वार्षिकी का वर्तमान मूल्य कैलकुलेटर

वर्तमान मूल्य = क़िस्त × [1 − (1 + i)^(−n)] ÷ i × (1 + i, अगर भुगतान हर अवधि के शुरू में हो) (i = सालाना दर ÷ साल में भुगतानों की संख्या; n = साल × साल में भुगतानों की संख्या)

भुगतान

आवधिक क़िस्त — धारा की हर बराबर रक़म, चाहे वह पैसा आपको मिलने वाला हो या आपको चुकाने वाला

वार्षिक दर

छूट दर की तरह इस्तेमाल होने वाली नाममात्र सालाना दर, जिसे लगाने से पहले साल में भुगतानों की संख्या से भाग दिया जाता है — 7 प्रतिशत सालाना डिफ़ॉल्ट मामले में 0.5833… प्रतिशत मासिक बनती है

साल

क़िस्तें कितने समय तक चलती हैं, जिसे साल में भुगतानों की संख्या से गुणा करके छूट पाने वाले भुगतानों की संख्या मिलती है

i

प्रति अवधि छूट दर — हर क़िस्त को इससे भाग दिया जाता है, आज से जितनी अवधियाँ दूर है उतनी बार

n

भुगतानों की संख्या, जो उतनी ही बार है जितनी बार छूट चक्रवृद्धि होती है

इसका इस्तेमाल तब कीजिए जब बराबर भुगतानों की कोई धारा मौजूद हो और यह जानना हो कि वह अंत में नहीं, अभी कितनी की है। सबसे साफ़ मामले वे हैं जिनमें कोई ऐसी धारा ख़रीदने या बेचने की पेशकश कर रहा हो: पेंशन की एकमुश्त ख़रीद, कोई बीमा-निपटान, कोई वार्षिकी अनुबंध, बराबर क़िस्तों वाला पट्टा, या किसी बॉन्ड का कूपन। उलटी दिशा का सवाल भी इसी पेज का है — अगर आप हर महीने किसी जमा-पोट से एक तय रक़म निकाल रहे हैं, तो यह बताता है कि उसे टिकाए रखने के लिए आज कितनी बड़ी रक़म चाहिए, और वह वही गणना है जिसमें भुगतान दूसरी तरफ़ चलते हैं। दो बातें ठीक से तय कीजिए। छूट दर वह दर है जो आप इस पैसे पर वरना कमा सकते थे, इसलिए वह एक निर्णय है और जवाब उसके साथ हिलता है — ऊँची दर पर छूट देने से कोई भी भावी धारा आज कम की हो जाती है। और समय की सेटिंग कोई ब्यौरा नहीं है: हर क़िस्त अपनी अवधि के शुरू में आए या अंत में, इसका मोल पूरी धारा पर एक अवधि के ब्याज जितना है, जो डिफ़ॉल्ट मामले में 376.20 है।

1. बीस साल तक हर महीने 500, 7% पर, हर महीने के अंत में

   1. प्रति अवधि दर: 7% ÷ 12 = 0.5833…% मासिक
   2. भुगतानों की संख्या: 20 × 12 = 240
   3. वार्षिकी गुणक: [1 − (1.005833…)^(−240)] ÷ 0.005833… = 128.98250649…
   4. वर्तमान मूल्य: 500 × 128.98250649… = 64,491.25
   5. कुल भुगतान 500 × 240 = 1,20,000, इसलिए छूट 1,20,000 − 64,491.25 = 55,508.75

   यह भावी मूल्य वाले पेज का दर्पण है, जो यही पाँच इनपुट लेकर 2,60,463.33 पाता है। दोनों जवाब एक ही गणना हैं, उलटी दिशाओं में, और वे ठीक-ठीक मिलते हैं: 64,491.2532… को 0.5833… प्रतिशत मासिक पर 240 महीने बढ़ाने से 2,60,463.3299… बनता है। एक बात जान लेना अच्छा है ताकि आप शॉर्टकट न खोजें: छपे हुए गुणक 128.98251 को 500 से गुणा करने पर 64,491.255 आता है, जो 64,491.26 बन जाता है — जबकि सही मान 64,491.25 है। पाँच दशमलव वाला गुणक पढ़ने के लिए है, गुणा करने के लिए नहीं।

2. वही धारा आरंभिक वार्षिकी के रूप में — 64,867.45

   1. बाक़ी सब वही है, बस हर 500 महीने के अंत के बजाय शुरू में आता है
   2. इसलिए हर भुगतान आज से एक अवधि पास है और एक बार कम छूट पाता है
   3. यानी साधारण वार्षिकी के जवाब को (1 + 0.005833…) से गुणा: 64,491.25 × 1.005833… = 64,867.45
   4. छूट घटकर 1,20,000 − 64,867.45 = 55,132.55 रह जाती है

   उन्हीं 1,20,000 के भुगतानों पर साधारण मामले से 376.20 ज़्यादा, जो पूरी धारा पर ठीक एक महीने का ब्याज है। पहले भुगतान मिलना इतने का है, और दर जितनी ऊँची तथा अवधि जितनी लंबी होगी यह उतना ही बड़ा होगा — इसीलिए यह सेटिंग मान्यताओं में दबी नहीं, पेज पर रखी गई है।

3. बीस साल तक हर महीने 500, −5% पर — छूट प्रीमियम बन जाती है

   1. प्रति अवधि दर: −5% ÷ 12 = −0.4166…% मासिक
   2. ऋणात्मक दर पर वार्षिकी गुणक अवधियों की संख्या से भी बड़ा निकलता है: यह 413.752… आता है
   3. वर्तमान मूल्य: 500 × 413.752… = 2,06,876
   4. छूट: 1,20,000 − 2,06,876 = −86,876, यानी एक ऋणात्मक संख्या

   ऋणात्मक दर का मतलब है कि वही पैसा बाद में अब से ज़्यादा का है, इसलिए धारा भुगतानों के जोड़ से ज़्यादा की हो जाती है और तीसरा ख़ाना ऋणात्मक हो जाता है। यह अंकगणित के लगातार चलने का नतीजा है, कोई टूटा हुआ नतीजा नहीं — वह ऋणात्मक आँकड़ा वह प्रीमियम है जो आज आप दे रहे होते, अगर ऐसी दुनिया में बीस साल में 1,20,000 पाना हो जहाँ पैसा अपनी क़ीमत खो रहा है। ऋणात्मक वास्तविक दरें दुर्लभ हैं पर अनसुनी नहीं, और भुगतानों की धारा पर वे यही करती हैं।

छूट दर पूरी अवधि के लिए एक ही स्थिर दर है, और वही इनपुट है जिस पर जवाब सबसे ज़्यादा निर्भर करता है — यही सबसे बड़ी दिक्कत है, क्योंकि वही एक ऐसा इनपुट है जिसे कोई पहले से नाप नहीं सकता। यह नाममात्र दर है, महँगाई का कोई समायोजन नहीं, इसलिए जवाब भुगतानों की मुद्रा में है, आज की क्रय शक्ति में नहीं — बीस साल में यह फ़र्क़ बहुत बड़ा होता है। भुगतान बराबर और बराबर अंतराल पर हैं, इसलिए महँगाई के साथ बढ़ने वाली, किसी तालिका पर सीढ़ी-दर-सीढ़ी चढ़ने वाली, या बीच में कोई अवधि छोड़ देने वाली धारा इस पेज के बाहर है; बढ़ती धारा के लिए दूसरा सूत्र चाहिए, दूसरा इनपुट नहीं। यह मान लिया जाता है कि धारा पूरी और समय पर मिलेगी। असली वार्षिकियाँ और निपटान अपने साथ उसकी उधार-जोखिम लेकर आते हैं जिस पर वे बकाया हैं, और पेंशन उस प्रायोजक पर टिकी होती है जो बीस साल बाद भी हो, यह कोई गारंटी नहीं — किसी जोखिम भरी धारा पर जोखिम-मुक्त दर से छूट देना उसकी क़ीमत बढ़ा-चढ़ाकर बताता है, और ठीक इसीलिए कोई एकमुश्त पेशकश आम तौर पर जोखिम-मुक्त वर्तमान मूल्य से ऊपर कीमत लगाती है। कर नज़रअंदाज़ है, और वार्षिकी या निपटान पर कर का बर्ताव उसके पीछे के निवेश से अलग हो सकता है। शुल्क और इस इंतज़ाम को चलाने की कोई लागत भी शामिल नहीं है। जहाँ धारा आपकी आय नहीं बल्कि आपका चुकाया जा रहा क़र्ज़ है, वहाँ यही संख्या वह रक़म है जितना आप उसके बदले उधार ले सकते हैं, न कि वह जो आप वाक़ई चुकाएँगे। और ऋणात्मक दर वाला मामला अंकगणित की दृष्टि से सही है, पर इतना असामान्य है कि साफ़ कह देना चाहिए: बीस साल तक लगातार 5 प्रतिशत सालाना की दर से पैसे का क़ीमत खोते जाना ऐसा परिदृश्य नहीं है जिसकी योजना कोई बनाए, और वह नतीजा यह दिखाने के लिए है कि सूत्र क्या करता है, कोई पूर्वानुमान देने के लिए नहीं।

वार्षिकी का वर्तमान मूल्य क्या है?

यह वह है जो बराबर भुगतानों की एक धारा आज मोल रखती है, हर भुगतान को उसकी तारीख़ से पीछे खींचकर छूट देने के बाद। धारा अपने जोड़ के बराबर नहीं होती, क्योंकि बीस साल बाद आने वाला पैसा अगले महीने आने वाले से कम ख़रीदता है। डिफ़ॉल्ट मामले में बीस साल तक हर महीने 500 मिलकर 1,20,000 बनते हैं, पर 7 प्रतिशत पर आज 64,491.25 के हैं — इसलिए अंकित मूल्य का 55,508.75 छूट है, कोई फ़ीस नहीं जो कोई वसूल रहा हो, बस समय का असर।

वार्षिकी का वर्तमान मूल्य कैसे निकाला जाए?

सालाना दर को साल में भुगतानों की संख्या से भाग दीजिए और प्रति अवधि दर पाइए, सालों को उसी संख्या से गुणा करके भुगतानों की संख्या पाइए, फिर लगाइए क़िस्त × [1 − (1 + i)^(−n)] ÷ i। डिफ़ॉल्ट संख्याओं पर i यानी 0.5833… प्रतिशत और n यानी 240, इसलिए गुणक 128.98250649… आता है और 500 × उतना = 64,491.25। अगर भुगतान हर अवधि के अंत के बजाय शुरू में आते हैं तो एक और (1 + i) से गुणा कीजिए, और आपके हाथ में आरंभिक वार्षिकी है।

साधारण वार्षिकी और आरंभिक वार्षिकी में क्या फ़र्क़ है?

फ़र्क़ इस बात में है कि हर भुगतान अपनी अवधि के भीतर कब पड़ता है। साधारण वार्षिकी अंत में देती है, आरंभिक वार्षिकी शुरू में, और शुरू में दिया गया भुगतान आज से एक अवधि पास है इसलिए एक बार कम छूट पाता है। डिफ़ॉल्ट धारा पर यह 64,491.25 और 64,867.45 का फ़र्क़ है — यानी 376.20, जो पूरी धारा पर एक महीने का ब्याज है। किराया और ज़्यादातर क़र्ज़ की क़िस्तें साधारण होती हैं; अग्रिम भुगतान वाला पट्टा या साल की शुरुआत में भरा जाने वाला बीमा प्रीमियम आरंभिक वार्षिकी है।

किस दर पर छूट देनी चाहिए?

उस दर पर जो आप इस पैसे को न बाँधने पर कमा सकते थे, क्योंकि भुगतान बाद में मिलने की लागत वही है — वही छूट दर जो हर जगह और इस्तेमाल होती है, कभी-कभी उसे हर्डल रेट भी कहते हैं। यह एक निर्णय है, कोई नाप नहीं, और जवाब उसके प्रति बहुत संवेदनशील है: ऊँची दर किसी भी भावी धारा को आज कम का बना देती है। उसमें जोखिम भी झलकना चाहिए, इसलिए जिस धारा का मिलना पक्का न हो उस पर सरकारी बॉन्ड की दर से छूट देना उसकी क़ीमत बढ़ा-चढ़ाकर बताएगा।

क्या वर्तमान मूल्य भुगतानों के कुल जोड़ से ज़्यादा हो सकता है?

हाँ, जब भी दर ऋणात्मक हो। −5 प्रतिशत पर वही बीस साल तक हर महीने 500, 1,20,000 के भुगतानों के मुक़ाबले 2,06,876 का है, और छूट वाला ख़ाना −86,876 दिखाता है — यानी छूट नहीं, प्रीमियम। यह सूत्र का सही चलना है उस दर पर जहाँ पैसा बाद में अब से ज़्यादा का है, कोई टूटा हुआ नतीजा नहीं। ऋणात्मक दरें दुर्लभ हैं, और बीस साल तक लगातार −5 प्रतिशत कोई पूर्वानुमान नहीं है, पर यह मामला इसलिए छोड़ा गया है कि जो सूत्र इसे चुपचाप अलग कर देता, वह एक मान्यता छिपा रहा होता।

क्या भुगतान की आवृत्ति से फ़र्क़ पड़ता है?

वह एक साथ दो चीज़ें बदलती है। सालाना दर को साल में भुगतानों की संख्या से भाग दिया जाता है, इसलिए महीने-दर-महीने देने पर छूट किसी और प्रति-अवधि दर पर मिलती है, और छूट पाने वाले भुगतानों की संख्या भी उसी के साथ बदलती है। दस साल तक हर साल 1,000 पर 6 प्रतिशत से वर्तमान मूल्य 7,360.09 है; वही सालाना रक़म साल में दो बार 500 के रूप में दी जाए तो क़ीमत ज़रा ज़्यादा होती है, क्योंकि हर आधी रक़म जल्दी पहुँचती है और कम छूट पाती है। अगर आप सालाना जोड़ के बजाय क़िस्त का आकार स्थिर रखें तो फ़र्क़ बहुत बड़ा होगा, क्योंकि तब आप अलग-अलग रक़मों की तुलना कर रहे होते हैं।

क्या यह वार्षिकी के भावी मूल्य जैसा ही है?

यह वही गणना है, दूसरी दिशा में। दोनों वही वार्षिकी गुणक इस्तेमाल करते हैं; यह पेज उसे क़िस्त से गुणा करके बताता है कि धारा आज कितनी की है, और भावी मूल्य वाला पेज उसे एक वृद्धि गुणक से गुणा करके बताता है कि अंत में खाते में कितना होगा। डिफ़ॉल्ट इनपुट पर दोनों जवाब ठीक-ठीक मिलते हैं: 64,491.2532… को 0.5833 प्रतिशत मासिक पर 240 महीने बढ़ाने से 2,60,463.33 बनता है। जब आप किसी ऐसी धारा का मोल लगा रहे हों जो अभी मौजूद है तो यह पेज लीजिए, और जब किसी ऐसी धारा का अनुमान लगा रहे हों जिसमें आप जमा करेंगे तो वह पेज।

• 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the United States government's own published annuity factor table, the official present-value-of-annuity figures used for valuing annuities in estates — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary (a series of payments made at fixed intervals, and the contract built on one), the definition this page discounts — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Interest — Investor.gov glossary, for the rate each payment in the stream is discounted at — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Life Insurance Products Terms and Conditions — the Indian regulator's own index of approved life-insurance product terms, including the immediate annuity contracts an annuity stream in India actually comes from — Insurance Regulatory and Development Authority of India (IRDAI)