Kalkulator Kovarians

kov = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ pembagi, dengan n − 1 untuk sampel dan n untuk populasi; r = kov ÷ (sₓ × s_y)

xᵢ, yᵢ

Nilai yang berpasangan: bilangan ke-i daftar pertama berpasangan dengan bilangan ke-i daftar kedua. Kedua daftar harus sama panjang, dan tidak ada yang diurutkan — pemasangan dilakukan menurut posisi, jadi mengubah urutan salah satu daftar mengubah jawabannya

x̄, ȳ

Rata-rata masing-masing daftar, keduanya dicetak di hasilnya. Setiap nilai masuk ke hitungan sebagai simpangan dari rata-rata daftarnya sendiri, dan itulah sebabnya mengurangkan konstanta apa pun dari setiap nilai dalam satu daftar tidak mengubah kovariansnya

n

Banyaknya pasangan — panjang salah satu daftar, maksimal 200 di halaman ini. Ia adalah pembagi untuk kovarians populasi dan kurang satu dari pembagi untuk kovarians sampel

sₓ, s_y

Simpangan baku masing-masing daftar, pada pengaturan sampel atau populasi yang sama. Keduanya yang mengubah kovarians menjadi koefisien korelasi, dan keduanya dicetak supaya r bisa dihitung ulang hanya dari panel itu

kov

Kovariansnya sendiri: positif kalau kedua daftar cenderung naik dan turun bersamaan, negatif kalau yang satu naik sementara yang lain turun, dan mendekati nol kalau hubungan linearnya lemah. Satuannya adalah satuan x dikali satuan y

r

Koefisien korelasi Pearson, kov ÷ (sₓ × s_y), yang menghapus satuan itu dan mendarat di antara −1 dan 1. Berbeda dari kovarians, ia tidak berubah ketika Anda mengubah skala sebuah daftar, dan hasilnya sama saja pada pengaturan sampel maupun populasi

Kovarians adalah ringkasan yang wajar ketika dua pengukuran diambil dari subjek yang sama dan pertanyaannya apakah keduanya bergerak seirama: tinggi badan dan berat badan, jam belajar dan nilai, suhu dan pemakaian listrik, sensor yang sama dibaca pada dua saat. Ia besaran yang menjadi generalisasi simpangan baku ke dua variabel, dan ia bahan penyusun setiap rumus korelasi, kemiringan regresi, dan varian portofolio — jadi ia layak dihitung sekali dengan tangan untuk melihat dari mana semua itu berasal. Bacalah tandanya untuk mengetahui arah, bukan besarnya: kovarians 1,5 dan kovarians 150 bisa menggambarkan hubungan yang persis sama kalau salah satu daftarnya diukur dalam meter dan yang lain dalam sentimeter. Koefisien korelasi yang dicetak di bawahnya adalah versi tanpa satuan, dan itulah angka yang pantas dikutip ketika kekuatan hubungannya yang penting. Kovarians juga tidak mengatakan apa pun tentang sebab-akibat, dan ia hanya melihat garis lurus: dua daftar dengan hubungan melengkung yang sempurna bisa punya kovarians nol.

1. Lima pasangan yang naik bersama: kovarians 1,5, r = 0,7746

   1. Rata-rata: x̄ = (1+2+3+4+5) ÷ 5 = 3, dan ȳ = (2+4+5+4+5) ÷ 5 = 4
   2. Simpangan dari rata-rata, x: −2; −1; 0; 1; 2; y: −2; 0; 1; 0; 1
   3. Hasil kali silang: (−2)(−2) + (−1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6
   4. Pembagi sampel n − 1 = 4: kovarians = 6 ÷ 4 = 1,5
   5. Simpangan baku: 1,5811 dan 1,2247, jadi r = 1,5 ÷ (1,5811 × 1,2247) = 0,7746

   Tandanya positif, dan itulah bagian yang sebenarnya dibaca dari kovarians: nilai x yang di atas rata-rata berpasangan dengan nilai y yang di atas rata-rata. Besarnya — 1,5 — bersatuan satuan x kali satuan y dan akan berubah kalau salah satu daftarnya diubah skalanya, dan itulah sebabnya koefisien korelasinya dicetak di sebelahnya. Nilai r keluar 0,7746: hubungan naik yang jelas, tetapi masih jauh dari garis lurus, karena pasangan (4, 4) berada di bawah polanya.

2. Pasangan yang sama sebagai populasi: kovarians 1,2, r tidak berubah

   1. Jumlahnya sama: hasil kali silangnya masih berjumlah 6 dan rata-ratanya masih 3 dan 4
   2. Pembagi populasi n = 5: kovarians = 6 ÷ 5 = 1,2 — lebih kecil daripada nilai sampelnya, karena pembaginya lebih besar
   3. Kedua simpangan bakunya menyusut karena alasan yang sama: 1,4142 dan 1,0954
   4. r = 1,2 ÷ (1,4142 × 1,0954) = 0,7746 — sama seperti sebelumnya

   Mengganti pembaginya menggeser kovarians dan kedua simpangan bakunya, tetapi tidak menggeser korelasinya: n − 1 saling menghapus dengan n pada rasio itu. Jadi pilihan sampel atau populasi penting bagi kovarians dan sama sekali tidak penting bagi r, dan itu perlu diketahui sebelum Anda membandingkan kovarians yang Anda hitung di sini dengan kovarians yang dilaporkan di tempat lain — dua makalah bisa berselisih soal 1,5 berbanding 1,2 dan tetap sepenuhnya sepakat soal hubungannya.

3. Lengkungan sempurna dengan kovarians nol

   1. Rata-rata: kedua daftarnya rata-rata 3
   2. Simpangan, x: −2; −1; 0; 1; 2; y: −2; 1; 2; 1; −2
   3. Hasil kali silang: 4 − 1 + 0 + 1 − 4 = 0
   4. Kovarians: 0 ÷ 4 = 0, dan r = 0 ÷ (1,5811 × 1,8708) = 0 juga

   Daftar keduanya berbentuk huruf U terbalik: 1; 4; 5; 4; 1 adalah pola yang teratur sempurna, dan kovariansnya dengan 1 sampai 5 tepat nol. Kovarians hanya mendeteksi hubungan garis lurus — di sini daftar keduanya naik lalu turun, dan sumbangan positifnya saling menghapus dengan sumbangan negatifnya secara tepat. Kovarians yang mendekati nol karena itu berarti "tidak ada hubungan linear", dan tidak pernah berarti "tidak ada hubungan", dan itulah sebabnya diagram pencar belum tergantikan oleh satu angka.

Kovarians bukan korelasi dan tidak boleh dibaca sebagai korelasi. Besarnya bergantung pada satuan kedua daftarnya, sehingga ia tidak bisa dibandingkan antarpasangan variabel yang diukur pada skala berbeda, dan ia tidak punya batas atas untuk dijadikan pembanding — hanya tandanya yang bisa ditafsirkan langsung. Ia juga hanya mengukur kaitan linear, jadi hubungan melengkung yang kuat bisa menghasilkan kovarians yang mendekati nol. Karena dihitung dari nilai berpasangan, ia menuntut kedua daftarnya berbaris rapi: keduanya harus sama panjang, dan setiap nilai dipasangkan dengan nilai pada posisi yang sama, sehingga satu entri yang hilang atau berlebih pada satu daftar menggeser semua yang ada di belakangnya. Kalau salah satu daftar tidak punya variasi sama sekali — semua nilainya identik — koefisien korelasinya tidak terdefinisi dan halaman ini menolak menjawab alih-alih mencetak pembagian dengan nol. Daftarnya dibatasi 200 pasangan, dan tulisan dengan pemisah ribuan ditolak alih-alih diduga-duga, karena satu titik di antara digit sudah dibaca sebagai tanda desimal di sini. Tidak ada bagian di halaman ini yang menetapkan sebab-akibat: dua daftar yang bergerak bersama bisa jadi sedang menanggapi variabel ketiga yang tidak ada di keduanya.

Bagaimana cara menghitung kovarians?

Pasangkan kedua daftar menurut posisinya, kurangkan rata-rata masing-masing daftar dari nilainya, kalikan kedua simpangan itu untuk setiap pasangan, jumlahkan hasil kalinya, lalu bagi dengan n − 1 untuk sampel atau n untuk populasi. Untuk x = 1; 2; 3; 4; 5 dan y = 2; 4; 5; 4; 5 hasil kali silangnya berjumlah 6, jadi kovarians sampelnya 6 ÷ 4 = 1,5. Kedua rata-rata, kedua simpangan baku, dan hasilnya dicetak di atas supaya setiap langkah bisa diikuti.

Apakah kedua daftar harus sama panjang?

Ya, dan urutannya juga harus benar — nilai pertama daftar yang satu berpasangan dengan nilai pertama daftar yang lain, dan tidak ada yang diurutkan. Itulah sebabnya halaman ini menolak pasangan daftar yang panjangnya tidak sama alih-alih menambal yang lebih pendek: dengan 3 nilai di satu daftar dan 2 di daftar lain, tidak ada cara mengetahui entri mana yang hilang, dan memasangkan dua yang pertama secara diam-diam akan memberi jawaban salah yang terlihat sepenuhnya masuk akal. Periksa dulu bahwa kedua daftar berasal dari subjek yang sama pada baris yang sama sebelum menempelkannya.

Apa arti tanda pada kovarians?

Kovarians positif berarti ketika sebuah nilai berada di atas rata-rata daftarnya sendiri, nilai yang berpasangan cenderung berada di atas rata-rata daftar yang lain: keduanya naik dan turun bersama. Kovarians negatif berarti sebaliknya — yang satu di atas rata-rata cenderung berpasangan dengan yang lain di bawah rata-rata. Nilai yang mendekati nol berarti tidak ada pola garis lurus, dan itu tidak sama dengan tidak ada hubungan sama sekali: daftar 1; 4; 5; 4; 1 berbentuk huruf U terbalik yang teratur sempurna dan kovariansnya dengan 1; 2; 3; 4; 5 tepat nol.

Mengapa koefisien korelasinya ikut dicetak?

Karena kovarians tidak bisa dibaca sendirian. Satuannya adalah satuan daftar pertama dikali satuan daftar kedua, jadi mengukur salah satu daftar dalam sentimeter alih-alih meter mengalikannya dengan 100 tanpa mengubah apa pun tentang hubungannya. Membagi dengan kedua simpangan bakunya menghapus satuan itu dan membatasi jawabannya di antara −1 dan 1, sehingga ia bisa dibandingkan antarvarabel. Kovarians adalah besaran yang menjadi dasar aljabarnya; r adalah angka yang pantas dikutip ketika seseorang bertanya seberapa kuat hubungannya.

Mengapa ditolak ketika salah satu daftar saya konstan?

Karena koefisien korelasinya akan dibagi nol: kalau setiap nilai dalam satu daftar identik, simpangan baku daftar itu nol, dan hubungannya tidak punya kekuatan yang terdefinisi. Kovariansnya sendiri terdefinisi dengan baik — nilainya nol — tetapi halaman ini mencetak kedua angkanya bersamaan, dan melaporkan separuh jawaban akan mengundang pembaca memperlakukan r yang tidak bermakna itu sebagai r yang nyata. Pilihan yang sama diambil di tempat lain di situs ini: halaman koefisien variasi menolak menjawab ketika rata-ratanya tidak positif alih-alih mencetak rasio yang tidak terdefinisi.

Sebaiknya saya memakai pembagi sampel atau populasi?

Pakai pengaturan sampel, n − 1, kalau daftar Anda adalah sampel yang ditarik dari sesuatu yang lebih besar dan Anda ingin menggambarkan kelompok yang lebih luas — kasus yang paling umum. Pakai pengaturan populasi, n, kalau daftarnya adalah seluruh kelompok yang Anda pedulikan. Pilihan itu mengubah kovarians dan kedua simpangan bakunya, tetapi tidak pernah mengubah koefisien korelasinya, karena n − 1 saling menghapus dengan n pada rasio itu. Untuk kelima pasangan di atas, kovariansnya 1,5 sebagai sampel dan 1,2 sebagai populasi, dengan r = 0,7746 pada kedua pengaturan.

• Correlation, Variance and Covariance (Matrices) — R stats package reference (cov and cor; documents the n − 1 denominator used for the covariance and treats the correlation as the covariance scaled by the two standard deviations) — The R Project for Statistical Computing
• scipy.stats.pearsonr — SciPy reference (the Pearson coefficient's range and its interpretation as a measure of linear association) — SciPy
• The Regression Equation — Introductory Statistics 2e, section 12.3 (defines the correlation coefficient r, after Karl Pearson, as a numerical measure of the strength and direction of the linear association between two variables) — OpenStax, Rice University