अंतिम वेग कैलकुलेटर

अंतिम वेग = √( 2 × द्रव्यमान × g ÷ ( तरल का घनत्व × सामने का क्षेत्रफल × ड्रैग गुणांक ) ) ड्रैग बल = द्रव्यमान × g

m

गिरती हुई वस्तु का द्रव्यमान किलोग्राम में — फ़ील्ड पाउंड, ग्राम और टन भी लेती है

g

मानक गुरुत्व, 9.80665 m/s² — यही मान हर जगह लिया गया है; पेज पृथ्वी की सतह के पास की गिरावट के बारे में है, मंगल या चंद्रमा की नहीं

ρ

जिस तरल में गिरावट हो रही है उसका घनत्व, kg/m³ में — 15 °C पर समुद्र तल की हवा के लिए 1.225, समुद्री जल के लिए 1,025। फ़ील्ड g/cm³ और lb/ft³ भी लेती है

A

सामने का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में — वही परछाईं जो वस्तु बहाव के सामने रखती है, और किसी व्यक्ति के लिए यही पेट के बल के 122 mph और सिर नीचे के 211 mph का पूरा फ़र्क़ है

Cd

ड्रैग गुणांक, विमाहीन — यानी आकृति कितनी भोंडी है। बहाव के सामने सीधी रखी चपटी पट्टिका के लिए क़रीब 1.28 और कार के लिए 0.3; संदर्भ तालिका छह आकृतियाँ देती है

इसे तब खोलिए जब कोई चीज़ इतनी दूर गिरे कि हवा मायने रखने लगे — स्काईडाइवर, पैराशूट, ओले का दाना, ड्रोन, गिराया हुआ औज़ार, गेंद। यह उन दो सवालों का जवाब देता है जो मुक्त गिरावट का सूत्र नहीं दे सकता: वस्तु की चाल असल में कितनी होती है, और क्या वह इतनी है कि ख़तरनाक कहलाए। मुक्त गिरावट का सूत्र हमेशा और ज़्यादा चाल बताता रहता है, जो हवा में कुछ सेकंड बाद सच नहीं रहता; यह पेज उसकी ऊपरी हद बताता है। दो आदतें जवाब को ज़्यादा काम का बनाती हैं। पहली, सामने का क्षेत्रफल ठीक निकालिए, क्योंकि यही वह इनपुट है जिसका लोग सबसे बुरा अंदाज़ा लगाते हैं और जिस पर चाल सबसे तेज़ी से निर्भर करती है: किसी व्यक्ति इसे केवल अपनी मुद्रा बदलकर तीन गुना कर देता है, और चाल में यह 1.7 गुना बनता है। दूसरी, ड्रैग गुणांक को उतना ही कोटि-मान मानिए जितना वह है, और याद रखी दशमलव के बजाय संदर्भ तालिका उठाइए — गोले का Cd रेनॉल्ड्स संख्या के साथ 0.47 से घटकर क़रीब 0.1 हो जाता है, और गोल्फ़ की गेंद के गड्ढे ठीक इसी असर का फ़ायदा उठाते हैं।

1. 200 lb का स्काईडाइवर, पेट के बल

   1. 200 lb = 90.718 kg; 7.5 sq ft = 0.6968 m² (क्षेत्रफल की फ़ील्ड वर्ग मीटर लेती है)
   2. अंतिम वेग पर ड्रैग बल: 90.718 × 9.80665 = 889.64 N, जो सीधे-सीधे भार है — अंतिम वेग का मतलब ही यही है
   3. हर: 1.225 × 0.6968 × 0.7 = 0.5975
   4. अंश: 2 × 889.64 = 1,779.29
   5. अंतिम वेग: √(1,779.29 ÷ 0.5975) = √2,978 = 54.6 m/s
   6. बाक़ी इकाइयों में: 196.5 km/h, या 122.1 mph

   यह वह संख्या है जो हर स्काईडाइवर आख़िरकार सीख ही लेता है: क़रीब 120 mph, पेट के बल, आम आर्च में। ध्यान दीजिए कि तीसरा क़दम असल में क्या कहता है — ड्रैग बल भार के बराबर है, क्योंकि अंतिम अवस्था की परिभाषा यही है। पेज इसे अलग से इसीलिए छापता है कि यह संतुलन भरोसे पर लेने के बजाय दिख जाए। यह भी देखिए कि द्रव्यमान एक दिलचस्प तरीक़े से कट जाता है: भारी स्काईडाइवर तेज़ गिरता है, पर केवल वर्गमूल के अनुपात में, इसलिए 20 प्रतिशत ज़्यादा भार क़रीब 10 प्रतिशत ज़्यादा चाल ख़रीदता है।

2. वही स्काईडाइवर, सिर नीचे

   1. वही द्रव्यमान और वही ड्रैग गुणांक — केवल सामने का क्षेत्रफल बदला है, 7.5 sq ft से 2.5 sq ft
   2. 2.5 sq ft = 0.2323 m², यानी पेट के बल वाले क्षेत्रफल का एक-तिहाई
   3. हर: 1.225 × 0.2323 × 0.7 = 0.1992
   4. अंतिम वेग: √(1,779.29 ÷ 0.1992) = √8,932 = 94.5 m/s
   5. बाक़ी इकाइयों में: 340.3 km/h, या 211.4 mph
   6. ड्रैग बल: वही 889.64 N पर बदला नहीं

   क्षेत्रफल घटाकर तिहाई कीजिए और चाल √3 = 1.73 गुना बढ़ जाती है, 122 mph से 211 mph तक — और प्रतिस्पर्धी स्पीड स्काईडाइविंग के होने की पूरी वजह यही है, और यही वजह है कि जीन्स पहने वही व्यक्ति तंग सूट वाले से धीमा गिरता है। दोनों मुद्राओं में ड्रैग बल बिलकुल एक ही है, क्योंकि भार नहीं बदला; बदला है वह चाल जिस पर वह बल पहुँचता है। पैमाने के लिए, 211 mph क़रीब वही अंतिम वेग है जो मानव शरीर बिना पैराशूट पकड़ता है, इसीलिए स्काईडाइविंग दुर्घटना में आपात-प्रक्रिया यह है कि शरीर सपाट किया जाए, किसी चीज़ तक पहुँचा जाए नहीं।

3. वही स्काईडाइवर, 540 sq ft की कैनोपी के नीचे

   1. 540 sq ft = 50.168 m² — यह कैनोपी का क्षेत्रफल है, कूदने वाले का नहीं
   2. खुली कैनोपी का ड्रैग गुणांक: 1.42, यानी संदर्भ तालिका की सबसे भोंडी आकृति
   3. हर: 1.225 × 50.168 × 1.42 = 87.28
   4. अंतिम वेग: √(1,779.29 ÷ 87.28) = √20.39 = 4.5 m/s
   5. बाक़ी इकाइयों में: 16.3 km/h, या 10.1 mph
   6. उस रफ़्तार से 3,000 ft से उतरना: क़रीब 3.4 मिनट

   पूरा पेज एक ही तुलना में: वही व्यक्ति, वही भार, ड्रैग बल ज़रा भी नहीं हिला, और उतरने की चाल 12 गुना धीमी। कूदने वाले का कुछ नहीं बदला; क्षेत्रफल 72 गुना बढ़ा और गुणांक दुगना, और चाल उसका वर्गमूल लेकर चली। 10 mph वाला आँकड़ा ही वह है जिसे अनुभव से मिलाकर देखना चाहिए — पैराशूट से उतरना ऊँची दीवार से उतरने जैसा क़दम है, इसीलिए उतरने की तकनीक मायने रखती है और इसीलिए पूरी तरह न खुली कैनोपी से बच जाना मुमकिन है जबकि कठोर उतराव से नहीं।

सूत्र मान लेता है कि ड्रैग बल चाल के वर्ग के साथ बढ़ता है, जो ऊँची रेनॉल्ड्स संख्याओं पर अच्छा अनुमान है और नीची पर बुरा: बहुत छोटी या बहुत धीमी वस्तु के लिए — धूल का कण, बैठता हुआ कोशिका, गुब्बारा — ड्रैग चाल के लगभग सीधे अनुपात में होता है और असली अंतिम वेग इस पेज के बताए से अलग निकलेगा। ड्रैग गुणांक एक ही आकृति के लिए भी स्थिरांक नहीं है; वह रेनॉल्ड्स संख्या पर निर्भर करता है, इसलिए ऊपर दिया गया गोले का 0.47 चिकने गोले का एक ख़ास दायरे का मान है और तेज़ चालों पर 0.1 की ओर गिरता है, और गोल्फ़ की गेंद के गड्ढे जान-बूझकर यही संक्रमण जल्दी कराते हैं। पेज अंतिम वेग तक पहुँचने की बात कहीं नहीं करता: यह ऊपरी हद देता है, उस तक पहुँचने का समय नहीं, और गिरावट के पहले कुछ सेकंड सचमुच मुक्त गिरावट के सूत्र से ही बयान होते हैं। यह मान लेता है कि तरल स्थिर और एक-सा है, इसलिए हवा, ताप-धाराएँ, बादल के बीच से गिरावट या ज़मीन के पास घनी होती हवा में उतरना — सब इससे बाहर हैं; घनत्व वाला फ़ील्ड एक अकेली संख्या है, कोई प्रोफ़ाइल नहीं। यह मान लेता है कि वस्तु लुढ़कती, घूमती या आकार नहीं बदलती, और मनुष्य के लिए इसका मतलब है कि मुद्रा थामी हुई है; घूमने लगा शरीर अलग सवाल है। यह उत्प्लावन छोड़ देता है, जो उस हर चीज़ के लिए मायने रखता है जो तरल में तैर सके, और यह क़रीब 100 m/s से ऊपर हवा की संपीड्यता भी छोड़ देता है, जहाँ से यहाँ के अंक ड्रैग को बढ़ा-चढ़ाकर बताने लगते हैं। आख़िर में, यह एक अकेली वस्तु का हिसाब है: पेलोड समेत पैराशूट, एक ही रस्सी पर बँधी कई वस्तुएँ, या रस्सी से जुड़ी कोई भी चीज़ एक तंत्र है, एक पिंड नहीं।

अंतिम वेग का सूत्र क्या है?

v = √(2mg ÷ ρACd)। अंश भार का दुगना है; हर में तरल का घनत्व, सामने का क्षेत्रफल और ड्रैग गुणांक — तीनों गिरावट को धीमा करते हैं। 80 kg के स्काईडाइवर के लिए पेट के बल — 0.7 m² और 1.225 kg/m³ की हवा में Cd 0.7 — यह 51.1 m/s बनता है, यानी 114 mph। वर्गमूल ही वजह है कि द्रव्यमान दुगना करने पर चाल केवल क़रीब 1.41 गुना मिलती है।

स्काईडाइवर कितनी तेज़ गिरता है?

आम आर्च में पेट के बल क़रीब 120 mph, और हाथ-पैर समेटकर सिर नीचे क़रीब 210 mph। दोनों एक ही सूत्र और एक ही भार से निकलते हैं: इनमें बदलती केवल सामने का क्षेत्रफल है, 7.5 वर्ग फुट से 2.5। 540 वर्ग फुट की कैनोपी के नीचे वही कूदने वाला क़रीब 10 mph से उतरता है, जो गिरना नहीं बल्कि दीवार से उतरना है।

क्या भारी वस्तु तेज़ गिरती है?

वह ज़्यादा अंतिम वेग पकड़ती है, पर केवल द्रव्यमान के वर्गमूल के अनुपात में, इसलिए असर लोगों की अपेक्षा से बहुत कमज़ोर है। 80 kg से 90.7 kg जाने पर — 13 प्रतिशत भारी — पेट के बल की चाल 51.1 से 54.6 m/s हो जाती है, यानी क़रीब 7 प्रतिशत। निर्वात में कोई फ़र्क़ ही नहीं: हवा के बिना सब एक ही दर से गिरता है। हवा में फ़र्क़ असली है पर मामूली, और आकृति का महत्व भार से कहीं ज़्यादा है।

कौन-सा ड्रैग गुणांक लूँ?

उसे याद से नहीं, संदर्भ तालिका से उठाइए, और दशमलव की जगह दायरे की तरह लीजिए: बहाव के सामने सीधी चपटी पट्टिका के लिए 1.28, खुली पैराशूट कैनोपी के लिए 1.42, बहाव के आड़े लंबे बेलन के लिए 1.2, पेट के बल व्यक्ति के लिए 0.7, चिकने गोले के लिए 0.47 और कार के लिए 0.3। अगर आप दो पंक्तियों के बीच फँसे हों तो भोंडी वाली चुनिए — आकृति जितनी धारारेखी होती जाती है, Cd उतना गिरता है, और ज़्यादा अनुमान लगाने से जवाब सुरक्षित तरफ़ रहता है।

अंतिम वेग मुक्त गिरावट की चाल से कैसे अलग है?

मुक्त गिरावट वह है जो हवा के मायने रखने से पहले होती है, और उसकी कोई चाल-सीमा नहीं — v = gt का सूत्र हमेशा और ज़्यादा चाल बताता रहता है। अंतिम वेग वह ऊपरी हद है जो ड्रैग थोपता है, और वह तब पहुँचता है जब ड्रैग बल बढ़कर वस्तु के भार के बराबर हो जाए। किसी व्यक्ति के लिए यह क़रीब 10 से 12 सेकंड और लगभग 1,500 ft गिरने के बाद होता है, जिसके बाद चाल बदलना बंद कर देती है। क़रीब 5 m/s से नीचे, या रेत के कण से छोटी वस्तुओं के लिए, इस पेज वाला वर्ग-नियम ग़लत मॉडल है।

अगर मैं हवा के बजाय पानी में गिरूँ तो क्या होगा?

तरल का घनत्व 1.225 kg/m³ से क़रीब 1,025 हो जाता है, यानी क़रीब 840 गुना ज़्यादा, और अंतिम वेग उसका वर्गमूल लेकर गिरता है — व्यक्ति समुद्री जल में 51 m/s के बजाय क़रीब 1.8 m/s पकड़ता है। सूत्र का ईमानदार पाठ यही है, और यही वजह है कि बहुत ऊँचाई से पानी में गिरना फिर भी जानलेवा है: आप सतह तक हवा वाला अंतिम वेग लेकर पहुँचते हैं, और फिर पानी को आपको सेकंड के एक हिस्से में रोकना पड़ता है।

• Drag Forces (College Physics 2e, §5.2) — the quadratic drag law, the drag coefficient, and terminal velocity as the speed where drag equals weight — OpenStax
• Drag coefficient of common shapes — the reference values for a flat plate, a sphere, a cylinder and a car body that the table below is drawn from — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², the density of air and water in kg/m³, and the exact factors behind the square-foot and pound conversions used above — National Institute of Standards and Technology