अभिलंब बल कैलकुलेटर

अभिलंब बल = द्रव्यमान × गुरुत्व × cos(ढाल का कोण)

m

जो द्रव्यमान सतह पर टिका है, किलोग्राम में, और उसी फ़ील्ड में ग्राम, टन तथा पाउंड भी हैं। यह द्रव्यमान है, भार नहीं: भार m × g होता है और पेज उसे अपनी अलग पंक्ति में छापता है। फ़ील्ड शून्य नहीं लेती, क्योंकि बिना द्रव्यमान की चीज़ छोटी चीज़ नहीं होती, चीज़ ही नहीं होती — और उससे पेज की हर पंक्ति शून्य पढ़ने लगती

θ

ढाल का कोण, यानी सतह और क्षैतिज के बीच का, डिग्री, रेडियन या ग्रेडियन में। सपाट ज़मीन 0 है और खड़ी दीवार 90, और फ़ील्ड बीच का कुछ भी ले लेती है। 30 डिग्री पर अभिलंब बल भार का 87 प्रतिशत होता है; 90 पर वह बिलकुल कुछ नहीं रहता, क्योंकि तब सतह वस्तु के नीचे है ही नहीं

g

मानक गुरुत्व, 9.80665 m/s² पर स्थिर — यह परिभाषित मान है, कोई स्थानीय नाप नहीं। इसे जान-बूझकर इनपुट नहीं बनाया गया, क्योंकि यह पाठक की चुनने वाली राशि नहीं है; अगर आप जानना चाहते हैं कि वही चीज़ चंद्रमा या मंगल पर कितनी भारी है और कितनी ऊर्जा रखती है, तो वह ऊर्जा वाला पेज है, जहाँ गुरुत्व एक फ़ील्ड है और उसके बग़ल छह खगोलीय पिंडों की तालिका भी

N

अभिलंब बल ख़ुद: सतह के लंबवत, उससे दूर की ओर, न्यूटन और पाउंड-बल दोनों में। अभिलंब यहाँ ज्यामिति का शब्द है, जिसका मतलब लंबवत है — यह बल अपनी दिशा से परिभाषित होता है, वस्तु के किसी गुण से नहीं। यह प्रतिक्रिया है, कारण नहीं, और यह वस्तु नहीं, सतह करती है

F∥

ढाल के साथ वाला घटक, mg sin θ, जो सतह के समानांतर है और ढाल के नीचे की ओर इशारा करता है। यह वस्तु पर लगने वाला तीसरा बल नहीं है — यह भार का बाक़ी हिस्सा है, वह हिस्सा जिसे सतह सँभाल नहीं रही। यही वह संख्या है जो रगड़ वाले पेजों को चाहिए, क्योंकि वस्तु फिसलेगी या नहीं, यह इसी की उस रगड़ से तुलना पर टिका है जो सतह दे सकती है

इसे तब खोलिए जब कोई द्रव्यमान ढाल, छत, लोडिंग रैंप या किसी भी ढलवाँ सतह पर पड़ा हो और आपको वह बल चाहिए जो सतह सचमुच झेल रही है: चॉक का नाप लेना, खड़ी ट्रेलर टिकेगी या नहीं यह देखना, स्लेज के पत्तों का दबाव निकालना, या ढाल के साथ वाला भार-घटक जानना ताकि आगे यह पूछा जा सके कि फिसलेगी या नहीं। यह पेज तब भी पढ़ने लायक है जब जवाब चौंकाए — ढाल पर अभिलंब बल भार नहीं होता, वह भार गुणा ढाल के कोण की कोज्या होता है, इसलिए 30 डिग्री की रैंप पर 100 kg का बक्सा 849 N से दबाता है, 981 N से नहीं — वे 981 N कहीं गए नहीं, बस बँट गए हैं, और उनमें से 490 N अब उस बक्से को ढाल के नीचे खींच रहे हैं। यही बँटवारा पूरा विषय है, और तीनों पंक्तियाँ साथ दिखाने का मक़सद यही है कि भार के साथ दोनों घटक एक नज़र में दिख जाएँ। ये दोनों घटक वाले घटक रगड़ वाले कैलकुलेटरों को सौंपे जाते हैं, जो ढाल पर अभिलंब बल को निकालते नहीं, इनपुट के रूप में लेते हैं।

1. डिफ़ॉल्ट: 10 kg, 30 डिग्री की ढाल पर

   1. द्रव्यमान 10 kg, ढाल का कोण 30 डिग्री
   2. भार: W = m × g = 10 × 9.80665 = 98.0665 N, जो छपकर 98.07 N होता है
   3. अभिलंब बल: N = W × cos 30 = 98.0665 × 0.8660254 = 84.9281, यानी 84.93 N
   4. ढाल के साथ वाला घटक: F∥ = W × sin 30 = 98.0665 × 0.5 = 49.0333, यानी 49.03 N
   5. जाँच: 84.93² + 49.03² = 7213.1 + 2403.9 = 9617, और 98.07² = 9617.7 — दोनों घटक मिलकर भार ही बनाते हैं
   6. पाउंड-बल में: 84.9281 ÷ 4.4482216 = 19.0926, यानी 19.09 lbf

   पाँचवें क़दम की जाँच ही वजह है कि यह पेज एक के बजाय तीन बल-पंक्तियाँ छापता है, और इसे एक बार हाथ से कर लेना अच्छा है: अभिलंब बल और ढाल के साथ वाला घटक एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए उनके वर्ग जोड़कर भार का वर्ग बनता है। 30 डिग्री की ढाल पर सतह भार का 87 प्रतिशत झेलती है — 98.07 में से 84.93 N — जबकि नीचे की ओर खिंचाव 49.03 N है, जो भार का आधा है, वह 13 प्रतिशत नहीं जो कोज्या से बचता है। ये दोनों एक जोड़ के दो आधे नहीं, बल्कि परस्पर लंबवत घटक हैं, इसीलिए 84.93² + 49.03² फिर 98.07² पर लौट आता है। वे 49 N ही वह संख्या हैं जो रगड़ वाले कैलकुलेटर तक ले जानी हैं, क्योंकि वस्तु टिकी रहेगी या नहीं यह इसकी उस रगड़ से तुलना पर टिका है जो सतह दे सकती है, और वह रगड़ का गुणांक गुणा यह 84.93 N है, भार नहीं।

2. सपाट ज़मीन: 70 kg फ़र्श पर खड़ा

   1. द्रव्यमान 70 kg, ढाल का कोण 0 डिग्री — यानी सपाट फ़र्श पर खड़ा एक व्यक्ति
   2. भार: W = 70 × 9.80665 = 686.4655 N
   3. अभिलंब बल: N = W × cos 0 = 686.4655 × 1 = 686.4655, यानी 686.47 N
   4. ढाल के साथ वाला घटक: F∥ = W × sin 0 = 686.4655 × 0 = 0 N, बिलकुल शून्य
   5. पाउंड-बल में: 686.4655 ÷ 4.4482216 = 154.3236, यानी 154.32 lbf

   शून्य डिग्री पर ऊपर की दोनों पंक्तियाँ एक ही संख्या देती हैं और नीचे की पंक्ति शून्य, इसीलिए सपाट ज़मीन पर पेज फ़ालतू लगता है — और है नहीं: यह वह मामला है जहाँ अभिलंब बल सचमुच भार के बराबर होता है, और यही अकेला मामला है जहाँ ऐसा होता है। सतह ज़रा भी तिरछी हुई कि दोनों पंक्तियाँ अलग हो जाती हैं — 30 डिग्री तक पहुँचते-पहुँचते वे 84.93 और 98.07 बन जाती हैं — और दोनों छापने का मक़सद यह है कि जिस पाठक ने आज तक केवल सपाट वाला रूप देखा है, वह हर जगह N = mg मान लेता है। जिस फ़र्श पर आप खड़े हैं वह 686 N से ऊपर धकेल रहा है, यानी 154 पाउंड, और वह सुबह से यही कर रहा है।

3. सीमा: 1000 kg, खड़ी दीवार के सहारे

   1. द्रव्यमान 1000 kg, ढाल का कोण 90 डिग्री — सतह अब दीवार बन चुकी है
   2. भार: W = 1000 × 9.80665 = 9806.65 N
   3. अभिलंब बल: N = W × cos 90 = 9806.65 × 0 = 0 N
   4. ढाल के साथ वाला घटक: F∥ = W × sin 90 = 9806.65 × 1 = 9806.65 N — पूरा का पूरा
   5. यानी सतह भार का कुछ भी नहीं झेल रही और पूरे 9806.65 N सीधे नीचे खींच रहे हैं

   यही वह पंक्ति है जिससे सूत्र समझ में आता है। खड़ी सतह भार का कुछ भी नहीं झेलती, क्योंकि वस्तु के नीचे उसे पीछे धकेलने के लिए कुछ है ही नहीं: cos 90 शून्य है, इसलिए अभिलंब बल शून्य है, और पूरा भार ढाल के साथ वाले घटक में चला गया है, जो 90 डिग्री पर सीधे नीचे इशारा करता है। पेज भार फिर भी छापता है, क्योंकि वह वस्तु का गुण है, सतह का नहीं — पर अगर आप इस बक्से को थामने के लिए दीवार नाप रहे हों, तो इन पंक्तियों से कोई मदद नहीं मिलेगी: जो दीवार बक्से पर धकेल ही नहीं रही, वह रगड़ भी नहीं देती, और उसे थामने के लिए ऐसा बल चाहिए जिसका इस पेज में कोई ज़िक्र नहीं।

सतह सीधी मानी गई है और वस्तु उस पर एक बिंदु: टीले जैसी मुड़ी हुई सतह, या इतना लंबा बक्सा जो ढाल को दो जगह छूता हो, यहाँ मेल नहीं खाएगा। केवल गुरुत्व गिना गया है, इसलिए ऊपर खींचती रस्सी, ऊपर से दबाता हाथ, या ऊपर रखी दूसरी वस्तु — सब अभिलंब बल बदल देते हैं, और वह एक प्रतिक्रिया है, ऐसी राशि नहीं जिसे यह पेज पहले से जान सके। यहाँ रगड़ कहीं शामिल नहीं है; पेज वही दो घटक निकालता है जिन्हें रगड़ वाले कैलकुलेटर इनपुट की तरह लेते हैं। गुरुत्व परिभाषित मानक 9.80665 m/s² पर स्थिर है।

अभिलंब बल का सूत्र क्या है?

N = m × g × cos θ, जहाँ θ क्षैतिज से नापा गया ढाल का कोण है। सपाट ज़मीन पर cos 0 यानी 1, इसलिए अभिलंब बल भार के बराबर होता है; 30 डिग्री की ढाल पर cos 30 यानी 0.866, इसलिए 10 kg की वस्तु का अभिलंब बल 98.07 N के भार के सामने 84.93 N है। सूत्र भार को उसके उस हिस्से से गुणा करता है जो सतह पर दबाता है, और भार का बाक़ी हिस्सा वह घटक है जो वस्तु को ढाल के नीचे खींचता है, m × g × sin θ।

ढाल पर अभिलंब बल भार से कम क्यों होता है?

क्योंकि भार का एक हिस्सा सतह पर दबाता ही नहीं। भार एक अकेला नीचे की ओर लगा बल है, और ढाल पर उसे दो हिस्सों में बाँटना काम का है — एक सतह के लंबवत और एक उसके समानांतर; सतह को केवल लंबवत हिस्सा सँभालना पड़ता है। 30 डिग्री पर वह भार का 87 प्रतिशत है, 45 डिग्री पर 71 प्रतिशत, और 60 डिग्री पर 50 प्रतिशत। जो बचता है, mg sin θ, वही वस्तु को ढाल के नीचे खींचता है।

ढाल पर किसी द्रव्यमान का अभिलंब बल कैसे निकालूँ?

द्रव्यमान और ढाल का कोण डालिए; पेज को और कुछ नहीं चाहिए, क्योंकि गुरुत्व 9.80665 m/s² पर स्थिर है। 10 डिग्री की रैंप पर 1500 kg की कार का अभिलंब बल 1500 × 9.80665 × cos 10 = 14486.5 N बनता है, और ढाल के साथ वाला घटक 2554.4 N। अगर आपके पास द्रव्यमान के बजाय भार पहले से है, तो उसे पहले 9.80665 से भाग दीजिए, या सीधे cos θ से गुणा कर दीजिए — दोनों रास्ते दिखने वाले अंकों तक वही जवाब देते हैं।

सपाट ज़मीन पर अभिलंब बल क्या होता है?

वह ठीक भार के बराबर होता है, m × g। ढाल का कोण 0 डिग्री होने पर कोज्या 1 और ज्या 0 होती है, इसलिए सपाट फ़र्श पर खड़े 70 kg के व्यक्ति को 686.47 N सँभालता है और ढाल के साथ वाला घटक शून्य रहता है। यही अकेला कोण है जहाँ दोनों बराबर होते हैं, इसीलिए सपाट ज़मीन वाला मामला पहले आज़माने लायक है: ढाल दोनों संख्याएँ अलग करने से पहले यह बता देता है कि पेज कर क्या रहा है।

अभिलंब बल किस ओर इशारा करता है?

सतह के लंबवत, उससे दूर की ओर — ज्यामिति में अभिलंब का मतलब यही होता है। 30 डिग्री की ढाल पर यह ऊर्ध्वाधर से 30 डिग्री हटकर इशारा करता है, सीधे ऊपर नहीं, और इसकी दिशा भार की दिशा जैसी नहीं है। सतह के लंबवत होने के कारण यह उस सतह पर सरकती वस्तु पर कोई काम भी नहीं करता: बल और गति समकोण पर हैं, इसलिए उनका गुणनफल शून्य है। यह प्रतिक्रिया है, कारण नहीं, और जो भी मान दोनों सतहों को एक-दूसरे में धँसने से रोक दे, वही ले लेता है।

• Normal, Tension, and Other Examples of Forces (College Physics 2e, §4.5) — the normal force as a perpendicular response, and why it equals mg only on level ground — OpenStax
• Normal force — the definition as the perpendicular component of the contact force, and the worked inclined-plane case — Wikipedia
• Inclined plane — resolving weight into components parallel and perpendicular to the surface, and the friction conditions that follow — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the pound-force row (1 lbf = 4.448 222 N) that this page's second row is converted with — NIST