Kalkulator Proyeksi Vektor

s = (u · v) ÷ |v| proj_v u = (s ÷ |v|) · v = ((u · v) ÷ |v|²) · v

Vektor sumber u

Vektor yang diproyeksikan — vektor yang bayangannya dicari. Dua atau tiga angka yang dipisahkan spasi atau koma. Ia boleh berupa vektor nol, dan proyeksinya lalu nol.

Vektor tujuan v

Vektor tempat bayangan itu jatuh, dan vektor yang menyediakan arahnya. Kotak ini dan kotak satunya tidak bisa saling ditukar: menukarnya mengubah jawabannya, itulah sebabnya keduanya diberi nama menurut perannya alih-alih diberi nomor.

u · v

Hasil kali titik kedua vektor: setiap pasangan komponen dikalikan lalu hasilnya dijumlahkan. Ia muncul di pembilang kedua rumus, jadi perlu diperhatikan bahwa hasil kali titik yang nol berarti kedua vektor tegak lurus — dan itulah kasus yang menghasilkan proyeksi nol.

|v|

Panjang vektor tujuan, dan itulah pembagi hasil kali titiknya. Kalau vektor tujuannya kebetulan panjangnya 1, pembagian ini tidak mengubah apa pun, dan proyeksi skalarnya menjadi hasil kali titik itu sendiri — baris pertama tabel rujukan adalah kasus itu, dan itu baris yang paling mudah diperiksa dengan tangan.

s

Proyeksi skalarnya: seberapa jauh sepanjang arah vektor tujuan si sumber menjangkau, sebagai angka bertanda. Ia negatif ketika keduanya menunjuk ke arah yang berlawanan secara umum dan nol ketika keduanya tegak lurus. Ia bukan panjang vektor sumber dan bukan hasil kali titik — ia hasil kali titik dibagi panjang vektor tujuannya.

proj_v u

Vektor proyeksinya: proyeksi skalar dikalikan vektor satuan vektor tujuan, yang mengembalikan arahnya dan memberi vektor yang terletak tepat pada garis vektor tujuan itu. Panjangnya adalah nilai mutlak dari s.

Tanda s

Apa yang dilakukan membalik vektor tujuan. Menegasikan vektor tujuan membalik tanda proyeksi skalarnya, karena pembilangnya berubah tanda sementara panjang yang dikuadratkan di penyebutnya tidak — tetapi vektor proyeksinya tidak berubah, sebab negasi yang sama muncul sekali di atas dan sekali di bawah.

Vektor tujuan nol

Ditolak. Vektor tujuan menyediakan arah dan pembaginya, dan vektor nol tidak punya keduanya: penyebutnya akan menjadi nol, dan tidak ada garis untuk dijadikan tempat proyeksi. Vektor sumber yang nol adalah perkara lain dan diterima, dan proyeksinya nol.

Tanpa satuan

Proyeksi skalar dan ketiga komponen vektor proyeksinya semuanya angka polos di sini. Proyeksi skalarnya bersatuan sama dengan komponen masukannya, karena ia panjang yang diukur dalam satuan itu, tetapi tidak ada apa pun di halaman ini yang tahu satuan itu apa.

Empat angka desimal

Seberapa lebar keluarannya ditulis. Proyeksi skalarnya sering berupa pecahan yang bersih dari masukannya — 11 dibagi 5 memberi 2,2 dengan tepat — sementara komponen vektornya hampir selalu dibulatkan.

Pakai halaman ini ketika Anda menginginkan bagian dari satu vektor yang menunjuk di sepanjang vektor lain, yaitu langkah di balik pemecahan apa pun menjadi komponen. Mengambil bagian mendatar dan tegak dari sebuah gaya adalah proyeksi ke kedua sumbu; usaha yang dilakukan sebuah gaya adalah proyeksi gaya itu ke arah perpindahannya, dikalikan jaraknya; sebuah bayangan, sebuah komponen di sepanjang bidang miring, dan koefisien dalam pencocokan kuadrat terkecil semuanya adalah operasi yang sama. Kedua keluarannya menjawab dua pertanyaan berbeda tentangnya. Skalar bertandanya menjawab seberapa banyak, termasuk ke arah mana: ia yang dipakai untuk aritmetika lanjutan, di mana nilai negatif berarti si sumber condong menjauhi vektor tujuannya. Vektornya menjawab di mana, dan ia yang dipakai ketika jawabannya harus berupa vektor — ia terletak tepat pada garis vektor tujuan, jadi ia bisa dijumlahkan dengan sesuatu yang lain atau digambar. Membalik vektor tujuan adalah cara tercepat untuk melihat perbedaannya: skalarnya berubah tanda dan vektornya tidak, karena skalar diukur relatif terhadap sebuah orientasi sedangkan vektor tidak. Vektor yang tegak lurus memberi proyeksi nol dari kedua keluarannya, dan nol adalah jawaban yang sungguhan — ia mengatakan si sumber tidak punya komponen sama sekali di sepanjang vektor tujuannya. Satu masukan yang tidak bisa dipakai adalah vektor tujuan yang nol, karena arah dan pembagi justru hal yang tidak bisa ia sediakan.

1. 3 4 pada 1 0

   1. Hasil kali titik: 3 × 1 + 4 × 0 = 3
   2. Panjang vektor tujuan: |1 0| = 1
   3. Proyeksi skalar: 3 ÷ 1 = 3
   4. Vektor proyeksi: (3 ÷ 1) × (1; 0) = (3; 0; 0)

   Masukan yang dimuat halaman ini, dan kasus ketika tidak ada yang tersembunyi: vektor tujuannya adalah vektor satuan, jadi membagi dengan panjangnya tidak mengubah apa pun dan proyeksi skalarnya adalah hasil kali titiknya. Ini juga kasus yang paling mudah diperiksa dengan mata, karena vektor tujuannya terletak di sepanjang sumbu x dan proyeksinya adalah vektor sumber dengan komponen y-nya dibuang. Itulah yang dilakukan sebuah proyeksi dalam situasi paling sederhana — ia menyimpan bagian vektor yang menunjuk di sepanjang vektor tujuan dan membuang sisanya.

2. 1 2 pada 3 4

   1. Hasil kali titik: 1 × 3 + 2 × 4 = 11
   2. Panjang vektor tujuan: √(9 + 16) = 5
   3. Proyeksi skalar: 11 ÷ 5 = 2,2
   4. Vektor proyeksi: (2,2 ÷ 5) × (3, 4) = (1,32; 1,76; 0)

   Kasus yang biasa, ketika vektor tujuannya bukan vektor satuan dan kedua pembagiannya harus dikerjakan. Proyeksi skalarnya keluar eksak — 11 dibagi 5 adalah 2,2 — sementara komponen vektornya tidak. Periksa bahwa jawabannya benar-benar terletak pada garis vektor tujuan: 1,32 dibagi 3 adalah 0,44, dan 1,76 dibagi 4 adalah 0,44, jadi kedua komponennya sebanding dengan komponen vektor tujuannya, dan itulah artinya terletak pada garis itu. Panjang proyeksinya 2,2, sama dengan skalarnya, sebagaimana mestinya.

3. 3 4 pada −1 0

   1. Hasil kali titik: 3 × (−1) + 4 × 0 = −3
   2. Panjang vektor tujuan: |−1 0| = 1
   3. Proyeksi skalar: −3 ÷ 1 = −3
   4. Vektor proyeksi: (−3 ÷ 1) × (−1; 0) = (3; 0; 0)

   Vektor sumber dan garis yang sama seperti contoh pertama, dengan vektor tujuan menunjuk ke arah sebaliknya, dan demonstrasi paling jelas di halaman ini tentang apa yang diketahui masing-masing keluaran. Proyeksi skalarnya sudah berbalik menjadi −3: ia diukur di sepanjang sebuah orientasi, dan orientasinya sudah berubah. Vektor proyeksinya sama persis dengan yang dari contoh pertama, (3, 0, 0), karena menegasikan vektor tujuan memasukkan satu tanda minus di pembilang dan satu lagi di penyebut yang dikuadratkan, lalu keduanya saling menghapus. Skalarnya tahu ke arah mana vektor tujuannya menunjuk; vektornya hanya tahu garisnya.

4. 1 0 pada 0 1

   1. Hasil kali titik: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. Panjang vektor tujuan: |0 1| = 1
   3. Proyeksi skalar: 0 ÷ 1 = 0
   4. Vektor proyeksi: (0 ÷ 1) × (0; 1) = (0; 0; 0)

   Dua vektor yang tegak lurus, dan proyeksinya nol pada kedua keluarannya. Ini jawaban yang sungguhan dan bukan kegagalan: ia mengatakan vektor sumber tidak punya bagian yang menunjuk di sepanjang vektor tujuan, dan persis itulah arti tegak lurus. Hasil kali titik yang nol adalah isyarat yang perlu dicari, dan itu satu-satunya cara mendapat proyeksi skalar nol tanpa salah satu vektornya nol. Kedua vektor di sini panjangnya satu satuan, jadi tidak ada yang kecil — proyeksi nol antara dua vektor yang penuh panjangnya pantas direnungkan sebentar saat pertama kali muncul.

5. 0 0 pada 3 4

   1. Hasil kali titik: 0 × 3 + 0 × 4 = 0
   2. Panjang vektor tujuan: √(9 + 16) = 5
   3. Proyeksi skalar: 0 ÷ 5 = 0
   4. Vektor proyeksi: (0 ÷ 5) × (3; 4) = (0; 0; 0)

   Vektor nol sebagai vektor sumber: setiap perkalian di hasil kali titiknya nol, jadi kedua keluarannya nol tanpa muncul masalah pembagian apa pun. Tidak ada apa pun di halaman ini yang menolak masukan ini. Penolakannya berjalan ke arah sebaliknya — vektor tujuannya yang tidak boleh nol, karena ia menyediakan arah dan pembaginya, dan proyeksi ke vektor nol tidak punya garis untuk dijadikan tempat mendarat.

Kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama, dan masing-masing harus punya dua atau tiga. Kedua kotaknya tidak bisa saling ditukar dan labelnya menyatakan mana yang mana: vektor sumber adalah vektor yang diproyeksikan dan vektor tujuan adalah vektor yang menjadi sasaran proyeksinya. Menukar keduanya menghasilkan jawaban berbeda yang terlihat sepenuhnya masuk akal, jadi kalau ada hasil yang mengejutkan Anda, periksa dulu kedua kotaknya sebelum memeriksa aritmetikanya. Vektor tujuan tidak boleh berupa vektor nol, karena ia menyediakan arah sekaligus pembaginya; vektor sumbernya boleh nol, dan proyeksinya lalu nol. Empat angka desimalnya adalah lebar tampilan dan bukan klaim presisi, dan vektor proyeksinya dihitung dari skalar yang belum dibulatkan, jadi membaca sebuah komponen lalu membaginya dengan komponen vektor tujuan yang bersesuaian bisa saja tidak menghasilkan skalar yang tercetak dengan tepat. Tabel rujukannya menampilkan vektor tujuan dan vektor sumber sebagaimana diketik beserta keempat keluarannya, dan tabel itu sengaja tidak punya baris untuk vektor tujuan nol, yang tidak bisa dihitung halaman ini. Satu tumpang tindih yang perlu disebut: hasil kali titik muncul di rumus proyeksi sebagai pembilangnya, dan vektor satuan muncul di rumus kedua sebagai arah yang dikalikan kembali — jadi halaman ini bersandar pada kedua alat itu tanpa menjadi salah satunya, dan proyeksinya adalah hasil baginya, bukan hasil kali titiknya dan bukan vektor yang dinormalkan.

Apa bedanya proyeksi skalar dengan vektor proyeksi?

Proyeksi skalar adalah satu angka bertanda: seberapa jauh sepanjang arah vektor tujuan si sumber menjangkau, dan bernilai negatif ketika keduanya condong saling menjauh. Vektor proyeksi adalah jarak yang sama yang ditulis sebagai vektor yang menunjuk di sepanjang garis vektor tujuan. Skalarnya tahu ke arah mana vektor tujuannya menunjuk sedangkan vektornya tidak — balik vektor tujuannya dan skalarnya berganti tanda sementara vektor proyeksinya tidak berubah. Pakai skalarnya untuk aritmetika lanjutan dan vektornya ketika jawabannya harus berupa vektor.

Mengapa proyeksi skalarnya keluar negatif?

Karena vektor sumbernya condong menjauhi vektor tujuannya alih-alih mendekatinya. Proyeksi skalar diukur di sepanjang sebuah orientasi, jadi ketika kedua vektor menunjuk ke arah yang secara umum berlawanan jawabannya negatif. Itu bukan kesalahan dan bukan pula konvensi tanda yang bisa diabaikan: sebuah gaya yang menarik ke belakang di sepanjang suatu arah memang punya komponen negatif di sepanjang arah itu, dan usaha yang dilakukan bisa keluar negatif karena alasan yang sama.

Vektor yang mana yang diproyeksikan?

Vektor sumber, di kotak pertama. Kotak kedua adalah vektor tujuan, yang menyediakan arah tempat bayangannya jatuh. Keduanya tidak bisa saling ditukar di halaman ini: memproyeksikan u ke v dan memproyeksikan v ke u adalah dua angka yang berbeda, dan kalau Anda menukar kedua kotaknya jawabannya berubah tanpa ada yang tampak rusak. Itulah sebabnya kedua kotaknya diberi nama menurut perannya alih-alih disebut vektor u dan vektor v.

Apa yang terjadi kalau kedua vektornya tegak lurus?

Kedua keluarannya nol, dan itu jawaban yang sungguhan alih-alih kegagalan. Hasil kali titik yang nol berarti kedua vektor tegak lurus — itu satu-satunya cara mendapat proyeksi skalar nol tanpa salah satu vektornya sendiri nol — dan proyeksi nol mengatakan vektor sumber tidak punya bagian yang menunjuk di sepanjang vektor tujuan sama sekali. Baris keempat tabel rujukan adalah kasus ini. Gaya yang tegak lurus tidak melakukan usaha satu sama lain, dan itu pernyataan yang sama dalam fisika.

Bisakah vektor yang diproyeksikan berupa vektor nol?

Bisa, dan kedua keluarannya nol: setiap perkalian di hasil kali titiknya nol, dan pembagiannya dilakukan dengan panjang vektor tujuan, jadi tidak ada masalah. Penolakan di halaman ini berjalan ke arah sebaliknya. Vektor tujuannya yang tidak boleh nol, karena ia menyediakan arah dan pembaginya, dan tidak ada garis untuk dijadikan tempat proyeksi ke vektor nol.

Apa rumus proyeksi vektor?

Proyeksi skalarnya adalah hasil kali titik kedua vektor dibagi panjang vektor tujuan: s = (u · v) ÷ |v|. Vektor proyeksinya mengalikan skalar itu dengan vektor satuan vektor tujuan, yang sama dengan hasil kali titik dikali vektor tujuan dibagi kuadrat panjang vektor tujuan. Kalau vektor tujuannya sudah panjangnya 1, kedua rumusnya menyederhana dan proyeksi skalarnya menjadi hasil kali titiknya saja, itulah sebabnya baris pertama tabel rujukan adalah baris yang paling mudah diperiksa dengan tangan.

• Scalar projection — the length of the shadow one vector casts along another, signed, which is the first of this page's two outputs — Wolfram MathWorld (United States)
• Dot product — the sum of the products of corresponding components, which is the numerator of the projection and the quantity whose being zero means the vectors are perpendicular — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing along the target, which is what the scalar projection is multiplied by to give the projection vector — Wolfram MathWorld (United States)