Kalkulator Volume Kerucut

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) Luas selimut = πrl Luas permukaan = πr(l + r)

r

Jari-jari alas yang berbentuk lingkaran, dalam sentimeter. Wajib diisi, dan nol diperbolehkan: kerucut berjari-jari nol adalah ruas garis tegak yang berdiri di atas sebuah titik

h

Tinggi tegak lurus dari pusat alas lurus ke atas sampai puncaknya, dalam sentimeter. Wajib diisi, dan ini bukan garis pelukis — keduanya angka yang berbeda pada setiap kerucut kecuali kerucut merosot yang tingginya nol

l

Garis pelukis, yaitu jarak dari puncak menuruni sisi sampai tepi alas. Ia adalah sisi miring segitiga yang dibentuk jari-jari, tinggi, dan sisinya, jadi panjangnya selalu melebihi keduanya. Ia satu-satunya dari empat keluaran yang secara rutin eksak, karena jari-jari dan tinggi berupa bilangan bulat dapat memberi garis pelukis bilangan bulat juga

V

Volume dalam sentimeter kubik, yaitu sepertiga dari luas alas dikalikan tinggi. Sepertiga itulah seluruh perbedaan antara halaman ini dan halaman tabung, tempat bentuk yang sama muncul tanpa pembagi

Luas selimut

Luas permukaan lengkungnya saja, yaitu π kali jari-jari kali garis pelukis. Angka ini tidak termasuk alasnya. Perhatikan bahwa ia memakai garis pelukis dan bukan tinggi, dan itu kekeliruan penggantian yang paling sering terjadi pada bangun ini

Luas permukaan

Permukaan lengkungnya ditambah alas yang berbentuk lingkaran, yang disederhanakan menjadi π kali jari-jari kali garis pelukis ditambah jari-jari. Angka ini dikerjakan dari jari-jari dan garis pelukis dalam satu langkah dan bukan dengan menjumlahkan kedua luasnya, jadi tidak selalu sama dengan luas selimut di layar ditambah πr²

Dua angka desimal

Seberapa lebar setiap keluaran dituliskan. Volume dan kedua luasnya irasional untuk hampir setiap masukan, sedangkan garis pelukisnya eksak setiap kali jari-jari dan tingginya membentuk tripel Pythagoras, dan itulah sebabnya nilai bawaan halaman ini menghasilkan angka nol di belakang

Pekerjaan yang jelas adalah pekerjaan ketika Anda sedang menghadapi sebuah kerucut dan memerlukan angka tentangnya. Tumpukan kerikil atau gabah yang mengerucut, tempat Anda dapat mengukur lebar alas dan tingginya tetapi garis pelukisnya terkubur di dalam materialnya. Atap mengerucut atau menara runcing, tempat permukaan miringnyalah yang harus ditutupi dan garis pelukis adalah angka yang menjadi dasar penawaran harganya. Corong, penakar, gelas kertas, topi pesta — volumenya memberi tahu berapa isinya dan luas selimutnya memberi tahu berapa bahan yang diperlukan untuk membuatnya, dan itu dua pertanyaan berbeda dengan dua jawaban berbeda pada satu halaman. Pertanyaan ketiga yang dijawab halaman ini adalah pertanyaan perbandingan. Memilih antara kerucut dan tabung adalah keputusan yang nyata pada wadah dan pada penyimpanan, dan perbandingannya selalu berfaktor tiga yang sama: tabung dengan alas dan tinggi yang sama menampung tepat tiga kali lebih banyak, jadi penakar mengerucut dengan tapak tertentu menampung sepertiga dari penakar berbentuk tabung. Dua kebiasaan layak dibawa pulang. Garis pelukis selalu yang terpanjang di antara ketiga panjang pada segitiga di sisi kerucut, jadi garis pelukis yang keluar lebih pendek daripada tingginya berarti kedua kotak itu tertukar — garis pelukis adalah yang Anda ukur menelusuri bagian luarnya, dan ia tidak mungkin menjadi yang lebih kecil. Dan luas selimut selalu lebih kecil daripada luas permukaan, karena luas permukaan adalah luas selimut ditambah alasnya, jadi luas permukaan yang lebih kecil daripada luas selimut adalah tanda bahwa ada yang dikurangkan alih-alih dijumlahkan.

1. Jari-jari tiga dan tinggi empat

   1. Garis pelukis: √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Volume: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37,6991…, yang dibulatkan menjadi 37,70
   3. Luas selimut: π × 3 × 5 = 15π = 47,1239…, yang dibulatkan menjadi 47,12
   4. Luas permukaan: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75,3982…, yang dibulatkan menjadi 75,40

   Masukan yang sudah terisi saat halaman ini dibuka, dan satu-satunya di antara kumpulan ini yang setiap langkahnya dapat dikerjakan di dalam kepala: tiga dan empat memberi sisi miring tepat lima, sehingga garis pelukisnya bilangan bulat dan kedua luasnya kelipatan π yang bulat. Perhatikan hitungan volumenya — luas alasnya sembilan π dan sepertiga dari itu dikalikan empat adalah dua belas π, dan itulah sebabnya jawabannya sedikit di bawah tiga puluh delapan dan bukan sedikit di atas seratus. Kerucut sebesar ini menampung sekitar tiga puluh delapan mililiter, dan itu berguna diketahui ketika sebuah hasil tampak meleset dengan faktor tiga.

2. Jari-jari lima dan tinggi dua belas

   1. Garis pelukis: √(25 + 144) = √169 = 13
   2. Volume: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314,1592…, yang dibulatkan menjadi 314,16
   3. Luas selimut: π × 5 × 13 = 65π = 204,2035…, yang dibulatkan menjadi 204,20
   4. Luas permukaan: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282,7433…, yang dibulatkan menjadi 282,74

   Tripel bilangan bulat lain yang terkenal, dan kerucut yang lebih tinggi serta lebih ramping daripada nilai bawaannya. Perhatikan betapa dekat volumenya dengan angka yang bulat: seratus π adalah 314,16, jadi kerucut berjari-jari lima dan tinggi dua belas menampung hampir tepat satu liter. Kebetulan semacam itu layak dipakai sebagai pemeriksaan ketika Anda bekerja dalam sentimeter — seratus π sentimeter kubik adalah seratus kali volume kubus bersisi satu sentimeter dikalikan π, dan angka di layar seharusnya sedikit di atas tiga ratus.

3. Jari-jari enam dan tinggi delapan, tempat dua jawaban bertemu

   1. Garis pelukis: √(36 + 64) = √100 = 10
   2. Volume: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301,5928…, yang dibulatkan menjadi 301,59
   3. Luas selimut: π × 6 × 10 = 60π = 188,4955…, yang dibulatkan menjadi 188,50
   4. Luas permukaan: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301,5928…, yang dibulatkan menjadi 301,59

   Baris pada tabel di bawah yang dilaporkan sebagai kesalahan. Volume dan luas permukaannya sama-sama 301,59, dan itu aritmetika dan bukan kolom yang terduplikasi: volumenya berakhir sebagai 96π dan luas permukaannya juga berakhir sebagai 96π, karena dengan garis pelukis sepuluh bentuk πr(l + r) menjadi π × 6 × 16, yaitu sembilan puluh enam π yang sama dengan pecahan volumenya. Keduanya bukan jenis besaran yang sama — yang satu sentimeter kubik dan yang lain sentimeter persegi — jadi kebetulannya hanya pada digitnya dan tidak di tempat lain. Itu terjadi karena kerucut tertentu ini punya garis pelukis sama dengan delapan serta jari-jari dan tinggi yang membentuk tripel; ini bukan aturan, dan baris di sekitarnya tidak berbagi sifat itu.

4. Jari-jari sama dengan tingginya

   1. Garis pelukis: √(100 + 100) = √200 = 14,1421…, yang dibulatkan menjadi 14,14
   2. Volume: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1.000π ÷ 3 = 1.047,1975…, yang dibulatkan menjadi 1.047,20
   3. Luas selimut: π × 10 × 14,14214 = 444,2883…, yang dibulatkan menjadi 444,29
   4. Luas permukaan: π × 10 × (14,14214 + 10) = 758,4479…, yang dibulatkan menjadi 758,45

   Kerucut yang tingginya sama dengan lebar jari-jari alasnya, sehingga segitiganya sama kaki dan garis pelukisnya tepat jari-jari dikalikan akar dua. Akar itu irasional, jadi inilah kasus yang biasa: garis pelukis yang tidak pernah berhenti dan dua luas yang mengikutinya. Ini juga kasus yang rumus volumenya paling mudah dibaca — seribu π dibagi tiga — dan kasus tempat pembaca yang lupa akan sepertiganya akan mendarat pada 3.141,59, yaitu tepat tiga kali terlalu banyak. Faktor tiga itu kekeliruan yang paling sering terjadi di halaman ini.

5. Tinggi nol

   1. Garis pelukis: √(16 + 0) = 4, yaitu jari-jarinya, karena puncaknya belum diangkat sama sekali
   2. Volume: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, karena tidak ada tinggi yang memberinya isi
   3. Luas selimut: π × 4 × 4 = 16π = 50,2655…, yang dibulatkan menjadi 50,27
   4. Luas permukaan: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100,5310…, yang dibulatkan menjadi 100,53

   Masukan yang sah yang menghasilkan baris yang mengejutkan: volumenya nol sedangkan ketiga jawaban lainnya tidak. Kerucut bertinggi nol adalah cakram datar — tidak ada apa pun di atas alasnya, jadi ia tidak menampung apa-apa, tetapi permukaan lengkungnya tidak lenyap, melainkan tergeletak menjadi cakram kedua yang sama besar dengan alasnya, dan luas kedua sisinya adalah dua kali satu cakram. Ini layak dilihat sekali karena volume nol dengan tiga jawaban bukan nol di sampingnya terlihat seperti hitungan yang gagal sebagian padahal bukan. Ini juga masukan yang menangkap jalan pintas aritmetika yang dijelaskan di atas: luas permukaan di sini adalah πr² + πr², yang tepat sama dengan luas selimut dikalikan dua, dan halaman yang menjumlahkan keduanya akan mendapat jawaban yang sama pada baris ini dan jawaban yang berbeda pada baris pertama.

Setiap keluaran dalam sentimeter, sentimeter persegi, dan sentimeter kubik, apa pun pengaturan daftar pilihan pada kedua masukannya. Memilih inci mengubah cara angka Anda dibaca saat masuk dan tidak mengubah apa pun pada hasilnya, sehingga kerucut yang dimasukkan sebagai empat inci kali enam inci kembali dengan volume dalam sentimeter kubik. Ini disengaja dan tabel acuan di bawah mengikuti konvensi yang sama, tetapi itu berarti jawabannya perlu dikonversi kalau Anda menginginkannya dalam satuan yang Anda ketik. Volumenya dilaporkan dalam sentimeter kubik dan bukan dalam liter atau mililiter, yang merupakan satuan berbeda pada dimensi yang sama; kalau Anda memerlukan liter, bagilah dengan seribu, dan kalau Anda memerlukan mililiter, jumlah sentimeter kubiknya sama dengan jumlah mililiternya. Tiga dari empat jawaban memuat π sehingga irasional untuk hampir setiap masukan, jadi dua angka desimal adalah pemotongan dan bukan jawaban lengkap. Keempat jawaban dihitung langsung dari jari-jari serta tinggi Anda dan tidak pernah dari satu sama lain, sehingga luas permukaan tidak selalu sama dengan luas selimut di layar ditambah luas alas di layar — nilainya adalah ungkapan yang sama yang dihitung dalam satu langkah, dan menyusunnya kembali dari luas selimut yang tercetak dapat berbeda pada digit terakhir. Halaman ini menerima dua pengukuran dan memberi empat; ia tidak akan bekerja mundur dari volume ke jari-jari, dan tidak punya kotak untuk garis pelukis, sehingga kerucut yang garis pelukisnya dapat Anda ukur tetapi tingginya terkubur di dalam material tidak dapat dimasukkan di sini sebagaimana adanya. Tingginya adalah tinggi tegak lurus dan bukan garis pelukis, dan halaman ini tidak dapat mengetahui bahwa keduanya tertukar — memasukkan garis pelukis ke kotak tinggi memberi empat jawaban yang semuanya konsisten secara internal dan semuanya salah. Setidaknya satu dari kedua masukan itu harus bukan nol untuk jawaban yang bermakna, meskipun keduanya boleh nol kalau yang Anda inginkan aritmetikanya dan bukan bangunnya. Akhirnya, ini adalah kerucut lingkaran tegak dengan puncaknya tepat di atas pusat alasnya; kerucut yang miring ke satu sisi, atau yang alasnya berbentuk elips, adalah bangun yang berbeda dan rumus di sini tidak berlaku untuknya.

Mengapa volumenya dibagi tiga?

Karena kerucut menampung tepat sepertiga dari yang ditampung tabung dengan alas dan tinggi yang sama. Ambil luas alasnya, kalikan dengan tingginya, dan Anda mendapat volume tabung itu; kerucut adalah sepertiganya. Hubungan yang sama berlaku antara limas dan prisma tempatnya dapat masuk, dan faktor ini yang paling sering terlupa pada hitungan ini — hasil yang tiga kali terlalu besar hampir selalu karena pembagian dengan tiga yang hilang dan bukan karena salah hitung.

Apakah tinggi sama dengan garis pelukis?

Tidak, dan inilah kekeliruan yang paling sering diundang bangun ini. Tinggi diukur lurus ke atas dari pusat alas sampai puncaknya. Garis pelukis diukur menelusuri permukaannya, dari puncak menuruni sisi sampai tepi alas, sehingga ia adalah sisi miring segitiga yang dibentuk jari-jari, tinggi, dan sisinya, dan panjangnya selalu melebihi kedua yang lain. Volume memakai tingginya. Luas selimut memakai garis pelukisnya. Menukar keduanya menghasilkan jawaban yang salah dengan faktor yang bergantung pada seberapa tinggi kerucutnya, dan halaman ini tidak dapat mendeteksinya.

Bagaimana cara menghitung garis pelukisnya?

Ia adalah akar kuadrat dari jari-jari dikuadratkan ditambah tinggi dikuadratkan, yaitu teorema Pythagoras yang diterapkan pada segitiga di sisi kerucut. Jari-jari tiga dan tinggi empat memberi garis pelukis tepat lima, dan itulah sebabnya kedua angka itu yang terisi saat halaman ini dibuka: setiap langkahnya dapat diperiksa di dalam kepala. Kebanyakan pasangan angka tidak sesederhana itu, dan garis pelukisnya kemudian menjadi bilangan irasional yang dibulatkan ke dua angka desimal.

Mengapa luas permukaan bukan sekadar luas selimut ditambah alasnya?

Dalam aritmetika eksak memang demikian, dan halaman ini memakai bentuk gabungan πr(l + r) alih-alih menjumlahkan dua bagian yang masing-masing sudah dibulatkan. Perbedaannya muncul pada digit yang tercetak: luas selimut sudah dibulatkan ke dua angka sebelum Anda melihatnya, sehingga menjumlahkannya sendiri dengan luas alas dapat meleset seperseratus dari jawaban yang diberikan halaman ini. Angka halaman inilah yang dihitung dari jari-jari dan garis pelukis dalam satu langkah, dan itulah yang dapat dipercaya.

Mengapa jawabannya dalam sentimeter padahal saya mengetik dalam inci?

Karena halaman ini melaporkan semuanya dalam sentimeter, sentimeter persegi, dan sentimeter kubik tanpa memandang daftar pilihannya, supaya hasilnya dan tabel acuan di bawahnya selalu sepakat. Daftar pilihan itu mengubah cara angka Anda dipahami saat masuk. Untuk mengonversi, bagilah panjangnya dengan 2,54, luasnya dengan 6,4516, dan volumenya dengan 16,3871; atau tunda konversinya sampai akhir dan ubah satuan jawabannya, yang biasanya lebih sedikit pekerjaannya.

Bisakah jari-jari atau tingginya nol?

Bisa, dan keduanya memberi jawaban yang sungguhan dan bukan jawaban kosong. Menetapkan tingginya nol meratakan kerucutnya menjadi cakram: volumenya nol karena tidak ada apa pun di atas alasnya, tetapi permukaan lengkungnya hanya berubah menjadi cakram kedua, sehingga luas selimutnya sama dengan luas alas dan luas permukaannya dua kali lipatnya. Menetapkan jari-jarinya nol meruntuhkan kerucutnya menjadi ruas garis tegak: volume dan kedua luasnya nol, sedangkan garis pelukisnya sama dengan tingginya. Menetapkan keduanya nol memberi nol di semua tempat.

• Cone — the solid formed by a circular base and an apex, with the volume one third of the base area times the height and the lateral area πrl, both of which this page evaluates; the entry traces the one-third result to Eudoxus, with later proofs by Archimedes in On the Sphere and Cylinder and by Euclid in Elements XII.10 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation that gives the slant height from the radius and the perpendicular height, since those two are the legs of the right triangle down the side of the cone — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the constant in the volume and the two areas, and the reason three of the four answers on this page are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)