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समचतुर्भुज कैलकुलेटर

सीमा: 0 cm – 1,00,00,00,000 cm

सीमा: 0 ° – 180 °

नतीजा

21.6506 cm²

क्षेत्रफल

परिमाप
20.0000 cm
विकर्ण 1
8.6603 cm
विकर्ण 2
5.0000 cm
ऊँचाई
4.3301 cm

समचतुर्भुज कैलकुलेटर एक भुजा की लंबाई और एक कोण की नाप लेकर बाक़ी पूरी आकृति लौटा देता है: क्षेत्रफल, परिमाप, दोनों विकर्ण और ऊँचाई। समचतुर्भुज चार भुजाओं वाली वह आकृति है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर और आमने-सामने की भुजाएँ समांतर होती हैं — यानी एक वर्ग जिसे एक तरफ़ से धकेल दिया गया हो — इसलिए एक भुजा परिमाप को तुरंत तय कर देती है, चार गुना, और उसके बाद कोण बाक़ी सब कुछ तय करता है। यही बँटवारा इस पेज के दो ख़ानों की वजह है: अकेली भुजा बताती है कि किनारे कितने लंबे हैं, कोण बताता है कि आकृति कितनी झुकी है, और दोनों मिलकर आकृति को पूरी तरह तय कर देते हैं। 5 सेंटीमीटर की भुजा लीजिए। उसे सीधा खड़ा रखिए, 90 अंश पर, तो वह 25 वर्ग सेंटीमीटर घेरती है, जो उतनी भुजा वाले समचतुर्भुज का सबसे बड़ा क्षेत्रफल है। उसे 60 अंश तक झुकाइए और वही चार किनारे 21.6506 घेरते हैं, लगभग तेरह प्रतिशत कम, और अब विकर्ण 8.6603 तथा 5 हो जाते हैं और ऊँचाई 4.3301। और झुकाइए, 30 अंश तक, तो क्षेत्रफल 12.5 रह जाता है जबकि परिमाप पूरे समय 20 ही बना रहता है। यही वह तथ्य है जिसे दिखाने के लिए यह पेज बना है: समचतुर्भुज को झुकाने से उसका परिमाप कभी नहीं बदलता और क्षेत्रफल हमेशा घटता है, और यह क़ीमत हर चीज़ पर लगती है — झुकने के साथ दोनों विकर्ण उलटी दिशाओं में चलते हैं, एक बढ़ता है तो दूसरा घटता है, और ऊँचाई शून्य की तरफ़ गिरती जाती है। नीचे की तालिका की सबसे काम की पंक्ति तीसरी है। 5 की भुजा और 73.74 अंश पर विकर्ण ठीक 8 और 6 आते हैं और क्षेत्रफल 24 — यही वह समचतुर्भुज है जिससे समचतुर्भुज क्षेत्रफल वाला पेज काम करता है जब आप उसे विकर्ण 6 और 8 देते हैं। 6 का आधा 3 और 8 का आधा 4 है, और 3 तथा 4 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण 5 होता है, इसीलिए भुजा 5 निकली; 73.74 अंश उस त्रिभुज के 36.87 अंश का दुगुना है। कोई भी जोड़ी भरिए और जवाब 24 ही आएगा, और दोनों का एक ही पेज पर होना सबसे साफ़ जाँच है कि दोनों सूत्र एक ही आकृति बताते हैं। कोण वाला ख़ाना अंश, रेडियन और ग्रेड लेता है, और चारों में से कोई भी कोण चलेगा, क्योंकि समचतुर्भुज में दो कोण एक नाप के और दो दूसरी नाप के होते हैं, और किसी कोण की sin उसके संपूरक कोण की sin के बराबर होती है — 60 और 120 एक ही क्षेत्रफल देते हैं। असल में वे एक ही समचतुर्भुज हैं: क्षेत्रफल, परिमाप और ऊँचाई वही, बस दोनों विकर्ण अपनी जगहें बदल लेते हैं, क्योंकि किसे पहला कहा जाएगा यह इस पर निर्भर करता है कि आपने कोण किस कोने पर नापा। 0 या 180 अंश का कोण भी स्वीकार किया जाता है और शून्य क्षेत्रफल देता है, जो पूरी तरह चपटी हो चुकी आकृति का ईमानदार अर्थ है; ऋणात्मक कोण, या 180 से ऊपर का कोण, ग़लती बताया जाता है। अगर आपके पास भुजा और कोण के बजाय विकर्ण हैं, तो समचतुर्भुज क्षेत्रफल वाला पेज उन्हें सीधे ले लेता है; और अगर इस पेज के दो इनपुट से सिर्फ़ क्षेत्रफल चाहिए, तो वही टूल भुजा और कोण वाला रास्ता भी लेता है।

एक भुजा और एक कोण से हल किए गए समचतुर्भुज

भुजा (cm)कोण (°)विकर्ण 1 (cm)विकर्ण 2 (cm)परिमाप (cm)क्षेत्रफल (cm²)
5608.660352021.6506
5907.07117.07112025
573.74862024
4307.72742.0706168
6120610.39232431.1769
104518.47767.65374070.7107
1101.99240.174340.1736
0600000

आठ समचतुर्भुज, और हर पंक्ति एक ही नियम को अलग झुकाव पर दिखाती है; पहली पंक्ति वही है जिसके साथ पेज खुलता है। तीसरी पंक्ति इस पेज की दूसरे पेज से जोड़ने वाली कड़ी है: 5 की भुजा और 73.74 अंश पर विकर्ण ठीक 8 और 6 निकलते हैं और क्षेत्रफल 24, यानी वही समचतुर्भुज जो समचतुर्भुज क्षेत्रफल वाला पेज विकर्ण 6 और 8 देकर बनाता है। परिमाप वाला कॉलम एक बार भी नहीं हिलता: जिन पंक्तियों की भुजा 5 है उनमें वह हर बार 20 है और भुजा 4 वाली पंक्ति में 16, चाहे कोण कुछ भी हो। दोनों विकर्ण वाले कॉलम आकृति के झुकने के साथ अपनी भूमिकाएँ बदलते हैं और यही देखने लायक़ है: पहली पंक्ति में (5 की भुजा, 60 अंश) बड़ा विकर्ण पहले कॉलम में है, 8.6603 बनाम 5, जबकि पाँचवीं पंक्ति में (6 की भुजा, 120 अंश) बड़ा विकर्ण दूसरे कॉलम में चला जाता है, 10.3923 बनाम 6 — ये दोनों एक ही समचतुर्भुज नहीं हैं क्योंकि भुजाएँ अलग हैं, पर दोनों मिलकर संपूरक कोणों का नियम दिखाते हैं। दूसरी पंक्ति एकमात्र ऐसी है जहाँ दोनों विकर्ण कॉलम एक-दूसरे से मिलते हैं, दोनों 7.0711, क्योंकि समकोण पर आकृति वर्ग बन जाती है। चौथी पंक्ति सबसे ज़्यादा झुकी हुई है — 4 की भुजा और 30 अंश — और वहाँ लंबा विकर्ण 7.7274 है, यानी भुजा से लगभग दुगुना, जबकि छोटा विकर्ण 2.0706 है, यानी भुजा के आधे से ज़रा ज़्यादा। आख़िरी पंक्ति में भुजा 0 है और सारे आउटपुट शून्य हैं, ख़ाली जगह नहीं। हर ख़ाना पेज बनते समय उसकी पंक्ति से दोबारा निकाला जाता है, सेंटीमीटर, अंश और वर्ग सेंटीमीटर में।

फ़ॉर्मूला

क्षेत्रफल = भुजा² × sin(कोण) परिमाप = 4 × भुजा विकर्ण 1 = 2 × भुजा × cos(कोण ÷ 2) विकर्ण 2 = 2 × भुजा × sin(कोण ÷ 2) ऊँचाई = भुजा × sin(कोण)

s
एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए एक नापना काफ़ी है, और यह अकेली परिमाप को चार गुना पर तय कर देती है। यह क्षेत्रफल तय नहीं करती: 5 की भुजा वाला समचतुर्भुज झुकाव के हिसाब से 0 से 25 वर्ग सेंटीमीटर तक कुछ भी घेर सकता है, इसीलिए कोण भी चाहिए।
θ
चारों में से कोई भी एक कोण, अंश, रेडियन या ग्रेड में। समचतुर्भुज में दो कोण एक नाप के और दो दूसरी नाप के होते हैं, और दोनों नापों का जोड़ 180 होता है, इसलिए आमने-सामने के कोण बराबर और पड़ोसी कोण संपूरक होते हैं। यहाँ के हर सूत्र में चारों में से कोई भी कोण चलता है, क्योंकि किसी कोण की sin और उसके संपूरक कोण की sin बराबर होती है — 60 अंश और 120 अंश एक ही समचतुर्भुज बताते हैं: क्षेत्रफल, परिमाप और ऊँचाई वही, बस दोनों विकर्ण जगहें बदल लेते हैं।
A
क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में: भुजा का वर्ग गुणा कोण की sin। कोण समकोण हो तो यह सबसे बड़ा होता है, क्योंकि तब sin 1 होती है और समचतुर्भुज वर्ग बन जाता है, और कोण 0 या 180 की तरफ़ बढ़ने पर यह शून्य हो जाता है क्योंकि आकृति एक रेखा में चपटी हो जाती है। यह चार दशमलव स्थानों तक छपता है, इस उपश्रेणी के बाक़ी क्षेत्रफल वाले पेजों जितनी चौड़ाई में।
P
परिमाप, सेंटीमीटर में: भुजा का चार गुना। यह इस पेज की वह अकेली नाप है जिस पर कोण का ज़रा भी असर नहीं पड़ता, क्योंकि झुकाने से कोने हिलते हैं, किनारे नहीं। 5 की भुजा वाले समचतुर्भुज का परिमाप 20 ही रहता है, चाहे वह वर्ग हो या लगभग चपटा — इसीलिए परिमाप यह बताने का ख़राब ज़रिया है कि आकृति कितनी जगह घेरती है, और यह बताने का अच्छा ज़रिया है कि उसके किनारों पर कितनी पट्टी लगेगी।
d₁, d₂
दोनों विकर्ण, सेंटीमीटर में: आमने-सामने के कोनों को जोड़ने वाली रेखाएँ। ये समकोण पर कटती हैं और एक-दूसरे को आधा बाँटती हैं, और हर एक भुजा के दुगुने गुणा आधे कोण की cos या sin होती है। झुकने के साथ एक बढ़ता है और दूसरा घटता है — 5 की भुजा पर 90 अंश पर दोनों 7.0711, 60 अंश पर 8.6603 और 5, और 30 अंश पर 9.6593 और 2.5882 — और उनका गुणनफल आधा करने पर क्षेत्रफल आता है, जो उसी आकृति तक पहुँचने का दूसरा रास्ता है।
h
ऊँचाई, सेंटीमीटर में: एक भुजा और उसके आमने-सामने वाली भुजा के बीच की लंबवत दूरी, जो भुजा गुणा कोण की sin होती है। यही वह ऊँचाई है जो आप आधार गुणा ऊँचाई वाले सूत्र में इस्तेमाल करेंगे, इसलिए 5 की भुजा और 60 अंश पर ऊँचाई 4.3301 और क्षेत्रफल 5 × 4.3301 = 21.6506 होता है। आकृति चपटी होने के साथ यह घटकर शून्य हो जाती है, और भुजा के बराबर तभी होती है जब समचतुर्भुज वर्ग हो।

यह टूल तब लीजिए जब आपको पता हो कि किनारा कितना लंबा है और आकृति कितनी झुकी है — यानी जब आकृति किसी ड्राइंग, नक़्शे या कटाई की सूची से आ रही हो, और आपसे पूछा गया हो कि उसकी दूसरी सब नापें क्या होंगी। ऐसा तब होता है जब चीज़ को बनाना हो, बेचना हो या उसमें सामान भरना हो: 5 सेंटीमीटर भुजा और 60 अंश कोण वाली टाइल के लिए एक ही बार में क्षेत्रफल, परिमाप, दोनों विकर्ण और ऊँचाई चाहिए, क्योंकि इनमें से कुछ कटाई के लिए चाहिए, कुछ किनारे की पट्टी के लिए, और कुछ पैकिंग या सजावट के लिए। अगर विकर्ण ज्ञात हों तो यह टूल न लीजिए: यह उन्हें स्वीकार नहीं करता, और उस हालत में समचतुर्भुज क्षेत्रफल वाला पेज सीधा जवाब दे देता है। और अगर सिर्फ़ परिमाप चाहिए तो भुजा का चार गुना हाथ से ही निकल आता है — 5 की भुजा पर 20 — हालाँकि यहाँ वह बाक़ी चार नापों के साथ मुफ़्त में मिल जाता है। फिर भी कुछ चीज़ों के लिए यह टूल जान-बूझकर न लीजिए: ऊँचाई और क्षेत्रफल लगातार बदलते रहते हैं इसलिए लगभग चपटे कोणों पर जवाब क़रीब-क़रीब कुछ नहीं होता, और जब क्षेत्रफल से उलटी दिशा में जाकर भुजा निकालनी हो — जैसे तय क्षेत्रफल में समाने वाली सबसे बड़ी टाइल चुननी हो — तो यह टूल काम नहीं आएगा, क्योंकि वह गणना उलटी दिशा में चलती है और उसके लिए आपको ख़ुद ही कुछ मान लेना पड़ेगा।

हल किए हुए उदाहरण

  1. 5 की भुजा और 60 अंश का कोण

    1. क्षेत्रफल, क्षेत्रफल = भुजा² × sin(कोण): sin 60° = 0.866025…, इसलिए 5 × 5 × 0.866025… = 21.650635…, यानी 21.6506
    2. परिमाप, परिमाप = 4 × भुजा: 4 × 5 = 20
    3. विकर्ण 1, विकर्ण 1 = 2 × भुजा × cos(कोण ÷ 2): cos 30° = 0.866025…, इसलिए 2 × 5 × 0.866025… = 8.660254…, यानी 8.6603
    4. विकर्ण 2, विकर्ण 2 = 2 × भुजा × sin(कोण ÷ 2): sin 30° = 0.5, इसलिए 2 × 5 × 0.5 = 5
    5. ऊँचाई, ऊँचाई = भुजा × sin(कोण): 5 × 0.866025… = 4.330127…, यानी 4.3301
    6. जाँच, विकर्णों का गुणनफल आधा कीजिए: (8.660254… × 5) ÷ 2 = 21.650635…, यानी वही क्षेत्रफल 21.6506

    पेज खुलने पर यही इनपुट पहले से भरे होते हैं, और यह इस पेज का सबसे काम का उदाहरण है क्योंकि यहाँ एक ही भुजा और एक ही कोण से पूरी आकृति निकल आती है: पाँचों आउटपुट एक साथ। ध्यान दीजिए कि दोनों विकर्ण बराबर नहीं हैं — 8.6603 और 5 — क्योंकि 60 अंश पर आकृति वर्ग नहीं रही; और यह भी कि 8.6603 दो कारणों से पहचाना जा सकता है: यह 5 × √3 है, और यह वही संख्या है जो 5 की भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई होती है। 0.866025 वाली संख्या दोनों जगह आती है, एक बार cos 30° बनकर और एक बार sin 60° बनकर, क्योंकि वे एक ही कोण की दो नापें हैं। और सबसे आख़िरी जाँच पंक्ति याद रखने लायक़ है: इस पेज के हर जवाब को विकर्णों वाले सूत्र से दोबारा जाँचा जा सकता है।

  2. 5 की भुजा और समकोण

    1. क्षेत्रफल, sin 90° = 1, इसलिए 5 × 5 × 1 = 25
    2. परिमाप, 4 × 5 = 20
    3. विकर्ण 1, cos 45° = 0.707106…, इसलिए 2 × 5 × 0.707106… = 7.071067…, यानी 7.0711
    4. विकर्ण 2, sin 45° = 0.707106…, इसलिए 2 × 5 × 0.707106… = 7.071067…, यानी 7.0711
    5. ऊँचाई, 5 × 1 = 5
    6. जाँच, विकर्णों का गुणनफल आधा कीजिए: (7.071067… × 7.071067…) ÷ 2 = 25

    यह वर्ग है, और समचतुर्भुज का सबसे बड़ा रूप है: उतनी ही भुजा पर इससे ज़्यादा जगह कोई और कोण नहीं देगा, क्योंकि sin 90° = 1 और सब कोणों में सबसे ऊँची है। यहाँ केवल इसी कोण पर दोनों विकर्ण बराबर आते हैं — 7.0711 और 7.0711 — और यही इस बात की निशानी है कि आकृति वर्ग है; बाक़ी हर कोण पर ये दोनों अलग-अलग होंगे। और यह भी देखिए कि ऊँचाई पूरी भुजा के बराबर, 5, हो गई है: यह भी सिर्फ़ वर्ग में ही होता है, क्योंकि तब भुजा और ऊँचाई एक ही दूरी हैं। 7.0711 वाली संख्या 5 × √2 ÷ … की नहीं, सीधे 5 × 1.4142135… है, यानी वर्ग के विकर्ण और भुजा का जाना-पहचाना अनुपात, और इसीलिए इसे 5 × √2 लिखा जा सकता है।

  3. 5 की भुजा और 73.74 अंश का कोण

    1. क्षेत्रफल, sin 73.739795…° = 0.96, इसलिए 5 × 5 × 0.96 = 24
    2. परिमाप, 4 × 5 = 20
    3. विकर्ण 1, cos(73.739795…° ÷ 2) = cos 36.869897…° = 0.8, इसलिए 2 × 5 × 0.8 = 8
    4. विकर्ण 2, sin 36.869897…° = 0.6, इसलिए 2 × 5 × 0.6 = 6
    5. ऊँचाई, 5 × 0.96 = 4.8
    6. जाँच, (8 × 6) ÷ 2 = 24

    यह इस पेज और उसके पड़ोसी पेज के बीच का पुल है। 5 की भुजा और 73.74 अंश पर विकर्ण ठीक 8 और 6 बनते हैं, यानी आप इस इनपुट से वह समचतुर्भुज पा लेते हैं जिसे समचतुर्भुज क्षेत्रफल वाला पेज विकर्ण 6 और 8 देकर बनाता है, और क्षेत्रफल दोनों तरफ़ से 24 ही आता है। संख्याएँ साफ़ हैं क्योंकि इनका स्रोत 3-4-5 समकोण त्रिभुज है: भुजा 5 होने पर भुजा के आधे हिस्सों की लंबाई 0.8 और 0.6 बनती है, और वही गुणक यहाँ cos और sin से निकलते हैं। ऊँचाई 4.8 इसी वजह से राउंड आती है: यह 24 ÷ 5 है, यानी क्षेत्रफल भुजा से बाँटा हुआ। अगर आप दोनों पेजों को आमने-सामने देखना चाहते हैं, तो यही वह जोड़ी है जिसे दोनों तरफ़ लिखा जा सकता है — और यही सबसे अच्छा मौक़ा है यह देखने का कि दोनों पेज अलग-अलग नहीं, एक ही आकृति को दो तरफ़ से बता रहे हैं।

  4. 5 की भुजा और 0 अंश का कोण

    1. क्षेत्रफल, sin 0° = 0, इसलिए 5 × 5 × 0 = 0
    2. परिमाप, 4 × 5 = 20
    3. विकर्ण 1, cos 0° = 1, इसलिए 2 × 5 × 1 = 10
    4. विकर्ण 2, sin 0° = 0, इसलिए 2 × 5 × 0 = 0
    5. ऊँचाई, 5 × 0 = 0
    6. जाँच, (10 × 0) ÷ 2 = 0

    यह वह हद है जहाँ तक समचतुर्भुज झुक सकता है, और यह अपने आप में समचतुर्भुज नहीं रहता: चारों भुजाएँ एक ही सीधी रेखा में आ जाती हैं, इसलिए क्षेत्रफल और ऊँचाई दोनों शून्य हो जाते हैं। इस पंक्ति में दो बातें ध्यान देने लायक़ हैं। पहली: परिमाप फिर भी 20 है, क्योंकि चारों भुजाएँ अब भी मौजूद हैं और अब भी पाँच-पाँच हैं — रेखा की लंबाई 20 ही है; यह इस बात का सबसे साफ़ सबूत है कि परिमाप और क्षेत्रफल दो अलग बातें बताते हैं और झुकाव सिर्फ़ दूसरे को छूता है। दूसरी: विकर्ण 1 पूरी 10 तक पहुँच जाता है, यानी भुजा का दुगुना, और विकर्ण 2 शून्य हो जाता है — इन्हीं दोनों के बीच विकर्ण झूलते रहते हैं, और शून्य पर आकृति की दोनों नोकें एक-दूसरे पर आ जाती हैं।

सीमाएँ

यह पेज समचतुर्भुज को उसका आकार बताने वाली दोनों नापों से पूरी तरह हल कर देता है, लेकिन उन दोनों को आपको ही देना पड़ेगा: अकेली भुजा या अकेला कोण काफ़ी नहीं, और पेज कमी पूरी करने के लिए कुछ मान नहीं लेता — दोनों में से कोई ख़ाना ख़ाली हो तो वह जवाब देने के बजाय ग़लती बताता है। यही वजह है कि यह पेज विकर्णों को इनपुट के तौर पर नहीं लेता, जो शायद इसकी सबसे बड़ी कमी है: नाप अक्सर विकर्णों से ली जाती है — पतंग, फ़र्श का पत्थर, तिरछा पैनल — और उस हालत में आपको समचतुर्भुज क्षेत्रफल वाला पेज चाहिए, जो दोनों विकर्ण सीधे ले लेता है। यह पेज क्षेत्रफल या परिमाप से उलटी दिशा में भी नहीं चलता: तय क्षेत्रफल पर सबसे बड़ी आकृति चुनने जैसे सवाल का जवाब यहाँ नहीं है, क्योंकि एक ही क्षेत्रफल के अनगिनत समचतुर्भुज होते हैं और पेज को यह नहीं बताया जा सकता कि कौन-सा चुनना है। कोण वाला ख़ाना अंश, रेडियन और ग्रेड लेता है और 0 से 180 के बीच की क़ीमत चलती है; 0 और 180 दोनों शून्य क्षेत्रफल देते हैं, जो पूरी तरह चपटी आकृति के लिए ईमानदार जवाब है, लेकिन बाहर की क़ीमतों पर ग़लती मिलेगी। दो बार आधा करने वाला सूत्र छोटे कोणों पर नाज़ुक हो सकता है, इसलिए 10 अंश जैसे कोण पर विकर्ण 2 की संख्या छोटी और जल्दी बदलने वाली होती है और उसे चार दशमलव तक भरोसे से पढ़ने में सावधानी चाहिए। चार दशमलव छपाई की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं, और टेप से ली गई नाप के लिए यह उदार है। आउटपुट सेंटीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर और अंश में ही आते हैं, चाहे लंबाई वाले ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हों, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का हर जवाब सेंटीमीटर में आएगा जिसे आपको ख़ुद बदलना पड़ेगा। पेज यह भी नहीं जाँचता कि आकृति सचमुच समचतुर्भुज है; वह जो आपने बताया उसी को आकार मान लेता है और उसी से बाक़ी सब निकाल देता है, और जिन चीज़ों में दो आयाम नहीं होते — मोटाई वाली पट्टी, गोल किनारे, या बहुत ही चपटा कोण — उनके लिए यह हिसाब काग़ज़ पर सही रहेगा और असल में मेल नहीं खाए।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

एक भुजा और एक कोण से बाक़ी सब नापें कैसे निकलती हैं?
परिमाप सबसे आसान है, क्योंकि वह भुजा का चार गुना है और कोण को देखता ही नहीं। क्षेत्रफल भुजा का वर्ग गुणा कोण की sin है, और ऊँचाई भुजा गुणा कोण की sin। दोनों विकर्ण आधे कोण से निकलते हैं: एक भुजा के दुगुने गुणा आधे कोण की cos, और दूसरा दुगुने गुणा आधे कोण की sin। 5 की भुजा और 60 अंश पर पाँचों जवाब हैं 21.6506 क्षेत्रफल, 20 परिमाप, 8.6603 पहला विकर्ण, 5 दूसरा विकर्ण और 4.3301 ऊँचाई।
झुकाने से परिमाप क्यों नहीं बदलता?
क्योंकि झुकाने से सिर्फ़ कोने हिलते हैं, किनारे नहीं। समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए उसका परिमाप हमेशा भुजा का चार गुना रहता है — 5 की भुजा पर 20 — चाहे आकृति वर्ग हो, 60 अंश पर झुकी हो या पूरी तरह चपटी हो जाए। क्षेत्रफल इसके उलट हर झुकाव पर बदलता है और हमेशा घटता है, इसीलिए परिमाप यह बताने का ख़राब ज़रिया है कि आकृति कितनी जगह घेरती है; वह यह बताने का अच्छा ज़रिया है कि किनारों पर कितनी पट्टी लगेगी।
किसी तय भुजा वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सबसे ज़्यादा कब होता है?
वर्ग में, यानी जब कोण समकोण हो। 5 की भुजा पर यह 25 वर्ग सेंटीमीटर है, और उससे कम कोई भी कोण उससे कम देगा: 60 अंश पर 21.6506, 45 अंश पर 17.6777 और 30 अंश पर 12.5। वजह सूत्र में ही दिखती है — क्षेत्रफल भुजा का वर्ग गुणा कोण की sin है, और sin की सबसे ऊँची क़ीमत 1 है, जो ठीक 90 अंश पर मिलती है। इसलिए तय भुजा से सबसे ज़्यादा जगह चाहिए तो समकोण चुनिए।
60 अंश और 120 अंश का कोण एक ही जवाब क्यों देते हैं?
क्योंकि किसी कोण की sin और उसके संपूरक कोण की sin बराबर होती है, और 60 तथा 120 का जोड़ 180 होता है। समचतुर्भुज में दो कोण एक नाप के और दो दूसरी नाप के होते हैं, और पड़ोसी कोण हमेशा संपूरक होते हैं, इसलिए दोनों में से किसी एक को नाप लेना काफ़ी है। पाँचों नापें — क्षेत्रफल, परिमाप, ऊँचाई और दोनों विकर्णों की लंबाइयाँ — एक जैसी आती हैं; बस विकर्ण 1 और विकर्ण 2 अपनी जगहें बदल लेते हैं, क्योंकि किसे पहला कहा जाएगा यह इस पर निर्भर करता है कि आपने कोण किस कोने पर नापा।
क्या मैं विकर्ण डालकर भी यही जवाब निकाल सकता हूँ?
इस पेज पर नहीं — यह विकर्णों को इनपुट के तौर पर नहीं लेता, और यह उसकी सबसे बड़ी सीमा है। विकर्णों से शुरू करने पर समचतुर्भुज क्षेत्रफल वाला पेज लीजिए, जो दोनों विकर्ण सीधे ले लेता है और क्षेत्रफल देता है। और अगर आपके पास विकर्ण हैं पर यहाँ की पाँचों नापें चाहिए, तो पहले भुजा और कोण निकालिए: हर विकर्ण का आधा कीजिए और उन दो आधों को एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ मानिए — कर्ण ही भुजा है, और विकर्ण 6 तथा 8 पर यह 5 बनती है।
ऊँचाई और विकर्ण एक ही चीज़ हैं?
नहीं, और यह पेज की सबसे आसान ग़लतफ़हमी है। ऊँचाई एक भुजा और उसके आमने-सामने वाली भुजा के बीच की लंबवत दूरी है, यानी सीधी खड़ी दूरी, और वह भुजा गुणा कोण की sin होती है — 5 की भुजा और 60 अंश पर 4.3301। विकर्ण आमने-सामने के कोनों को जोड़ने वाली रेखा है, यानी तिरछी दूरी, और 5 की भुजा पर वे 8.6603 और 5 होते हैं। दोनों एक ही आकृति की नापें हैं पर अलग-अलग बातें बताते हैं, और ऊँचाई कभी भुजा से बड़ी नहीं हो सकती जबकि विकर्ण भुजा से बड़ा हो सकता है।

संदर्भ

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समचतुर्भुज क्षेत्रफल कैलकुलेटरविकर्णों या भुजा और कोण से समचतुर्भुज का क्षेत्रफल।समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल कैलकुलेटरआधार, ऊँचाई और तिरछी भुजा से समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल।वर्ग कैलकुलेटरवर्ग की भुजा, परिमाप या क्षेत्रफल, साथ में विकर्ण।त्रिभुज क्षेत्रफल कैलकुलेटरआधार का आधा गुणा उस पर खींची लंब ऊँचाई।