त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आयतन कैलकुलेटर

आयतन = आधार का क्षेत्रफल × लंबाई

आधार का क्षेत्रफल

त्रिभुजाकार सिरे का क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में। यही अनुप्रस्थ काट है — वह आकृति जो प्रिज़्म को उसकी लंबाई के समकोण पर काटने से दिखती है

लंबाई

प्रिज़्म कितनी दूर तक चलता है, सेंटीमीटर में — दोनों एक जैसे त्रिभुजाकार सिरों के बीच की दूरी, चलने की दिशा में नापी हुई

आयतन

प्रिज़्म के अंदर कितना समाता है, घन सेंटीमीटर में। आधार का क्षेत्रफल गुणा लंबाई, और इसके अलावा कुछ नहीं

आधार का क्षेत्रफल × लंबाई

सिर्फ़ एक गुणा। इस पेज पर कहीं भाग नहीं है और कहीं वर्गमूल नहीं, इसलिए जो इनपुट ठीक-ठीक लिखे जा सकते हैं उनका जवाब पूर्णांकित नहीं बल्कि बिल्कुल वही आता है

हर प्रिज़्म

यह नियम सिर्फ़ त्रिभुजाकार प्रिज़्म का नहीं, हर प्रिज़्म का है। घनाभ एक आयताकार काट गुणा लंबाई है, बेलन एक वृत्त गुणा लंबाई, और यह पेज एक त्रिभुज गुणा लंबाई

चार दशमलव स्थान

जवाब कितने चौड़े रूप में लिखा जाता है। दो पूर्ण संख्याओं का गुणा हमेशा पूर्ण संख्या देता है, इसलिए दशमलव की भूमिका तभी आती है जब क्षेत्रफल या लंबाई में भिन्न हो

घन सेंटीमीटर

जवाब की इकाई, चाहे ड्रॉपडाउन में कुछ भी चुना गया हो। यह आयतन है, इसलिए इकाई बदलने पर घन लगता है — इंच में नापा गया प्रिज़्म घन सेंटीमीटर में लौटता है, और घन इंच में पढ़ने के लिए 16.387 से भाग दीजिए

यह पेज उसके लिए है जिसके हाथ में तीन भुजाएँ नहीं, क्षेत्रफल है। कंक्रीट और मिट्टी के काम सबसे बड़ा समूह हैं: त्रिभुजाकार कर्ब, किनारे की ढाल, त्रिभुजाकार काट वाली खाई — इन सबका क्रॉस-सेक्शन ड्राइंग पर क्षेत्रफल के रूप में दिया जाता है, और सवाल यह होता है कि पूरी लंबाई में कितनी सामग्री लगेगी। चूँकि ऐसा सामान घन मीटर के हिसाब से ऑर्डर होता है और डिलीवरी पर बिल बनता है, संख्या ट्रक आने से पहले सही होनी चाहिए, और ड्राइंग का क्षेत्रफल ही प्रमाण है — उसे भुजाओं से दोबारा निकालना नहीं है। जो काम लपेटने या कोटिंग के हैं वे भी इसी पेज का इस्तेमाल करते हैं जब उनके पास क्षेत्रफल पहले से बताया हुआ हो। इसके बाद उन मामलों का छोटा समूह आता है जहाँ सिरा किसी भी सीधे-सादे अर्थ में त्रिभुज है ही नहीं — कोई मुड़ा हुआ या अनियमित काट, जिसका क्षेत्रफल नापा या अंदाज़ा लगाया गया हो, निकाला नहीं गया हो। यही वह जगह है जहाँ यह पेज वह कर पाता है जो त्रिभुजाकार प्रिज़्म वाला पेज नहीं कर सकता: जिसका क्षेत्रफल पता हो, वैसा कोई भी काट यहाँ चल जाता है, क्योंकि गुणा कभी नहीं पूछता कि यह क्षेत्रफल किस आकार से आया। पेज पर त्रिभुजाकार ढाँचा इसलिए है कि लोग इसी तरह खोजते हैं, इसलिए नहीं कि हिसाब को आकार की परवाह है।

1. 6 का आधार क्षेत्रफल और 10 की लंबाई

   1. आधार क्षेत्रफल को लंबाई से गुणा कीजिए: 6 × 10 = 60

   वही जोड़ी जिसके साथ पेज खुलता है, और वही पंक्ति जो दोनों पेजों को मिलाती है: 6 का क्षेत्रफल बिल्कुल वही है जो 3-4-5 वाले त्रिभुजाकार सिरे का होता है, इसलिए 10 की लंबाई पर त्रिभुजाकार प्रिज़्म वाला पेज भी 60 ही छापता है। एक ही दो संख्याएँ किसी भी पेज पर डालिए, आयतन एक ही आएगा — फ़र्क़ सिर्फ़ यह है कि एक पेज ने क्षेत्रफल भुजाओं से निकाला और दूसरे को वह दे दिया गया।

2. 6 का आधार क्षेत्रफल और 1 की लंबाई

   1. आधार क्षेत्रफल को लंबाई से गुणा कीजिए: 6 × 1 = 6

   ख़ुद को परखने वाली पंक्ति। एक की लंबाई पर आयतन संख्यात्मक रूप से आधार क्षेत्रफल के बराबर ही रहता है, और यह जाँचने का सबसे सस्ता तरीक़ा यही है कि गुणा वही कर रहा है जो आप सोच रहे हैं, और बीच में कुछ और नहीं घुसा।

3. 2.5 का आधार क्षेत्रफल और 4 की लंबाई

   1. आधार क्षेत्रफल को लंबाई से गुणा कीजिए: 2.5 × 4 = 10

   भिन्न वाला क्षेत्रफल, जो आधे किए हुए त्रिभुज या नापे गए काट से अक्सर निकलता है। गुणा ठीक-ठीक है और उसके बाद कोई भाग नहीं आता, इसलिए जवाब किसी पूर्णांकित मान के बजाय साफ़-सुथरा 10 ही है।

4. 6 का आधार क्षेत्रफल और 0 की लंबाई

   1. आधार क्षेत्रफल को लंबाई से गुणा कीजिए: 6 × 0 = 0

   शून्य लंबाई का मतलब है कि प्रिज़्म की कोई गहराई ही नहीं बची और उसमें कुछ नहीं समाता। शून्य यहाँ असली इनपुट है, ख़ाली ख़ाना नहीं, इसलिए यह असली जवाब है — और यह आधार क्षेत्रफल शून्य करने वाली हालत से बिल्कुल अलग बात है, भले ही दोनों जगह आयतन शून्य ही छपता हो।

यह पेज आधार क्षेत्रफल और लंबाई लेता है, और इसके अलावा कुछ नहीं। त्रिभुज की तीन भुजाओं से यह काम नहीं कर सकता — वह त्रिभुजाकार प्रिज़्म वाले पेज का काम है, या त्रिभुज के क्षेत्रफल तथा हीरोन के सूत्र वाले पेजों का, अगर आप क्षेत्रफल ख़ुद निकालकर वापस आना चाहें। यह न सतह का क्षेत्रफल देता है न पार्श्व सतह का, जो त्रिभुजाकार प्रिज़्म वाला पेज देता है — इसलिए अगर जानना है कि प्रिज़्म के चारों ओर कितनी लपेट लगेगी, तो यह ग़लत पेज है। यह मानकर चलता है कि प्रिज़्म सीधा है: दोनों सिरे समानांतर और एक जैसे, और भुजाएँ उन पर लंबवत चलती हैं। जवाब हमेशा घन सेंटीमीटर में आता है, चाहे ड्रॉपडाउन में कुछ भी चुना गया हो, और चूँकि यह आयतन है, इकाई बदलने पर घन लगता है — इंच में नापा गया काट घन सेंटीमीटर में लौटता है, और वहाँ 2.54 से नहीं बल्कि 16.387 से भाग देना पड़ता है। चार दशमलव स्थान दिखने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं। दोनों में से किसी भी इनपुट के लिए शून्य चलता है और आयतन शून्य देता है, जो असली जवाब है, ग़ायब हुआ जवाब नहीं। यहाँ खोखले प्रिज़्म, दीवार की मोटाई, पतला होते या तिरछे आकार, और सामग्री मँगाते समय बर्बादी का हिसाब — इनमें से कुछ भी नहीं है।

आधार का क्षेत्रफल कहाँ से लाऊँ?

अगर आपने त्रिभुजाकार सिरे की तीनों भुजाएँ नापी हैं, तो हीरोन के सूत्र वाले पेज का इस्तेमाल कीजिए, या त्रिभुजाकार प्रिज़्म वाले पेज का, जो यही काम करके सीधे आयतन लौटा देता है। और अगर क्षेत्रफल किसी ड्राइंग या सप्लायर की शीट पर पहले से लिखा है, तो उसे सीधे डाल दीजिए — यह पेज ठीक इसी हालत के लिए है, और गुणा कभी नहीं पूछता कि यह संख्या कहाँ से आई।

इसका अलग पेज क्यों है?

क्योंकि इनपुट अलग है, और इसका इस्तेमाल करने वाला भी अलग है। त्रिभुजाकार प्रिज़्म वाला पेज तीन भुजाओं से शुरू करके तीन जवाब देता है; यह पेज उस क्षेत्रफल से शुरू करता है जो आपके पास पहले से है और एक जवाब देता है। जिसके हाथ में क्षेत्रफल लिखी ड्राइंग है उसे तीन भुजाएँ पूछने वाले पेज से कोई मतलब नहीं, और जिसके पास तीन भुजाएँ हैं उसके पास यहाँ डालने को कुछ नहीं।

क्या आधार का मतलब नीचे वाला फलक है?

ज़रूरी नहीं, और यह साफ़ कर लेना अच्छा है। यहाँ आधार का मतलब अनुप्रस्थ काट है — वह त्रिभुजाकार सिरा जो प्रिज़्म को उसकी लंबाई के समकोण पर काटने से दिखता है। किसी आयताकार फलक पर पड़े प्रिज़्म का त्रिभुज खड़ा रहता है और नीचे वाला फलक आयत होता है; इस पेज को जो क्षेत्रफल चाहिए वह फिर भी त्रिभुज का ही है।

क्या यह नियम दूसरे आकारों पर भी चलता है?

हाँ — किसी भी प्रिज़्म का आयतन उसके काट का क्षेत्रफल गुणा लंबाई होता है, चाहे वह काट किसी भी आकार का हो। घनाभ एक आयत गुणा लंबाई है, बेलन एक वृत्त गुणा लंबाई। गुणा कभी आकार को नहीं देखता, और इसी वजह से यह पेज उस काट पर भी चलता है जिसका क्षेत्रफल निकाला नहीं, नापा गया हो।

क्या इकाइयों से कुछ फ़र्क़ पड़ता है?

ड्रॉपडाउन यह तय करते हैं कि आप क्या लिखेंगे, यह नहीं कि बाहर क्या आएगा। जवाब हमेशा घन सेंटीमीटर में आता है, और चूँकि यह आयतन है, इकाई बदलने पर घन लगता है: घन सेंटीमीटर का जवाब घन इंच में पढ़ने के लिए 2.54 से नहीं बल्कि 16.387 से भाग दीजिए। काट को वर्ग इंच में डालकर आयतन को घन इंच समझ लेना ही वह ग़लती है जिससे बचना है।

लंबाई शून्य हो तो क्या होगा?

आयतन शून्य आएगा, और यह सही है: जिस प्रिज़्म की लंबाई ही नहीं, उसके दोनों सिरे आपस में मिल चुके हैं और उसमें कुछ नहीं समाता। शून्य को यहाँ असली मान माना जाता है, ख़ाली ख़ाना नहीं, इसलिए पेज परिणाम छापता है। ख़ाना ख़ाली छोड़ना अलग बात है — तब गुणा करने को कुछ ही नहीं होता और पेज कोई परिणाम नहीं दिखाता।

• Prism — what makes a solid a prism, and why its volume is always the cross-section's area multiplied by its length — Wolfram MathWorld (United States)
• Volume — the general notion this page is a special case of, and the several ways the volume of a solid can be arrived at when it is not a prism — Wolfram MathWorld (United States)
• Heron's Formula — how to get the base area this page asks for when the three sides of the triangular end are what you actually measured — Wolfram MathWorld (United States)