स्थितिज ऊर्जा का सूत्र क्या है?

U = m × g × h: द्रव्यमान गुणा गुरुत्वीय त्वरण गुणा उठाई गई ऊँचाई। पृथ्वी पर 2 m उठाया 70 kg का व्यक्ति 70 × 9.80665 × 2 = 1372.93 J जमा करता है। सूत्र एक ही गुणा है, इसीलिए इस पेज का दिलचस्प हिस्सा हिसाब नहीं बल्कि वे दो चीज़ें हैं जिन्हें आप बदल सकते हैं — गुरुत्व, जो वही उठान चंद्रमा पर छठे हिस्से की ऊर्जा बना देता है, और ऊँचाई, जो समुद्र तल से ऊँचाई नहीं बल्कि दो स्तरों का अंतर है।

टकराव का वेग द्रव्यमान पर निर्भर क्यों नहीं करता?

क्योंकि द्रव्यमान ऊर्जा-संतुलन के दोनों ओर आता है और कट जाता है। गिरने में जमा ऊर्जा गतिज ऊर्जा बनती है, इसलिए m × g × h = ½ × m × v², और दोनों ओर m से भाग देने पर g × h = ½v² बचता है, जो घुमाकर v = √(2gh) बनता है। 2 m से गिराए गए 70 kg के व्यक्ति और 1 kg के थैले, दोनों 6.26 m/s से टकराते हैं। भारी वस्तुएँ ज़्यादा ऊर्जा लिए चलती हैं — वही 1372.93 J — पर उन्हें उतनी ही तेज़ करने में ज़्यादा ऊर्जा भी लगती है, और दोनों असर बिलकुल कट जाते हैं।

किसी वस्तु को दुगनी ऊँचाई तक उठाने से क्या होता है?

जमा ऊर्जा दुगनी हो जाती है पर गिरने की चाल केवल 1.41 गुना बढ़ती है, यानी दो का वर्गमूल। 2 m से 4 m जाने पर 70 kg का उठान 1372.93 J से 2745.86 J हो जाता है, जबकि टकराने की चाल 6.26 m/s से 12.5 की जगह 8.86 m/s बनती है। इसे आत्मसात कर लेना काम का है क्योंकि यही संबंध यह भी तय करता है कि ब्रेक लगाने की दूरी चाल के वर्ग से क्यों बढ़ती है: ऊर्जा ऊँचाई के साथ चलती है, और चाल केवल उसके वर्गमूल के साथ।

चंद्रमा या मंगल के लिए कौन-सा गुरुत्व मान लूँ?

कैलकुलेटर के बग़ल की तालिका में दोनों दर्ज हैं: चंद्रमा 1.62 m/s² और मंगल 3.71, जबकि पृथ्वी का परिभाषित मान 9.80665 है। ये सतह के औसत मान हैं और हर पिंड पर क़रीब एक प्रतिशत तक बदलते हैं, जो उनके आपसी फ़र्क़ से बहुत कम है, इसलिए अभियानों के नाप-जोख के लिए यही सही मान हैं। बृहस्पति 24.79 m/s² दर्ज है, पर ध्यान रखिए कि उसकी सतह ठोस ज़मीन नहीं बल्कि 1 बार का दबाव-स्तर है, और सूर्य का 274 उसका प्रकाशमंडल है — वहाँ 70 kg का व्यक्ति 19.2 kN भारी होगा।

क्या स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा एक ही हैं?

वे एक ही राशि के दो रूप हैं, और इस पेज का दूसरा हिस्सा उनका विनिमय-भाव है। ऊँचाई से जमा ऊर्जा नीचे आते-आते गति की ऊर्जा बन जाती है, इसलिए 2 m पर 70 kg के उठान के 1372.93 J टकराने से ठीक पहले 1372.93 J गतिज ऊर्जा बन जाते हैं, और वही 6.26 m/s है जो पेज बताता है। गतिज ऊर्जा वाला कैलकुलेटर दूसरे सिरे से शुरू करता है और दी हुई चाल के लिए चाहिए ऊँचाई देता है, इसलिए दोनों पेज एक-दूसरे के उलटे हैं, एक जैसे नहीं।

स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटर

नतीजा

1,372.93 J

स्थितिज ऊर्जा

स्थितिज ऊर्जा (kJ): 1.3729 kJ
स्थितिज ऊर्जा (ft·lb): 1,012.62 ft·lb
टकराव का वेग: 6.26 m/s

स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटर: गुरुत्व के ख़िलाफ़ किसी द्रव्यमान को उठाने पर कितनी ऊर्जा जमा होती है। सूत्र U = m × g × h है, और काम की बात यह है कि g यहाँ इनपुट है, कोई स्थिरांक नहीं — चंद्रमा चुनिए और वही उठान छठे हिस्से की ऊर्जा जमा करती है। पेज जमा हुई ऊर्जा जूल, किलोजूल और फुट-पाउंड में देता है, और साथ में वह वेग भी जिससे वस्तु वापस गिरे: √(2gh), जो द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता। डिफ़ॉल्ट: पृथ्वी पर 70 kg को 2 m उठाना — 1372.93 J और 6.26 m/s।

वही 70 kg का उठान, 2 m, छह पिंडों पर

पिंड	सतह का गुरुत्व (m/s²)	वहाँ भार (N)	उठाने की ऊर्जा (J)
चंद्रमा	1.62	113.4	226.8
मंगल	3.71	259.7	519.4
शुक्र	8.87	620.9	1241.8
पृथ्वी	9.80665	686.47	1372.93
बृहस्पति	24.79	1735.3	3470.6
सूर्य	274	19180	38360

हर पंक्ति में द्रव्यमान 70 kg और उठान 2 m ही रहता है और केवल गुरुत्व बदलता है, इसलिए भार वाला स्तंभ गुरुत्व का 70 गुना है और ऊर्जा वाला स्तंभ भार का दुगना। गुरुत्व वाला स्तंभ जैसा लिखा है वैसा ही छपता है, दो दशमलव तक गोल नहीं होता, इसीलिए पृथ्वी 9.80665 पढ़ी जाती है और सूर्य 274 — पीछे के शून्य नहीं दिखाए जाते। फैलाव ही मुद्दा है: जिस उठान पर पृथ्वी 1372.93 J लेती है वह चंद्रमा पर 226.8 J लेती है, और सूर्य पर 38360 J, यानी अठाईस गुना ज़्यादा। बीच वाले और दाएँ स्तंभ को जोड़ी में पढ़िए तो कहानी के दोनों आधे हाथ लग जाते हैं — वहाँ वस्तु कितनी भारी है, और उसे उठाने में कितना लगता है। आख़िरी दो पंक्तियों पर एक सावधानी: बृहस्पति की “सतह” 1 बार का दबाव-स्तर है, क्योंकि उसके पास ठोस ज़मीन नहीं, और सूर्य की उसका प्रकाशमंडल है।

फ़ॉर्मूला

स्थितिज ऊर्जा = द्रव्यमान × गुरुत्वीय त्वरण × उठाई गई ऊँचाई

m: जिस द्रव्यमान को उठाया जा रहा है, किलोग्राम में, और उसी फ़ील्ड में ग्राम, टन तथा पाउंड भी। यह ऊर्जा को सीधे-सीधे बढ़ाता है: दुगना द्रव्यमान, दुगने जूल, चाहे आप कितना भी ऊँचा जाइए। गिरने की चाल में यह आता ही नहीं — इस पेज पर यही अकेली जगह है जहाँ द्रव्यमान कट जाता है, और इस पर नज़र रखने लायक है
h: वस्तु कितनी ऊपर उठाई गई, मीटर, फुट, सेंटीमीटर या इंच में। यह अंतर है, ऊँचाई नहीं: बक्से को पहली मंज़िल से तीसरी तक ले जाने पर h वह दो मंज़िलों का फ़ासला है, क़रीब छह मीटर, न समुद्र तल से ऊँचाई और न पृथ्वी के केंद्र तक की दूरी। शून्य भी मान्य है और असली पाठ है — कोई उठान नहीं, कोई जमा ऊर्जा नहीं
g: जहाँ उठान हो रहा है वहाँ का गुरुत्वीय त्वरण, m/s² में, ft/s² में, या मानक गुरुत्व के गुणक में। यही वह फ़ील्ड है जिसके लिए यह पेज खोलने लायक है: डिफ़ॉल्ट 9.80665 है, और कैलकुलेटर के बग़ल की तालिका में छह पिंड दर्ज हैं ताकि मान सीधे उठाकर डाला जा सके। चंद्रमा का 1.62 पृथ्वी का छठा हिस्सा है, इसलिए वही उठान छठे हिस्से की ऊर्जा जमा करती है; सूर्य का 274 पृथ्वी से अठाईस गुना है, और वहाँ 70 kg का व्यक्ति 19.2 kN भारी होगा
U: जमा हुई ऊर्जा, मुख्य पंक्ति में जूल, और नीचे किलोजूल तथा फुट-पाउंड उन पाठकों के लिए जो किसी भी एक में काम करते हैं। यह वही काम है जो गुरुत्व तब लौटाएगा जब वस्तु नीचे आएगी, और वही काम जो आपने उसे उठाने में लगाया — इसीलिए इसे केवल स्थितिज ऊर्जा नहीं, गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा भी कहा जाता है। पृथ्वी पर 2 m उठाया 70 kg का व्यक्ति 1372.93 J जमा करता है, जो एक खाद्य कैलोरी का क़रीब तिहाई है
√(2gh): वह चाल जो वस्तु उस ऊँचाई से गिराई जाने पर पकड़ लेती — यानी टकराव का वेग — m/s में। यह वही ऊर्जा है, बस दूसरे सिरे से देखी हुई: नीचे आते-आते पूरी जमा U गतिज ऊर्जा बन जाती है, और चूँकि ½mv² = mgh के दोनों ओर एक ही m बैठता है, द्रव्यमान कट जाता है और जवाब केवल ऊँचाई तथा गुरुत्व पर टिका रहता है। वस्तु को दुगनी ऊँचाई तक उठाने पर वह 1.41 गुना रफ़्तार से गिरती है, दुगनी से नहीं

इसे तब खोलिए जब आपको यह जानना हो कि उठान में कितना ख़र्च लगता है या गिरावट में कितना मिलता है: होइस्ट या क्रेन की मोटर का नाप लेना, पंप-स्टोरेज जलाशय या ऊपर उठाए गए भार वाली घड़ी की ऊर्जा निकालना, यह देखना कि भार उठाने के लिए बैटरी को कितना देना पड़ेगा, या कक्षा का वह सवाल सुलझाना कि गेंद ऊपर थामी रखी हो तो ऊर्जा जाती कहाँ है। गुरुत्व वाला फ़ील्ड ही इस पेज को सादे mgh गुणा से अलग करता है — उसे 1.62 पर रखिए और वही उठान छठे हिस्से की लागत बन जाती है, और चंद्र तथा मंगल अभियानों की योजना में इसी संख्या की फ़िक्र क्यों होती है, यही पूरी वजह है। दूसरी वजह गिरने की चाल है: अगर आपके पास ऊँचाई है और जानना है कि चीज़ कितनी ज़ोर से गिरेगी, तो जो द्रव्यमान आपको शायद मालूम ही न हो, उसकी कोई भूमिका नहीं।

हल किए हुए उदाहरण

डिफ़ॉल्ट: पृथ्वी पर 70 kg को 2 m उठाना
1. द्रव्यमान 70 kg, ऊँचाई 2 m, गुरुत्व 9.80665 m/s²
2. ऊर्जा: U = m × g × h = 70 × 9.80665 × 2 = 1372.931 J, जो छपकर 1372.93 J होता है
3. किलोजूल में: 1372.931 ÷ 1000 = 1.372931, यानी 1.3729 kJ
4. फुट-पाउंड में: 1372.931 ÷ 1.3558179483 = 1012.6219, यानी 1012.62 ft·lb
5. गिरने की चाल: √(2 × 9.80665 × 2) = √39.2266 = 6.2631, यानी 6.26 m/s
6. आख़िरी पंक्ति की संतुलन-जाँच: ½ × 70 × 6.2631² = 1372.9 J — गिरने की चाल वही ऊर्जा है, कोई अलग तथ्य नहीं
यह ऊर्जा एक खाद्य कैलोरी का क़रीब तिहाई है, और यही पैमाना ध्यान में रखने लायक है: किसी व्यक्ति को एक मंज़िल ऊपर उठाने में क़रीब तिहाई कैलोरी का यांत्रिक काम लगता है, और शरीर उससे कई गुना ख़र्च करता है क्योंकि मांसपेशियाँ सौ प्रतिशत कुशल नहीं होतीं। आख़िरी क़दम ही वजह है कि गिरने की चाल इस पेज पर है ही। यह बाहर से जोड़ा गया कोई अतिरिक्त सूत्र नहीं है — यह वही 1372.93 J है, ऊँचाई के बजाय गति के रूप में लिखा हुआ, और जाँच इसकी पुष्टि करती है। यह भी देखिए कि गिरने की चाल में क्या नहीं है: द्रव्यमान। 2 m से 70 kg का व्यक्ति गिराइए या 1 kg का थैला, दोनों 6.26 m/s से टकराते हैं, इसीलिए गिरावट की ऊँचाई से टकराने की चाल पता चलती है और भार से केवल नुक़सान।
मेज़ तक उठाई पानी की बोतल: 1 kg, 1 m
1. द्रव्यमान 1 kg, ऊँचाई 1 m, गुरुत्व 9.80665 m/s²
2. ऊर्जा: U = 1 × 9.80665 × 1 = 9.80665 J, जो छपकर 9.81 J होता है
3. किलोजूल में: 0.00980665, यानी 0.0098 kJ — चार दशमलव, दो नहीं
4. फुट-पाउंड में: 9.80665 ÷ 1.3558179483 = 7.2330, यानी 7.23 ft·lb
5. गिरने की चाल: √(2 × 9.80665 × 1) = √19.6133 = 4.4287, यानी 4.43 m/s
यही वह पंक्ति है जो समझाती है कि किलोजूल वाला नतीजा दो के बजाय चार दशमलव क्यों रखता है। इस पैमाने पर दो दशमलव वाली पंक्ति 0.01 kJ पढ़ी जाती, जो दूसरे अंक में ही ग़लत है और बग़ल में छपी जूल वाली पंक्ति से मेल भी नहीं खाती — 9.81 J यानी 0.00981 kJ, और पैनल यही कहता है। गिरने की चाल भी दोबारा देखने लायक है: 4.43 m/s क़रीब 16 km/h है, यानी तेज़ दौड़, और मेज़ की ऊँचाई की ताक से गिरती बोतल यही पकड़ती है। छोटी ऊँचाइयाँ छोटी ऊर्जाएँ देती हैं, और वर्गमूल की वजह से वे उतनी छोटी चालें नहीं देतीं जितना आप सोचें।
चंद्रमा पर वही उठान: 70 kg, 2 m, g = 1.62
1. द्रव्यमान 70 kg, ऊँचाई 2 m, गुरुत्व 1.62 m/s² — यानी चंद्रमा
2. ऊर्जा: U = 70 × 1.62 × 2 = 226.8 J, ठीक उस 1372.93 J का छठा हिस्सा जो पृथ्वी पर लगता है
3. किलोजूल में: 0.2268, यानी 0.2268 kJ
4. फुट-पाउंड में: 226.8 ÷ 1.3558179483 = 167.2791, यानी 167.28 ft·lb
5. गिरने की चाल: √(2 × 1.62 × 2) = √6.48 = 2.5456, यानी 2.55 m/s
हर पंक्ति दोनों गुरुत्वों के अनुपात से सिकुड़ जाती है, 1.62 ÷ 9.80665 = 0.1652, और यही अनुपात उस बात का पूरा मर्म है कि गुरुत्व को सूत्र में 9.81 लिख देने के बजाय इनपुट बनाया गया। गिरने की चाल भी सिकुड़ती है, पर अनुपात से नहीं बल्कि उसके वर्गमूल से — 6.2631 × √0.1652 = 2.5456, यानी 2.55 — और सीधे बढ़ने तथा वर्गमूल से बढ़ने का यह फ़र्क़ ध्यान देने लायक है। अपोलो की फ़ुटेज में अंतरिक्ष यात्री चलने के बजाय उछलते इसीलिए दिखते हैं: वही पैर का धक्का जो पृथ्वी पर उन्हें 20 cm उठाता है, यहाँ 1.2 m उठा देता है, और उतनी ऊँचाई से उतरना धीमा तथा नरम पड़ता है।

सीमाएँ

ऊँचाई दो स्तरों के बीच का अंतर है, इसलिए जवाब उस ख़ास उठान की ऊर्जा है, वस्तु के पास स्थिति से जो कुल ऊर्जा होती है वह नहीं: संदर्भ-स्तर वहीं है जहाँ आप उसे रखें। पूरे उठान में गुरुत्व स्थिर माना गया है, जो एक इमारत भर के लिए सही है और ग्रह की त्रिज्या जितनी दूरी पर ग़लत। यहाँ बग़ल की गति कहीं नहीं आती: वस्तु शुरू में और अंत में स्थिर है। गिरने की चाल में वायु-प्रतिरोध छोड़ दिया गया है, और साथ में पृथ्वी का घूर्णन तथा वायु का उत्प्लावन भी।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

स्थितिज ऊर्जा का सूत्र क्या है?: U = m × g × h: द्रव्यमान गुणा गुरुत्वीय त्वरण गुणा उठाई गई ऊँचाई। पृथ्वी पर 2 m उठाया 70 kg का व्यक्ति 70 × 9.80665 × 2 = 1372.93 J जमा करता है। सूत्र एक ही गुणा है, इसीलिए इस पेज का दिलचस्प हिस्सा हिसाब नहीं बल्कि वे दो चीज़ें हैं जिन्हें आप बदल सकते हैं — गुरुत्व, जो वही उठान चंद्रमा पर छठे हिस्से की ऊर्जा बना देता है, और ऊँचाई, जो समुद्र तल से ऊँचाई नहीं बल्कि दो स्तरों का अंतर है।
टकराव का वेग द्रव्यमान पर निर्भर क्यों नहीं करता?: क्योंकि द्रव्यमान ऊर्जा-संतुलन के दोनों ओर आता है और कट जाता है। गिरने में जमा ऊर्जा गतिज ऊर्जा बनती है, इसलिए m × g × h = ½ × m × v², और दोनों ओर m से भाग देने पर g × h = ½v² बचता है, जो घुमाकर v = √(2gh) बनता है। 2 m से गिराए गए 70 kg के व्यक्ति और 1 kg के थैले, दोनों 6.26 m/s से टकराते हैं। भारी वस्तुएँ ज़्यादा ऊर्जा लिए चलती हैं — वही 1372.93 J — पर उन्हें उतनी ही तेज़ करने में ज़्यादा ऊर्जा भी लगती है, और दोनों असर बिलकुल कट जाते हैं।
किसी वस्तु को दुगनी ऊँचाई तक उठाने से क्या होता है?: जमा ऊर्जा दुगनी हो जाती है पर गिरने की चाल केवल 1.41 गुना बढ़ती है, यानी दो का वर्गमूल। 2 m से 4 m जाने पर 70 kg का उठान 1372.93 J से 2745.86 J हो जाता है, जबकि टकराने की चाल 6.26 m/s से 12.5 की जगह 8.86 m/s बनती है। इसे आत्मसात कर लेना काम का है क्योंकि यही संबंध यह भी तय करता है कि ब्रेक लगाने की दूरी चाल के वर्ग से क्यों बढ़ती है: ऊर्जा ऊँचाई के साथ चलती है, और चाल केवल उसके वर्गमूल के साथ।
चंद्रमा या मंगल के लिए कौन-सा गुरुत्व मान लूँ?: कैलकुलेटर के बग़ल की तालिका में दोनों दर्ज हैं: चंद्रमा 1.62 m/s² और मंगल 3.71, जबकि पृथ्वी का परिभाषित मान 9.80665 है। ये सतह के औसत मान हैं और हर पिंड पर क़रीब एक प्रतिशत तक बदलते हैं, जो उनके आपसी फ़र्क़ से बहुत कम है, इसलिए अभियानों के नाप-जोख के लिए यही सही मान हैं। बृहस्पति 24.79 m/s² दर्ज है, पर ध्यान रखिए कि उसकी सतह ठोस ज़मीन नहीं बल्कि 1 बार का दबाव-स्तर है, और सूर्य का 274 उसका प्रकाशमंडल है — वहाँ 70 kg का व्यक्ति 19.2 kN भारी होगा।
क्या स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा एक ही हैं?: वे एक ही राशि के दो रूप हैं, और इस पेज का दूसरा हिस्सा उनका विनिमय-भाव है। ऊँचाई से जमा ऊर्जा नीचे आते-आते गति की ऊर्जा बन जाती है, इसलिए 2 m पर 70 kg के उठान के 1372.93 J टकराने से ठीक पहले 1372.93 J गतिज ऊर्जा बन जाते हैं, और वही 6.26 m/s है जो पेज बताता है। गतिज ऊर्जा वाला कैलकुलेटर दूसरे सिरे से शुरू करता है और दी हुई चाल के लिए चाहिए ऊँचाई देता है, इसलिए दोनों पेज एक-दूसरे के उलटे हैं, एक जैसे नहीं।

संदर्भ

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गतिज ऊर्जा कैलकुलेटरद्रव्यमान और वेग से गतिज ऊर्जा।कार्य कैलकुलेटरबल और विस्थापन से किया गया कार्य, जूल में।प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा कैलकुलेटरखींची हुई स्प्रिंग में जमा ऊर्जा।अभिलंब बल कैलकुलेटरसपाट या ढलान वाली सतह पर वस्तु पर अभिलंब बल।