उत्प्लावन बल कैलकुलेटर

उत्प्लावन बल = तरल का घनत्व × हटाया गया आयतन × g वस्तु का भार = द्रव्यमान × g डूबा हुआ हिस्सा = द्रव्यमान ÷ ( तरल का घनत्व × वस्तु का आयतन )

ρ

तरल का घनत्व, kg/m³ में — ताज़े पानी के लिए 1,000, समुद्री पानी के लिए 1,025, पारे के लिए 13,546। फ़ील्ड g/cm³ और lb/ft³ भी लेती है

V

वस्तु का आयतन लीटर में — फ़ील्ड मिलीलीटर, घन मीटर, घन फ़ुट, घन इंच और गैलन भी लेती है। यह वस्तु का पूरा आयतन है, पानी के नीचे जाने वाला हिस्सा नहीं

m

वस्तु का द्रव्यमान किलोग्राम में — फ़ील्ड पाउंड, टन और ग्राम भी लेती है। यहाँ कुछ भी भार नहीं है: भार इसी से mg के रूप में निकलता है और अलग छपता है

g

मानक गुरुत्व, 9.80665 m/s² — पूरे पेज में यही एक मान है, यानी यह पेज धरती के गुरुत्व में रखी वस्तु का है, चाँद पर या कक्षा में तैरती वस्तु का नहीं

Vd

हटाया गया आयतन — वस्तु का वह हिस्सा जो सतह के नीचे है। उत्प्लावन सिर्फ़ इतने ही आयतन से बनता है, और यह वस्तु के अपने आयतन पर थम जाता है — ठीक इसीलिए भारी चीज़ें डूबती हैं

यह पेज तब चाहिए जब आपको जानना हो कि कोई चीज़ तैरेगी या नहीं, उसका कितना हिस्सा पानी के नीचे रहेगा, या कोई तरल कितना उठाव दे सकता है — नाव का विस्थापन, लाइफ़ जैकेट, तैरने वाली गुटका, बॉय, गोताख़ोर का वज़न, पानी पर बर्फ़, या पानी से भारी किसी चीज़ की टंकी। समझ के उलटे लगने वाले मामलों के लिए भी यही पेज है: स्टील का जहाज़ तैरता है और स्टील की बोल्ट नहीं, और दोनों बार सूत्र वही है — फ़र्क़ पूरा आयतन में है। दो आदतें जवाब को ज़्यादा काम का बनाती हैं। पहली, बैज के बजाय डूबे हुए हिस्से को पढ़िए, क्योंकि डिज़ाइन की बात उसी आँकड़े में है: 60 प्रतिशत डूबा हुआ मतलब ऐसी नाव जिसके पास अभी खाली जगह है, 99 प्रतिशत मतलब ऐसी नाव जो अब नाव नहीं रहने वाली — और बैज दोनों को तैरता हुआ ही कहेगा। दूसरी, याद रखिए कि तरल सिर्फ़ डूबा हुआ आयतन हटाता है। तैरती वस्तु का उत्प्लावन बल हमेशा ठीक उसके भार के बराबर होता है — यह संयोग नहीं, यही तो तैरने का मतलब है — इसलिए दिलचस्प सवाल यह कभी नहीं होता कि दोनों बराबर हैं या नहीं, बल्कि यह कि बराबर करने के लिए वस्तु का कितना हिस्सा नीचे जाना पड़ता है।

1. लकड़ी की गुटका, 3 लीटर और 1.8 किलोग्राम, ताज़े पानी में

   1. भार: 1.8 × 9.80665 = 17.652 N
   2. डूबा हुआ हिस्सा: 1.8 ÷ (1,000 × 0.003) = 0.60, यानी गुटके का 60 प्रतिशत नीचे जाता है
   3. हटाया गया आयतन: 0.60 × 3 = 1.8 L
   4. उत्प्लावन बल: 1,000 × 0.0018 × 9.80665 = 17.652 N
   5. कुल बल: 17.652 − 17.652 = 0 — यह तैरती है
   6. बाक़ी 1.2 L, यानी गुटके का 40 प्रतिशत, सतह के ऊपर रहता है

   उत्प्लावन बल और भार बिल्कुल एक निकलते हैं, और यह जाँचने की कोई संयोग-बात नहीं है — तैरने का मतलब ही यही है। सिर्फ़ डूबे हुए 1.8 लीटर ही तरल हटाते हैं, इसलिए हटाया गया आयतन उतना ही होता है जितना भार को बराबर करने के लिए ज़रूरी है, और पेज इसे मान नहीं लेता, निकालता है। यह भी देखिए कि 3 लीटर वाला आँकड़ा उत्प्लावन के हिसाब में कहीं नहीं आता। वह सिर्फ़ ऊपरी सीमा तय करता है: अगर गुटके को 3 लीटर से ज़्यादा तरल हटाना पड़ता तो वह डूब जाती, और 60 प्रतिशत कहता है कि यह उस सीमा से बहुत दूर है।

2. एल्युमिनियम की गुटका, 2 लीटर और 5.4 किलोग्राम

   1. भार: 5.4 × 9.80665 = 52.956 N
   2. डूबा हुआ हिस्सा: 5.4 ÷ (1,000 × 0.002) = 2.70 — एक से ज़्यादा, इसलिए गुटका तैर ही नहीं सकती और पेज इसे 100 प्रतिशत पर थमा देता है
   3. हटाया गया आयतन: 2 L, पूरी गुटका
   4. उत्प्लावन बल: 1,000 × 0.002 × 9.80665 = 19.613 N — पानी से इस गुटके को इतना ही मिल सकता है, इससे ज़्यादा कभी नहीं
   5. कुल बल: 19.613 − 52.956 = −33.343 N, नीचे की ओर
   6. यही 33.3 N की कमी तल को पूरी करनी पड़ती है, जब गुटका वहाँ बैठ जाती है

   यहाँ दिलचस्प आँकड़ा वह है जो पेज छापने से इनकार कर देता है: 2.70, यानी 270 प्रतिशत डूबा हुआ। यही ईमानदार जवाब है इस सवाल का कि कितना नीचे जाना पड़ेगा, और यह नामुमकिन है — ठीक इसीलिए एल्युमिनियम डूबता है। −33.343 N वह बल है जो वस्तु पूरी तरह डूबी और बिना सहारे की हालत में महसूस करती है; तल पर बैठने के बाद तल उसे दे देता है और वस्तु फिर संतुलन में आ जाती है, बस तैरती हुई नहीं। ऊपर वाली 3 लीटर की लकड़ी से तुलना कीजिए: आयतन 12 लीटर कर दें तो वही 5.4 किलोग्राम तैरने लगेगा, और स्टील के जहाज़ का पूरा करतब यही है।

3. समुद्री पानी में एक लीटर बर्फ़

   1. भार: 0.917 × 9.80665 = 8.993 N
   2. डूबा हुआ हिस्सा: 0.917 ÷ (1,025 × 0.001) = 0.895, यानी 89.5 प्रतिशत पानी के नीचे
   3. हटाया गया आयतन: 0.895 L
   4. उत्प्लावन बल: 1,025 × 0.000895 × 9.80665 = 8.993 N
   5. कुल बल: 0 — यह तैरती है
   6. सतह के ऊपर: 10.5 प्रतिशत, और हिमशैल का भी

   बर्फ़ 917 kg/m³ की है और समुद्री पानी 1,025 का, और यही अनुपात वह मशहूर «दस में से नौ हिस्सा पानी के नीचे» है — यहाँ वह 89.5 प्रतिशत निकलता है, यानी वही बात, बस पूर्णांकन करके। पेज यह भी दिखाता है कि यह आँकड़ा स्थिर क्यों नहीं है: ताज़े पानी में वही एक लीटर बर्फ़ 91.7 प्रतिशत डूबी रहती है, क्योंकि ताज़ा पानी हल्का है और उतना ही भार उठाने के लिए उसे ज़्यादा मात्रा में हटाना पड़ता है। 89.5 और 91.7 प्रतिशत का यह फ़र्क़ ध्रुवीय समुद्रों में असली असर डालता है, और संदर्भ तालिका में पानी की दो पंक्तियाँ इसी चीज़ को दिखाने के लिए हैं।

पेज स्थिर जवाब देता है — वस्तु तैरेगी या नहीं, और कितनी बैठेगी — और स्थायित्व की बात नहीं करता। तैरती हुई वस्तु संतुलन में होकर भी पलट सकती है, क्योंकि वह इस पर निर्भर है कि उसका गुरुत्व केंद्र हटाए गए आयतन के केंद्र के मुक़ाबले कहाँ है, और इसमें से कुछ भी इस हिसाब में नहीं है; किसी लट्ठे और किसी डोंगी का डूबा हुआ हिस्सा एक ही 60 प्रतिशत निकल सकता है और लहर में उनका बर्ताव बिल्कुल अलग होगा। यह मान लेता है कि तरल एकरूप है और वस्तु कठोर है: परतों वाला तरल, आधी भरी टंकी, या बैठते-बैठते आकार बदलने वाला लचीला पुट्ठा इसकी पकड़ में नहीं आता। वस्तु से जुड़ी किसी चीज़ का कोई हिसाब नहीं है — तनी हुई रस्सी, पकड़े हुए तैराक, डेक पर रखा बोझ — ये सब संतुलन बदल देते हैं पर उत्प्लावन नहीं। सतह का तनाव छोड़ दिया गया है, और यह उन चीज़ों के लिए मायने रखता है जो उतनी छोटी हैं कि उसी से ऊपर टिकी रहें: कीट, सुई, रेत का कण — जहाँ असली बर्ताव का आर्किमिडीज़ से कोई लेना-देना नहीं। पेज दूसरे अर्थ में भी पूरी तरह स्थिर है: यह मान लेता है कि वस्तु ठहर चुकी है, और तरल में चलती, ऊपर की ओर तेज़ होती, या उसमें गिराई गई वस्तु ऐसी हालतों से गुज़रती है जिनका ब्यौरा इस हिसाब में नहीं है। इसमें g का एक ही मान है, इसलिए यह धरती की सतह का हिसाब है, कक्षा में घूमती वस्तु का नहीं — वहाँ हर चीज़ असल में उत्प्लावित है और कुछ डूबता नहीं। आख़िर में, घनत्व यहाँ हर तरल के लिए एक ही संख्या है, इसलिए तापमान और लवणता उसी मान में समा जाते हैं जो आप टाइप करते हैं, अलग से दर्ज नहीं होते — 4 °C का समुद्री पानी तालिका में लिखे 1,025 से भारी है, और वह फ़र्क़ नापा जा सकता है।

उत्प्लावन बल का सूत्र क्या है?

उत्प्लावन बल हटाए गए तरल के भार के बराबर होता है: F = ρ × Vd × g, जहाँ ρ तरल का घनत्व है, Vd डूबा हुआ आयतन, और g = 9.80665 m/s²। 3 लीटर की लकड़ी की गुटका जिसका भार 1.8 किलोग्राम है, 1.8 लीटर ताज़ा पानी हटाती है, जिसका भार 17.652 N है — यही ऊपर की ओर बल है और यह गुटके के अपने 17.652 N भार को ठीक बराबर कर देता है।

यह तैरेगी या डूबेगी?

वस्तु के घनत्व की तुलना तरल के घनत्व से कीजिए। तरल से कम हो तो तैरेगी, और डूबा हुआ हिस्सा दोनों घनत्वों के अनुपात के बराबर होगा — पानी में 0.5 किलोग्राम प्रति लीटर वाली वस्तु 50 प्रतिशत डूबी तैरती है; बराबर हो तो वस्तु पूरी डूबी हुई निष्क्रिय रूप से लटकी रहती है; ज़्यादा हो तो डूब जाती है और कोई भी दिशा बदलना काम नहीं आता। 2 लीटर की एल्युमिनियम की गुटका जिसका भार 5.4 किलोग्राम है, उसका घनत्व पानी के 1,000 के मुक़ाबले 2,700 kg/m³ बैठता है, इसलिए वह 33.3 N का भार बेहिसाब छोड़कर डूब जाती है।

स्टील की बोल्ट डूबती है तो स्टील का जहाज़ क्यों तैरता है?

क्योंकि जहाज़ ज़्यादातर हवा है। तैरना वस्तु के औसत घनत्व पर निर्भर है, इस पर नहीं कि वह किस चीज़ से बनी है: जिस पुट्ठे के भीतर बहुत सारी हवा बंद है, उसका औसत घनत्व पानी से काफ़ी कम बैठता है, इसलिए वह तैरता है, जबकि ठोस बोल्ट का घनत्व स्टील वाला 7,850 kg/m³ ही रहता है और वह तैर नहीं सकती। हिसाब दोनों का एक ही है — 1 लीटर के स्टील के टुकड़े को तैरने के लिए 7.85 लीटर तरल हटाना पड़ेगा और उसके पास सिर्फ़ 1 लीटर है, इसलिए वह 67.2 N बाक़ी छोड़कर डूब जाता है।

डूबा हुआ हिस्सा मुझे क्या बताता है?

यह बताता है कि वस्तु का कितना प्रतिशत सतह के नीचे है, और यह वस्तु के घनत्व को तरल के घनत्व से भाग देने पर मिलता है। तैरती वस्तु का उत्प्लावन बल हमेशा उसके भार के बराबर होता है, इसलिए यह हिस्सा बस उतना ही होता है जितना वहाँ तक पहुँचने के लिए ज़रूरी है — वस्तु का आकार इसमें कहीं नहीं आता। इसे बची हुई गुंजाइश की तरह पढ़िए: 60 प्रतिशत का मतलब है कि वस्तु का 40 प्रतिशत अब भी पानी के ऊपर है और उस पर और बोझ रखा जा सकता है; 95 प्रतिशत का मतलब है कि अगली लहर या अगला किलोग्राम उसे डुबो देगा।

निष्क्रिय उत्प्लावन क्या है?

यह वह हालत है जिसमें वस्तु का घनत्व तरल के घनत्व के बराबर हो जाता है, इसलिए वह पूरी डूबी रहती है और कुल बल ठीक शून्य होता है — न ऊपर जाती है, न नीचे, और जहाँ रखी गई हो वहीं टिकी रहती है। पेज इसे तैरने से अलग बैज देता है, और यह फ़र्क़ मायने रखता है: संतुलन में पूरी डूबी वस्तु पनडुब्बी है या संतुलन में ठहरा गोताख़ोर, नाव नहीं। पानी जितना घनत्व रखने वाली कोई भी चीज़ इस श्रेणी में आती है, इसीलिए गोताख़ोर जैकेट में हवा भरकर उत्प्लावन साधता है, अकेले वज़न ढोकर नहीं।

क्या उत्प्लावन बल इस पर निर्भर है कि वस्तु कितनी गहरी है?

नहीं, असंपीड्य तरल के लिए नहीं। डूबी वस्तु के निचले हिस्से पर दबाव ऊपरी हिस्से से ज़्यादा होता है, और यही अंतर — जो उत्प्लावन है — सिर्फ़ वस्तु की ऊँचाई पर निर्भर करता है, गहराई पर नहीं। एक मीटर पर रखी गुटका और वही गुटका सौ मीटर की गहराई पर एक ही ऊपरी बल महसूस करती हैं; गहराई के साथ जो बदलता है वह हर सतह पर लगने वाला कुल दबाव है, जो चीज़ों को कुचलता है, उठाता नहीं। इसलिए पेज बनावट से ही गहराई से आज़ाद है, और उसमें गहराई का कोई फ़ील्ड नहीं है क्योंकि ज़रूरत ही नहीं।

• Archimedes' Principle (College Physics 2e, §11.7) — the buoyant force as the weight of the displaced fluid, and floating as the case where it equals the object's weight — OpenStax
• Buoyancy — the relation between submerged fraction and the ratio of densities, and the distinction between neutral buoyancy and a body resting on the bottom — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the densities of water and mercury in kg/m³, standard gravity as 9.80665 m/s², and the exact factors behind the litre, the cubic foot and the pound used above — National Institute of Standards and Technology