त्रिभुजाकार प्रिज़्म कैलकुलेटर
नतीजा
आयतन
- पार्श्व सतह का क्षेत्रफल
- 120.0000 cm²
- कुल सतह का क्षेत्रफल
- 132.0000 cm²
त्रिभुजाकार प्रिज़्म कैलकुलेटर त्रिभुजाकार सिरे की तीन भुजाएँ और प्रिज़्म की लंबाई लेता है, और तीन जवाब लौटाता है: उसमें कितना समाता है, उसके चारों ओर कितनी लपेट जाएगी, और उसकी पूरी सतह पर कितनी सामग्री लगेगी। त्रिभुजाकार प्रिज़्म वह आकार है जो तंबू, टोब्लेरोन बार, चीज़ की वेज, छत की कटक और त्रिभुजाकार मोल्डिंग का होता है — यानी वह हर चीज़ जिसके एक सिरे पर त्रिभुज हो और जो सीधी चलकर दूसरे सिरे पर उसी त्रिभुज तक पहुँचे। तीन में से दो जवाब आँखों के सामने होते हैं। आयतन त्रिभुजाकार सिरे का क्षेत्रफल गुणा इतनी दूर जितना प्रिज़्म चलता है, क्योंकि किसी सपाट आकृति को बिना घुमाए अंतरिक्ष में खींच ले जाने से जो बनता है वही प्रिज़्म है, और ऐसे बने किसी भी ठोस का आयतन उसका काट गुणा उसका सफ़र होता है। पार्श्व सतह का क्षेत्रफल त्रिभुज के चारों ओर की दूरी गुणा वही लंबाई है, क्योंकि खोलकर देखिए तो प्रिज़्म की भुजाएँ एक आयत बन जाती हैं जिसकी चौड़ाई त्रिभुज का परिमाप है। इन दोनों को मिला दीजिए तो तीसरा अपने आप निकल आता है: कुल सतह का क्षेत्रफल लपेट के साथ दोनों त्रिभुजाकार सिरे जोड़कर बनता है, एक-एक हर सिरे पर, और इसीलिए सिरों को दो बार गिना जाता है। इन तीनों भुजाओं से यह भी माँगा जाता है कि वे मिलकर त्रिभुज बनाएँ ही, और यह बात कहने लायक़ है क्योंकि यही वह जाँच है जो लोग भूल जाते हैं। तीन लंबाइयाँ तभी त्रिभुज बनाती हैं जब उनमें से कोई भी दो जोड़कर तीसरी से बड़ी हों। अगर ऐसा न हो, तो प्रिज़्म का कोई सिरा ही नहीं बनता और बताने को कोई आयतन नहीं होता, और पेज चुपचाप कुछ लौटाने के बजाय यही कहता है। जब दो छोटी भुजाएँ जोड़कर सबसे बड़ी के बराबर ही हों, तो सिरा त्रिभुज नहीं बल्कि एक सपाट रेखा है, और पेज इसे स्वीकार करता है: आयतन सचमुच शून्य है और पेज शून्य ही छापता है।
सिरे और लंबाई से त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आयतन
| भुजा a (cm) | भुजा b (cm) | भुजा c (cm) | लंबाई (cm) | आयतन (cm³) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 10 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 10 | 155.8846 |
| 5 | 5 | 6 | 4 | 48 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 14.5237 |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 0 |
| 3 | 4 | 5 | 0 | 0 |
| 2.5 | 3.5 | 4 | 7.5 | 32.476 |
| 5 | 6 | 10 | 2 | 22.798 |
आठ प्रिज़्म और पाँच कॉलम। तालिका तीनों जवाबों के बजाय सिर्फ़ आयतन देती है, क्योंकि पाँच कॉलम उतने ही चौड़े हैं जितने यह तालिका सँभाल सकती है, और लोग जिसके लिए आते हैं वह आयतन है। पहली पंक्ति वही मेल कराने वाली पंक्ति है: 3-4-5 वाले सिरे का क्षेत्रफल ठीक 6 है, इसलिए आयतन ठीक 60 है, और 6 के आधार क्षेत्रफल तथा 10 की लंबाई पर आयतन वाला पेज भी वही 60 छापता है। दूसरी पंक्ति वही जाँच एक बेतुकी संख्या के साथ है — 6 का समबाहु सिरा 155.8846 देता है, और आयतन वाला पेज वहाँ 15.5884572 के आधार क्षेत्रफल से पहुँचता है। पाँचवीं पंक्ति वह सिकुड़ा हुआ सिरा है जहाँ 1 + 1 = 2 है और त्रिभुज दबकर एक रेखा बन गया: उसका क्षेत्रफल शून्य है, इसलिए आयतन भी शून्य, और पेज इसे स्वीकार कर लेता है। छठी पंक्ति शून्य लंबाई की है, जहाँ आयतन शून्य तो है पर बिल्कुल अलग वजह से — प्रिज़्म बचा ही नहीं। आठवीं पंक्ति का सिरा लगभग सिकुड़ा हुआ है — 5 + 6, 10 से बस थोड़ा ही ज़्यादा है — जिससे क्षेत्रफल बहुत छोटा रह जाता है और यही हिसाब का सबसे कठिन मामला है। यहाँ का हर मान पेज बनते समय उसके चार इनपुट से, सेंटीमीटर में दोबारा निकाला जाता है, और चार दशमलव वही चार दशमलव हैं जो नतीजे का पैनल इस्तेमाल करता है।
फ़ॉर्मूला
आयतन = आधार का क्षेत्रफल × लंबाई
- भुजा a
- त्रिभुजाकार सिरे की पहली भुजा, सेंटीमीटर में। तीनों भुजाओं से मिलकर त्रिभुज बनना चाहिए, और जवाब देने से पहले पेज यह जाँच लेता है
- भुजा b
- सिरे की दूसरी भुजा, सेंटीमीटर में। a और c के साथ मिलकर यह सिरे का क्षेत्रफल, और इस तरह पूरा आयतन, तय कर देती है
- भुजा c
- सिरे की तीसरी भुजा, सेंटीमीटर में। तीनों का क्रम मायने नहीं रखता — इनका इस्तेमाल सममित रूप से होता है, परिमाप और अर्ध-परिमाप के रास्ते
- लंबाई
- प्रिज़्म कितनी दूर तक चलता है, सेंटीमीटर में — दोनों एक जैसे त्रिभुजाकार सिरों के बीच की दूरी, चलने की दिशा में नापी हुई
- आधार का क्षेत्रफल
- त्रिभुजाकार सिरे का क्षेत्रफल, जो तीन भुजाओं से हीरोन के सूत्र द्वारा निकाला जाता है। 3-4-5 वाले सिरे का क्षेत्रफल ठीक 6 वर्ग सेंटीमीटर होता है, और इसीलिए यह इस पूरे समूह में इतनी बार आता है
- आयतन
- प्रिज़्म के अंदर कितना समाता है, घन सेंटीमीटर में। सिरे का क्षेत्रफल गुणा लंबाई, जो हर प्रिज़्म पर चलता है, चाहे उसका काट किसी भी आकार का हो
- परिमाप और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल
- सिरे के चारों ओर की दूरी, और वही दूरी गुणा लंबाई। खोलकर देखिए तो किसी भी प्रिज़्म की भुजाएँ एक आयत बनती हैं, और यह उसी आयत का क्षेत्रफल है
कंक्रीट और मिट्टी के काम सबसे पुराने इस्तेमाल हैं: त्रिभुजाकार बाँध, सपाट चोटी वाला मिट्टी का ढेर, त्रिभुजाकार काट में ढाला गया कंक्रीट का कर्ब — यानी वह सब जो आयतन के हिसाब से ऑर्डर या बिकता है, और ट्रक या घन मीटर के हिसाब से बिकने वाली चीज़ें ज़्यादातर ऐसी ही होती हैं। लपेटने और चादर वाली सामग्री दूसरा परिवार है, और उसे पार्श्व सतह का क्षेत्रफल चाहिए: तंबू की कटक पर तना कैनवास, त्रिभुजाकार गट्ठर के चारों ओर श्रिंक रैप, गैबल पर लगी क्लैडिंग, त्रिभुजाकार डक्ट की शीट। ऐसे काम क्षेत्रफल के हिसाब से दाम लगाते हैं, और उन्हें परिमाप गुणा लंबाई चाहिए, कुल सतह का क्षेत्रफल नहीं, क्योंकि सिरे आम तौर पर खुले रहते हैं या किसी और चीज़ से ढके होते हैं। पेंट और कोटिंग वाले काम इसके उलट कुल सतह का क्षेत्रफल माँगते हैं, क्योंकि सिरे भी उसी में पोते जाते हैं, और अनुमान से उन्हें छोड़ देना ही कम पड़ जाने का आम रास्ता है। इसके बाद तीसरा जवाब है, जो मुफ़्त में मिलता है पर जानने लायक़ है: किसी भी प्रिज़्म का आयतन उसके काट का क्षेत्रफल गुणा लंबाई होता है, और एक बार यह दिख जाए तो घनाभ, बेलन और यह आकार — तीनों एक ही नियम में सिमट जाते हैं। इसी सामान्यीकरण की वजह से यह पेज और त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आयतन वाला पेज एक जोड़ी की तरह हैं — एक तीन भुजाओं से शुरू करता है, दूसरा उस क्षेत्रफल से जो पहले से पता है, और जब संख्याएँ मेल खाती हैं तो दोनों एक ही जवाब पर पहुँचते हैं।
हल किए हुए उदाहरण
3-4-5 वाला सिरा और 10 की लंबाई
- हीरोन के सूत्र से सिरे का क्षेत्रफल निकालिए: अर्ध-परिमाप 6, इसलिए √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- आयतन के लिए लंबाई से गुणा कीजिए: 6 × 10 = 60
- लपेट के लिए भुजाएँ जोड़कर लंबाई से गुणा कीजिए: 12 × 10 = 120
- दोनों त्रिभुजाकार सिरे जोड़िए: 120 + 2 × 6 = 132
वही जोड़ी जिसके साथ पेज खुलता है, और वही जो दोनों पेजों को बाँधती है: सिरे का क्षेत्रफल ठीक 6 है, इसलिए आयतन ठीक 60 है, और 6 के आधार क्षेत्रफल तथा 10 की लंबाई पर आयतन वाला पेज भी 60 ही छापता है। तीनों जवाब संख्याओं के एक ही छोटे सेट से निकलते हैं, और किसी भी पेज का पूरा मतलब यही है।
6 का समबाहु सिरा और 10 की लंबाई
- समबाहु सिरे का क्षेत्रफल निकालिए: √3 ÷ 4 × 36 = 15.5884572…
- आयतन के लिए लंबाई से गुणा कीजिए: 15.5884572… × 10 = 155.884572…
समबाहु सिरा, जहाँ क्षेत्रफल पूर्ण संख्या नहीं आता और जवाब को आख़िर में पूर्णांकित करना पड़ता है। आयतन वाला पेज 15.5884572 के आधार क्षेत्रफल और उसी लंबाई से यही 155.8846 निकालता है, और यह दोनों पेजों के बीच दूसरा मेल है।
5, 5 और 6 का समद्विबाहु सिरा, 4 की लंबाई
- सिरे का क्षेत्रफल निकालिए: अर्ध-परिमाप 8 है, इसलिए √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
- आयतन के लिए लंबाई से गुणा कीजिए: 12 × 4 = 48
आम मामला: ऐसा सिरा जिसका क्षेत्रफल संयोग से पूर्ण संख्या निकलता है, और छोटा-सा प्रिज़्म। यहाँ न कोई ख़ास आकार है और न किसी भुजा को किसी सुविधाजनक कोण पर नापना पड़ा, और असली काम ज़्यादातर ऐसा ही दिखता है।
3-4-5 वाला सिरा और 0 की लंबाई
- सिरे का क्षेत्रफल निकालिए: 6
- लंबाई से गुणा कीजिए: 6 × 0 = 0
शून्य लंबाई का मतलब है कि दोनों सिरे आपस में मिल चुके हैं और प्रिज़्म बचा ही नहीं — आयतन सचमुच शून्य है। यहाँ भी सतह का क्षेत्रफल शून्य नहीं होता, क्योंकि दोनों त्रिभुजाकार सिरे अब भी मौजूद हैं और उन्हें गिना जाना है; पार्श्व सतह का क्षेत्रफल लंबाई के साथ ग़ायब हो जाता है, क्योंकि वह सिरे के परिमाप गुणा उसी लंबाई से बनता है। इन दोनों में से एक का जगह पर टिके रहना और दूसरे का शून्य पर गिर जाना यह देखने का अच्छा तरीक़ा है कि सतह का क्षेत्रफल और आयतन दो अलग सवालों के जवाब हैं।
सीमाएँ
यह पेज सिरे की तीन भुजाएँ और प्रिज़्म की लंबाई लेता है, और इसके अलावा कुछ नहीं। यह मानकर चलता है कि प्रिज़्म सीधा है — यानी सिरे समानांतर और एक ही आकार के हैं, और भुजाएँ उन पर लंबवत चलती हैं — जो शब्द प्रिज़्म का मतलब तो है, पर हर त्रिभुजाकार ठोस वैसा नहीं होता; एक सिरे की तरफ़ पतला होता वेज अलग हिसाब माँगता है। काट त्रिभुज ही होना चाहिए: चतुर्भुज काट वाला प्रिज़्म दूसरा आकार है और उसका अपना पेज है। तीनों भुजाओं को त्रिभुज की असमिका पूरी करनी पड़ती है, और जब दो छोटी भुजाएँ जोड़कर सबसे बड़ी से कम हों तो पेज जवाब देने के बजाय मना कर देता है। जब वे जोड़कर सबसे बड़ी के बराबर ही हों, तो सिरा एक रेखा बन जाता है और आयतन शून्य स्वीकार कर लिया जाता है। जवाब हमेशा सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और घन सेंटीमीटर में ही आता है, चाहे ड्रॉपडाउन में कुछ भी चुना गया हो, और तीनों की इकाई बदलने का तरीक़ा एक जैसा नहीं है: लंबाई इंच में जाने के लिए 2.54 से बँटती है, क्षेत्रफल 6.4516 से, और आयतन 16.387 से। चार दशमलव स्थान दिखने की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं, और जिस आयतन में वर्गमूल घुसा हो उसमें सचमुच इतने से ज़्यादा अंक होते हैं। पार्श्व सतह का क्षेत्रफल दोनों त्रिभुजाकार सिरों को छोड़ देता है, जो लपेटने वाली सामग्री के लिए ठीक है पर पेंट के अनुमान के लिए नहीं — पेंट के लिए कुल सतह का क्षेत्रफल लीजिए। यहाँ खोखले प्रिज़्म, दीवार की मोटाई, और सामग्री काटते समय बर्बादी का हिसाब — इनमें से कुछ भी नहीं है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- पार्श्व सतह का क्षेत्रफल और कुल सतह का क्षेत्रफल — फ़र्क़ क्या है?
- पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सिर्फ़ चारों ओर की लपेट है — त्रिभुज का परिमाप गुणा लंबाई। कुल सतह का क्षेत्रफल उसमें दोनों त्रिभुजाकार सिरे भी जोड़ देता है, यानी वह लपेट प्लस सिरे का क्षेत्रफल दो बार। कौन-सा चाहिए यह काम पर निर्भर है: लपेट, लेबल या क्लैडिंग को पार्श्व वाला चाहिए, क्योंकि गट्ठर के सिरे खुले होते हैं। पेंट, प्लेटिंग या शीट को कुल चाहिए, क्योंकि वहाँ सिरे भी ढकने पड़ते हैं।
- लंबाई कौन-सा नाप है?
- प्रिज़्म कितनी दूर तक चलता है — एक त्रिभुजाकार सिरे से दूसरे तक की दूरी, उसी दिशा में नापी हुई जिस दिशा में आकार आगे बढ़ता है। यह त्रिभुज की ऊँचाई नहीं है, और मेज़ पर पड़े प्रिज़्म में ये दोनों संख्याएँ अक्सर एक जैसी लगती हैं, इसीलिए यह जाँच लेना ज़रूरी है कि आपके पास कौन-सी है। अगर आपका प्रिज़्म तंबू है, तो लंबाई उसकी कटक है।
- क्या तीन भुजाएँ कोई भी तीन संख्याएँ हो सकती हैं?
- नहीं। तीन लंबाइयाँ तभी त्रिभुज बनाती हैं जब उनमें से कोई भी दो जोड़कर तीसरी से बड़ी हों। अगर दो छोटी जोड़कर सबसे बड़ी से कम हों, तो कोई सिरा ही नहीं बनता और पेज जवाब देने से मना कर देता है। और अगर वे जोड़कर सबसे बड़ी के बराबर ही हों, तो सिरा एक सपाट रेखा है और आयतन सचमुच शून्य है, इसलिए वह हालत स्वीकार करके शून्य छाप दिया जाता है।
- कुछ इनपुट पर आयतन वाला पेज यही जवाब क्यों देता है?
- क्योंकि दोनों पेज एक ही नियम हैं, बस शुरुआत अलग जगह से होती है। किसी भी प्रिज़्म का आयतन उसके काट का क्षेत्रफल गुणा लंबाई होता है, इसलिए अगर सिरे का क्षेत्रफल पहले से पता हो तो तीन भुजाओं की ज़रूरत ही नहीं रहती। 3-4-5 वाले सिरे का क्षेत्रफल ठीक 6 होता है, इसलिए 10 की लंबाई पर दोनों पेज 60 देते हैं — एक क्षेत्रफल पहले निकालकर, दूसरा उसे बताया हुआ मानकर।
- इससे कोई फ़र्क़ पड़ता है कि किस भुजा को a, b और c कहूँ?
- नहीं। तीनों भुजाएँ हिसाब में सममित रूप से आती हैं — परिमाप में वे सिर्फ़ जुड़ती हैं, और हीरोन के सूत्र में उनका इस्तेमाल सिर्फ़ अर्ध-परिमाप तथा तीन अंतरों में होता है, जो किसी भी क्रम में लिखने पर वही संख्याओं का समूह रहते हैं। नाम सिर्फ़ ख़ानों को पहचान देने के लिए हैं, कोई और मतलब उनमें नहीं है।
- क्या मैं इसे बेलन या घनाभ पर इस्तेमाल कर सकता हूँ?
- इस पेज पर नहीं, क्योंकि यहाँ सिरा त्रिभुज है और ख़ाने तीन भुजाएँ माँगते हैं। पर नियम वही है: किसी भी प्रिज़्म का आयतन उसका काट गुणा लंबाई होता है, और किसी भी प्रिज़्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसका परिमाप गुणा लंबाई। इसी समूह में घनाभ वाला पेज वही हिसाब है जिसका सिरा आयत है, और बेलन वाला पेज वही हिसाब है जिसका सिरा वृत्त है।
संदर्भ
- Prism — what makes a solid a prism, why the volume is always the cross-section times the length, and how the lateral area is defined — Wolfram MathWorld (United States)
- Heron's Formula — how the area of the triangular end, and therefore the volume of the whole prism, is worked out from the three sides alone — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle Inequality — the condition the three sides of the end must satisfy, and the reason some sets of three lengths have no prism behind them — Wolfram MathWorld (United States)