E = mc² असल में क्या निकालता है?

किसी द्रव्यमान के बराबर ऊर्जा: किलोग्राम में द्रव्यमान को प्रकाश की चाल के वर्ग से गुणा कीजिए, 299792458 m/s। एक ग्राम 0.001 × 299792458² = 8.99 × 10¹³ जूल देता है, यानी 89.9 टेराजूल या 21.5 किलोटन टीएनटी। यह द्रव्यमान में बँधी कुल ऊर्जा है, किसी ख़ास प्रक्रिया से निकलने वाली ऊर्जा नहीं — असली अभिक्रियाएँ कितना हिस्सा निकाल पाती हैं, वह नीचे दिया है।

प्रकाश की चाल का वर्ग क्यों लिया जाता है?

क्योंकि व्युत्पत्ति यही देती है, और यह इतना बड़ा इसलिए है कि c ख़ुद बड़ा है और वर्ग उसे और बड़ा कर देता है: 299792458² लगभग 9 × 10¹⁶ होता है। 1905 के मूल पत्र में समीकरण m = E/c² के रूप में छपा था, जो पढ़ने में ज़्यादा सहज है — किसी पिंड का जड़त्व उसकी ऊर्जा भाग c² है, और चूँकि c² विशाल है, छोटा द्रव्यमान बहुत बड़ी ऊर्जा के बराबर बैठता है।

परमाणु रिएक्टर असल में इस ऊर्जा का कितना हिस्सा पाता है?

लगभग हज़ारवाँ हिस्सा। विखंडन ईंधन के द्रव्यमान का क़रीब 0.1 प्रतिशत ऊर्जा में बदलता है, इसलिए एक किलोग्राम यूरेनियम इस पेज के 9 × 10¹⁶ जूल के बजाय क़रीब 8 × 10¹³ जूल देता है — जो फिर भी उतने ही कोयले को जलाने से लाखों गुना ज़्यादा है। संलयन बेहतर है, क़रीब 0.7 प्रतिशत, इसीलिए सूर्य का ईंधन इतना लंबा चलता है। रासायनिक अभिक्रियाएँ दोनों से बहुत पीछे हैं: पेट्रोल जलाने से उसके द्रव्यमान का क़रीब दस अरबवाँ हिस्सा बदलता है।

जूल के बजाय किलोटन टीएनटी क्यों?

क्योंकि 9 × 10¹³ जूल का किसी को अंदाज़ा नहीं होता। एक किलोटन टीएनटी 4.184 × 10¹² जूल के बराबर परिभाषित है, इसलिए रूपांतरण सटीक है, और संयोग से यही इकाई समाचारों में विस्फोट के लिए इस्तेमाल होती है: एक ग्राम पदार्थ 21.5 किलोटन पर उतरता है, जबकि हिरोशिमा का बम क़रीब 15 किलोटन का था। जूल वाली पंक्ति फिर भी पूरी लंबाई में दिखाई जाती है, क्योंकि उस अंक का आकार ही इस समीकरण की बात है।

क्या समीकरण में द्रव्यमान ईंधन का द्रव्यमान है?

असली अभिक्रिया के लिए नहीं — वह द्रव्यमान है जो ग़ायब होता है, यानी ईंधन का द्रव्यमान घटा बची हुई हर चीज़ का द्रव्यमान। विखंडन में यह अंतर ईंधन का क़रीब 0.1 प्रतिशत होता है, और यही हिस्सा ऊर्जा बनता है। यह पेज जो द्रव्यमान आप लिखते हैं उसे पूरी तरह बदला हुआ मानता है, जो ऊपरी सीमा है, किसी रिएक्टर की उपलब्धि नहीं; असली ईंधन की ऊर्जा चाहिए तो ईंधन के द्रव्यमान के बजाय द्रव्यमान-कमी लीजिए।

बहुत छोटे द्रव्यमानों पर टेराजूल वाली पंक्ति 0.000 क्यों दिखाती है?

क्योंकि टेराजूल बहुत बड़ी इकाई है और पंक्ति तीन दशमलव तक दिखाई जाती है। लगभग 5.5 माइक्रोग्राम से नीचे जवाब 0.0005 TJ से कम होता है और शून्य पर पहुँच जाता है। ऊर्जा ग़ायब नहीं हुई — जूल वाली पंक्ति पढ़िए, जहाँ एक माइक्रोग्राम भी 89.9 मिलियन जूल पर साफ़ दिखता है, यानी लगभग सवा दो लीटर पेट्रोल की ऊर्जा।

E = mc² कैलकुलेटर

नतीजा

89.876 TJ

निकली ऊर्जा

ऊर्जा (J): 8,98,75,51,78,73,682 J
ऊर्जा (kWh): 2,49,65,421.6 kWh
ऊर्जा (kt TNT): 21.481 kt TNT

E = mc² कैलकुलेटर: द्रव्यमान ऊर्जा तुल्यता एक पंक्ति में — किसी पदार्थ का पूरा द्रव्यमान ऊर्जा में बदल जाए तो कितनी ऊर्जा निकलती है। समीकरण है E = m × c², जिसमें c निर्वात में प्रकाश की चाल है, 299792458 m/s, और उसका वर्ग लिया जाता है — यही विशाल आँकड़ों का स्रोत है। चूक मान एक ग्राम पदार्थ है: 89.876 टेराजूल, 89875517873682 जूल, 24965421.6 किलोवाट घंटा, या 21.481 किलोटन टीएनटी। यह आख़िरी आँकड़ा याद रखने लायक है — हिरोशिमा का बम क़रीब 15 किलोटन का था, यानी एक अकेला ग्राम उससे बड़ा है। जूल वाली पंक्ति जानबूझकर चौदह अंकों में दिखाई गई है, वैज्ञानिक संकेतन में छिपाई नहीं गई, क्योंकि नतीजे का आकार ही इस समीकरण की असली बात है। संदर्भ तालिका वही समीकरण मिलीग्राम से किलोग्राम तक चलाती है, और इस पेज का एक ही संबंध यही है: ऊर्जा द्रव्यमान के अनुपात में है, और अनुपात का स्थिरांक c² है। यह भी साफ़ रहे कि यह पेज क्या दावा नहीं करता — यह पूर्ण रूपांतरण निकालता है, जो कोई रासायनिक या परमाणु प्रक्रिया हासिल नहीं करती, और नीचे की सीमाएँ बताती हैं कि हर एक कितना पीछे छूटती है।

मिलीग्राम से किलोग्राम तक, द्रव्यमान से निकलने वाली ऊर्जा

द्रव्यमान (g)	ऊर्जा (TJ)	ऊर्जा (kt TNT)
0.001	0.09	0.021
1	89.876	21.481
1000	89875.518	21480.764

तीन द्रव्यमान, एक-दूसरे से हज़ार गुना, और तीन जवाब भी एक-दूसरे से हज़ार गुना — इतना ही E = mc² की पूरी सामग्री है: ऊर्जा द्रव्यमान के अनुपात में है, और स्थिरांक c² है। एक मिलीग्राम धूल का कण है और 0.09 TJ पर उतरता है, यानी क़रीब 25 मेगावाट घंटा, जो किसी छोटे बिजलीघर का एक दिन का उत्पादन है। एक ग्राम 89.9 TJ या 21.5 किलोटन है, जो हिरोशिमा पर गिराए बम से बड़ा है। एक किलोग्राम 89.9 पेटाजूल, 21.5 मेगाटन है। तीनों पंक्तियों को तीन अलग तथ्यों की तरह नहीं बल्कि एक पैमाने की तरह पढ़िए: द्रव्यमान हज़ार गुना कीजिए और हर स्तंभ हज़ार गुना हो जाता है, और यह पैटर्न कहीं मुड़ता नहीं।

फ़ॉर्मूला

E = m × c² c = 299792458 m/s (सटीक, परिभाषा से) 1 किलोवाट घंटा = 3.6 × 10⁶ J 1 किलोटन टीएनटी = 4.184 × 10¹² J

m: द्रव्यमान, ग्राम में — यह फ़ील्ड किलोग्राम, टन और पाउंड भी लेती है, और शुरुआत ग्राम से होती है क्योंकि एक ग्राम का सवाल ही सबसे ज़्यादा पूछा जाता है
c: निर्वात में प्रकाश की चाल, ठीक 299792458 m/s। 1983 से यह मापी गई राशि नहीं बल्कि परिभाषित मान है: मीटर को उस दूरी से परिभाषित किया जाता है जो प्रकाश एक सेकंड के 1/299792458 हिस्से में तय करता है, इसलिए c में कोई अनिश्चितता नहीं है और उससे निकली कोई भी राशि भी अनिश्चित नहीं होती
E: निकलने वाली ऊर्जा, टेराजूल, जूल, किलोवाट घंटा और किलोटन टीएनटी में। जूल कच्चा नतीजा है; बाक़ी तीन वही राशि ऐसी इकाइयों में हैं जिन्हें लोग चित्रित कर पाते हैं — बिजली का बिल, बिजलीघर, समाचार की सुर्ख़ी

इस पेज का इस्तेमाल द्रव्यमान-ऊर्जा के पैमाने का अंदाज़ा लेने के लिए कीजिए: एक ग्राम पूरी तरह बदल जाए तो कितना देगा, उसका कितना हिस्सा कोई परमाणु रिएक्टर या रासायनिक अभिक्रिया असल में निकाल पाती है, विखंडन में द्रव्यमान की कमी छोटी क्यों है पर नगण्य क्यों नहीं, या किसी ऊर्जा-माँग के लिए असल में कितना ईंधन चाहिए। यह पेज बहस तय करने के लिए भी है — आइंस्टीन का समीकरण हर जगह उद्धृत होता है और लगभग हमेशा ग़लत इकाइयों के साथ, या इस भ्रम के साथ कि बिजलीघर में एक किलोग्राम किसी भी चीज़ से 9 × 10¹⁶ जूल निकलते हैं। यह कैलकुलेटर सैद्धांतिक ऊपरी सीमा देता है; व्यवहार में दिलचस्प सवाल हमेशा यही रहता है कि असली प्रक्रिया उसका कितना हिस्सा छू पाती है, और जवाब पेट्रोल जलाने के दस अरबवें हिस्से से लेकर विखंडन के लगभग हज़ारवें हिस्से तक फैला है। दो आदतें नतीजे को काम का बनाती हैं। पहली, विस्फोट के बारे में सोचते समय किलोटन वाली पंक्ति पढ़िए और बिजली के बारे में सोचते समय किलोवाट घंटा वाली, क्योंकि जूल इतने बड़े हैं कि उनका कोई अंदाज़ा नहीं बनता। दूसरी, याद रखिए कि यहाँ का द्रव्यमान वह द्रव्यमान है जो ग़ायब होता है — असली अभिक्रिया में यह ईंधन के द्रव्यमान और बची हुई हर चीज़ के द्रव्यमान का अंतर होता है, ईंधन का द्रव्यमान नहीं।

हल किए हुए उदाहरण

एक ग्राम पदार्थ
1. द्रव्यमान: 1 g = 0.001 kg (गणना SI में होती है)
2. ऊर्जा: 0.001 × 299792458² = 8.9875517873681776 × 10¹³ J
3. मुख्य इकाई में: 89875517873682 J = 89.876 TJ
4. बिजली के रूप में: 89875517873682 ÷ 3.6 × 10⁶ = 24965421.6 kWh — 25 गीगावाट घंटा
5. टीएनटी के रूप में: 89875517873682 ÷ 4.184 × 10¹² = 21.481 किलोटन
यही वह आँकड़ा है जिसके लिए यह समीकरण उद्धृत किया जाता है, और टीएनटी वाली पंक्ति ही इसे ज़मीन पर उतारती है: 21.5 किलोटन, हिरोशिमा के बम के 15 किलोटन के सामने — यानी एक ग्राम पदार्थ का विस्फोट किसी शहर पर गिराए गए पहले बम से बड़ा है। बिजली वाली पंक्ति वही बात दूसरी मुद्रा में कहती है — 25 गीगावाट घंटा लगभग उतना है जितना एक बड़ा बिजलीघर एक दिन में बनाता है, और वह भी एक ग्राम से। जूल भी पढ़िए: 89875517873682 चौदह अंकों का है, और पेज जानबूझकर सब दिखाता है, क्योंकि 9.0 × 10¹³ लिख देने से वही बात चुपचाप छिप जाती जिसके लिए यह समीकरण मशहूर है।
एक किलोग्राम — द्रव्यमान-ऊर्जा का चर्चित आँकड़ा
1. बदला सिर्फ़ द्रव्यमान है: 1 g के बजाय 1000 g, यानी हज़ार गुना
2. ऊर्जा: 89875517873682 × 1000 = 8.987551787368176 × 10¹⁶ J
3. मुख्य इकाई में: 89875.518 TJ
4. बिजली के रूप में: 24965421631.6 kWh — 25 टेरावाट घंटा
5. टीएनटी के रूप में: 21480.764 किलोटन, यानी 21.5 मेगाटन
21.5 मेगाटन वही आँकड़ा है जो हर पाठ्यपुस्तक में और परमाणु हथियारों पर हर सतही बहस में आता है, और यह साफ़ कर लेना ज़रूरी है कि इसका मतलब क्या है। रिएक्टर में एक किलोग्राम यूरेनियम यह नहीं करता — वह लगभग 8 × 10¹³ J देता है, यानी इसका हज़ारवाँ हिस्सा — और एक किलोग्राम पेट्रोल तो बिल्कुल नहीं, वह क़रीब 4.6 × 10⁷ J देता है, यानी दो अरब गुना कम। यह तब मिलता है जब पूरा किलोग्राम बदल जाए, और व्यवहार में ऐसा सिर्फ़ तब होता है जब पदार्थ का सामना प्रतिपदार्थ से हो। इस पंक्ति की तुलना ऊपर वाली से कीजिए और पूरा समीकरण आपके सामने है: द्रव्यमान हज़ार गुना बढ़ा और हर ऊर्जा हज़ार गुना बढ़ी, क्योंकि c² महज़ एक स्थिरांक है।
एक पाउंड — इम्पीरियल इकाइयों में काम करने वालों के लिए
1. 1 lb = 453.59237 g (फ़ील्ड ग्राम लेती है, और पाउंड किलोग्राम के रूप में ठीक-ठीक परिभाषित है)
2. ऊर्जा: 0.45359237 × 299792458² = 4.076684915730068 × 10¹⁶ J
3. मुख्य इकाई में: 40766.849 TJ
4. बिजली के रूप में: 11324124765.9 kWh — 11.3 टेरावाट घंटा
5. टीएनटी के रूप में: 9743.511 किलोटन — 9.7 मेगाटन
किसी भी चीज़ का एक पाउंड, पूरी तरह बदल जाए तो दस मेगाटन से ज़रा कम — किलोग्राम वाली पंक्ति से आधे से थोड़ा कम, जो स्वाभाविक है क्योंकि पाउंड आधे किलोग्राम से थोड़ा ही कम है। यह पंक्ति इसलिए दी गई है कि पाउंड किलोग्राम के रूप में ठीक-ठीक परिभाषित है, इसलिए यह अनुमानित नहीं बल्कि सटीक रूपांतरण है, और क्योंकि इम्पीरियल इकाइयों में दिए किसी आँकड़े की जाँच का यह सबसे तेज़ तरीक़ा है। यहाँ कुछ भी इस पर निर्भर नहीं करता कि वह पाउंड किस पदार्थ का है; इस समीकरण में रसायन शास्त्र है ही नहीं।

सीमाएँ

यह पेज द्रव्यमान के ऊर्जा में पूर्ण रूपांतरण की गणना करता है, और रोज़मर्रा का कोई भी अनुभव ऐसा नहीं करता। पेट्रोल जलाने से ईंधन के द्रव्यमान का क़रीब दस अरबवाँ हिस्सा ऊर्जा बनता है; परमाणु विखंडन क़रीब हज़ारवाँ हिस्सा बदलता है; सूर्य में संलयन लगभग सात हज़ारवाँ हिस्सा संभाल पाता है। ये सब असली प्रक्रियाएँ हैं और सब इस पेज के आँकड़े से बहुत पीछे छूटती हैं, क्योंकि यह आँकड़ा ऊपरी सीमा है, भविष्यवाणी नहीं। टीएनटी की तुल्यता एक तय मान पर टिकी है, 4.184 × 10⁹ जूल प्रति टन, जो 1948 में ऊष्मारासायनिक कैलोरी तय होने के साथ मान लिया गया — पर असली विस्फोटक प्रति टन उससे कुछ कम देते हैं, क्योंकि पूरा पदार्थ अभिक्रिया नहीं करता और धमाका लक्ष्य के बजाय हवा पर काम करता है। किलोवाट घंटा वाली पंक्ति महज़ इकाई-रूपांतरण है; इसका मतलब यह नहीं कि बिजलीघर एक ग्राम से इतनी ऊर्जा निकाल सकता है, सिर्फ़ इतना कि इतने जूल इतने किलोवाट घंटे के बराबर हैं। एक प्रदर्शन-सीमा भी जान लीजिए: लगभग 5.5 माइक्रोग्राम से नीचे टेराजूल वाली पंक्ति 0.000 पर पहुँच जाती है, इसलिए इतने छोटे द्रव्यमानों के लिए जूल पढ़िए — ऊर्जा वहाँ भी है, बस ग्राम और किलोग्राम के लिए चुनी गई इकाई में तीन दशमलव के नीचे उतर गई है। यहाँ कुछ भी सापेक्षिक अर्थों में फ़्रेम पर निर्भर नहीं है; c² एक स्थिरांक है और समीकरण हर फ़्रेम में चलता है, पर चलती हुई वस्तु की गतिज ऊर्जा इस सूत्र से नहीं निकलती, और c के क़रीब की चालों पर किसी पिंड की कुल ऊर्जा लोरेंत्ज़ गुणक से mc² से बड़ी होती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

E = mc² असल में क्या निकालता है?: किसी द्रव्यमान के बराबर ऊर्जा: किलोग्राम में द्रव्यमान को प्रकाश की चाल के वर्ग से गुणा कीजिए, 299792458 m/s। एक ग्राम 0.001 × 299792458² = 8.99 × 10¹³ जूल देता है, यानी 89.9 टेराजूल या 21.5 किलोटन टीएनटी। यह द्रव्यमान में बँधी कुल ऊर्जा है, किसी ख़ास प्रक्रिया से निकलने वाली ऊर्जा नहीं — असली अभिक्रियाएँ कितना हिस्सा निकाल पाती हैं, वह नीचे दिया है।
प्रकाश की चाल का वर्ग क्यों लिया जाता है?: क्योंकि व्युत्पत्ति यही देती है, और यह इतना बड़ा इसलिए है कि c ख़ुद बड़ा है और वर्ग उसे और बड़ा कर देता है: 299792458² लगभग 9 × 10¹⁶ होता है। 1905 के मूल पत्र में समीकरण m = E/c² के रूप में छपा था, जो पढ़ने में ज़्यादा सहज है — किसी पिंड का जड़त्व उसकी ऊर्जा भाग c² है, और चूँकि c² विशाल है, छोटा द्रव्यमान बहुत बड़ी ऊर्जा के बराबर बैठता है।
परमाणु रिएक्टर असल में इस ऊर्जा का कितना हिस्सा पाता है?: लगभग हज़ारवाँ हिस्सा। विखंडन ईंधन के द्रव्यमान का क़रीब 0.1 प्रतिशत ऊर्जा में बदलता है, इसलिए एक किलोग्राम यूरेनियम इस पेज के 9 × 10¹⁶ जूल के बजाय क़रीब 8 × 10¹³ जूल देता है — जो फिर भी उतने ही कोयले को जलाने से लाखों गुना ज़्यादा है। संलयन बेहतर है, क़रीब 0.7 प्रतिशत, इसीलिए सूर्य का ईंधन इतना लंबा चलता है। रासायनिक अभिक्रियाएँ दोनों से बहुत पीछे हैं: पेट्रोल जलाने से उसके द्रव्यमान का क़रीब दस अरबवाँ हिस्सा बदलता है।
जूल के बजाय किलोटन टीएनटी क्यों?: क्योंकि 9 × 10¹³ जूल का किसी को अंदाज़ा नहीं होता। एक किलोटन टीएनटी 4.184 × 10¹² जूल के बराबर परिभाषित है, इसलिए रूपांतरण सटीक है, और संयोग से यही इकाई समाचारों में विस्फोट के लिए इस्तेमाल होती है: एक ग्राम पदार्थ 21.5 किलोटन पर उतरता है, जबकि हिरोशिमा का बम क़रीब 15 किलोटन का था। जूल वाली पंक्ति फिर भी पूरी लंबाई में दिखाई जाती है, क्योंकि उस अंक का आकार ही इस समीकरण की बात है।
क्या समीकरण में द्रव्यमान ईंधन का द्रव्यमान है?: असली अभिक्रिया के लिए नहीं — वह द्रव्यमान है जो ग़ायब होता है, यानी ईंधन का द्रव्यमान घटा बची हुई हर चीज़ का द्रव्यमान। विखंडन में यह अंतर ईंधन का क़रीब 0.1 प्रतिशत होता है, और यही हिस्सा ऊर्जा बनता है। यह पेज जो द्रव्यमान आप लिखते हैं उसे पूरी तरह बदला हुआ मानता है, जो ऊपरी सीमा है, किसी रिएक्टर की उपलब्धि नहीं; असली ईंधन की ऊर्जा चाहिए तो ईंधन के द्रव्यमान के बजाय द्रव्यमान-कमी लीजिए।
बहुत छोटे द्रव्यमानों पर टेराजूल वाली पंक्ति 0.000 क्यों दिखाती है?: क्योंकि टेराजूल बहुत बड़ी इकाई है और पंक्ति तीन दशमलव तक दिखाई जाती है। लगभग 5.5 माइक्रोग्राम से नीचे जवाब 0.0005 TJ से कम होता है और शून्य पर पहुँच जाता है। ऊर्जा ग़ायब नहीं हुई — जूल वाली पंक्ति पढ़िए, जहाँ एक माइक्रोग्राम भी 89.9 मिलियन जूल पर साफ़ दिखता है, यानी लगभग सवा दो लीटर पेट्रोल की ऊर्जा।

संदर्भ

Mass–energy equivalence — the derivation, the mass defect in fission and fusion, and the fractions of rest mass that real processes actually convert — Wikipedia
TNT equivalent — the 4.184 × 10⁹ J per tonne convention, its origin in the thermochemical calorie, and why real explosives fall short of it — Wikipedia
NIST Guide to the SI — the metre as defined by the speed of light, and the exact kilogram, pound and joule factors used above — National Institute of Standards and Technology

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