Kalkulator Penjumlahan Vektor

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

Vektor u

Vektor pertama, sebagai daftar dua atau tiga angka. Ke kotak mana ia dimasukkan tidak mengubah jawaban untuk penjumlahan dan hanya membalik tandanya untuk pengurangan, jadi tidak ada yang hilang dengan memperlakukannya sekadar sebagai yang pertama.

Vektor v

Vektor kedua, ditulis dengan cara yang sama. Jumlah komponennya harus sama dengan yang pertama: tidak ada aturan untuk menjumlahkan vektor dua komponen dengan vektor tiga komponen, karena angka ketiganya tidak punya pasangan.

u + v

Jumlahnya, dihitung komponen per komponen. Setiap komponen jawabannya hanya memakai komponen pada posisi yang sama dari kedua masukan — komponen pertama dengan komponen pertama, komponen kedua dengan komponen kedua, dan seterusnya.

u − v

Selisihnya, yaitu jumlah tadi dengan setiap komponen vektor kedua dinegasikan lebih dulu. Membalik tanda vektor kedua adalah seluruh perbedaan antara menjumlahkan dan mengurangkan, itulah sebabnya satu kendali melayani keduanya.

Komponen x, y, dan z vektor resultan

Ketiga baris jawabannya, dibaca bersama sebagai satu vektor. Yang ketiga bernilai 0 setiap kali kedua masukannya vektor dua komponen: angka nol itu bukan tambahan, melainkan penampakan arah yang sama ketika ditulis dalam tiga koordinat.

|u + v|

Panjang vektor hasilnya, yaitu akar dari jumlah kuadrat komponennya. Ini pertanyaan yang terpisah dari ketiga komponennya dan pantas mendapat barisnya sendiri: komponennya mengatakan ke mana jawabannya menunjuk, panjangnya mengatakan seberapa jauh ia menjangkau.

Tambah atau kurang

Satu-satunya pilihan yang diminta halaman ini, dan satu-satunya hal yang berubah antara kedua mode. Kedua kotak yang sama dan keempat baris keluaran yang sama dipakai pada kedua mode; hanya aritmetikanya yang berubah.

Vektor nol

Vektor yang semua komponennya 0. Jumlah atau selisih bisa berupa vektor nol dan itu jawaban yang benar, bukan kegagalan — menjumlahkan sebuah vektor dengan lawannya memberi tepat vektor ini, dan tabel rujukan memuat satu baris tempat hal itu terjadi.

Empat angka desimal

Seberapa lebar keluarannya ditulis. Komponennya eksak setiap kali masukannya bilangan bulat, karena hanya penjumlahan dan pengurangan yang terlibat; pembulatannya untuk panjang, yang berupa akar.

Pakai halaman ini ketika dua vektor bekerja pada benda yang sama dalam waktu yang sama dan Anda ingin tahu pengaruh gabungannya. Dua gaya pada satu benda, dua kecepatan yang dijumlahkan dalam arus, dua perpindahan yang ditempuh berurutan — semuanya penjumlahan komponen per komponen, dan jawabannya adalah satu vektor yang akan melakukan pekerjaan keduanya. Pengurangan menjawab paruh lain pertanyaan yang sama: u − v adalah vektor yang membawa Anda dari ujung v ke ujung u, itulah sebabnya operasi ini ada di balik setiap perhitungan posisi relatif dan kecepatan relatif. Alasan vektor begitu mudah dijumlahkan adalah komponennya tidak pernah tercampur — setiap posisi di jawabannya hanya bergantung pada posisi yang sama di masukannya dan tidak pada yang lain — dan itu perlu diketahui karena hal itu tidak berlaku pada perkalian, di mana setiap komponen jawaban bergantung pada setiap komponen kedua masukan dan sebuah sudut ikut muncul. Dua komponen dan tiga komponen sama-sama boleh, dan kedua masukan harus cocok satu sama lain. Jumlah yang nol adalah hasil yang biasa: sebuah vektor ditambah lawannya adalah nol, dan nol adalah vektor yang sama sekali sah. Satu hal yang perlu dipegang teguh adalah panjang yang dicetak di sampingnya adalah panjang vektor resultan, bukan jumlah kedua panjang masukannya — kecuali kedua vektor menunjuk ke arah yang persis sama, kedua angka itu berbeda, dan perbedaan di antara keduanya adalah seluruh alasan vektor tidak dijumlahkan dengan menjumlahkan ukurannya.

1. 3 4 + 1 2

   1. Komponen x: 3 + 1 = 4
   2. Komponen y: 4 + 2 = 6
   3. Komponen z: 0 + 0 = 0, karena kedua masukan adalah vektor dua komponen
   4. Panjang: √(16 + 36 + 0) = √52 = 7,211103

   Masukan yang dimuat halaman ini, dan kasus yang setiap langkahnya terlihat. Kedua vektornya menunjuk ke arah yang kira-kira sama, jadi jawabannya panjang: 7,2111 sedangkan panjang kedua masukannya 5 dan 2,2361, yang jumlahnya 7,2361. Kedua angka itu berdekatan di sini tetapi tidak sama, dan keduanya sama hanya ketika kedua vektor menunjuk ke arah yang persis sama — dua baris di tabel rujukan adalah kasus itu, dan di semua baris lainnya jumlahnya keluar lebih pendek daripada kedua panjang yang dijumlahkan.

2. 3 4 − 1 2

   1. Komponen x: 3 − 1 = 2
   2. Komponen y: 4 − 2 = 2
   3. Komponen z: 0 − 0 = 0
   4. Panjang: √(4 + 4) = √8 = 2,828427

   Kedua vektor yang sama seperti contoh pertama dengan pilihan yang lain, dan satu-satunya yang berubah adalah tanda yang diterapkan pada masukan kedua. Jawabannya pada dasarnya 2u − (u + v) dan keluar jauh lebih pendek daripada salah satu masukannya, karena kedua vektor menunjuk ke arah yang mirip sehingga memisahkannya tidak menyisakan banyak. Menggeser pilihan bolak-balik antara contoh ini dan contoh pertama adalah cara tercepat untuk melihat apa yang dilakukan kendali itu.

3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

   1. Komponen x: 1 + (−1) = 0
   2. Komponen y: 2 + (−2) = 0
   3. Komponen z: 3 + (−3) = 0
   4. Panjang: √(0 + 0 + 0) = 0

   Sebuah vektor yang dijumlahkan dengan lawannya sendiri, dan hasilnya vektor nol. Tidak ada yang salah: kedua anak panahnya sama panjang dan berlawanan arah, jadi perjalanan yang digambarkannya berakhir di tempat ia bermula. Halaman ini melaporkannya alih-alih menolaknya, dan baris ketujuh di tabel rujukan adalah kasus yang sama. Geser kendalinya ke pengurangan dengan masukan yang sama dan jawabannya justru berlipat dua — 2 4 6 dengan panjang 7,4833 — dan itulah penjelasan paling jelas tentang apa yang dilakukan sebuah tanda.

4. −1 2 − 3 −5

   1. Komponen x: −1 − 3 = −4
   2. Komponen y: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
   3. Komponen z: 0 − 0 = 0
   4. Panjang: √(16 + 49) = √65 = 8,062258

   Kasus ketika tandanya tidak saling menghapus dan aritmetikanya harus dikerjakan dengan hati-hati. Mengurangi negatif lima berarti menambah lima, jadi komponen y tumbuh menjadi 7, dan komponen x menjadi negatif karena komponen pertama vektor kedua lebih besar. Hasilnya lebih panjang daripada salah satu masukannya, dan itu terjadi setiap kali kedua vektor menunjuk ke arah yang berlawanan — panjangnya adalah tanda paling jelas untuk itu, karena komponen −4 dan 7 tidak kelihatan sebagai vektor yang panjang sebelum dikuadratkan lalu dijumlahkan.

Kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama, dan masing-masing harus punya dua atau tiga komponen: panelnya punya tiga baris komponen, dan pasangan yang tidak cocok akan meninggalkan angka ketiga salah satu masukan tanpa pasangan. Vektor dua komponen tidak ditambahi menjadi tiga — ia terletak di bidang datar, dan angka 0 yang tercetak di baris ketiga adalah penampakan arah itu dalam tiga koordinat. Tabel rujukan hanya menampilkan penjumlahan, karena tabel itu dibuat tanpa mengetahui pilihan mana yang sedang aktif; pengurangan adalah baris yang sama dengan tanda vektor kedua dibalik, dan contoh-contoh di bawah sudah mencakupnya. Panjang yang tercetak di samping hasilnya adalah panjang vektor resultan, bukan jumlah kedua panjang masukannya. Menjumlahkan kedua panjang itu memberi jawaban yang benar hanya ketika kedua vektor menunjuk ke arah yang persis sama; menjumlahkan sebuah vektor dengan lawannya memberi 0 alih-alih dua kali panjangnya, dan itulah jarak terjauh antara kedua kasus tersebut. Empat angka desimal adalah lebar tampilan, bukan klaim presisi. Tidak ada apa pun di sini yang tahu komponen Anda diukur dalam satuan apa, dan jawabannya membawa satuan yang sama — komponennya dan panjangnya semuanya dalam satuan itu, jadi ketiga komponennya tidak boleh dibaca sebagai panjang masing-masing.

Apa arti penjumlahan vektor?

Menjumlahkan vektor berarti menjumlahkan komponennya posisi demi posisi: komponen pertama dengan komponen pertama, lalu komponen kedua, lalu komponen ketiga, dan ketiga jumlah itu menjadi komponen jawabannya. Tidak ada yang dikalikan dan tidak ada sudut yang diperlukan, dan itulah yang membuat penjumlahan vektor jauh lebih mudah daripada perkalian vektor — komponennya tidak pernah tercampur, jadi setiap entri jawabannya hanya bergantung pada satu entri dari tiap masukan.

Apa bedanya pengurangan vektor dengan penjumlahan?

Bedanya satu tanda. Mengurangkan adalah menjumlahkan dengan vektor kedua dinegasikan lebih dulu, jadi u − v dan u + (−v) adalah perhitungan yang sama yang ditulis dengan dua cara. Itulah sebabnya keduanya berada di balik satu kendali di halaman ini: aritmetika yang berubah hanyalah satu tanda, dan menaruh keduanya berdampingan dengan masukan yang sama adalah cara paling jelas untuk melihatnya. Kurangkan 1 2 dari 3 4 dan Anda mendapat 2 2; jumlahkan keduanya dan Anda mendapat 4 6.

Bisakah jumlahnya berupa vektor nol?

Bisa, dan itu jawaban yang benar, bukan kegagalan. Menjumlahkan sebuah vektor dengan lawannya yang persis memberi nol: kedua anak panahnya sama panjang dan berlawanan arah, sehingga perpindahan yang digambarkannya kembali ke titik awalnya. Halaman ini melaporkan 0 untuk ketiga komponennya dan panjang 0. Baris ketujuh di tabel rujukan adalah kasus ini, dan masukan yang sama di bawah pengurangan justru memberi 2u.

Apakah kedua vektor harus punya jumlah komponen yang sama?

Ya. Tidak ada aturan untuk menjumlahkan vektor dua komponen dengan vektor tiga komponen, karena angka ketiganya tidak punya pasangan. Tiap masukan boleh punya dua atau tiga komponen — itu batas panelnya, bukan batas aritmetikanya — tetapi kedua jumlahnya harus cocok, dan halaman ini mengatakannya alih-alih diam-diam memperlakukan entri yang hilang sebagai nol.

Apakah panjang vektor hasilnya sama dengan jumlah kedua panjangnya?

Tidak, dan inilah kesalahan yang paling ingin dicegah halaman ini. Panjang vektor resultan sama dengan jumlah kedua panjang itu hanya ketika kedua vektor menunjuk ke arah yang persis sama; ketika keduanya berlawanan arah, panjangnya bisa menjadi selisih kedua panjang itu, dan ketika keduanya tegak lurus, panjangnya lebih kecil daripada keduanya. Sebabnya adalah komponennya bisa saling menghapus sebagian, dan arah penghapusan itu bergantung pada arah vektornya, bukan pada ukurannya.

Bisakah saya menjumlahkan vektor dua dimensi dengan vektor tiga dimensi?

Tidak, dan halaman ini menolaknya alih-alih mengisi komponen ketiga yang hilang dengan angka nol. Vektor dua komponen adalah vektor di bidang datar, dan itu sama dengan vektor tiga komponen yang entri ketiganya 0 — tetapi itu fakta tentang bagaimana bidang datar berada di dalam ruang, dan bukan izin untuk menjumlahkan sebuah angka dengan ketiadaan. Tuliskan komponen ketiganya secara eksplisit kalau memang itu yang Anda maksud.

• Vector addition — the component-by-component sum, and the parallelogram rule that says the same thing geometrically, which is what the two input boxes and the resultant row implement — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector subtraction — the difference of two vectors as the sum with the second one negated, which is why one control on this page serves both operations — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object being added, including the rule that two vectors may only be added when they have the same number of components and that the sum of a vector and its negative is the zero vector — Wolfram MathWorld (United States)