RLC प्रतिबाधा कैलकुलेटर

X_L = 2πfL, X_C = 1/(2πfC), Z = √(R² + (X_L − X_C)²), φ = arctan((X_L − X_C)/R), f₀ = 1/(2π√(LC))

R

प्रतिरोध, ओम में, और यही प्रतिबाधा का वह हिस्सा है जो आवृत्ति के साथ नहीं बदलता। यही Z के नीचे फ़र्श तय करता है: प्रतिघात चाहे कैसे भी हिलें, प्रतिबाधा कभी R से नीचे नहीं जा सकती, और अनुनाद पर वह ठीक R ही होती है। इसका दूसरा काम कला कोण का पैमाना तय करना है — बड़े R के साथ छोटा शुद्ध प्रतिघात हो तो परिपथ लगभग सादे प्रतिरोध की तरह बर्ताव करता है (Ω)

L

प्रेरकत्व, मिलीहेनरी में भरा जाता है क्योंकि अवयव पर यही छपा होता है। इसका प्रतिघात आवृत्ति के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए प्रेरक ऊँची आवृत्तियाँ रोकता है और नीची जाने देता है। ख़ाना मिलीहेनरी का है, हेनरी का नहीं: भरा गया 10 यानी 10 mH है और सूत्र तक पहुँचने से पहले वह 0.01 H बन जाता है (mH)

C

धारिता, माइक्रोफ़ैरड में, इसी वजह से। इसका प्रतिघात आवृत्ति बढ़ने पर घटता है — प्रेरक के उलट — इसलिए संधारित्र ऊँची आवृत्तियाँ जाने देता है और नीची रोकता है। इसे भी पहले बदला जाता है: भरा गया 100 यानी 100 µF है और वह 0.0001 F बन जाता है। दोनों प्रतिघात हमेशा एक-दूसरे के विरोध में होते हैं, इसीलिए सूत्र उन्हें जोड़ता नहीं, घटाता है (µF)

f

चलाने वाले वोल्टेज की आवृत्ति, हर्ट्ज़ में। यही वह इनपुट है जो इस पेज को ओम के नियम से अलग करता है: यह गणित में दो बार आता है और दोनों बार उलटी दिशा में धकेलता है, इसलिए प्रतिबाधा पहले गिरती है और फिर बढ़ने लगती है। इसे बदलने से जवाब बदल जाता है, चाहे कोई अवयव छुआ भी न गया हो, और ऐसी कोई आवृत्ति नहीं जहाँ दोनों प्रतिघात एक साथ शून्य हों (Hz)

X_L − X_C

शुद्ध प्रतिघात, और कला कोण असल में इसी से तय होता है। जब प्रेरक वाला पद बड़ा हो तो धारा वोल्टेज से पीछे रहती है और φ धनात्मक होता है; धारितीय पद बड़ा हो तो धारा आगे निकलती है और φ ऋणात्मक; दोनों बराबर हों तो शुद्ध प्रतिघात शून्य, φ शून्य, और परिपथ अनुनाद पर। इनमें से कोई भी प्रतिघात प्रतिरोध से घटाया नहीं जाता — वे समकोण पर जुड़ते हैं, इसीलिए सूत्र वर्गों का वर्गमूल लेता है, सादा जोड़ नहीं (Ω)

f₀

अनुनाद आवृत्ति, 1/(2π√(LC)), यानी वह आवृत्ति जिस पर दोनों प्रतिघात एक-दूसरे को काट देते हैं। यह सिर्फ़ L और C पर निर्भर है — R पर नहीं, और अभी भरी गई आवृत्ति पर भी नहीं — इसलिए बाक़ी पेज हिलता रहता है और यह जस का तस खड़ा रहता है, जिसे भूल से कोई ख़राबी समझा जा सकता है। f₀ पर श्रेणी परिपथ सबसे छोटी प्रतिबाधा दिखाता है, और वह प्रतिबाधा ठीक R होती है (Hz)

इसे तब लगाइए जब परिपथ में कोई प्रेरक या संधारित्र हो और वोल्टेज प्रत्यावर्ती हो, क्योंकि वहीं ओम का नियम सच रहना बंद कर देता है — सिर्फ़ लगभग सच रहने के बजाय। यह बताता है कि कोई अवयव या शाखा किसी एक आवृत्ति को कैसा दिखता है: किसी फ़िल्टर की इनपुट प्रतिबाधा, मेन आवृत्ति पर किसी चोक का प्रतिघात, या वह बिंदु जहाँ कोई LC जोड़ी अनुनाद करती है। कला कोण इसलिए भी ज़रूरी है कि सिर्फ़ परिमाण जानकर भी काम नहीं चलता — जो लोड वोल्टेज से बेक़दम धारा खींचता है वह उसी ओम-मान वाले प्रतिरोध जैसा लोड नहीं है। और जहाँ लोड सचमुच प्रतिरोधक है — हीटिंग एलिमेंट, फ़िलामेंट लैंप, लंबी तार — वहाँ ओम का नियम ही लगाइए, इस पेज को उसका ज़्यादा सटीक रूप मानने के बजाय वहाँ बेकार समझिए।

1. डिफ़ॉल्ट मान: 50 Hz पर 10 Ω, 10 mH और 100 µF

   1. पहले बदलिए: L = 10 mH = 0.01 H, C = 100 µF = 0.0001 F
   2. X_L = 2π × 50 × 0.01 = 3.142 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 50 × 0.0001) = 31.831 Ω
   4. शुद्ध प्रतिघात = 3.142 − 31.831 = −28.689 Ω, यानी परिपथ धारितीय है
   5. Z = √(10² + 28.689²) = 30.382 Ω, φ = arctan(−28.689 / 10) = −70.783°
   6. f₀ = 1 / (2π√(0.01 × 0.0001)) = 159.155 Hz

   तीसरा और चौथा नतीजा साथ पढ़ने वाले हैं: धारितीय प्रतिघात प्रेरक वाले से दस गुने से भी ज़्यादा है, इसलिए 50 Hz पर यह परिपथ असल में एक संधारित्र है जिसके साथ संयोग से एक प्रतिरोध लगा हुआ है, और धारा वोल्टेज से क़रीब 71 अंश आगे चलती है। यह भी देखिए कि यहाँ 10 Ω प्रतिरोध की कितनी कम अहमियत है — वह प्रतिबाधा का सिर्फ़ एक-तिहाई है, और कला कोण क़रीब −90° है, जो शुद्ध संधारित्र का जवाब होगा।

2. वही अवयव, 1 kHz पर चलाए गए

   1. X_L = 2π × 1000 × 0.01 = 62.832 Ω — 50 Hz वाले मान का बीस गुना
   2. X_C = 1 / (2π × 1000 × 0.0001) = 1.592 Ω — 50 Hz वाले मान का बीसवाँ हिस्सा
   3. शुद्ध प्रतिघात = 62.832 − 1.592 = +61.240 Ω, यानी परिपथ अब प्रेरक है
   4. Z = √(10² + 61.240²) = 62.051 Ω, φ = arctan(61.240 / 10) = +80.726°
   5. f₀ अब भी 159.155 Hz है, ज़रा भी नहीं हिली

   इसे पहले उदाहरण के बग़ल में रखिए: एक भी अवयव नहीं छुआ गया, और कला कोण −70.783° से झूलकर +80.726° हो गया। जो परिपथ मेन आवृत्ति पर संधारित्र जैसा दिख रहा था वह 1 kHz पर प्रेरक जैसा दिखता है — यही इस पेज की सबसे बड़ी बात है और यही वह चीज़ है जिसे कोई स्थिर प्रतिरोध बता ही नहीं सकता। आख़िरी पंक्ति की अनुनाद आवृत्ति नहीं हिली, क्योंकि वह कभी उस आवृत्ति पर निर्भर ही नहीं करती जिस पर आप चला रहे हैं — अगर वह बदलती दिखे तो कहीं और कुछ बदला गया है।

3. अनुनाद पर, 159.155 Hz

   1. अनुनाद आवृत्ति ही भर दीजिए: 159.155 Hz
   2. X_L = 2π × 159.155 × 0.01 = 10 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 159.155 × 0.0001) = 10 Ω
   4. दोनों बिलकुल कट जाते हैं: Z = √(10² + 0²) = 10 Ω, यानी ख़ुद R
   5. φ = arctan(0 / 10) = 0°, यानी वोल्टेज और धारा एक ही क़दम में

   यही वह पंक्ति है जो इस पेज को आकार देती है: अनुनाद पर श्रेणी परिपथ सबसे छोटी प्रतिबाधा दिखाता है, और वह न्यूनतम ठीक प्रतिरोध होती है। यह वह अकेली आवृत्ति भी है जिस पर धारा वोल्टेज के साथ क़दम से क़दम चलती है। हाथ से जाँचने से पहले एक बात जान लीजिए: 159.155 तो f₀ है, तीन दशमलव तक गोल किया हुआ, इसलिए हर प्रतिघात 10 ओम से क़रीब चार दस-लाखवें ओम हटा हुआ है (और दोनों में आपस में क़रीब सात दस-लाखवें का फ़र्क़ है), जिससे कला कोण ठीक शून्य के बजाय 0.000041° रह जाता है — पैनल दोनों को गोल कर देता है। असली अनुनाद 159.1549431… Hz पर है।

4. उसी परिपथ में 1 kΩ का प्रतिरोध

   1. प्रतिघात पहले उदाहरण वाले ही हैं: 3.142 Ω और 31.831 Ω
   2. शुद्ध प्रतिघात अब भी −28.689 Ω है, पर R अब 1000 Ω है
   3. Z = √(1000² + 28.689²) = 1000.411 Ω
   4. φ = arctan(−28.689 / 1000) = −1.643°
   5. f₀ अब भी 159.155 Hz है: R का उस पर कोई असर नहीं

   यहीं यह पेज ओम के नियम से मिलता है। R को 10 Ω से 1 kΩ करने पर प्रतिघात ज़रा भी नहीं बदलते — वे L, C और आवृत्ति के गुण हैं, R के नहीं — पर कला कोण −70.783° से गिरकर −1.643° रह जाता है, और प्रतिबाधा 30.382 Ω से 1000.411 Ω हो जाती है, जिसमें 1000 तो सिर्फ़ R है। इस अनुपात पर परिपथ एक प्रतिरोध है जिसमें धारिता की इतनी हल्की छाप है कि नापना मुश्किल है, और V = I × R एक अच्छा सन्निकटन है, ग़लती नहीं। यही इस पेज और ओम के नियम वाले पेज के बीच की सरहद है, और यह सरहद चिकनी है: कोई दहलीज़ नहीं है, बस एक ऐसी त्रुटि है जो R बढ़ने के साथ सिकुड़ती जाती है।

यह पेज सिर्फ़ श्रेणी परिपथ का मॉडल है — एक प्रतिरोध, एक प्रेरक और एक संधारित्र, एक ही लूप में। समांतर परिपथ के लिए जान-बूझकर कोई विकल्प नहीं दिया गया, क्योंकि समांतर RLC नेटवर्क इस सूत्र का उलटा झंडा भर नहीं है: उसका व्यंजक अलग है और अनुनाद पर वह उलटा बर्ताव करता है — जहाँ श्रेणी परिपथ सबसे छोटी प्रतिबाधा पाता है, वहाँ समांतर सबसे बड़ी। वही चार संख्याएँ भरकर अलग जवाब पाने का मतलब होगा कि आप ऐसे परिपथ के बारे में तथ्य पढ़ रहे हैं जिसका आपने वर्णन ही नहीं किया, इसलिए वह रूप इस पेज के पीछे लगे किसी स्विच के बजाय अपने अलग पेज का हक़दार है। पूरे पेज में आदर्श अवयव माने गए हैं: प्रेरक में कुंडली का कोई प्रतिरोध नहीं, संधारित्र में कोई क्षरण या तुल्य श्रेणी प्रतिरोध नहीं, और ऐसी कोई आवृत्ति नहीं जहाँ ये अवयव संकेंद्रित अवयवों की तरह बर्ताव करना बंद कर दें। इनपुट आवृत्ति स्थिर है, घुमाई नहीं जाती, इसलिए पेज आपको प्रतिबाधा वक्र पर एक बिंदु और अनुनाद आवृत्ति देता है — पूरा वक्र नहीं।

यहाँ ओम का नियम क्यों नहीं चलेगा?

क्योंकि परिपथ में प्रेरक या संधारित्र हो तो वोल्टेज और धारा का अनुपात स्थिर नहीं रहता — वह आवृत्ति पर निर्भर करता है, और धारा वोल्टेज के साथ क़दम से क़दम चलना छोड़ देती है। ओम का नियम यहाँ एक संख्या तो देगा, पर वह संख्या ग़लत होगी, और संख्या न देना उससे बेहतर है। ओम के नियम वाला कैलकुलेटर ख़ुद यह बताकर आपको इस पेज पर भेजता है; V = I × R तभी तक अच्छा सन्निकटन रहता है जब तक प्रतिरोध शुद्ध प्रतिघात के मुक़ाबले बड़ा हो — जैसा चौथे उदाहरण में दिखता है, जहाँ 1 kΩ के सामने 28.689 Ω रह जाने पर कला कोण 2 अंश से भी कम रह जाता है।

समांतर RLC परिपथ का क्या?

वह अलग हिसाब है और अलग पेज, इसीलिए यहाँ उसका कोई स्विच नहीं है। समांतर नेटवर्क का अपना व्यंजक होता है, और अनुनाद पर वह उलटा बर्ताव करता है: श्रेणी परिपथ वहाँ सबसे छोटी प्रतिबाधा पाता है, जबकि समांतर सबसे बड़ी। इससे भी बुरी बात यह है कि यह पेज वे चारों संख्याएँ ख़ुशी से स्वीकार कर लेता और ऐसी प्रतिबाधा लौटा देता जो कई गुना ग़लत होती, बिना कोई दिखने वाला संकट-चिह्न दिए — और ऐसी ही चुपचाप होने वाली ग़लती को स्विच को रोकना चाहिए था, पैदा नहीं करना।

आवृत्ति बदलने पर अनुनाद आवृत्ति क्यों नहीं बदलती?

क्योंकि अनुनाद आवृत्ति प्रेरक और संधारित्र का गुण है, जबकि आवृत्ति वाला ख़ाना वह आवृत्ति है जिस पर आप परिपथ को चला रहे हैं — दो अलग चीज़ें जिनका नाम एक ही हो गया है। f₀ = 1/(2π√(LC)) में न कोई R है, न कोई f, इसलिए जब आप चलाने वाली आवृत्ति को उसके ऊपर से घुमाकर ले जाते हैं तब भी वह जस की तस खड़ी रहती है। वह सिर्फ़ तब हिलती है जब आप L या C बदलते हैं। यही स्वतंत्रता उसे काम का बनाती है: वह बता देती है कि परिपथ कहाँ अनुनाद करेगा, इससे पहले कि आप उसे ढूँढ़ने निकलें।

ऋणात्मक कला कोण का क्या मतलब है?

इसका मतलब है कि धारा वोल्टेज से आगे चल रही है, जो तब होता है जब दोनों में से धारितीय प्रतिघात बड़ा हो। धनात्मक का मतलब धारा पीछे है और कमान प्रेरकत्व के हाथ में है, और शून्य का मतलब दोनों बराबर हैं, यानी परिपथ अनुनाद पर है। इसलिए चिह्न पूरे पेज का सार एक अक्षर में बता देता है: −70.783° कहता है कि 50 Hz पर इस परिपथ को 100 µF का संधारित्र चला रहा है, और 1 kHz पर +80.726° कहता है कि 10 mH का प्रेरक ने कमान सँभाल ली है।

अनुनाद पर प्रतिबाधा सिर्फ़ 10 ओम क्यों है?

क्योंकि दोनों प्रतिघात एक-दूसरे को काटकर सिर्फ़ प्रतिरोध छोड़ जाते हैं। X_L और X_C असर में बराबर और उलटे हैं, इसलिए शुद्ध प्रतिघात शून्य हो जाता है और Z = √(R² + 0²) = R। श्रेणी परिपथ के लिए यही सबसे छोटी प्रतिबाधा है, और यह वही आवृत्ति है जिस पर धारा सबसे बड़ी और वोल्टेज के साथ एक ही कला में होती है। इसी वजह से श्रेणी की LC जोड़ी किसी आवृत्ति को चुनने के लिए लगाई जाती है: बाक़ी सब कमज़ोर पड़ जाता है, और चुनी हुई आवृत्ति के रास्ते में सिर्फ़ R रह जाता है।

क्या प्रतिघात प्रतिरोध में जोड़ दिए जाते हैं?

नहीं, वे समकोण पर जुड़ते हैं, इसीलिए सूत्र सादा जोड़ नहीं, वर्गों के योग का वर्गमूल लेता है। डिफ़ॉल्ट मानों पर यह फ़र्क़ बड़ा है: सीधे जोड़ने पर 10 + 3.142 + 31.831 = 44.973 ओम आता, जबकि सही प्रतिबाधा 30.382 ओम है। इसका भौतिक कारण कला-अंतर है — किसी प्रतिघात पर गिरने वाला वोल्टेज प्रतिरोध पर गिरने वाले वोल्टेज से चौथाई चक्र बेक़दम होता है, और जो राशियाँ बेक़दम हों वे सीधे नहीं जुड़तीं।

• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), §6.5 — the hertz, the henry and the farad, and the derived unit for reactance — NIST
• Series RLC circuit — impedance as a vector sum of resistance and net reactance, the phase angle, and resonance as the point where the two reactances cancel — Wikipedia
• Electrical reactance — why an inductor and a capacitor react in opposite directions as frequency rises, and how each behaves at the two extremes — Wikipedia