfram MathWorld (United States)