कार्य कैलकुलेटर

कार्य = बल × दूरी × cos θ, जहाँ θ बल और विस्थापन के बीच का कोण है

F

कार्य करने वाला बल, न्यूटन में, और उसी फ़ील्ड में किलोन्यूटन, पाउंड-बल तथा किलोग्राम-बल भी। केवल गति की दिशा वाला हिस्सा गिना जाता है, इसलिए वही बल जितना ज़्यादा चलने की दिशा से हटकर लगाया जाए उतना कम काम करता है: 60 डिग्री पर इस मान का आधा कार्य कर रहा होता है और आधा नहीं

d

बल के लगे रहते हुए वस्तु कितनी दूर हिली, मीटर, फुट, सेंटीमीटर, इंच या किलोमीटर में। यह उस बिंदु की तय की गई दूरी है जहाँ बल लगाया गया, जो सादे धक्के में वस्तु के विस्थापन के बराबर होती है और लीवर में बिलकुल नहीं। शून्य ठुकरा दिया जाता है: हिलना नहीं, कार्य नहीं, चाहे कितना ही ज़ोर लगाइए

θ

बल और गति की दिशा के बीच का कोण, डिग्री, रेडियन या ग्रेडियन में। यह 0 से 180 तक चलता है, और इसकी कोज्या पूरी कहानी कह देती है: 0 पर पूरा असर, 60 पर आधा, 90 पर बिलकुल ख़त्म, और 90 से आगे कुछ भी कार्य को ऋणात्मक बना देता है। 180 पर पीछे खींचता बल ठीक उतना ही ऋणात्मक कार्य करता है जितना वही बल आगे खींचकर धनात्मक

W

उस बल द्वारा किया गया कार्य, मुख्य पंक्ति में जूल, और नीचे किलोजूल तथा फुट-पाउंड। यह चिह्नित है, और चिह्न जानकारी है, कोई ग़लती नहीं: ऋणात्मक मान का मतलब है कि बल गति में से ऊर्जा निकाल रहा था, और यही रगड़ तथा ब्रेक करते हैं। एक जूल बराबर है एक न्यूटन-मीटर, इसलिए 5 m तक 100 N यानी 500 जूल

F cos θ

बल का वह हिस्सा जो विस्थापन की दिशा में पड़ता है, न्यूटन में — यानी बल वाली फ़ील्ड को कोण की कोज्या से गुणा किया हुआ। यह उस फ़ील्ड का ईमानदार रूप है, और इसे कार्य के बग़ल पढ़ना यह देखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है कि जवाब आया कहाँ से: 60 डिग्री पर 100 N, 50 N जितना कार्य करता है, और 90 डिग्री पर 100 N कुछ भी नहीं

इसे तब खोलिए जब आपको जानना हो कि कोई खिंचाव, धक्का या घसीट असल में क्या हासिल करता है: तिरछे कोण पर स्लेज खींचते समय रस्सी के तनाव का कितना हिस्सा उपयोगी कार्य कर रहा है, दी हुई यात्रा में मोटर को कितनी ऊर्जा देनी पड़ेगी, या बक्सा सरककर रुकने तक रगड़ कितना कार्य हटा लेती है। कोज्या ही वजह है कि यह पेज खोलने लायक है, क्योंकि जवाब अक्सर लोगों की अपेक्षा से छोटा होता है और कभी-कभी शून्य — गति के समकोण पर लगा बल कोई कार्य नहीं करता, और पीछे की ओर इशारा करता बल ऋणात्मक कार्य करता है। वही कोज्या यह भी तय करती है कि कार्य-ऊर्जा प्रमेय जिस रूप में आता है वह रूप ही क्यों आता है: किसी वस्तु पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में बदलाव के बराबर होता है, और इस पेज-समूह में यह कहने की जगह बस यही एक है।

1. डिफ़ॉल्ट: 5 m तक 100 N, ठीक गति की दिशा में

   1. बल 100 N, दूरी 5 m, कोण 0 डिग्री
   2. पूरा बल गति की दिशा में पड़ता है: F cos 0 = 100 × 1 = 100 N, यानी पैनल की दूसरी पंक्ति
   3. कार्य: W = 100 × 5 = 500 J
   4. किलोजूल में: 500 ÷ 1000 = 0.5 kJ
   5. फुट-पाउंड में: 500 ÷ 1.3558179483 = 368.7811, यानी 368.78 ft·lb

   यह वह मामला है जिसमें कोण शून्य होने पर सूत्र सिमट जाता है, और कोण आने से पहले इसे एक बार देख लेना अच्छा है: कार्य जूल में नापा जाता है, एक जूल बराबर है एक न्यूटन-मीटर, और 500 J एक छोटे कमरे भर चलता हुआ मज़बूत धक्का है। बाद में खाने के डिब्बे की कैलोरी से मिलाइए तो पैमाना साफ़ हो जाता है — 500 J क़रीब एक खाद्य कैलोरी का आठवाँ हिस्सा है, इसीलिए उठाना-ढोना आपकी मांसपेशियों को कार्य लगता है पर वस्तु के ऊर्जा-बजट में लगभग कुछ भी दर्ज नहीं होता। यह करने में आपका शरीर 500 J से कहीं ज़्यादा ख़र्च करता है, क्योंकि मांसपेशियाँ पूरी कुशल नहीं होतीं और भार थामे रहने में भी ऊर्जा लगती है, चाहे कुछ हिले नहीं।

2. वही धक्का 60 डिग्री पर: आधा बल कार्य करता है

   1. बल 100 N, दूरी 5 m, कोण 60 डिग्री
   2. गति की दिशा में: F cos 60 = 100 × 0.5 = 50 N — बल का आधा, और पैनल यही बताता है
   3. कार्य: W = 50 × 5 = 250 J
   4. किलोजूल में: 250 ÷ 1000 = 0.25 kJ
   5. फुट-पाउंड में: 250 ÷ 1.3558179483 = 184.3905, यानी 184.39 ft·lb

   यहाँ मुद्दा बग़ल वाली पंक्ति है। केवल कोण बदलिए और उपयोगी बल तथा कार्य दोनों आधे हो जाते हैं, क्योंकि कोज्या दोनों में आती है: 100 N उपयोगी खिंचाव का 50 N बन जाता है, और कार्य भी उसके साथ गिर जाता है। जो पाठक सोचता है कि कार्य केवल बल के परिमाण पर निर्भर करता है, वह इस मामले में दुगुना और अगले मामले में अनंत गुना ग़लत होगा। इसीलिए पेज गति की दिशा वाला बल छापता ही है — वह एक कोज्या को ऐसी चीज़ बना देता है जो उसी स्क्रीन पर दिख जाए जिस पर उससे बना कार्य है।

3. बक्सा सपाट उठाकर चलना: कार्य ठीक शून्य

   1. बल 100 N, दूरी 5 m, कोण 90 डिग्री — बल सीधे ऊपर, गति सीधे बग़ल में
   2. गति की दिशा में: F cos 90 = 100 × 0 = 0 N
   3. कार्य: W = 0 × 5 = 0 J
   4. किलोजूल और फुट-पाउंड भी शून्य हैं, इसलिए ऊर्जा की तीनों पंक्तियाँ 0 पढ़ती हैं
   5. बल असली है और दूरी असली है, फिर भी कार्य कुछ नहीं

   यही वह पंक्ति है जिससे परिभाषा क्लिक करती है, और यही वह है जिस पर लोग बहस करते हैं। आप भारी बक्सा उठाकर कमरे भर चलते हैं, बाज़ुओं में दर्द होता है, और बक्से पर आपने जो यांत्रिक कार्य किया वह ठीक शून्य है — क्योंकि आपकी बाज़ुओं का बल ऊपर की ओर है और बक्सा बग़ल में हिलता है, इसलिए बल और विस्थापन परस्पर लंबवत हैं और उनका गुणनफल शून्य हो जाता है। आपके शरीर की जली ऊर्जा ऊष्मा में गई, मांसपेशियों को तनी हुई बनाए रखने में गई, और उस तनाव की जैव-रसायन में गई। वह बक्से में नहीं गई। यह पेज केवल दूसरी चीज़ नापता है।

4. रगड़: 180 डिग्री, और कार्य ऋणात्मक निकलता है

   1. बल 100 N, दूरी 5 m, कोण 180 डिग्री — बल ठीक उलटी दिशा में इशारा करता है
   2. गति की दिशा में: F cos 180 = 100 × (−1) = −100 N
   3. कार्य: W = −100 × 5 = −500 J
   4. किलोजूल में: −0.5 kJ; फुट-पाउंड में: −368.78 ft·lb
   5. हर पंक्ति 0 डिग्री वाले मामले की ही है, बस चिह्न उलटा हुआ

   ऋणात्मक कार्य न ग़लती है न ऐसा रिवाज़ जिसे नज़रअंदाज़ कर दिया जाए; यही रगड़, ड्रैग और ब्रेक दिन-भर करते हैं। सरककर रुकती स्लेज पर रगड़ का बल गति के उलट पड़ता है, इसलिए रगड़ −500 J कार्य करती है, और स्लेज उतनी ही 500 J गतिज ऊर्जा खो देती है। दोनों को साथ पढ़िए तो हिसाब का मिलान हो जाता है: धक्का ऊर्जा अंदर डालता है, रगड़ ऊर्जा बाहर निकालती है, और बचा हुआ वही है जो वस्तु अपने पास रखती है। इस पेज का ऐसा रूप जो कार्य का निरपेक्ष मान लौटाता, यह बात कह ही न पाता, और वह बिलकुल सामान्य दिखता।

यहाँ केवल स्थिर बल शामिल है: अगर वस्तु के चलते-चलते बल की दिशा या मात्रा बदले, तो कार्य एक समाकलन बन जाता है और ये पंक्तियाँ लागू नहीं होतीं। दूरी का मतलब है उस बिंदु की तय की गई दूरी जहाँ बल लगाया गया, और लीवर या लुढ़कते पहिए के लिए यह वस्तु की तय की गई दूरी नहीं होती। यहाँ केवल एक बल पर नज़र रखी जाती है, जबकि असली वस्तुओं पर आम तौर पर एक साथ कई लगते हैं। बक्से को स्थिर थामे रहना आपकी मांसपेशियों में ऊर्जा जलाता है, पर यांत्रिक कार्य शून्य ही रहता है।

कार्य का सूत्र क्या है?

W = F × d × cos θ: बल गुणा वह दूरी जिस पर वह लगा, गुणा बल और गति के बीच के कोण की कोज्या। चलने की दिशा में सीधे 5 m तक 100 N का खिंचाव 500 J है, जबकि वही खिंचाव 60 डिग्री पर 250 J और 90 डिग्री पर शून्य। कोज्या कोई सजावट नहीं है — वह बल का वह हिस्सा चुनती है जो सचमुच कार्य कर रहा है, और इसीलिए पेज उस हिस्से को अपनी अलग पंक्ति में भी छापता है।

कोण कार्य को क्यों बदल देता है?

क्योंकि विस्थापन की दिशा में बल का जो हिस्सा पड़ता है, वही वस्तु को उस दिशा में हिलाता है जिधर वह जा रही है। बल को दो हिस्सों में बाँटिए — एक गति के साथ, एक उसके आड़े: गति के साथ वाला हिस्सा पूरा कार्य करता है और आड़े वाला कुछ भी नहीं, चाहे वह कितना ही बड़ा हो। 60 डिग्री पर उपयोगी हिस्सा बल का आधा है; 90 डिग्री पर कुछ भी नहीं। 60 डिग्री पर थामी रस्सी से स्लेज खींचने में स्लेज की गति के लिहाज़ से आपकी आधी मेहनत सचमुच बेकार जाती है।

क्या कार्य ऋणात्मक हो सकता है?

हाँ, और चिह्न का मतलब होता है। जब बल गति के उलट इशारा करता है तो कोज्या ऋणात्मक होती है, इसलिए कार्य ऋणात्मक: बल वस्तु में ऊर्जा जोड़ नहीं रहा, निकाल रहा है। रगड़ और ब्रेक ऋणात्मक कार्य करते हैं, और इसीलिए सरकता बक्सा रफ़्तार खोता है। यह पेज चिह्न बनाए रखता है, निरपेक्ष मान नहीं लेता, इसलिए 5 m तक 100 N की रगड़ −500 J पढ़ी जाती है, और धक्के के +500 J में जोड़कर शुद्ध बदलाव देखने के लिए यही वह आँकड़ा है।

क्या कमरे भर बक्सा उठाकर चलना कार्य है?

इस पेज की परिभाषा में नहीं। आपकी बाज़ुएँ बक्से पर ऊपर की ओर धकेलती हैं जबकि बक्सा क्षैतिज चलता है, इसलिए बल और विस्थापन 90 डिग्री पर हैं और यांत्रिक कार्य शून्य है। आपकी मांसपेशियाँ फिर भी ऊर्जा ख़र्च करती हैं, और काफ़ी सारी, पर वह ऊर्जा ऊष्मा में तथा तनाव बनाए रखने में जाती है, बक्से में नहीं। यह फ़र्क़ मायने रखता है क्योंकि यही वह फ़र्क़ है जो भौतिकी की परिभाषा को काम का बनाता है: वह वस्तु को दी गई ऊर्जा नापती है।

कार्य का गतिज ऊर्जा से क्या संबंध है?

किसी वस्तु पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में बदलाव के बराबर होता है — यही कार्य-ऊर्जा प्रमेय है। स्लेज पर 500 J का शुद्ध कार्य कीजिए तो वह 500 J गतिज ऊर्जा पा लेती है; रगड़ को −500 J करने दीजिए तो वह उतनी खो देती है। इसीलिए गतिज ऊर्जा वाला कैलकुलेटर द्रव्यमान और चाल लेकर ऊर्जा देता है, जबकि यह पेज बल, दूरी और कोण लेकर वही राशि दूसरी दिशा से देता है। दोनों बीच में मिलते हैं, और मिलने की जगह वही प्रमेय है।

• Work: The Scientific Definition (College Physics 2e, §7.1) — the definition of work as force times displacement times the cosine of the angle between them, and the cases where it comes out zero or negative — OpenStax
• Work (physics) — the sign convention, the work energy theorem, and why a force perpendicular to the displacement does no work — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — NIST