संधारित्र ऊर्जा कैलकुलेटर

E = ½ × C × V², और Q = C × V

C

धारिता, डिफ़ॉल्ट रूप से माइक्रोफ़ैराड में, और उसी ख़ाने में नैनोफ़ैराड, पिकोफ़ैराड तथा फ़ैराड भी। यह पहली घात में आती है, इसलिए एक ही वोल्टेज पर धारिता दुगुनी करने पर ऊर्जा भी दुगुनी हो जाती है। फ़ैराड बहुत बड़ी इकाई है — एक फ़ैराड एक वोल्ट पर एक कूलॉम रखता है, जो ज़्यादातर परिपथों के मुक़ाबले बहुत ज़्यादा आवेश है — इसीलिए रोज़मर्रा के मान माइक्रोफ़ैराड और पिकोफ़ैराड में होते हैं और सूची उन्हीं से शुरू होती है। गतिज ऊर्जा के ½mv² में जो द्रव्यमान है, विद्युत जगत में वही धारिता है: दोनों किसी चीज़ के बदलने की दर का विरोध करते हैं

V

संधारित्र पर लगा वोल्टेज, वोल्ट में — और यही वर्ग में आता है, इसीलिए इस पेज पर कैलकुलेटर का मतलब बनता है। दुगुना वोल्टेज चार गुनी ऊर्जा और तिगुना वोल्टेज नौ गुनी ऊर्जा देता है, यानी संख्याएँ अंदाज़े से कहीं तेज़ बढ़ती हैं: 400 V पर एक बैंक वही ऊर्जा सोलह गुना रखता है जो वही बैंक 100 V पर रखता है। यहाँ भरा गया मान परिमाण माना जाता है और ऋणात्मक वोल्टेज अस्वीकार होता है, क्योंकि ऊर्जा भंडारण को ध्रुवता से मतलब नहीं — हालाँकि प्रत्यावर्ती धारा के परिपथ में संधारित्र हर आधे चक्र में उलटी ध्रुवता से चार्ज होता रहता है

E

जमा ऊर्जा, जूल में, और छोटे सिरे के लिए नीचे एक और पंक्ति मिलीजूल में। एक जूल यानी एक सेकंड तक एक वाट — इसी तुलना से आँकड़ा ठोस हो जाता है: 4.5 J यानी 4.5 वाट का लोड एक सेकंड तक, और 80 J — यानी 400 V पर 1000 µF — यानी 80 वाट एक सेकंड तक। वही ½ गतिज ऊर्जा के ½mv² में और प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के ½kx² में भी है, और तीनों एक ही गणित हैं जिनमें संयुग्मी राशियों की जोड़ी बदल जाती है

Q

संधारित्र में जमा आवेश, कूलॉम में, यानी धारिता गुणा वोल्टेज। यह सिर्फ़ नतीजे में दिखता है, कभी भरने को नहीं माँगा जाता — क्योंकि आवेश संधारित्र पर सीधे नापी जाने वाली चीज़ नहीं है और न ही इसे लक्ष्य मानकर डिज़ाइन किया जाता है; आप धारिता और वोल्टेज रेटिंग चुनते हैं और आवेश अपने आप निकल आता है। इसका काम तब आता है जब आगे यह पूछना हो कि संधारित्र कितनी देर धारा दे सकता है, क्योंकि एक कूलॉम प्रति सेकंड एक एम्पियर है — और यह यांत्रिक जगत के संवेग p = mv का विद्युत जोड़ीदार है, जहाँ Q = CV उसी की तरह बैठता है

इसका इस्तेमाल तब कीजिए जब संधारित्र फ़िल्टर की तरह नहीं, ऊर्जा भंडार की तरह लगा हो: कैमरे के फ़्लैश के पीछे का बैंक नापना, बिजली जाने पर संधारित्र कितनी देर सहारा देगा यह निकालना, किसी पल्स के लिए कितनी ऊर्जा उपलब्ध है यह जाँचना, या यह अंदाज़ा लगाना कि कम प्रतिरोध में डिस्चार्ज होने पर संधारित्र कितना गर्म होगा। और बड़े संधारित्र वाली किसी भी चीज़ पर हाथ लगाने से पहले भी इसे चलाइए — यह पेज जो संख्या लौटाता है, वही ऊर्जा बाहर आएगी अगर कहीं टर्मिनल शॉर्ट हो गए। फ़िल्टर या डिकपलिंग संधारित्र के लिए यह ग़लत औज़ार है, जहाँ जमा ऊर्जा गौण होती है और धारिता भंडारण के लिए नहीं, प्रतिबाधा के लिए चुनी जाती है।

1. डिफ़ॉल्ट मान: 100 µF, 300 V पर चार्ज

   1. ज्ञात है: धारिता 100 µF (0.0001 F), वोल्टेज 300 V
   2. E = ½ × 0.0001 × 300² = ½ × 0.0001 × 90000
   3. E = 4.5 J, यानी वही 4500 mJ
   4. आवेश = 0.0001 × 300 = 0.03 C

   4.5 जूल ऊर्जा की एक जानी-पहचानी मात्रा है, बस अनजानी जगह पर। यही 4.5 W का बल्ब एक सेकंड में खाता है, और अगर संधारित्र को पेचकस से शॉर्ट किया जाए तो यही मात्रा एक दिखने वाली चिंगारी और तेज़ चटाक के लिए काफ़ी है। याद रखने लायक बात 300 का वर्ग है: वोल्टेज वर्ग में जाता है और धारिता नहीं, इसलिए दुगुनी वोल्टेज रेटिंग वाला संधारित्र उसी धारिता पर दुगुनी नहीं, चार गुनी ऊर्जा रखता है। इसीलिए संधारित्र की वोल्टेज रेटिंग सबसे पहले पढ़ी जाने वाली विशेषता है।

2. पावर सप्लाई के फ़िल्टर की ऊर्जा: 1000 µF, 400 V पर

   1. ज्ञात है: धारिता 1000 µF (0.001 F), वोल्टेज 400 V
   2. E = ½ × 0.001 × 400² = ½ × 0.001 × 160000
   3. E = 80 J
   4. आवेश = 0.001 × 400 = 0.4 C

   यह स्विच्ड-मोड पावर सप्लाई के उच्च वोल्टेज वाले हिस्से में बैठा संधारित्र है, और 80 J वही आँकड़ा है जो इसे ख़तरनाक बनाता है। एक मिलीसेकंड में छूटी यह ऊर्जा — जो चार्ज संधारित्र के शॉर्ट होने पर होता है — 80 kW का झटका है; हाथ के रास्ते छूटे तो जलन और मांसपेशी का सिकुड़ना। यह संधारित्र मेन स्विच बंद करने के बाद भी चार्ज बनाए रखता है, क्योंकि परिपथ में कुछ भी इसे डिस्चार्ज नहीं करता — इसीलिए एक घंटे से बंद पड़ा बोर्ड भी ज़िंदा रह सकता है। इससे निकलने वाला नियम विद्युत नहीं, यांत्रिक है: हर बार ब्लीडर प्रतिरोध लगाइए, या आपूर्ति बंद करके वोल्टेज नाप लीजिए।

3. 12 V रेल से एक असली मामला: 4700 µF, 16 V पर

   1. ज्ञात है: धारिता 4700 µF (0.0047 F), वोल्टेज 16 V
   2. E = ½ × 0.0047 × 16² = ½ × 0.0047 × 256
   3. E = 0.602 J, यानी 601.6 mJ
   4. आवेश = 0.0047 × 16 = 0.0752 C

   ज़्यादातर लोगों की मेज़ पर रखा सबसे बड़ा संधारित्र यही होता है — 16 V की रेटिंग वाला 4700 µF इलेक्ट्रोलिटिक, वही जो 12 V सप्लाई के आउटपुट पर बैठता है — और यह छह दशमलव एक जूल रखता है, जो हानिरहित है। इसे पिछले उदाहरण से मिलाकर पढ़ना ही इस पेज का पूरा सबक़ है: धारिता सिर्फ़ 4.7 गुना बढ़ी, जबकि ऊर्जा 133 गुना बढ़ गई, क्योंकि वोल्टेज 16 से 400 हो गया। ऊर्जा वोल्टेज में रहती है, इसीलिए चेतावनी के लेबल उच्च वोल्टेज वाले संधारित्रों पर लगते हैं, और इसीलिए यह आँकड़ा गोल 0.6 नहीं, 0.602 है।

4. छोटा सिरा: 1 µF, 10 V पर

   1. ज्ञात है: धारिता 1 µF (0.000001 F), वोल्टेज 10 V
   2. E = ½ × 0.000001 × 100 = 0.00005 J
   3. जूल वाली पंक्ति 0.000 दिखाती है, क्योंकि तीन दशमलव जगहें जूल के पचास लाखवें हिस्से को दिखा ही नहीं सकतीं
   4. मिलीजूल वाली पंक्ति 0.05 दिखाती है, और आवेश 0.00001 C है

   पहला नतीजा 0.000 J पढ़ता है और यह ख़राबी नहीं है: ऊर्जा वाक़ई जूल के पचास लाखवें हिस्से जितनी है, और जूल वाली पंक्ति उस पैमाने के लिए बनी है जो क़रीब एक जूल से शुरू होता है। इसीलिए पेज एक ही पंक्ति में ज़्यादा दशमलव देने के बजाय मिलीजूल में दूसरी पंक्ति रखता है — एक ही पंक्ति या तो छोटा सिरा खो देती या बड़े सिरे को भर देती। छोटे संधारित्रों के लिए मिलीजूल वाली पंक्ति पढ़िए, और 300 V पर 100 µF के लिए जूल वाली। शून्य में कोई गड़बड़ नहीं है; इकाई ही ज़्यादा बड़ी है।

5. बिना चार्ज संधारित्र: 100 µF, 0 V पर

   1. ज्ञात है: धारिता 100 µF, वोल्टेज 0 V
   2. E = ½ × 0.0001 × 0 = 0 J
   3. तीनों नतीजे ठीक शून्य हैं, कोई त्रुटि नहीं
   4. पेज इसे अस्वीकार नहीं करता, बल्कि सामान्य जवाब की तरह लौटाता है

   शून्य वोल्ट एक असली रीडिंग है — डिस्चार्ज हो चुका संधारित्र, या बंद परिपथ में पड़ा संधारित्र — इसलिए पेज तीन शून्य लौटाता है, कोई त्रुटि संदेश नहीं। यह एक बार देख लेना अच्छा है, क्योंकि इससे साफ़ हो जाता है कि यहाँ शून्य एक वैध जवाब है, यह संकेत नहीं कि कुछ गणना में फँस गया। अस्वीकार सिर्फ़ ऋणात्मक वोल्टेज पर होता है, और वह भी दूसरी तरह का अस्वीकार है: भौतिकी इसे मना नहीं करती, क्योंकि प्रत्यावर्ती धारा के परिपथ में संधारित्र हर आधे चक्र में उलटा चार्ज होता है — मना इसलिए है कि जमा ऊर्जा एक परिमाण है, और ऋणात्मक मान का मतलब है कि ग़लत संख्या भर दी गई।

यह सूत्र एक आदर्श संधारित्र में जमा ऊर्जा देता है, और असली संधारित्र उसकी पूरी मात्रा वापस नहीं लौटाता: डाइइलेक्ट्रिक अवशोषण, श्रेणीबद्ध समतुल्य प्रतिरोध और लीकेज अपना-अपना हिस्सा ले लेते हैं, इसलिए असल में मिलने वाली ऊर्जा इससे कुछ कम होती है। यह गणना यह भी नहीं बताती कि ऊर्जा कितनी तेज़ी से निकल सकती है — वह श्रेणी प्रतिरोध और परिपथ की धारा-क्षमता से तय होती है। और यह वोल्टेज रेटिंग के बारे में कुछ नहीं कहती, जो एक सख़्त सीमा है: उससे ऊपर जाने पर संधारित्र ख़राब होता है, अक्सर शॉर्ट होकर, और कभी-कभी ज़ोरदार तरीक़े से।

ऊर्जा के सूत्र में वोल्टेज का वर्ग क्यों आता है?

क्योंकि संधारित्र चार्ज करना एक तय मात्रा को एक तय वोल्टेज पर धकेलना नहीं है। पहला थोड़ा आवेश लगभग शून्य वोल्ट पर भीतर जाता है, और हर अगला हिस्सा पहले से ज़्यादा वोल्टेज पर, क्योंकि भीतर का आवेश विभव बढ़ा चुका होता है। किया गया कार्य औसत वोल्टेज गुणा आवेश है, और 0 से V तक एक सीधी रेखा का औसत V/2 होता है — यहीं से ½CV² का आधा आता है, और Q = CV रखने पर वर्ग भी वहीं से। व्यवहार में याद रखने लायक बात एक ही है: वोल्टेज दुगुना करने पर जूल चार गुना हो जाते हैं।

चार्ज संधारित्र को छूना ख़तरनाक है क्या?

हो सकता है, और यह सिर्फ़ वोल्टेज या सिर्फ़ धारिता पर नहीं, पूरी तरह ऊर्जा पर निर्भर है। यह पेज जो संख्या लौटाता है, वही ऊर्जा संधारित्र से बाहर आएगी अगर कहीं परिपथ पूरा हो जाए, और 80 J — यानी 400 V पर 1000 µF, पावर सप्लाई में लगा एक सामान्य हिस्सा — गंभीर चोट के लिए काफ़ी है। संधारित्र में जमा ऊर्जा आपूर्ति बंद करने पर ग़ायब नहीं होती, और ज़्यादातर परिपथों में उसे डिस्चार्ज करने वाला कुछ नहीं होता — इसलिए नियम यह है कि ब्लीडर प्रतिरोध लगाइए, या उपकरण को अलग करके वोल्टेज नाप लीजिए, तभी कुछ छूइए।

मिलीजूल क्या है और दूसरी पंक्ति क्यों है?

मिलीजूल जूल का हज़ारवाँ हिस्सा है, और दूसरी पंक्ति इसलिए है कि असली संधारित्रों की ऊर्जा क़रीब छह दशमलव घातों तक फैली होती है। 10 V पर 1 µF संधारित्र 0.00005 J रखता है, जो जूल वाली पंक्ति में 0.000 दिखता है — संख्या सही है, बस इकाई उसे दिखाने के लिए बहुत मोटी है — जबकि 400 V पर 1000 µF संधारित्र 80 J रखता है, जहाँ मिलीजूल वाली पंक्ति 80000 पढ़ती है और वह भी बेढंगा लगता है। एक ही पंक्ति में काम का न आने वाला दशमलव ठूँसने के बजाय पेज वही राशि दो पैमानों पर दो बार देता है, और आप वह पंक्ति पढ़िए जिसमें समझ आने वाली संख्या हो।

धारिता ज़्यादा मायने रखती है या वोल्टेज?

वोल्टेज, और बहुत बड़े अंतर से, क्योंकि वह वर्ग में जाता है और धारिता नहीं। 16 V से 400 V जाने पर उसी धारिता पर ऊर्जा 625 गुना हो जाती है, जबकि 100 µF से 1000 µF जाने पर दस गुना। इस पेज के उदाहरणों में 16 V पर 4700 µF संधारित्र 0.602 J रखता है और 400 V पर 1000 µF संधारित्र 80 J: दूसरे की धारिता एक चौथाई से भी कम है, और ऊर्जा सौ गुना से ज़्यादा। इसीलिए उच्च वोल्टेज वाले संधारित्र ख़तरनाक होते हैं, और इसीलिए वोल्टेज रेटिंग सबसे पहले जाँची जाने वाली विशेषता है।

संधारित्र मेरे परिपथ को कितनी देर चला सकता है?

यह अलग हिसाब है और यह पेज वह नहीं करता, लेकिन आवेश वाली पंक्ति उसका पुल है। एक कूलॉम प्रति सेकंड एक एम्पियर है, इसलिए 400 V पर 1000 µF संधारित्र का 0.4 C यानी 0.4 एम्पियर-सेकंड आवेश है: लगातार 0.1 A पर यह क़रीब चार सेकंड है, अगर वोल्टेज को पूरी तरह शून्य तक गिरने दिया जाए। असल में जवाब इससे कहीं छोटा होता है, क्योंकि परिपथ अपने न्यूनतम वोल्टेज से नीचे जाते ही काम करना बंद कर देता है, और डिस्चार्ज सीधी रेखा में नहीं, घातीय वक्र में होता है। होल्ड-अप समय के हिसाब के लिए लोड का न्यूनतम वोल्टेज भी चाहिए।

क्या ऊर्जा ऋणात्मक हो सकती है?

नहीं, और पेज ऋणात्मक वोल्टेज स्वीकार नहीं करता। ऊर्जा भंडारण वोल्टेज के वर्ग पर निर्भर है, इसलिए −300 V पर चार्ज संधारित्र ठीक वही 4.5 J रखता है जो +300 V पर रखता है, और ऋणात्मक जवाब का कोई मतलब नहीं बनता। यह रोक इसलिए लगी है कि प्रत्यावर्ती धारा के परिपथ में संधारित्र सचमुच हर आधे चक्र में उलटा चार्ज होता है, तो जिसने −300 V नापा है उसने असली चीज़ नापी है — लेकिन इस पेज को जो चाहिए वह परिमाण है, यानी 300, और चिह्न के साथ मान भरना भरने की चूक है, भौतिक स्थिति नहीं।

• OpenStax College Physics 2e, §19.7 Energy Stored in Capacitors — the derivation of E = ½CV² from the work done charging a capacitor, and the millijoule-scale examples used here — OpenStax
• Capacitor — the farad defined through charge and voltage, the practical submultiples, and the energy-storage and safety sections — Wikipedia
• IEC 60384-14 and the capacitor safety literature on stored charge — why a capacitor retains its energy after the supply is removed, and the bleeder-resistor practice for high-voltage equipment — Wikipedia