गतिज ऊर्जा कैलकुलेटर

गतिज ऊर्जा = ½ × द्रव्यमान × वेग² बराबर गिरने की ऊँचाई = वेग² ÷ ( 2 × g )

m

द्रव्यमान किलोग्राम में — यह फ़ील्ड पाउंड, टन और ग्राम भी लेता है, और सूत्र चलने से पहले उन्हें बदल देता है

v

वेग मीटर प्रति सेकंड में — यह फ़ील्ड km/h, mph, ft/s और नॉट भी लेता है। यह गति है, वेग-सदिश नहीं: यह पेज नापता है कि कितनी ऊर्जा है, यह नहीं कि उसका रुख़ किधर है

g

मानक गुरुत्व, 9.80665 m/s² — वह स्थिर मान जिसके सामने गिरने की ऊँचाई नापी जाती है, आपके अक्षांश का स्थानीय मान नहीं

h

बराबर गिरने की ऊँचाई मीटर में — वह गिरावट जो वस्तु को उस गति तक पहुँचा दे, v² ÷ 2g से, वही रिश्ता जो संदर्भ तालिका इस्तेमाल करती है

यह पेज तब खोलिए जब कुछ चल रहा हो और आपको इससे फ़र्क़ पड़ता हो कि वह कितना नुक़सान कर सकता है, या उसमें कितनी ऊर्जा डालनी या निकालनी पड़ेगी। आम काम हैं: एक ही वाहन की दो गतियों की तुलना, ब्रेक या बैरियर का नाप तय करना, और किसी टकराव-परीक्षण के दावे की जाँच। दो आदतें जवाब को ज़्यादा काम का बनाती हैं। पहली, गति उसी इकाई में रखिए जिसमें आप सचमुच चलते हैं — फ़ील्ड ख़ुद बदल देता है, इसलिए हाथ से m/s में बदलकर एक अंक गँवाने की कोई वजह नहीं। दूसरी, जूल के बजाय गिरने की ऊँचाई पढ़िए: 538 kJ ज़्यादातर लोगों के लिए कुछ नहीं कहता, जबकि बारहवीं मंज़िल से गिरने जितनी ऊर्जा वाला वाक्य कोई भी समझकर उस पर काम कर सकता है। अगर आपसे यह पूछा जाए कि गुरुत्व के नीचे कोई पिंड कितना भारी है, तो वह अलग पेज है — यह पेज उसे कभी भार नहीं कहता।

1. 3,300 lb की कार, 60 mph पर

   1. 3,300 lb = 1,496.855 kg (फ़ील्ड किलोग्राम लेता है, इसलिए पाउंड द्रव्यमान वाले ड्रॉपडाउन में डाले गए)
   2. 60 mph = 26.8224 m/s
   3. वेग का वर्ग: 26.8224 × 26.8224 = 719.441
   4. गतिज ऊर्जा: ½ × 1,496.855 × 719.441 = 538,449 J
   5. बाक़ी दो इकाइयों में वही संख्या: 538.449 kJ, और 538,449 ÷ 1.3558179 = 397,140 ft·lb
   6. बराबर गिरने की ऊँचाई: 719.441 ÷ ( 2 × 9.80665 ) = 36.7 m, यानी 120 ft

   यह संदर्भ तालिका की पंक्ति है, उलटी दिशा में पढ़ी हुई: तालिका गति से शुरू करके ऊर्जा देती है, और यह उदाहरण उसी कार से शुरू करता है। इसकी तुलना 55 mph वाली पंक्ति से कीजिए — 55 mph पर 333,708 ft·lb बनाम 60 पर 397,140, और ऊर्जाओं का अनुपात (1.19) गतियों के वर्ग का अनुपात (1.19) है, गतियों का अनुपात (1.09) नहीं। 36.7 m वाली ऊँचाई वह हिस्सा है जिसे बोलकर कहना चाहिए: यह एक इमारत है, फ़ुटपाथ का किनारा नहीं।

2. राइफ़ल की गोली, 0.008 kg, 800 m/s पर

   1. द्रव्यमान: 0.008 kg, यानी वही 8 g जो बॉक्स कहता है
   2. वेग का वर्ग: 800 × 800 = 640,000
   3. गतिज ऊर्जा: ½ × 0.008 × 640,000 = 2,560 J
   4. बाक़ी दो इकाइयों में: 2.56 kJ, और 1,888 ft·lb
   5. बराबर गिरने की ऊँचाई: 640,000 ÷ ( 2 × 9.80665 ) = 32,631 m

   यह उदाहरण इस आमफ़हम धारणा को तोड़ने के लिए है कि तेज़ और हल्का मिलकर कम ऊर्जा बनाते हैं: 8 g यानी औंस का चौथाई, और फिर भी पहली मंज़िल की खिड़की से गिराई गई बॉलिंग बॉल से ज़्यादा ऊर्जा ढोता है। यही उदाहरण वर्ग को काम करते हुए भी दिखाता है — वही गोली 400 m/s पर 640 J ढोती है, चौथाई, आधी नहीं। 32.6 km वाली ऊँचाई कोई करने वाली चीज़ नहीं; यह वह संख्या है जो कहती है कि यहाँ काम गति कर रही है, द्रव्यमान नहीं।

3. 70 kg का धावक, 3 m/s पर

   1. वेग का वर्ग: 3 × 3 = 9
   2. गतिज ऊर्जा: ½ × 70 × 9 = 315 J
   3. बाक़ी दो इकाइयों में: 0.315 kJ, और 232 ft·lb
   4. बराबर गिरने की ऊँचाई: 9 ÷ ( 2 × 9.80665 ) = 0.46 m

   पैमाने का रोज़मर्रा वाला सिरा, और वही जो गोली वाले उदाहरण को जमीन पर उतारता है: दौड़ता हुआ वयस्क क़रीब 315 J ढोता है, और उसे रोकने में उतना ही काम लगेगा, चाहे आप कितने ही नरमी से रोकें। इसीलिए गिरने की ऊँचाई जूल से ज़्यादा ईमानदार है — 0.46 m यानी फ़ुटपाथ के किनारे से एक क़दम, और 315 J बड़ा लगता है जब तक यह न दिखे कि वह कहाँ से आया। उसी व्यक्ति को 6 m/s पर दौड़ाइए और 1,260 J बनते हैं: दुगनी गति, चार गुना ऊर्जा — पूरे पेज का मुद्दा यही है।

यह पेज घूर्णन की गतिज ऊर्जा नहीं करता। घूमता फ़्लाईव्हील, लुढ़कता पहिया और घूमती शाफ़्ट अपने द्रव्यमान-केंद्र की ½mv² के ऊपर ½Iω² भी ढोते हैं, और पेज न घूर्णन वाला हिस्सा जोड़ता है, न उसके साथ आने वाला जड़त्व आघूर्ण। यह कम गति का सूत्र भी है: प्रकाश की गति के क़रीब दसवें हिस्से तक यह एक प्रतिशत के भीतर रहता है, और उससे ऊपर ऊर्जा कम बताता है, क्योंकि सापेक्षिक व्यंजक v² से तेज़ बढ़ता है। यह वस्तु को एक बिंदु मानता है — कोई विरूपण नहीं, धातु को चूर करने में जाती ऊर्जा नहीं, और वही ऊर्जा है जिसमें टकराव-परीक्षण की दिलचस्पी होती है और जो यह पेज दे ही नहीं सकता। इसे यह भी पता नहीं कि ऊर्जा कहाँ से आई और कहाँ गई: इंजन उसे डाल रहा है, ब्रेक उसे ऊष्मा में बदल रहे हैं, या कोई गिरावट ऊँचाई को गति से बदल रही है — ये सब इस श्रृंखला से बाहर हैं। आख़िर में, यह गति की दिशा के बारे में कुछ नहीं कहता, क्योंकि ऊर्जा की कोई दिशा होती ही नहीं — अगर आपको सदिश चाहिए तो आप संवेग माँग रहे हैं।

3,300 lb की कार की 60 mph पर गतिज ऊर्जा कितनी है?

538,449 J, यानी 538.449 kJ या 397,140 ft·lb। हिसाब है ½ × 1,496.855 kg × (26.8224 m/s)², और बराबर गिरने की ऊँचाई 120 ft है — उतनी ही ऊर्जा जो उस कार में बारह मंज़िला इमारत से गिरने के बाद होती। बोलने के लिए यही आख़िरी आँकड़ा रखिए: जूल सही हैं और कोई उनकी तस्वीर नहीं बना सकता।

गतिज ऊर्जा कैसे निकालें?

वेग का वर्ग कीजिए, द्रव्यमान से गुणा कीजिए, और आधा कर दीजिए। 70 kg के धावक के लिए 3 m/s पर यह 9 × 70 ÷ 2 = 315 J है। यह फ़ील्ड गति उसी इकाई में लेता है जिसमें आप चलते या दौड़ते हैं — km/h, mph, m/s, ft/s या नॉट — और सूत्र चलने से पहले मीटर प्रति सेकंड में बदल देता है, इसलिए हाथ से बदलकर रास्ते में एक अंक गँवाने की ज़रूरत नहीं।

ऊर्जा गति के वर्ग पर क्यों निर्भर करती है?

क्योंकि किसी वस्तु पर किया गया काम बल गुणा वह दूरी है जितनी वह बल लगे रहने के दौरान चलती है, और तेज़ गति पर वस्तु उतने ही समय में ज़्यादा दूरी तय करती है। किसी पिंड को विराम से v तक धकेलिए तो औसत गति v/2 रहती है और संवेग में mv जुड़ता है, इसलिए काम ½mv² निकलता है। इसीलिए कार की रुकने की दूरी गति के वर्ग के साथ बढ़ती है जबकि ब्रेकिंग बल लगभग वही रहता है — दुगनी गति से ब्रेक को चार गुना ऊर्जा निकालनी पड़ती है।

क्या द्रव्यमान उतना ही मायने रखता है जितना गति?

नहीं, और यही फ़र्क़ इस सूत्र का मुद्दा है। ऊर्जा द्रव्यमान के समानुपाती है पर वेग के वर्ग के, इसलिए द्रव्यमान दुगना करने पर ऊर्जा दुगनी होती है और गति दुगनी करने पर चार गुनी। 8 g की राइफ़ल गोली 800 m/s पर 2,560 J ढोती है; वही गोली 400 m/s पर 640 J, और 70 kg का धावक 3 m/s पर 315 J। गति का अनुपात काफ़ी बड़ा हो तो हल्का और तेज़, भारी और धीमे से जीत जाता है।

गतिज ऊर्जा को ft·lb में कैसे बदलूँ?

जूल को 1.3558179483314004 से भाग दीजिए, या पेज की छपी हुई ft·lb वाली पंक्ति पढ़ लीजिए। 538,449 J यानी 397,140 ft·lb। यह गुणक परिभाषा से सटीक है — एक फ़ुट 0.3048 m है और एक पाउंड 0.45359237 kg — इसलिए रूपांतरण अपनी ओर से कोई ग़लती नहीं जोड़ता; संख्याएँ केवल आख़िरी अंक में अलग दिखती हैं क्योंकि दोनों पंक्तियाँ दिखाने के लिए गोल की गई हैं।

बराबर गिरने की ऊँचाई क्या है?

वह ऊँचाई जितनी गिरकर, बिना हवा के विरोध के, वस्तु उस गति तक पहुँच जाए: v² ÷ 2g। यह वही ऊर्जा है जो ऊँचाई के रूप में लिखी गई हो, इसीलिए जूल से ज़्यादा आसानी से मन में बैठती है। 60 mph की कार 120 ft गिरने जितनी ऊर्जा ढोती है, और 800 m/s की गोली 32.6 km गिरने जितनी। असली गिरावटों में हवा का विरोध थोड़ा खा जाता है, इसलिए सचमुच चाहिए वाली ऊँचाई ज़रा बड़ी होती है — यह ऊँचाई कम-से-कम का आँकड़ा है, और क़रीब 30 m/s तक काफ़ी ठीक बैठती है।

• Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem (College Physics 2e, §7.2) — the derivation of ½mv² from the work done accelerating a body from rest — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the joule as the derived unit kg·m²/s², and the exact conversion factors this page uses for foot-pounds (1.3558179483314004 J) and for mph and lb — National Institute of Standards and Technology
• Kinetic energy — the classical and relativistic expressions, and where the low-speed form stops being good enough — Wikipedia