कोणीय त्वरण कैलकुलेटर

कोणीय त्वरण = ( अंतिम कोणीय वेग − प्रारंभिक कोणीय वेग ) ÷ समय चक्करों की संख्या = औसत कोणीय वेग × समय

ωi

प्रारंभिक कोणीय वेग, चूक से rpm में — यह फ़ील्ड rad/s, °/s और rev/s भी लेती है। जो चीज़ रुकी हालत से शुरू हो, वहाँ इसे 0 ही रहने दें

ωf

अंतिम कोणीय वेग, उन्हीं इकाइयों में। शुरुआती मान से छोटा होना मान्य भी है और मायने भी रखता है: जवाब ऋणात्मक आता है, यानी मंदन

t

जितने समय में यह बदलाव हुआ, सेकंड में — फ़ील्ड मिनट भी लेती है। यह शून्य से बड़ा होना चाहिए, और पेज मान लेता है कि बदलाव पूरे समय में एकसमान बँटा है

α

कोणीय त्वरण — मुख्य नतीजा rad/s² में, और साथ में rpm/s तथा °/s² में। चिह्न वेग के बदलाव के साथ चलता है: ऋणात्मक α का मतलब घूर्णन धीमा पड़ रहा है

N

बदलाव के दौरान लगे चक्कर, औसत कोणीय वेग गुणा समय से — यही आँकड़ा बताता है कि मशीन के पास इतनी चादर घूमने की जगह है या नहीं

यह पेज तब काम आता है जब कोई चीज़ घूम रही हो और आपको पता करना हो कि उस पर कितना ज़ोर पड़ रहा है — मोटर जो किसी भार को घुमा रही हो, ब्रेक जो फ़्लाईव्हील को रोक रहा हो, सेंट्रीफ़्यूज का रैंप, हार्ड डिस्क का चालू होना, पहिया जिसे तेज़ किया जा रहा हो। यह रैखिक त्वरण वाले पेज का घूर्णन वाला जुड़वाँ है, और वही अंतर्ज्ञान यहाँ भी चलता है: गति में जितना बदलाव है, उतने ही समय में जितना छोटा समय लगेगा, त्वरण उतना ही बड़ा होगा — और उसे पैदा करने के लिए उतना ही बड़ा टॉर्क चाहिए। दो आदतें जवाब को ज़्यादा काम का बनाती हैं। पहली, चक्करों की संख्या को उतने ही ध्यान से पढ़ें जितने ध्यान से त्वरण को, क्योंकि डिज़ाइन का फ़ैसला अक्सर यही आँकड़ा करता है: जिस रैंप में 125 चक्कर लगते हैं, उसके खोल में 125 चक्करों की जगह चाहिए, और जो ब्रेक एक सेकंड में शाफ़्ट रोकता है, उसे पूरी ऊर्जा उसी एक सेकंड में सोखनी पड़ती है। दूसरी, चिह्न पर नज़र रखें, पर उससे ज़्यादा मतलब न निकालें — ऋणात्मक α यह कहता है कि घूर्णन धीमा पड़ रहा है, यह नहीं कि उलटी दिशा में चल रहा है, और पेज यह नहीं बता सकता कि यह काबू में की गई रुकावट है या कोई ख़राबी।

1. वॉशिंग मशीन का ढोल, रुकी हालत से 8 सेकंड में 1,200 rpm

   1. कोणीय वेग में बदलाव: 1,200 − 0 = 1,200 rpm
   2. rpm प्रति सेकंड में: 1,200 ÷ 8 = 150 rpm/s
   3. rad/s² में: 1,200 rpm = 125.664 rad/s, और 125.664 ÷ 8 = 15.708 rad/s²
   4. °/s² में: 15.708 × 57.2958 = 900
   5. औसत कोणीय वेग: 600 rpm = 10 rev/s
   6. रैंप के दौरान चक्कर: 10 × 8 = 80

   यह रोज़मर्रा का मामला है, और काम का आँकड़ा आख़िरी वाला है। आठ सेकंड में अस्सी चक्कर — ढोल को इतना कर पाना होता है और कपड़े गुठली बनकर मोटर न रोक दें, इसीलिए स्पिन चक्र पूरी रफ़्तार पर एकदम चालू होने के बजाय धीरे-धीरे ऊपर चढ़ता है। यह भी देखिए कि तीनों इकाइयाँ एक ही भौतिक तथ्य को बाँट रही हैं: 15.708 rad/s² और 150 rpm/s एक ही बात हैं, और °/s² वाला आँकड़ा सिर्फ़ इसलिए बड़ा दिखता है कि एक चक्कर में 360 डिग्री होते हैं।

2. हार्ड डिस्क की प्लेट, रुकी हालत से 10 सेकंड में 7,200 rpm

   1. कोणीय वेग में बदलाव: 7,200 rpm
   2. rpm प्रति सेकंड में: 7,200 ÷ 10 = 720 rpm/s
   3. rad/s² में: 7,200 rpm = 753.982 rad/s, और 753.982 ÷ 10 = 75.398 rad/s²
   4. °/s² में: 4,320
   5. औसत कोणीय वेग: 3,600 rpm = 60 rev/s
   6. रैंप के दौरान चक्कर: 60 × 10 = 600

   हिसाब वही है, मशीन ऐसी है जिसे जवाब की परवाह है। 75.398 rad/s² वॉशिंग मशीन के आँकड़े से पाँच गुना है, और प्लेट वहाँ तक पहुँचते-पहुँचते 600 चक्कर काट लेती है — इसीलिए जो ड्राइव बार-बार बंद और चालू होती है, उसके बेयरिंग घिसते हैं, और इसीलिए ड्राइव को पढ़ने के बीच-बीच में रोकने के बजाय घूमता ही रहने दिया जाता है। आधुनिक ड्राइव के लिए दस सेकंड जान-बूझकर धीमा है; लैपटॉप की ड्राइव लगभग तीन सेकंड में अपनी काम की रफ़्तार पकड़ लेती है, और यह सिर्फ़ इसलिए मुमकिन है कि प्लेट इतनी छोटी और हल्की है कि टॉर्क उपलब्ध रहता है।

3. एक ब्रेक, शाफ़्ट को 1,500 rpm से 4 सेकंड में रोकता हुआ

   1. कोणीय वेग में बदलाव: 0 − 1,500 = −1,500 rpm
   2. rpm प्रति सेकंड में: −1,500 ÷ 4 = −375 rpm/s
   3. rad/s² में: 1,500 rpm = 157.080 rad/s, इसलिए −157.080 ÷ 4 = −39.27 rad/s²
   4. °/s² में: −2,250
   5. औसत कोणीय वेग: 750 rpm = 12.5 rev/s
   6. रुकने के दौरान चक्कर: 12.5 × 4 = 50

   इस उदाहरण में पूरी बात चिह्न की है: तीनों त्वरण ऋणात्मक हैं, और चक्करों की संख्या ऋणात्मक नहीं है, क्योंकि शाफ़्ट अब भी आगे की ओर घूम रहा है — बस धीमे। ब्रेक लगने और शाफ़्ट रुकने के बीच पचास चक्कर होते हैं, और शाफ़्ट की पूरी घूर्णन ऊर्जा उन्हीं पचास चक्करों में बाहर निकलनी पड़ती है। ब्रेक और क्लच का फ़र्क़ यही है: ब्रेक को गतिज ऊर्जा को ऊष्मा में बदलना पड़ता है, और वह जिस दर से बदलता है वह इसी त्वरण के अनुपात में है — इसीलिए आपातकालीन रुकावट का पहला सेकंड ही डिस्क को तपाता है।

पेज मान लेता है कि कोणीय त्वरण एकसमान है — यानी रफ़्तार शुरू से आख़िर तक एक ही दर से बदलती है। असली मोटर में टॉर्क का अपना वक्र होता है, तय त्वरण नहीं, इसलिए रैंप रफ़्तार के ग्राफ़ पर सीधी रेखा नहीं बनता, और जो चक्करों की संख्या निकलती है वह औसत है — सॉफ़्ट स्टार्ट वाली मशीन से मेल नहीं खाएगी। यहाँ टॉर्क या जड़त्व आघूर्ण की कोई बात नहीं है: कोणीय त्वरण शुद्ध शुद्ध गतिकी है, और उसे उस बल में बदलने के लिए जो मोटर को देना है, न्यूटन के दूसरे नियम का घूर्णन रूप τ = Iα चाहिए, साथ में शाफ़्ट पर लगी हर चीज़ का जड़त्व। न कोणीय संवेग है, न ऊर्जा: जो ब्रेक शाफ़्ट रोकता है उसे रुकने के दौरान ½Iω² ख़र्च करनी पड़ती है, और पेज यह नहीं बता सकता कि वह कितनी है। यह पूरी तरह घूर्णन की बात है — ऐसा पहिया जिसे तेज़ किया जा रहा हो और जिसका वाहन भी चल रहा हो, उसका एक रैखिक त्वरण भी होता है, और दोनों त्रिज्या से जुड़े हैं, जो यह पेज नहीं पूछता। दिशा बदलने का मामला भी इसमें नहीं है: कोणीय वेग का चिह्न पलटने पर वह शून्य से गुज़रता है, और एकसमान त्वरण की धारणा ऐसी किसी चीज़ पर ठीक नहीं बैठती। आख़िर में, पेज यह नहीं जानता कि त्वरण कहाँ से आ रहा है, इसलिए वह ख़ुशी-ख़ुशी ऐसा त्वरण बता देगा जो कोई असली मोटर या ब्रेक दे ही नहीं सकता — और उस दर पर पैदा होने वाले कंपन, बेयरिंग के भार या गर्मी के बारे में कुछ नहीं कहता।

कोणीय त्वरण कैसे निकालते हैं?

अंतिम कोणीय वेग में से प्रारंभिक कोणीय वेग घटाइए और लगे समय से भाग दीजिए: α = (ωf − ωi) ÷ t। रुकी हालत से 5 सेकंड में 3,000 rpm तक जाना यानी 5 सेकंड में 3,000 rpm का बदलाव, जो 600 rpm/s है, या 62.832 rad/s²। जवाब ऋणात्मक आए तो घूर्णन तेज़ होने के बजाय धीमा पड़ रहा है, और पेज तीनों इकाई-प्रथाएँ एक साथ छापता है ताकि आपकी डेटाशीट जो भी इस्तेमाल करती हो, वह मिल जाए।

rad/s² वाला सूत्र क्या है?

वही, बस रफ़्तार पहले बदलनी पड़ती है: एक चक्कर प्रति मिनट यानी 2π ÷ 60 = 0.10472 rad/s, इसलिए 3,000 rpm = 314.159 rad/s, और 5 सेकंड से भाग देने पर 62.832 rad/s²। उलटी दिशा में जाना हो तो rad/s² को 9.5493 से गुणा कीजिए और rpm/s मिल जाएगा। इस बदलाव से भौतिकी नहीं बदलती — सिर्फ़ यह बदलता है कि तीन पंक्तियों में से आप कौन-सी पढ़ रहे हैं।

कोणीय त्वरण ऋणात्मक क्यों आता है?

क्योंकि अंतिम रफ़्तार शुरुआती से कम है और सूत्र दोनों को घटाता है, इसलिए मंदन ऋण चिह्न के साथ निकलता है। 1,500 rpm से 4 सेकंड में रुकने वाले शाफ़्ट का α = −39.27 rad/s² होता है। यह चिह्न कहता है कि घूर्णन धीमा पड़ रहा है, यह नहीं कि उलटा चल रहा है — चक्करों की संख्या पूरे समय धनात्मक रहती है, क्योंकि रुकते-रुकते भी शाफ़्ट आगे की ओर ही घूम रहा है।

चक्करों की संख्या किस काम की है?

यह बताती है कि रफ़्तार बदलते समय वस्तु ने कितने चक्कर लगाए — औसत कोणीय वेग गुणा समय। डिज़ाइन का फ़ैसला अक्सर यही आँकड़ा करता है: 8 सेकंड में 1,200 rpm तक पहुँचने वाला ढोल 80 चक्कर काटता है, और जिस मशीन में 50 चक्करों की जगह है वह यह रैंप कर ही नहीं सकती। यही आँकड़ा बताता है कि डिस्क को कितनी ब्रेक सतह चाहिए, क्योंकि पूरी घूर्णन ऊर्जा उन्हीं चक्करों में निकलनी है।

कोणीय त्वरण का टॉर्क से क्या रिश्ता है?

न्यूटन के दूसरे नियम के घूर्णन रूप से, τ = Iα, जहाँ τ टॉर्क है और I जड़त्व आघूर्ण। यह पेज सिर्फ़ गतिकी देता है — α, और कुछ नहीं — और मोटर को जो टॉर्क देना है वह निकालने के लिए शाफ़्ट पर लगी हर चीज़ का जड़त्व चाहिए, जो ठोस डिस्क के लिए ½mr² है और छल्ले के लिए mr²। व्यवहार में इसीलिए भरी हुई सेंट्रीफ़्यूज को उसी त्वरण के लिए ख़ाली से कहीं बड़ी मोटर चाहिए: α एक जैसा है, I नहीं।

क्या रफ़्तार का बदलाव एकसमान है या नहीं, इससे फ़र्क़ पड़ता है?

पड़ता है, और यह पेज मान लेता है कि है। एकसमान कोणीय त्वरण का मतलब है शुरुआती रफ़्तार से आख़िरी तक सीधी चढ़ाई, और तब चक्करों की संख्या बस दोनों का औसत गुणा समय होती है। सॉफ़्ट स्टार्ट वाली असली मोटर रफ़्तार असमान रूप से बदलती है, इसलिए असली चक्कर अलग आएँगे — यह पेज नाप-जोख और जाँच-पड़ताल के लिए सही है, और यह बताने के लिए ग़लत कि किसी असली मशीन का शाफ़्ट किसी रैंप के बाद ठीक कहाँ होगा।

• Angular Acceleration (College Physics 2e, §10.1) — α = Δω ÷ Δt, the definition of angular acceleration, and the rotational kinematics equations built on it — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the radian as the coherent unit of angle and the radian per second squared as the unit of angular acceleration, with the exact factors for degrees and revolutions — National Institute of Standards and Technology
• Angular acceleration — the relation to torque and moment of inertia that this page deliberately leaves out, and the sign convention for a decelerating rotation — Wikipedia