समचतुर्भुज क्षेत्रफल कैलकुलेटर

क्षेत्रफल = (विकर्ण 1 × विकर्ण 2) ÷ 2 क्षेत्रफल = भुजा² × sin(कोण)

d₁, d₂

दोनों विकर्ण, सेंटीमीटर में: आमने-सामने के कोनों को जोड़ने वाली रेखाएँ। समचतुर्भुज में ये एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं और आपस में बराबर बाँट लेती हैं, और पहला सूत्र इसी वजह से चलता है। वर्ग में दोनों विकर्ण बराबर होते हैं, इसलिए एक ही संख्या दो बार डालना ग़लती नहीं बल्कि सही है।

s

एक भुजा की लंबाई, सेंटीमीटर में। चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए एक नापना काफ़ी है। अकेली भुजा से क्षेत्रफल तय नहीं होता — 5 की भुजा वाला समचतुर्भुज लगभग कुछ नहीं से लेकर 25 वर्ग सेंटीमीटर तक कुछ भी घेर सकता है — और इसीलिए इस रास्ते को कोण भी चाहिए।

θ

चारों में से कोई भी एक कोण, अंश, रेडियन या ग्रेड में। समचतुर्भुज में दो कोण एक नाप के और दो दूसरी नाप के होते हैं, और दोनों नापों का जोड़ 180 होता है; सूत्र में कोई भी कोण चलेगा, क्योंकि किसी कोण की sin और उसके संपूरक कोण की sin बराबर होती है। इसीलिए पेज को इस बात से फ़र्क़ नहीं पड़ता कि आपने चारों में से कौन-सा कोण नापा।

A

क्षेत्रफल, वर्ग सेंटीमीटर में: विकर्णों के गुणनफल का आधा, या भुजा का वर्ग गुणा कोण की sin। एक ही समचतुर्भुज पर दोनों व्यंजक वही संख्या देते हैं। यह चार दशमलव स्थानों तक छपता है, यानी इस उपश्रेणी के बाक़ी क्षेत्रफल वाले पेजों जितनी ही चौड़ाई में।

÷ 2

विकर्णों वाले सूत्र में आधा करना। यह इसलिए है कि दोनों विकर्ण समचतुर्भुज को चार समकोण त्रिभुजों में काट देते हैं और विकर्णों का गुणनफल उनके चारों ओर बने आयत को दो बार गिन लेता है — समचतुर्भुज उस आयत का आधा है जिसकी भुजाएँ उसके विकर्ण हैं, और सूत्र कहाँ से आया यह देखने का यही सबसे साफ़ तरीक़ा है।

sin(θ)

कोण की sin, यानी वह गुणक जो बताता है कि आकृति कितनी झुकी है। समकोण पर यह 1 होती है, इसलिए उतनी भुजा वाले सब समचतुर्भुजों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है; आकृति चपटी होने के साथ यह घटकर 0 की तरफ़ चली जाती है, इसलिए लगभग चपटे समचतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग कुछ नहीं रहता। यह 90 अंश पर सबसे ऊँची होती है और उसके आस-पास सममित है, इसीलिए 60 अंश और 120 अंश का कोण एक ही क्षेत्रफल देता है।

विकर्णों वाला रास्ता तब लीजिए जब आकृति विकर्णों से बताई गई हो — ज़मीन पर नापी गई या शीट से काटी गई हर चीज़ के लिए यही आम बात है: फ़र्श का पत्थर, पतंग, सजावटी पैनल, तिरछा लगा शीशा। तैयार समचतुर्भुज पर विकर्ण ही नापे जाते हैं, क्योंकि वही उसके आर-पार की दो दूरियाँ हैं, और उनके गुणनफल का आधा क्षेत्रफल है — 6 और 8 वाले मामले में 24 वर्ग सेंटीमीटर। भुजा और कोण वाला रास्ता तब लीजिए जब आकृति किनारों और कोणों से तय की गई हो, यानी जब ड्राइंग में नाप लिखी हो: 5 सेंटीमीटर और 60 अंश कोण वाली टाइल, फ़र्श में हीरे का पैटर्न, किसी नक़्शे के हिसाब से कटी प्लेट। यही रास्ता वह सवाल भी जवाब देता है जो विकर्णों वाला नहीं दे सकता: झुकाने पर क्षेत्रफल कितना बदलता है। भुजा 5 पर 60 अंश का समचतुर्भुज 21.6506 जगह घेरता है और 90 अंश का 25 — यानी इतना झुकाने की क़ीमत लगभग 13 प्रतिशत क्षेत्रफल है, और इससे ज़्यादा झुकाने की क़ीमत उससे भी ज़्यादा। दो ख़ास आकार आज़माने लायक़ हैं। दोनों विकर्णों में एक ही संख्या डालिए तो वर्ग मिलता है — 10 और 10 पर 50, भुजा 7.0711 — जो उतने विकर्ण वाले किसी भी समचतुर्भुज का सबसे बड़ा क्षेत्रफल है और तुलना के लिए काम का पैमाना है। और बहुत छोटा कोण डालिए तो क्षेत्रफल शून्य की तरफ़ चल पड़ता है: 10 अंश तक झुके समचतुर्भुज की भुजा वही रहती है और क्षेत्रफल लगभग कुछ नहीं — यह ठीक वह प्रदर्शन है कि अकेली भुजा से क्षेत्रफल तय नहीं होता। अगर आप इस पेज की तुलना समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल वाले पेज से कर रहे हैं, तो वह आधार और लंब ऊँचाई माँगता है, जो समचतुर्भुज पर भी लगता है — ऊँचाई भुजा गुणा कोण की sin होती है — पर वह आपसे ऐसी दूरी माँगता है जो आपको पहले ख़ुद निकालनी पड़ेगी। और अगर परिमाप चाहिए, तो वह भुजा का चार गुना है, जो समचतुर्भुज की वह अकेली नाप है जिसके लिए कोण की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

1. विकर्ण 6 और 8

   1. विकर्णों का गुणनफल: 6 × 8 = 48
   2. आधा कीजिए: 48 ÷ 2 = 24

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पेज खुलता है, और पूरा पेज इसी समचतुर्भुज के आस-पास बना है, क्योंकि इसी के दोनों रास्ते हाथ से जाँचे जा सकते हैं। इसके विकर्ण 6 और 8 भुजा ठीक 5 तय कर देते हैं — हर विकर्ण का आधा 3 और 4 है, और उन भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण 5 होता है — और उस भुजा के साथ जाने वाला कोण 73.74 अंश है। यानी दूसरा रास्ता, भुजा 5 और कोण 73.74, वही 24 देता है, और नीचे की तालिका वही पंक्ति छापती है। पेज पर यह सबसे साफ़ सबूत है कि दोनों सूत्र दो आकार नहीं, एक ही आकार बताते हैं।

2. 5 की भुजा और 60 अंश का कोण

   1. कोण की sin: sin 60° = 0.866025…
   2. भुजा का वर्ग: 5 × 5 = 25
   3. क्षेत्रफल: 25 × 0.866025… = 21.650635…, जो चार दशमलव तक 21.6506 है

   भुजा और कोण वाला रास्ता, और वह पंक्ति जो दिखाती है कि वर्ग को झुकाने की क़ीमत क्या है। 5 की भुजा वाला वर्ग 25 वर्ग सेंटीमीटर घेरता है; 60 अंश तक झुकने पर वही चार भुजाएँ 21.6506 घेरती हैं, यानी 13 प्रतिशत से कुछ ज़्यादा कम। 0.866 वाली संख्या 60 अंश की sin है, जो तीन के वर्गमूल का आधा है, और यही संख्या समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल में भी आती है — दोनों एक ही ज्यामिति को अलग-अलग तरफ़ से देखी हुई हैं।

3. 5 की भुजा और समकोण

   1. कोण की sin: sin 90° = 1
   2. भुजा का वर्ग: 5 × 5 = 25
   3. क्षेत्रफल: 25 × 1 = 25

   यह वर्ग है, यानी वह समचतुर्भुज जिसे ज़रा भी नहीं झुकाया गया। समकोण की sin 1 होती है, इसलिए दूसरा सूत्र सिकुड़कर भुजा का वर्ग रह जाता है और 5 की भुजा वाले समचतुर्भुज का सबसे बड़ा क्षेत्रफल देता है। और कोई भी कोण इससे कम देगा: 45 अंश पर 17.6777, 30 अंश पर 12.5, और 10 अंश पर 4.3412। किसी पैनल या टाइल के लिए कोण चुनने से पहले यह जान लेना काम का है कि वर्ग सबसे बड़ा है, क्योंकि दी हुई भुजा से सबसे ज़्यादा जगह वही आकृति घेरती है जिसे सबसे कम झुकाया गया हो।

4. विकर्ण 5 और 12

   1. विकर्णों का गुणनफल: 5 × 12 = 60
   2. आधा कीजिए: 60 ÷ 2 = 30

   लंबा और पतला समचतुर्भुज, और वह पंक्ति जिसे उसकी भुजा से आसानी से जाँचा जा सकता है: 5 का आधा 2.5 है और 12 का आधा 6, इसलिए भुजा 2.5 गुणा 6 वाले त्रिभुज का कर्ण है, यानी 6.5। यह तालिका के भुजा वाले कॉलम से मेल खाता है। 30 का क्षेत्रफल यह भी याद दिलाता है कि दोनों रास्ते सुविधा के हिसाब से एक जैसे नहीं हैं — इस आकृति का परिमाप 26 है और क्षेत्रफल 30, जो इन संख्याओं का संयोग है, कोई नियम नहीं।

5. विकर्ण 1 और 1

   1. विकर्णों का गुणनफल: 1 × 1 = 1
   2. आधा कीजिए: 1 ÷ 2 = 0.5

   सबसे छोटा वर्गाकार समचतुर्भुज, और वह पंक्ति जिस पर आधा करना साफ़ दिखता है: एक-एक विकर्ण वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल आधा होता है, क्योंकि वह उस इकाई वर्ग का आधा है जिसकी भुजाएँ उसके विकर्ण हैं। इसकी भुजा 0.7071 है, यानी दो के वर्गमूल का आधा — वही संबंध जो वर्ग के विकर्ण और उसकी भुजा के बीच होता है, बस उलटी तरफ़ से पढ़ा हुआ। ध्यान दीजिए कि दोनों विकर्णों में शून्य डालने पर क्षेत्रफल ख़ाली नहीं, शून्य आता है: बिना नाप वाला समचतुर्भुज भी एक जायज़ जवाब है।

यह पेज समचतुर्भुज का सिर्फ़ क्षेत्रफल निकालता है और बस इतना ही: यह परिमाप, ऊँचाई, विकर्ण या कोण नहीं छापता, और वजह यह है कि ये सब उन्हीं दो नापों से निकल आते हैं जो आपके पास पहले से हैं। परिमाप भुजा का चार गुना है, जिसे भुजा वाले रास्ते पर आप अपने ही इनपुट से पढ़ सकते हैं। पेज को या तो दोनों विकर्ण चाहिए या भुजा के साथ कोण, और कोई भी रास्ता पूरा न हो तो यह अंदाज़ा लगाने के बजाय ग़लती बताता है: अकेला विकर्ण, या बिना कोण की भुजा, आकृति तय नहीं करते। एक से ज़्यादा रास्ता भरना तब तक जायज़ है जब तक कोई एक रास्ता दूसरे का खंडन न करे — विकर्णों के साथ डाली गई भुजा उन्हीं से जाँच ली जाती है — लेकिन जिस समचतुर्भुज के विकर्ण एक भुजा बताते हों और भुजा वाला ख़ाना दूसरी भुजा कहे, उसे टकराव बताया जाता है, चुपचाप किसी एक को चुनकर हल नहीं किया जाता, और पेज यह भी नहीं कहता कि आपकी कौन-सी संख्या ग़लत है। कोण वाला ख़ाना अंश, रेडियन और ग्रेड स्वीकार करता है, और पेज मानकर चलता है कि कोण 0 से 180 के बीच है; 0 या 180 अंश का कोण शून्य क्षेत्रफल देता है, जो पूरी तरह चपटी हो चुकी आकृति के लिए ईमानदार जवाब है, लेकिन चुनी हुई इकाई से अलग इकाई में दिया गया कोण ग़लती के बजाय ग़लत जवाब देगा। आउटपुट वर्ग सेंटीमीटर में ही आते हैं, चाहे लंबाई वाले ड्रॉपडाउन किसी भी इकाई पर हों, इसलिए इंच में डाली गई भुजा का जवाब वर्ग सेंटीमीटर में आएगा जिसे आपको ख़ुद बदलना पड़ेगा। चार दशमलव छपाई की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं, और टेप से ली गई नाप के लिए यह उदार है। पेज यह जाँचता नहीं कि आकृति सचमुच समचतुर्भुज है: चार बराबर भुजाएँ और कोई भी कोण चल जाएगा, और जो आकृति समचतुर्भुज जैसी दिखती है पर उसकी भुजाएँ ज़रा-सी अलग हैं, उसका जवाब भी समचतुर्भुज मानकर दिया जाएगा, उसी रास्ते से जो आपने भरा। इसके पास ऊँचाई से समचतुर्भुज बताने का कोई तरीक़ा भी नहीं है, और क्षेत्रफल से उलटी दिशा में जाकर उसकी नाप निकालने का भी नहीं, जो किसी तय क्षेत्रफल पर कटने वाले पैनल का असली सवाल होता है।

समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

दो सूत्र हैं, और कोई एक काफ़ी है। विकर्णों के गुणनफल का आधा: एक विकर्ण 6 और दूसरा 8 वाला समचतुर्भुज 24 वर्ग सेंटीमीटर घेरता है। या भुजा का वर्ग गुणा किसी कोण की sin: 5 की भुजा और 60 अंश पर 21.6506। पहला तब लीजिए जब विकर्ण नापे गए हों, दूसरा तब जब आकृति भुजा और कोण से तय की गई हो। एक ही आकृति पर दोनों एक ही जवाब देते हैं, जो इस पेज की तालिका सीधे दिखाती है।

विकर्णों वाले सूत्र में आधा क्यों आता है?

क्योंकि समचतुर्भुज उस आयत का आधा है जिसकी भुजाएँ उसके विकर्ण हैं। दोनों विकर्ण समकोण पर काटते हैं और एक-दूसरे को आधा-आधा बाँटते हैं, जिससे समचतुर्भुज चार समकोण त्रिभुजों में बँट जाता है, और अगर आप विकर्णों को भुजा मानकर आयत खींचें तो समचतुर्भुज उसका ठीक आधा निकलता है। उस आयत का क्षेत्रफल दोनों विकर्णों का गुणनफल है, इसलिए समचतुर्भुज उसका आधा है।

क्या समचतुर्भुज और हीरा एक ही चीज़ हैं?

हाँ, आम बोलचाल का हीरा यही आकृति है। ताश का हीरा, हीरे जैसी टाइल, या गहने का डायमंड — सब समचतुर्भुज हैं, यानी वह चार भुजाओं वाली आकृति जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। गणित में समचतुर्भुज शब्द इसलिए चलता है कि वह साफ़ और बिना उलझन वाला है, और नाप लेने वालों की भाषा में हीरा इसलिए कि वह छोटा है — इस पेज का काम दोनों हालतों में एक ही आकृति पर है।

क्या मैं विकर्ण भी डाल सकता हूँ और भुजा के साथ कोण भी?

हाँ, जब तक दोनों में मेल हो। विकर्णों के साथ डाली गई भुजा खंडन नहीं बल्कि एक जाँच है, क्योंकि विकर्ण ही भुजा तय करते हैं और पेज बता सकता है कि आपके नंबर आपस में मेल खाते हैं या नहीं। पेज यह नहीं करेगा कि किसी एक को विजेता मान ले: जिस समचतुर्भुज के विकर्ण भुजा 5 बताते हों और भुजा वाला ख़ाना 7 कहे, उसे टकराव बताया जाता है, चुपचाप किसी एक से जवाब नहीं दे दिया जाता, क्योंकि दोनों में से कोई संख्या अपने आप भरोसेमंद नहीं है।

किसी तय भुजा वाले समचतुर्भुज का सबसे बड़ा क्षेत्रफल कितना हो सकता है?

वर्ग, यानी भुजा का वर्ग। 5 की भुजा वाला समचतुर्भुज समकोण पर 25 वर्ग सेंटीमीटर घेरता है, और बाक़ी हर कोण उससे कम देता है: 60 अंश पर 21.6506, 45 अंश पर 17.6777, 30 अंश पर 12.5 और 10 अंश पर 4.3412। यह सूत्र से ही निकलता है, क्योंकि कोण की sin ज़्यादा से ज़्यादा 1 होती है और 90 अंश पर वहीं पहुँचती है। इसलिए अगर आप किसी टाइल या पैनल के लिए कोण चुन रहे हैं और तय भुजा से सबसे ज़्यादा जगह चाहते हैं, तो समकोण चुनिए।

विकर्णों से भुजा कैसे निकाली जाती है?

हर विकर्ण का आधा कीजिए और उन दो आधों को एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ मानिए; कर्ण ही समचतुर्भुज की भुजा है। विकर्ण 6 और 8 पर आधे 3 और 4 हैं, इसलिए भुजा 5। विकर्ण 5 और 12 पर आधे 2.5 और 6 हैं, जिनसे भुजा 6.5 बनती है। यह इसलिए चलता है कि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर काटते हैं और एक-दूसरे को आधा बाँटते हैं — वही तथ्य जिस पर क्षेत्रफल का सूत्र भी खड़ा है।

• Rhombus — the four-sided figure with equal sides this page computes the area of, including the half-the-product-of-the-diagonals result and the relations between the sides, the diagonals and the angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the wider family a rhombus belongs to, with the base-times-height formula that also applies to a rhombus once the height has been worked out from the side and the angle — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — the general four-sided figure, and the place to check that the diagonal formula used here is the special case of a rule that holds for every quadrilateral whose diagonals cross at right angles — Wolfram MathWorld (United States)