प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटर

प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा = ½ × स्प्रिंग नियतांक × विस्थापन² स्प्रिंग बल = स्प्रिंग नियतांक × विस्थापन

k

स्प्रिंग नियतांक (कठोरता), न्यूटन प्रति मीटर में — यह फ़ील्ड kN/m, N/mm और lbf/in भी लेती है। यह वह बल है जो स्प्रिंग को एक इकाई खिसकाने के लिए चाहिए, इसलिए सख़्त स्प्रिंग का k बड़ा होता है

x

विस्थापन, सेंटीमीटर में — स्प्रिंग अपनी आराम की लंबाई से कितनी खिंची या दबी, यह फ़ील्ड की चूक इकाई में नापा जाता है। चिह्न से फ़र्क़ नहीं पड़ता: संपीड़न और तनाव, दोनों में ऊर्जा एक ही होती है

E

प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा, जूल में — स्प्रिंग को विकृत करने में किया गया काम; तीसरी पंक्ति वही ऊर्जा फुट-पाउंड में देती है

F

स्प्रिंग बल, न्यूटन में, हुक के नियम से, F = kx — पूरी खिंची हालत पर लगने वाला बल, पूरी खींच के औसत के बजाय

इस पेज का इस्तेमाल तब कीजिए जब स्प्रिंग, रबर बैंड, धनुष, ट्रैम्पोलिन या सस्पेंशन का सवाल हो और आपको जानना हो कि उसमें कितनी ऊर्जा है या वह कितनी ज़ोर से खींचती है। सबसे ज़्यादा दो सवाल आते हैं — किसी तय ऊर्जा के लिए स्प्रिंग चुनना (लॉन्चर, काउंटरबैलेंस, दरवाज़े का तंत्र) और यह देखना कि छोड़ देने पर क्या होगा। दो आदतें नतीजे को ज़्यादा काम का बनाती हैं। पहली, विस्थापन की इकाई पर भरोसा करने से पहले उसे देख लीजिए: फ़ील्ड की चूक इकाई सेंटीमीटर है, और 10 मिमी का मतलब रखते हुए 10 सेमी लिख देना सौ गुनी ऊर्जा बना देता है। दूसरी, याद रखिए कि ऊर्जा विस्थापन के वर्ग के साथ बढ़ती है जबकि बल सिर्फ़ रैखिक रहता है, इसलिए दबाने का आख़िरी हिस्सा ही सारी ऊर्जा समेटता है — नब्बे प्रतिशत दबी स्प्रिंग आज भी सिर्फ़ 81 प्रतिशत ऊर्जा रखती है, और आख़िरी दसवाँ हिस्सा बाक़ी पाँचवाँ भाग जोड़ देता है।

1. 1 lbf/in की स्प्रिंग, 2 इंच खींची गई

   1. 1 lbf/in = 175.127 N/m (कठोरता वाली फ़ील्ड N/m लेती है, इसलिए पाउंड-प्रति-इंच स्प्रिंग इसी रूप में डालें)
   2. विस्थापन: 2 in = 5.08 cm
   3. स्प्रिंग बल: 175.127 × 0.0508 = 8.90 N, यानी वही 2 lbf जो सिरे पर महसूस होगा
   4. विस्थापन का वर्ग: 0.0508 × 0.0508 = 0.002581
   5. ऊर्जा: ½ × 175.127 × 0.002581 = 0.226 J
   6. दूसरी इकाई में: 0.226 ÷ 1.3558179 = 0.167 ft·lb

   यह संदर्भ तालिका की 2 in वाली पंक्ति है, और आँकड़े जानबूझकर छोटे हैं — हल्की स्प्रिंग को कुछ इंच खींचने पर पाँचवाँ हिस्सा जूल भर जमा होता है, लगभग उतनी ऊर्जा जितनी गिरते सेब में होती है। दिलचस्प बात दोनों नतीजों का अनुपात है: बल 2 lbf है और ऊर्जा 0.167 ft·lb, यानी स्प्रिंग को एक फुट का 2/12 हिस्सा ऐसे बल के खिलाफ़ खिसकाया गया जिसका औसत 1 lbf था। ऊर्जा बल गुणा दूरी है, और यहाँ बल स्थिर नहीं था — वह शून्य से 2 तक गया — और ½kx² का वह आधा ठीक इसी जगह से आता है।

2. 180 lbf/in की सस्पेंशन स्प्रिंग, 3 इंच दबी

   1. 180 lbf/in = 31,522.830 N/m
   2. विस्थापन: 3 in = 7.62 cm
   3. स्प्रिंग बल: 31,522.830 × 0.0762 = 2,402.04 N, यानी लगभग 540 lbf
   4. विस्थापन का वर्ग: 0.0762 × 0.0762 = 0.005806
   5. ऊर्जा: ½ × 31,522.830 × 0.005806 = 91.518 J
   6. दूसरी इकाई में: 67.5 ft·lb

   असली कार की स्प्रिंग, और यहाँ से ले जाने वाला आँकड़ा बल है: उस कोने पर 540 lbf, जो 3,300 lb की कार के लिए इस दबाव पर गाड़ी के वज़न का लगभग छठा हिस्सा है। यह भी देखिए कि 91.5 J उस गतिज ऊर्जा से कम है जो फेंकी गई गेंद ढोती है — स्प्रिंग इसलिए ऊर्जावान नहीं होती कि वह सख़्त है, बल्कि इसलिए कि वह लंबी दूरी तय करती है। सस्पेंशन स्प्रिंग सिर्फ़ तीन इंच चलती है; धनुष दो फुट चलता है, और उसकी ऊर्जा वहीं से आती है।

3. वही स्प्रिंग 6 इंच पर — दुगुनी दूरी

   1. विस्थापन: 6 in = 15.24 cm, ऊपर के उदाहरण से दुगुना
   2. स्प्रिंग बल: 31,522.830 × 0.1524 = 4,804.08 N, ठीक दुगुना — हुक का नियम रैखिक है
   3. विस्थापन का वर्ग: 0.1524 × 0.1524 = 0.023226, जो ऊपर के 0.005806 का चार गुना है
   4. ऊर्जा: ½ × 31,522.830 × 0.023226 = 366.071 J, ठीक ऊपर के 91.518 J का चार गुना
   5. दूसरी इकाई में: 270 ft·lb

   इसे ऊपर वाले उदाहरण के सामने रखिए और पूरा पेज इन्हीं दो अनुपातों में समा जाता है। दुगुना दबाव दुगुना बल और चार गुनी ऊर्जा देता है। इसी वजह से जो स्प्रिंग पहले इंच में क़ाबू में लगती है वह चौथे इंच तक सचमुच ख़तरनाक हो सकती है, और इसी वजह से धनुष को पीक ड्रॉ वज़न के बजाय जमा ऊर्जा से नापा जाता है — ड्रॉ वज़न रैखिक हिस्सा है, ऊर्जा वर्ग।

यह हुक का नियम है, जो सिर्फ़ तब तक चलता है जब तक स्प्रिंग प्रत्यास्थ व्यवहार कर रही हो। असली स्प्रिंग को उसके यील्ड बिंदु से आगे दबाइए और बल विस्थापन के अनुपात में नहीं रहता; पूरी चाल के सिरे तक दबाइए और कुंडलियाँ छू जाती हैं, जिसके बाद कठोरता बिल्कुल बदल जाती है और ऊपर का ½kx² ऊर्जा को बढ़ा-चढ़ाकर बताता है। इसमें कोई डैम्पिंग, कोई हिस्टैरिसीस और कोई द्रव्यमान नहीं है: असली स्प्रिंग हर चक्र में आंतरिक घर्षण से थोड़ी ऊर्जा खोती है, और जिस स्प्रिंग का अपना द्रव्यमान हो उसमें चलते समय अपनी गतिज ऊर्जा भी होती है। यह पेज प्रीलोडेड स्प्रिंग नहीं नापता — वाल्व स्प्रिंग, बोल्ट के पीछे लगी स्प्रिंग — जहाँ जमा ऊर्जा दो हालतों का अंतर होती है, शून्य-विस्थापन संदर्भ के सामने कुल नहीं, इसलिए यहाँ जो आँकड़ा मिलता है वह आराम की लंबाई से गिनी गई ऊर्जा है। यह मान लेता है कि पूरी स्प्रिंग एक ही मात्रा में खिसकती है: पतली होती स्प्रिंग, दो अलग स्प्रिंगों का श्रेणी-संयोजन, या ऐसा कुछ भी जहाँ कुंडलियाँ विस्थापन बराबर न बाँटें, एक अकेले k से नहीं बताया जाता। यह स्थैतिक भी है: स्प्रिंग छोड़ने पर जो दोलन शुरू होता है उसके बारे में यह कुछ नहीं कहता, उसके लिए द्रव्यमान भी चाहिए और वह किसी और पेज का विषय है। आख़िर में, यह नहीं देखता कि जमा ऊर्जा काम आएगी या नहीं — वही 366 J किसी प्रक्षेप्य को छोड़ सकती है या डैम्पर में महज़ ऊष्मा बनकर ख़त्म हो सकती है — और यह मान लेता है कि विस्थापन स्प्रिंग की धुरी के साथ नापा गया है, किसी कोण पर नहीं।

प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा का सूत्र क्या है?

E = ½kx², जिसमें k स्प्रिंग नियतांक है (न्यूटन प्रति मीटर में) और x विस्थापन (मीटर में)। यह आधा इसलिए है कि स्प्रिंग खिसकते हुए बल शून्य से kx तक बढ़ता है, इसलिए पूरे विस्थापन पर औसत बल आख़िरी मान का आधा ही होता है। 1 lbf/in की स्प्रिंग 2 in खींचने पर 0.226 J जमा करती है, और अगर हाथ से जाँचना हो तो उसका पूरा हिसाब ऊपर मौजूद है।

विस्थापन का वर्ग क्यों, सिर्फ़ गुणा क्यों नहीं?

क्योंकि स्प्रिंग पर किया गया काम बल गुणा दूरी है, और बल स्थिर नहीं है — शुरू में शून्य और आख़िर में kx, इसलिए औसत ½kx रहता है और काम ½kx गुणा x। व्यावहारिक नतीजा यह है कि दुगुना विस्थापन चार गुनी ऊर्जा देता है पर स्प्रिंग बल सिर्फ़ दुगुना, इसीलिए दबाने का आख़िरी हिस्सा कठिन होता है और क्रॉसबो को ड्रॉ वज़न के बजाय जमा ऊर्जा से नापा जाता है।

स्प्रिंग नियतांक क्या है और उसे कैसे निकालें?

यह वह बल है जो स्प्रिंग को एक इकाई लंबाई तक खिसकाने के लिए चाहिए, इसलिए इसे N/m में नापा जाता है — या N/mm और lbf/in में, जो दोनों यह फ़ील्ड लेती है। इसे नापने के लिए स्प्रिंग पर ज्ञात भार लटकाइए, देखिए वह कितनी खिंचती है, और भाग दीजिए: जो स्प्रिंग 8 N पर 4 cm खिंचे, उसका k = 8 ÷ 0.04 = 200 N/m होगा। कार की सस्पेंशन स्प्रिंग लगभग 30 N/mm यानी 30,000 N/m की होती है, और प्रयोगशाला की हल्की स्प्रिंग 100 N/m के आसपास।

क्या संपीड़न और तनाव में ऊर्जा बराबर होती है?

हाँ, जब तक स्प्रिंग सममित हो, और ज़्यादातर कुंडली स्प्रिंग सममित होती हैं। सूत्र में x² आता है, इसलिए 5 cm का संपीड़न और 5 cm का तनाव दोनों ½ × k × 0.0025 J जमा करते हैं। असली स्प्रिंग पूरी तरह सममित नहीं होतीं — ज़्यादा दबाने पर कुंडली स्प्रिंग बकल कर सकती है, और हेल्पर कॉइल वाली स्प्रिंग एक दिशा में दूसरी से कहीं ज़्यादा सख़्त होती है — इसलिए यह बराबरी काम की सीमा तक लागू होती है, पूरी चाल के सिरों तक नहीं।

पूरी दबी स्प्रिंग में कितनी ऊर्जा होती है?

पूरे दबाव पर का विस्थापन लेकर ½kx² लगाइए। 30 N/mm की सस्पेंशन स्प्रिंग 10 cm दबने पर 150 J रखती है; वही स्प्रिंग 20 cm पर 600 J, यानी दुगुनी चाल पर चार गुनी। पर यह ज़रूर देखिए कि चाल असल में कहाँ ख़त्म होती है — कुंडलियाँ छूते ही स्प्रिंग स्प्रिंग जैसा बर्ताव करना बंद कर देती है और सूत्र वह नहीं बताता जो हो रहा है।

lbf/in से N/m में स्प्रिंग दर कैसे बदलें?

175.127 से गुणा कीजिए — यह एक पाउंड-बल (4.448222 N) को एक इंच (0.0254 m) से भाग देने पर मिलता है। यानी 180 lbf/in की स्प्रिंग 31,522.83 N/m है, और 300 lbf/in की 52,538.05 N/m। दोनों गुणक परिभाषा से ही सटीक हैं, इसलिए बदलने में कोई त्रुटि नहीं जुड़ती; अगर आपका आँकड़ा लगभग 9.8 के गुणक से हटा हुआ है तो कहीं आपने पाउंड-द्रव्यमान की जगह पाउंड-बल इस्तेमाल कर लिया है।

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — F = kx and the elastic potential energy stored in a deformed spring — OpenStax
• Elasticity: Stress and Strain (College Physics 2e, §5.3) — the elastic limit and the point past which the linear relation between force and displacement stops holding — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the newton per metre as the coherent unit of stiffness, and the exact factors for pounds (0.45359237 kg) and inches (0.0254 m) that the lbf/in conversion is built from — National Institute of Standards and Technology