समय विस्फारण कैलकुलेटर

विस्फारित समय = लॉरेंट्ज़ गुणक × उचित समय, जहाँ लॉरेंट्ज़ गुणक = 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v

चलती हुई घड़ी की चाल, प्रकाश की चाल के अंश के रूप में, यानी 0.9 का मतलब c का नौ-दसवाँ हिस्सा। इसे इस तरह भरना जान-बूझकर है: यहाँ इकाई प्रकाश की चाल है, कोई स्थिरांक नहीं जिसे आपको टाइप करना पड़े। फ़ील्ड 0 से 1 तक चलती है, और ठीक 1 वह मान नहीं है जिसे पेज इस्तेमाल कर सके, क्योंकि पूरा सूत्र ऐसी चीज़ से भाग देता है जो वहाँ शून्य हो जाती है

Δτ

उचित समय — यानी चलती हुई घड़ी ख़ुद जो पढ़ती है, घंटे, मिनट, सेकंड या दिन में। यह दोनों समयों में से छोटा वाला है और वही जो यात्री भोगता है। इस पेज पर दो घड़ियाँ हैं, और यही वह है जिसे आपको दूसरी से अलग रखना है: यात्रा वैसे भरिए जैसे चालक-दल उसे भोगेगा, वैसे नहीं जैसे मिशन-नियंत्रण देखेगा

γ

लॉरेंट्ज़ गुणक, 1 ÷ √(1 − v²/c²), चार दशमलव तक छपता है और इसकी कोई इकाई नहीं क्योंकि यह अनुपात है। यही इस पेज का पूरा विषय है: किसी भी उस चाल पर जो कोई व्यक्ति या वाहन पकड़ सका है, यह ग्यारह दशमलव तक 1 से मेल खाता है — 1000 m/s पर भी केवल 1.0000000000056 बनता है — इसलिए पेज 1.0000 छापता है; 0.1 c पर 1.005; और क़रीब 0.9 c के बाद ही यह ऐसा अंक लगने लगता है जिसके लिए तालिका बनानी पड़े। पेज पर बाक़ी सब कुछ इसी गुणक को किसी समय से गुणा करके या उसमें से घटाकर बना है

Δt

विस्फारित समय — यानी जो घड़ी पीछे रह गई वह उन्हीं दो घटनाओं के बीच क्या पढ़ती है। यह हमेशा दोनों में से बड़ा होता है, और पेज इसे सेकंड की गिनती के बजाय अवधि के रूप में दिखाता है: 0.9 c पर पाँच घंटे की सवारी 11 घंटे 28 मिनट 15 सेकंड बनकर लौटती है। ऐसा कोई मामला नहीं है जहाँ यह छोटा हो, क्योंकि गुणक कभी एक से नीचे नहीं उतरता

Δt − Δτ

दोनों घड़ियों के बीच का फ़ासला, जो अवधि के रूप में ही दिखाया जाता है। यह विस्फारित समय के बराबर नहीं है और उसका कोई गुणज भी नहीं — यह यात्री के अपने घंटे घटाने के बाद जो बचता है वही है, और जुड़वाँ विरोधाभास असल में यही संख्या पूछता है। 0.9 c पर पाँच घंटे का फ़ासला 6 घंटे 28 मिनट 15 सेकंड है

इसे तब खोलिए जब आप जानना चाहें कि तेज़ यात्रा दूरी में नहीं, समय में कितनी महँगी पड़ती है: प्रकाश की चाल के किसी शालीन अंश पर यात्रा करते चालक-दल की उम्र कितनी बढ़ेगी, ज़मीन से देखने पर म्यूऑन का जीवनकाल कैसा दिखता है, या उपग्रह की घड़ी को सुधारना क्यों पड़ता है। गुणक ही देखने लायक हिस्सा है, क्योंकि जवाब लोगों को दोनों दिशाओं में चौंकाता है — 0.1 c पर, जो अब तक बनी किसी भी चीज़ से तेज़ है, घड़ियों में आधे प्रतिशत का फ़र्क़ पड़ता है, जबकि 0.99 c से 0.999999 c तक का आख़िरी हिस्सा असर को सौ गुना कर देता है। जुड़वाँ विरोधाभास का बाहर जाने वाला आधा हिस्सा यहीं रहता है: एक जुड़वाँ को 0.9 c पर भेज दीजिए और दूसरे का कैलेंडर दुगने से भी तेज़ चलने लगता है।

1. डिफ़ॉल्ट: 0.9 c पर पाँच घंटे सवारी में

   1. चाल 0.9 c, उचित समय 5 घंटे
   2. लॉरेंट्ज़ गुणक: 1 ÷ √(1 − 0.9²) = 1 ÷ √0.19 = 2.294157, जो छपकर 2.2942 होता है
   3. पाँच घंटे यानी सवारी में 5 × 3600 = 18000 सेकंड
   4. विस्फारित समय: 2.294157 × 18000 = 41294.83 सेकंड, जो गोल करके 41295 — यानी 11 घंटे 28 मिनट 15 सेकंड
   5. फ़ासला: 41295 − 18000 = 23295 सेकंड, या 6 घंटे 28 मिनट 15 सेकंड

   दोनों अवधि-पंक्तियाँ ही वजह हैं कि यह पेज केवल एक गुणा नहीं है। चलती हुई घड़ी पाँच घंटे पढ़ती है; घर की घड़ी ग्यारह घंटे अट्ठाईस मिनट पढ़ती है; और उनके बीच का फ़र्क़, छह घंटे अट्ठाईस मिनट, तीसरी संख्या है और जुड़वाँ विरोधाभास इसी के बारे में है। ध्यान दीजिए कि फ़ासला उचित समय का गुणज भी नहीं है — वह 23295 सेकंड है, यानी यात्री के नापे 18000 का 1.294 गुना, 2.29 गुना नहीं। समय में से γ गुना समय घटाने से फ़ासला नहीं मिलता; दोनों समय घटाने से मिलता है।

2. आधी प्रकाश-चाल, एक घंटा: असर असली है पर मामूली

   1. चाल 0.5 c, उचित समय 1 घंटा
   2. लॉरेंट्ज़ गुणक: 1 ÷ √(1 − 0.25) = 1 ÷ √0.75 = 1.154701, जो छपकर 1.1547 होता है
   3. सवारी में एक घंटा यानी 3600 सेकंड
   4. विस्फारित समय: 1.154701 × 3600 = 4156.92 सेकंड, जो गोल करके 4157 — यानी 1 घंटा 9 मिनट 17 सेकंड
   5. फ़ासला: 4157 − 3600 = 557 सेकंड, या 9 मिनट 17 सेकंड

   प्रकाश की आधी चाल चरम लगती है और घड़ी के लिए है नहीं: सवारी में एक साल यानी घर पर एक साल दो महीने। यह मामला भौतिकी से ज़्यादा गोल करने की वजह से यहाँ है — काटने वाला कार्यान्वयन, गोल करने वाले के बजाय, 4156 और 556 बताएगा, दोनों पंक्तियों में एक-एक सेकंड कम, और वह सेकंड तब तक दिखता ही नहीं जब तक आप ऊपर के क़दमों की तरह हिसाब जाँच न लें। यही वह मामला है जो यह भी दिखाता है कि गुणक एक ऐसे तरीक़े से सममित है जिसकी लोग अपेक्षा नहीं करते: 0.5 c से 1.1547 बनता है, और किसी भी दिशा में 0.5 c से भी वही, क्योंकि सूत्र में v² है, v नहीं।

3. 0.999999 c पर एक घंटा: घर पर उनतीस दिन

   1. चाल 0.999999 c, उचित समय 1 घंटा
   2. लॉरेंट्ज़ गुणक: 1 ÷ √(1 − 0.999998000001) = 1 ÷ √(1.999999 × 10⁻⁶) = 707.106958, जो छपकर 707.107 होता है
   3. सवारी में एक घंटा यानी 3600 सेकंड
   4. विस्फारित समय: 707.106958 × 3600 = 2545585.05 सेकंड, जो गोल करके 2545585 — यानी 29 दिन 11 घंटे 6 मिनट 25 सेकंड
   5. फ़ासला: 2545585 − 3600 = 2541985 सेकंड, या 29 दिन 10 घंटे 6 मिनट 25 सेकंड

   यात्रा का एक घंटा और घर का उनतीस दिन, और इनपुट का आख़िरी अंक यही ख़रीद रहा है: 0.999 c पर गुणक 22.37 है और 0.999999 c पर 707.11, और यह फ़र्क़ चाल में हज़ार में एक हिस्से के बदलाव से आया है। यही तीव्रता इस पेज से ले जाने लायक सबसे काम की चीज़ है, और यही वजह है कि तालिका की छह चालें बराबर फैलाने के बजाय ऊपर की ओर ठुँसी हुई हैं। दूसरे क़दम का हिसाब ही वह जगह है जहाँ वर्गमूल हाथ से ग़लत करना आसान है: √2 ≈ 1.4142 से 707.1068 लगता, जबकि छपा हुआ मान चौथे दशमलव में शून्य रखता है, आठ नहीं।

4. स्थिर अवस्था में: दोनों घड़ियाँ बिलकुल मिलती हैं

   1. चाल 0 c, उचित समय 1 घंटा
   2. लॉरेंट्ज़ गुणक: 1 ÷ √(1 − 0) = 1, जो छपकर 1.0000 होता है
   3. विस्फारित समय: 1 × 3600 = 3600 सेकंड, यानी 1 घंटा
   4. फ़ासला: 3600 − 3600 = 0 सेकंड
   5. कुछ हिलता नहीं, कुछ धीमा नहीं चलता

   यह पंक्ति ऊपर की हर बात की जड़ है: बिना आपेक्षिक गति के कोई असर ही नहीं, और गुणक ठीक 1 है। यही पंक्ति यह भी दिखाती है कि दो के बजाय चार दशमलव क्यों छपते हैं — 0.05 c पर गुणक 1.00125 है, जिसे दो दशमलव 1.00 छापते, यानी खड़े रहने से अलग पहचाना ही न जाता, जबकि चार दशमलव में 0.1 c वाली पंक्ति 1.005 पढ़ती है और फ़र्क़ दिख जाता है। छपा हुआ 1.0000 भराव भी नहीं है; वह कहता है कि मतभेद चौथे दशमलव से नीचे है, जो शून्य चाल की असल बात है, कोई प्रारूपण का चुनाव नहीं।

केवल बाहर जाने वाला पैर शामिल है: जो घड़ी लौटकर आती है उसे दो अलग-अलग स्थिर-चाल वाले पैरों की तरह गिनना पड़ता है, और पीछे रह जाने वाली यात्री की घड़ी ही होती है। गुरुत्व का कोई नमूना नहीं है, जबकि गुरुत्व-क्षेत्र में नीचे रखी घड़ी भी धीमी चलती है, हालाँकि अलग सूत्र से। चाल उसके सापेक्ष नापी जाती है जो देख रहा है, और यात्रा पूरे समय उसी चाल पर मानी गई है, इसलिए यहाँ दोनों सिरों के त्वरण का कोई हिसाब नहीं है।

समय विस्फारण का सूत्र क्या है?

विस्फारित समय बराबर लॉरेंट्ज़ गुणक गुणा उचित समय, यानी Δt = γΔτ, जहाँ γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²)। 0.9 c पर चलते जहाज़ में पाँच घंटे ज़मीन पर 11 घंटे 28 मिनट 15 सेकंड बन जाते हैं, क्योंकि वहाँ γ 2.2942 है। गुणक केवल चाल पर निर्भर करता है, इसलिए यात्रा की अवधि बदलने से दोनों समय साथ-साथ उसी अनुपात में बदलते हैं और γ ज़रा नहीं हिलता।

लॉरेंट्ज़ गुणक इतनी देर तक 1 के पास क्यों रहता है?

क्योंकि सूत्र में v²/c² आता है, इसलिए धीमी चाल पर 1 में से घटने वाली चीज़ बहुत छोटी होती है और 1 के पास के अंक का वर्गमूल भी 1 के पास ही रहता है। 0.1 c पर — तीस लाख मीटर प्रति सेकंड, किसी भी अंतरिक्ष यान से तेज़ — गुणक 1.005 है, यानी आधा प्रतिशत। प्रकाश की आधी चाल पर भी वह केवल 1.1547 है। तेज़ हिस्सा देर से आता है: 0.99 c पर 7.09, 0.999 c पर 22.37, और 0.999999 c पर 707।

यह जुड़वाँ विरोधाभास से कैसे अलग है?

यह पेज उसका बाहर जाने वाला आधा हिस्सा देता है। अगर एक जुड़वाँ 0.9 c पर निकल जाए और दूसरा रुका रहे, तो रुके हुए का कैलेंडर 2.2942 गुना तेज़ चलता है, इसलिए सवारी में पाँच साल घर पर साढ़े ग्यारह साल हैं। पूरे विरोधाभास के लिए यात्री को पलटकर लौटना पड़ता है, जो एक के बजाय दो पैर है और जिसमें त्वरण शामिल है — यही दोनों जुड़वाँओं के बीच की सममिति तोड़ता है, और यह इस पेज के दायरे से बाहर है।

क्या गुरुत्व भी समय विस्फारण करता है?

हाँ, और यह पेज उसे शामिल नहीं करता। गुरुत्व-क्षेत्र में ज़्यादा गहराई पर रखी घड़ी ऊपर वाली के सापेक्ष धीमी चलती है, जो एक अलग असर है, उसका अपना सूत्र है, और इसीलिए उपग्रह की घड़ियों को दोनों के लिए सुधारना पड़ता है। यह पेज जिसकी बात करता है वह विशेष सापेक्षता का असर है, जो केवल आपेक्षिक चाल पर निर्भर करता है और बिना गुरुत्व भी लागू होता है। असली नौवहन प्रणालियों में दोनों जोड़ दिए जाते हैं।

ठीक प्रकाश की चाल पर क्या होता है?

पेज वह इनपुट लेता ही नहीं। v = c पर राशि 1 − v²/c² शून्य हो जाती है और लॉरेंट्ज़ गुणक शून्य से भाग देता है, इसलिए जवाब अनंत नहीं, बल्कि है ही नहीं। प्रकाश की चाल से ऊपर वर्गमूल ऋणात्मक संख्या का मूल बन जाता है। फ़ील्ड 0 से 1 तक लेती है और कैलकुलेटर ठीक 1 ठुकरा देता है, और यही ईमानदार बँटवारा है: प्रकाश की चाल तक पहुँचना इस पेज पर कोई बहुत बड़ी संख्या नहीं है, वह वह बिंदु है जहाँ सूत्र की परिभाषा ही ख़त्म हो जाती है।

• Time Dilation (College Physics 2e, §28.2) — the Lorentz factor, the two clocks, and the muon and satellite evidence for the effect — OpenStax
• Time dilation — the derivation of γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²), the twin paradox, and the difference between this effect and gravitational time dilation — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the hour, minute and day rows (1 h = 3600 s) the two duration rows are ultimately counted in — NIST