परिपक्वता तक प्रतिफल कैलकुलेटर

प्रति 100 क्लीन प्राइस = Σ (प्रति अवधि कूपन ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n)

प्रति 100 क्लीन प्राइस

अंकित मूल्य के हर 100 के लिए आप जो चुकाते हैं, उपचित ब्याज छोड़कर; प्रतिफल वह दर है जो हर बचे हुए भुगतान को घटाकर ठीक इसी संख्या तक ले आती है

कूपन दर

साल भर में अंकित मूल्य के प्रतिशत के रूप में कूपन, जो m बराबर क़िस्तों में चुकाया जाता है; शून्य भी चलता है और ऐसा बॉन्ड बताता है जो परिपक्वता तक कुछ नहीं चुकाता

m

साल में कूपन के कितने भुगतान आते हैं (सालाना, साल में दो बार, तिमाही या मासिक); एक ही बॉन्ड दो आवृत्तियों पर बताया गया तो वे दो अलग प्रतिफल हैं

n

अंकित मूल्य लौटाए जाने तक बचे साल, पूर्ण संख्या में, इसलिए बचे हुए भुगतानों की संख्या m × n है

y

परिपक्वता तक प्रतिफल: वह नाममात्र सालाना दर, साल में m बार चक्रवृद्धि, जो इस समीकरण को हल करती है — यही वह रिवाज़ है जिसमें बॉन्ड डेस्क दर बताते हैं

प्रभावी वार्षिक प्रतिफल

वही दर एक साल के वृद्धि-गुणक के रूप में दोबारा लिखी हुई, (1 + y ÷ m)^m − 1; m एक से बड़ा हो तो यह y से हमेशा ऊँची रहती है, और वह फ़ासला चक्रवृद्धि है

मौजूदा प्रतिफल

साल भर के कूपन बटा क्लीन प्राइस, अंकित मूल्य तक लौटने में होने वाले फ़ायदे या घाटे को नज़रअंदाज़ करके — और ठीक इसीलिए वह ऐसे किसी भी बॉन्ड पर परिपक्वता तक प्रतिफल से मेल नहीं खाता जो अंकित मूल्य पर नहीं बिक रहा

इसका इस्तेमाल अलग-अलग कूपन और अलग-अलग अवधियों वाले बॉन्डों को एक ही पैमाने पर तोलने के लिए कीजिए, और बताया गया प्रतिफल इसी के लिए है: दो प्रतिशत कूपन वाला बॉन्ड 92 पर और आठ प्रतिशत कूपन वाला अंकित मूल्य पर, इन दोनों को उनके कूपन से नहीं तोला जा सकता, पर इस संख्या से तोला जा सकता है। यह किसी ने बताया हुआ भाव जाँचने के लिए भी काम आता है, या यह देखने के लिए कि कोई भाव बाज़ार किस दर की माँग कर रहा है, यह बताता है। तीन जगहों पर यह ग़लत औज़ार है। यह मान लेता है कि आप परिपक्वता तक रखेंगे और हर कूपन उसी दर पर दोबारा लगाया जाएगा, और ऐसा वादा कोई बाज़ार नहीं करता — गिरती दरों के बीच पकड़ा गया बॉन्ड अपने परिपक्वता तक प्रतिफल से कम कमाएगा। यह नाममात्र दर है और कूपन की आवृत्ति पर चक्रवृद्धि करती है, इसलिए एक ही प्रतिफल पर बताया गया साल में दो बार चुकाने वाला बॉन्ड और मासिक बॉन्ड साल भर में एक ही रक़म नहीं चुकाते; उसी के लिए बग़ल में प्रभावी वार्षिक प्रतिफल रखा है। और यह ऋण-जोखिम के बारे में कुछ नहीं कहता: एक ही अवधि पर सरकारी वक्र से काफ़ी ऊपर का प्रतिफल यह बताता है कि बाज़ार पैसा न मिलने की असली गुंजाइश की क़ीमत लगा रहा है।

1. चार प्रतिशत का दस-साला बॉन्ड, प्रति 100 पर 92.205

   1. साल भर के कूपन: अंकित मूल्य के हर 100 पर 4.00, जो साल में दो बार 2.00 के रूप में चुकाए जाते हैं, यानी 2.00 के बीस भुगतान
   2. वह दर ढूँढिए जो 2.00 के बीस भुगतानों और अंत में मिलने वाले 100 को घटाकर 92.205 कर दे: हर छह महीने पर 2.5 प्रतिशत
   3. बॉन्ड डेस्क जिस तरह बताते हैं उसी तरह लिखिए, छह महीने की दर दुगुनी करके: सालाना 5.000 प्रतिशत
   4. उसे एक साल के गुणक के रूप में दोबारा लिखिए: 1.025 × 1.025 − 1 = 5.0626 प्रतिशत प्रभावी
   5. मौजूदा प्रतिफल, जो अंकित मूल्य तक खिंचाव को नज़रअंदाज़ करता है: 4.00 ÷ 92.205 = 4.34 प्रतिशत

   यही इस पेज का डिफ़ॉल्ट है, और आख़िरी दो पंक्तियाँ ही पूरी बात हैं। बताया गया 5.000 प्रतिशत और 5.0626 प्रतिशत एक ही दर हैं, दो रिवाजों में लिखी हुई, और दूसरी वह है जो पैसा साल भर में सचमुच करता है — 0.0626 गोलाई नहीं है, वह छह महीने की चक्रवृद्धि है। 4.34 प्रतिशत का मौजूदा प्रतिफल तीनों में सबसे छोटा है और अख़बार में सबसे ज़्यादा छपने वाला, क्योंकि अकेला यही है जो दिमाग़ में निकल आता है; यह भी अकेला यही है जो यह नहीं देखता कि आप बॉन्ड अंकित मूल्य से 7.795 नीचे ख़रीद रहे हैं और उसे 100 पर वापस पाना है।

2. 61.027 पर ज़ीरो-कूपन बॉन्ड: पाँच प्रतिशत प्रतिफल और शून्य मौजूदा प्रतिफल

   1. कूपन दर शून्य है, इसलिए समीकरण में हर कूपन 0.00 है और बचता है सिर्फ़ परिपक्वता पर मिलने वाला 100
   2. 100 ÷ 1.025^20 = 100 ÷ 1.638616 = 61.027
   3. बॉन्ड डेस्क की तरह बताइए: हर छह महीने पर 2.5 प्रतिशत, दुगुना करके सालाना 5.000 प्रतिशत
   4. उसे एक साल के गुणक के रूप में दोबारा लिखिए: 1.025 × 1.025 − 1 = 5.0625 प्रतिशत प्रभावी
   5. मौजूदा प्रतिफल: 0.00 ÷ 61.027 = 0.00 प्रतिशत

   ज़ीरो-कूपन बॉन्ड वह जगह है जहाँ दोनों रिवाज़ सबसे साफ़ तौर पर अलग होते हैं, क्योंकि अंकगणित में उलझाने के लिए कोई कूपन ही नहीं: पूरा प्रतिफल भाव और अंकित मूल्य के बीच का वह 38.973 है, और वह एक ही बार में आता है। बताया गया प्रतिफल 5.000 प्रतिशत है और प्रभावी वार्षिक प्रतिफल 5.0625 प्रतिशत, और दोनों के बीच का फ़र्क़ पूरी की पूरी चक्रवृद्धि है। मौजूदा प्रतिफल ठीक शून्य है — जो पाठक बॉन्ड छाँटने के लिए मौजूदा प्रतिफल इस्तेमाल करता है उसे यह बॉन्ड कभी दिखेगा ही नहीं, और यही सबसे साफ़ दलील है कि उससे छाँटना छोड़िए।

3. एक दशमलव वाला भाव: 95.5 से 4.566 प्रतिशत

   1. कूपन: 2.00 के बीस भुगतान, और अंत में लौटने वाला 100
   2. वह छह-महीने की दर निकालिए जो इस धारा को घटाकर 95.5 कर दे: हर छह महीने पर 2.2831 प्रतिशत
   3. बताए गए प्रतिफल के लिए उसे दुगुनाइए, तीन दशमलव तक: सालाना 4.566 प्रतिशत
   4. प्रभावी वार्षिक प्रतिफल: 1.022831 × 1.022831 − 1 = 4.6177 प्रतिशत
   5. मौजूदा प्रतिफल: 4.00 ÷ 95.5 = 4.19 प्रतिशत

   बाज़ार में भाव पूरे अंकों में नहीं बल्कि अंक के किसी हिस्से तक बताए जाते हैं, और जवाब में आने वाला प्रतिफल लगभग कभी गोल संख्या नहीं होता — इसीलिए यह पेज बताया गया प्रतिफल तीन दशमलव तक और प्रभावी वाला चार तक छापता है। तीनों संख्याएँ फिर भी अपना क्रम बनाए रखती हैं: प्रभावी वार्षिक प्रतिफल बताए गए प्रतिफल से ऊपर है, और मौजूदा प्रतिफल दोनों से नीचे, क्योंकि 95.5 पर बॉन्ड अब भी छूट पर ख़रीदा जा रहा है और अंकित मूल्य तक के 4.5 के खिंचाव का हक़ उसी को है जो उसे अंत तक रखता है।

तीन बातें जो यह संख्या नहीं है। यह कोई वादा नहीं है: परिपक्वता तक प्रतिफल मान लेता है कि हर कूपन परिपक्वता तक उसी दर पर दोबारा लगाया जाएगा, और अगर बीच में दरें गिर जाएँ तो आप उससे कम कमाएँगे — इसी फ़ासले को पुनर्निवेश जोखिम कहते हैं और कोई भी बताया गया प्रतिफल उसे हटा नहीं सकता। यह नाममात्र दर है जो कूपन की आवृत्ति पर चक्रवृद्धि करती है, इसलिए अलग-अलग आवृत्तियों पर चुकाने वाले बॉन्ड इससे तब तक नहीं तोले जा सकते जब तक बग़ल में रखा प्रभावी वार्षिक प्रतिफल न देखा जाए। और यह क्लीन प्राइस पर चलता है, उपचित ब्याज छोड़कर, जो कूपन तारीख़ों के बीच बॉन्ड की क़ीमत लगाने के लिए सही है पर इसका मतलब यह भी है कि यहाँ का भाव वह नक़द नहीं है जो आप थमाते हैं। बग़ल में बैठा मौजूदा प्रतिफल एक सरल माप है जिसमें एक ख़ास अंधा धब्बा है: चूँकि वह भाव और अंकित मूल्य के फ़र्क़ को नज़रअंदाज़ करता है, वह छूट पर मिले बॉन्ड का प्रतिफल कम बताता है और प्रीमियम पर ख़रीदे गए का ज़्यादा, और ज़ीरो-कूपन बॉन्ड पर वह शून्य रहता है, चाहे वह बॉन्ड कितना भी कमाए। और आख़िर में, यहाँ कुछ भी ऋण-जोखिम, कर या समय-पूर्व भुगतान की शर्तों के बारे में नहीं जानता; जो बॉन्ड समय से पहले भुनाया जा सकता है वह उस परिपक्वता तक पहुँच ही न पाए जिसे यह पेज मान लेता है।

परिपक्वता तक प्रतिफल कैसे निकाला जाता है?

यह वह दर है जो हर बचे हुए भुगतान को — हर कूपन और अंत में मिलने वाले अंकित मूल्य को — घटाकर उस भाव तक ले आती है जो आप चुका रहे हैं। सूत्र को पलटकर इसे सीधे निकालने का कोई तरीक़ा नहीं है, इसलिए इसे ढूँढना पड़ता है: कोई दर लीजिए, उस पर बॉन्ड की क़ीमत लगाइए, और दायरा तब तक सँकरा कीजिए जब तक भाव मिल न जाए। चार प्रतिशत के दस-साला बॉन्ड पर, प्रति 100 पर 92.205, साल में दो बार भुगतान, जवाब हर छह महीने पर 2.5 प्रतिशत है, जिसे सालाना 5.000 प्रतिशत कहा जाता है।

भाव प्रति 100 अंकित मूल्य पर क्यों, किसी रक़म में क्यों नहीं?

क्योंकि अंकित मूल्य समीकरण से कट जाता है, इसलिए प्रति 100 में बताने से दो अलग बॉन्ड एक नज़र में तोले जा सकते हैं और वह एक ख़ाना हट जाता है जिसे ग़लत भरने के सिवा कोई विकल्प ही नहीं था। 92.205 पर बॉन्ड अंकित मूल्य का 92.205 प्रतिशत है, चाहे अंकित मूल्य 100 हो या 10,00,000। उसके बजाय सीधी रक़म भर देने पर — उसी बॉन्ड के लिए 922.05 — कोई ग़लती का संदेश नहीं आता; शून्य से नीचे का प्रतिफल आता है, क्योंकि अंकगणित आपसे वह 100 लौटाने को कहता है जिसे समीकरण मानकर चलता है।

परिपक्वता तक प्रतिफल और प्रभावी वार्षिक प्रतिफल में क्या फ़र्क़ है?

एक ही दर को लिखने के दो रिवाज़। बताया गया परिपक्वता तक प्रतिफल नाममात्र है: यह प्रति अवधि की दर को अवधियों की संख्या से गुणा करके लिखा जाता है, इसलिए साल में दो बार 2.5 प्रतिशत को 5.000 प्रतिशत लिखा जाता है। प्रभावी वार्षिक प्रतिफल उसे पूरे साल के वृद्धि-गुणक के रूप में दोबारा लिखता है, 1.025 × 1.025 − 1 = 5.0626 प्रतिशत, और यही वह है जो पैसा सचमुच करता है। दोनों तभी बराबर होते हैं जब कूपन साल में एक बार चुकाया जाए। तिमाही भुगतानों पर वही बताया गया 5.000 प्रतिशत 5.0946 प्रतिशत प्रभावी है, और मासिक भुगतानों पर 5.1162 प्रतिशत — ब्याज जितनी बार चक्रवृद्धि करता है, वह फ़ासला उतना चौड़ा होता है।

मौजूदा प्रतिफल परिपक्वता तक प्रतिफल से अलग क्यों है?

क्योंकि मौजूदा प्रतिफल सिर्फ़ कूपन गिनता है। वह साल भर के कूपन बटा भाव है, और यह कभी नहीं बताता कि अंकित मूल्य से नीचे ख़रीदा गया बॉन्ड अंकित मूल्य पर ही लौटाया जाएगा, जो प्रतिफल का असली हिस्सा है। डिफ़ॉल्ट उदाहरण पर कूपन 4.00 है और भाव 92.205, इसलिए मौजूदा प्रतिफल 4.34 प्रतिशत है, जबकि परिपक्वता तक प्रतिफल 5.000 प्रतिशत — जो 0.66 अंक छूट गया वह दस सालों पर बँटा हुआ अंकित मूल्य तक के 7.795 का खिंचाव है। ठीक 100 पर बिकने वाले बॉन्ड पर दोनों मिल जाते हैं, और ज़ीरो-कूपन बॉन्ड पर मौजूदा प्रतिफल शून्य रहता है, चाहे वह बॉन्ड कुछ भी कमाए।

क्या कूपन की आवृत्ति जवाब बदल देती है?

वह बताई गई संख्या बदल देती है, चाहे बॉन्ड की क़ीमत बिल्कुल एक जितनी ही हो। चार प्रतिशत के दस साल के कूपन प्रति 100 पर कुल 40.00 हैं, चाहे वे किसी भी तरह चुकाए जाएँ, पर छूट देने का हिसाब अलग पड़ता है: सालाना 5 प्रतिशत प्रतिफल पर वही बॉन्ड सालाना भुगतानों पर 92.278 का, तिमाही पर 92.168 का और मासिक पर 92.143 का पड़ता है। दो वजहें हैं। नाममात्र बताया गया प्रतिफल प्रति अवधि की दर गुणा अवधियों की संख्या है, इसलिए वही प्रभावी प्रतिफल जितनी बार चक्रवृद्धि करता है उतनी बड़ी नाममात्र संख्या में लिखा जाता है। और जल्दी आने वाले भुगतान ज़्यादा क़ीमत के होते हैं, इसलिए एक ही बताई गई दर पर मासिक बॉन्ड सालाना से ज़रा महँगा पड़ता है।

कूपन दर से ऊँचा परिपक्वता तक प्रतिफल क्या कहता है?

कि बॉन्ड अंकित मूल्य से नीचे बिक रहा है, इसलिए आपके प्रतिफल का एक हिस्सा वह फ़ायदा है जो उसे 100 पर लौटाए जाने पर मिलता है। डिफ़ॉल्ट उदाहरण पर कूपन चार प्रतिशत है और प्रतिफल 5.000 प्रतिशत, क्योंकि भाव 92.205 है। उलटा भी उतना ही सच है: अंकित मूल्य से ऊपर बिकने वाला बॉन्ड अपने कूपन से कम देता है, क्योंकि अंकित मूल्य पर लौटते वक़्त आपको घाटा होता है। चरम मामला संदर्भ तालिका की पहली पंक्ति है, जहाँ प्रति 100 पर 140 का भाव ठीक उन सारे बचे हुए भुगतानों का जोड़ है, बिना किसी छूट के — प्रतिफल 0 प्रतिशत है, और उससे ऊपर के किसी भी भाव का कोई ऋणेतर जवाब ही नहीं है।

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• Bonds — Investor.gov glossary, for the coupon, the face value and the maturity date that the equation is built out of — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
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