त्वरण का परिमाण कैलकुलेटर

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)

aₓ

त्वरण का x घटक, मीटर प्रति सेकंड वर्ग में; उसी फ़ील्ड में ft/s² और मानक गुरुत्व भी हैं। चिह्न आकार नहीं दिशा है, इसलिए ऋणात्मक मान बिलकुल आम इनपुट है और उसका मतलब है कि त्वरण उसी अक्ष पर उलटी ओर है। इसे ख़ाली केवल z वाली पंक्ति में छोड़िए; पेज को x और y चाहिए

a_y

y घटक, उन्हीं इकाइयों में और चिह्न के उसी नियम के अंदर। यह सूत्र में वर्ग होकर घुसता है, ठीक बाक़ी दो की तरह, इसलिए अक्षों के क्रम से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता — पूरी तस्वीर को z अक्ष के चारों ओर घुमाने से तीनों घटक बदल जाते हैं पर परिमाण नहीं बदल सकता। यही वह गुण है जो इसे सदिश का परिमाण बनाता है, कोई मनमाना जोड़ नहीं

a_z

z घटक, और यह वैकल्पिक है: इसे ख़ाली छोड़िए तो पेज प्रश्न को द्वि-आयामी मान लेता है, जो 0 लिखने के बराबर है। यह इसलिए है क्योंकि असली त्वरण हमेशा समतल नहीं होते — ढलान पर मुड़ती कार, हाथ से निकलती गेंद, तीन-अक्षीय एक्सेलेरोमीटर से नापी गई कोई भी चीज़, सबमें तीनों होते हैं। डिफ़ॉल्ट 0 पहली स्क्रीन को समतल प्रश्न बनाए रखता है

|a|

परिमाण, m/s² में और मानक गुरुत्व में। यह त्वरण-सदिश की लंबाई है और कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि जोड़ने से पहले वर्ग हर चिह्न हटा देता है। दूसरी पंक्ति वही संख्या 9.80665 से भाग देकर है, यानी मानक गुरुत्व — यह एक ही परिणाम को लिखने का दूसरा तरीका है, दूसरा परिणाम नहीं, और यह इसलिए है क्योंकि 30 m/s² ज़्यादातर पाठकों के लिए 3 g से कम कहता है

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब त्वरण घटकों में बँटा हो और आपको उसका आकार चाहिए: एक्सेलेरोमीटर का तीन-अक्षीय आउटपुट, ढलान पर मुड़ती कार जिसके त्वरण में बग़ल का और ऊर्ध्वाधर दोनों हिस्से हैं, उड़ान के बीच में कोई प्रक्षेप्य जो न ठीक ऊपर है न नीचे, या किसी सिमुलेशन से निकली घटक-सूची जिसे किसी एक नापे हुए आँकड़े से मिलाना है। यह वह पेज भी है जो यह सवाल उठाने पर खोलना चाहिए कि त्वरण बड़ा है या नहीं — दूसरी पंक्ति उसे g में बदल देती है, और g वह इकाई है जो 30 m/s² को खड़े रहने वाले 1 g से तुलनीय बनाती है। दो बातें ध्यान में रखिए। पहली, घटकों का एक-दूसरे के लंबवत होना और एक ही इकाई में लिखा होना ज़रूरी है; यह सदिश का परिमाण है, साथ-साथ गिनाए गए तीन त्वरणों को जोड़ने का तरीक़ा नहीं। दूसरी, पेज यह नहीं बताएगा कि त्वरण किस ओर है, और अगर आपको वह चाहिए तो समतल के लिए दो घटक काफ़ी हैं और कोण उनका atan2 होता है — पर तीन आयामों की दिशा के लिए दो कोण चाहिए, और छापने के लिए कोई अकेली संख्या नहीं होती। वेग-सदिश पर यही काम करने वाला पेज अलग है, क्योंकि क्रिया बिलकुल एक ही है और बदलती केवल राशि है।

1. डिफ़ॉल्ट: 3, 4 और 0 — एक 3-4-5 त्रिभुज

   1. वर्ग: 3² = 9, 4² = 16, 0² = 0
   2. जोड़िए: 9 + 16 + 0 = 25
   3. वर्गमूल: √25 = 5
   4. यानी परिमाण ठीक 5 m/s² है, और z से कुछ नहीं जुड़ता क्योंकि वह शून्य है
   5. मानक गुरुत्व में: 5 ÷ 9.80665 = 0.510, यानी 0.51 g

   यहाँ का हर क़दम सिर में किया जा सकता है, और इसीलिए डिफ़ॉल्ट यही संख्याएँ हैं: 9 और 16 मिलकर 25, और 25 का वर्गमूल 5, न कैलकुलेटर न गोल करना। देखिए कि क्या नहीं हुआ — तीनों घटक जोड़कर 7 नहीं बना। यह इस पेज की सबसे आम ग़लती है, और यह समझने लायक है कि वह ग़लती है, कोई दूसरा रिवाज़ नहीं: y की ओर इशारा करता घटक x दिशा की लंबाई में कुछ नहीं जोड़ता, इसलिए दोनों को समकोण पर मिलाना पड़ता है, और वर्ग करके मूल लेना यही करता है।

2. असली तीन-आयामी मामला: 1, 2 और 2

   1. वर्ग: 1² = 1, 2² = 4, 2² = 4
   2. जोड़िए: 1 + 4 + 4 = 9
   3. वर्गमूल: √9 = 3
   4. परिमाण 3 m/s², और तीनों घटक इसमें हिस्सा लेते हैं
   5. मानक गुरुत्व में: 3 ÷ 9.80665 = 0.306 g

   z घटक ही इस पंक्ति को पहली से अलग बनाता है, और यही वह पंक्ति है जो ऐसे कार्यान्वयन को पकड़ती है जो उसे चुपचाप छोड़ देता है: z हटा दें तो √5 = 2.236 बनता है, जो 25 प्रतिशत कम है और स्क्रीन पर बिलकुल ठीक लगता है। यह उन पूर्णांक त्रिकों में सबसे छोटा भी है जिन्हें तीनों अक्ष चाहिए: 1-2-2 से 9 बनता है और मूल 3, और यही कुल 2-3-6 से 7 तथा 3-4-12 से 13 तक चलती है। यह सूची छोटी नहीं है — 1-4-8 से 9 और 6-10-15 से 19 बनते हैं, दोनों उसी दायरे में — इसलिए याद रखने लायक सदस्य नहीं, आकार है: किसी भी त्रिक को पूर्ण संख्या से गुणा करने पर अगला मिलता है, क्योंकि 1-2-2 को दुगना करने पर 2-4-4 बनता है और उसका परिमाण भी दुगना हो जाता है। काम की आदत यह है कि जवाब को सबसे बड़े घटक से मिलाकर देखा जाए: परिमाण तीनों में सबसे बड़े से छोटा कभी नहीं हो सकता, और यहाँ परिमाण 3 के सामने सबसे बड़ा घटक 2 है, जो आराम से बैठता है।

3. मिले-जुले चिह्न: 3, −4 और 12

   1. वर्ग: 3² = 9, (−4)² = 16, 12² = 144 — ऋण चिह्न यहीं ग़ायब हो जाता है
   2. जोड़िए: 9 + 16 = 25, फिर 25 + 144 = 169
   3. वर्गमूल: √169 = 13
   4. परिमाण 13 m/s², उतना ही जितना 3, 4 और 12 के लिए होता
   5. मानक गुरुत्व में: 13 ÷ 9.80665 = 1.326 g

   इस पंक्ति का मुद्दा ऋणात्मक घटक है, और जोड़ने का क्रम भी: 9 और 16 मिलकर 25, और 25 और 144 मिलकर 169, जो 13 का वर्ग है। इसे एक के बजाय दो क़दमों में करना ठीक वही है जो सूत्र कहता है — पहले दो घटकों को पाइथागोरस प्रमेय से मिलाइए, फिर उस परिणाम को तीसरे के साथ समकोण पर मिलाइए। चिह्न का ग़ायब होना कोड में कहीं सँभाला जा रहा कोई विशेष मामला नहीं है; वर्ग उसे अपने आप हटा देता है, इसीलिए यह पेज ऋणात्मक इनपुट लेता ही है और इसीलिए यह कभी ऋणात्मक जवाब नहीं लौटा सकता।

परिमाण सदिश का केवल एक हिस्सा है, और दिशा खोने से असली सूचना खोती है: 1 g से ऊपर की ओर त्वरित होती वस्तु और 1 g से बग़ल में त्वरित होती वस्तु यहाँ एक ही संख्या देती हैं और उनका व्यवहार बिलकुल अलग होता है, और 1 g पर मुड़ती कार 1 g पर ब्रेक लगाती कार से अलग स्थिति है। इस पेज पर कुछ भी यह नहीं बताता कि कौन-सी कौन है। सूत्र यह भी माँगता है कि तीनों घटक लंबवत हों और एक ही इकाई में, एक ही पल में नापे गए हों — दो अलग निर्देशांक-तंत्रों से या दो अलग समयों पर लिए घटक मिलकर ऐसी संख्या बनाएँगे जो ठीक दिखती है और कुछ नहीं कहती। यह पेज त्वरण तक सीमित भी नहीं है: यह तीन वेग-घटक भी ख़ुशी से मिला देगा, और वह जवाब भी सही होगा — यह जानने लायक है क्योंकि इसका मतलब है कि यह हिसाब यह जाँच नहीं है कि आपने सही राशि डाली या नहीं। g वाली पंक्ति एक रूपांतरण है, कोई सीमा नहीं, इसलिए यह कोई फ़ैसला नहीं देती कि कोई मान झेला जा सकता है या आरामदेह है; वे सीमाएँ स्थिति और अवधि की होती हैं, संख्या की नहीं। और z फ़ील्ड का वैकल्पिक होना इसका मतलब है कि स्क्रीन पर द्वि-आयामी प्रश्न और सचमुच समतल तीन-आयामी प्रश्न में कोई फ़र्क़ नहीं दिखता — यहाँ तो इसमें कोई नुक़सान नहीं, पर अगर आप इनपुट किसी रिपोर्ट में उतार रहे हों तो याद रखिए।

त्वरण के परिमाण का सूत्र क्या है?

|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²): हर घटक का वर्ग कीजिए, वर्ग जोड़िए, और वर्गमूल लीजिए। 3 और 4 वाले द्वि-आयामी मामले में यह √(9 + 16) = √25 = 5 m/s² है। यह पाइथागोरस प्रमेय दो बार लगाया गया है, क्योंकि तीनों अक्ष एक-दूसरे के लंबवत हैं — परिमाण उस बक्से के विकर्ण की लंबाई है जो घटक फैलाते हैं। नतीजा कभी ऋणात्मक नहीं होता, क्योंकि जोड़ने से पहले वर्ग हर घटक का चिह्न हटा देता है।

मैं घटकों को सीधे जोड़ क्यों नहीं सकता?

क्योंकि वे अलग-अलग दिशाओं में इशारा करते हैं। y की ओर जाता घटक इस बात में कुछ नहीं जोड़ता कि त्वरण x की ओर कितनी दूर पहुँचता है, और जोड़ने से दो लंबवत राशियाँ ऐसे गिनी जाती हैं जैसे वे एक ही सीध में हों। 3 और 4 वाले घटकों का जोड़ 7 बनता है जबकि असली परिमाण 5 है, और यह ग़लती छोटी नहीं — यहाँ यह चालीस प्रतिशत है और घटक जितने ज़्यादा असमान होंगे उतनी बढ़ेगी। जोड़ना केवल तब सही है जब एक के सिवा बाक़ी सारे घटक शून्य हों, और वह कोई ख़ास मामला नहीं: उसका मतलब है कि त्वरण पहले से किसी एक ही अक्ष पर है।

पेज त्वरण की दिशा क्यों नहीं बताता?

क्योंकि तीन आयामों की दिशा के लिए दो कोण चाहिए और यह पेज एक ही संख्या छाप सकता है। समतल में काम करने वाला कोण y और x घटकों का चाप-स्पर्शज्या (arctan) है, पर वह एक प्रक्षेपण के रूप में नापा जाता है और तब परिभाषित नहीं रहता जब त्वरण ठीक z अक्ष की ओर हो — xy समतल में बताने को कोई दिशा ही नहीं बचती, ठीक वैसे ही जैसे ध्रुव पर कोई देशांतर नहीं होता। वहाँ शून्य लौटा देने का सीधा शॉर्टकट 0 अंश की दिशा छापेगा, जो x अक्ष के साथ पढ़ी जाती है और बिलकुल ग़लत होती। दूसरा रास्ता, जवाब देने से इनकार, ऊर्ध्वाधर त्वरण के बारे में एक पूरी तरह जायज़ सवाल को त्रुटि-संदेश बना देता। इसलिए पेज केवल आकार बताता है; समतल प्रश्न के लिए दिशा चाहिए तो दोनों घटकों की चाप-स्पर्शज्या ही वह हिसाब है जो कीजिए।

क्या घटक ऋणात्मक हो सकते हैं?

हाँ, और इस पेज पर वे आम तौर पर होते भी हैं, क्योंकि ऋणात्मक घटक का मतलब है कि त्वरण उस अक्ष पर उलटी ओर है, यह नहीं कि वह छोटा है। वर्ग करने से चिह्न हट जाता है, इसलिए 3, −4, 12 वही 13 m/s² देता है जो 3, 4, 12 देता है — सदिश के परिमाण को इससे मतलब नहीं कि वह किधर है। इसीलिए जवाब कभी ऋणात्मक नहीं आता, और इसीलिए ठीक 0 का नतीजा त्रुटि नहीं बल्कि असली जवाब है: इसका मतलब है कि वस्तु त्वरित ही नहीं हो रही, जो एकसमान गति का पूरा बयान है।

क्या z घटक भरना ज़रूरी है?

नहीं। इसे ख़ाली छोड़ने पर वह शून्य माना जाता है और प्रश्न द्वि-आयामी हो जाता है, जो समतल में हो रही हर चीज़ के लिए सही है — सपाट सड़क पर कार, मेज़ पर पक, आम आदर्शीकरण में प्रक्षेप्य। इसे तब भरिए जब त्वरण में सचमुच तीसरा घटक हो: ढलान पर मुड़ती कार, कोण पर फेंकी गई गेंद, या तीन-अक्षीय एक्सेलेरोमीटर का कच्चा आउटपुट, जिसमें हमेशा तीन संख्याएँ होती हैं, चाहे तीसरी मायने रखे या न रखे। डिफ़ॉल्ट 0 है, इसलिए पेज समतल प्रश्न के रूप में खुलता है और तीसरा अक्ष तब जोड़िए जब ज़रूरत हो।

g वाली पंक्ति किस काम की है?

यह वही परिमाण 9.80665 m/s² से भाग देकर है, यानी मानक गुरुत्व का परिभाषित मान, ताकि त्वरण को g के गुणक में कहा जा सके। यह पंक्ति इसलिए है क्योंकि g वह इकाई है जिसका लोगों को सचमुच अंदाज़ा होता है: 30 m/s² अकेले कम कहता है, जबकि 3 g फ़ौरन रोलर कोस्टर के रूप में पहचाना जाता है, और 0.1 g चलने लगती लिफ़्ट जैसा पढ़ा जाता है। यही पंक्ति बल में भी बदलती है: n g का त्वरण मतलब जो भी आपको थामे हुए है उसे आपके भार के n गुने से धकेलना पड़ेगा, इसीलिए 10 g इंसान के लिए एक सीमा है, कोई करतब नहीं। फिर भी यह एक ही परिणाम को लिखने का दूसरा तरीका है, दूसरा परिणाम नहीं, और यह कोई फ़ैसला नहीं देती कि मान बड़ा है या नहीं — 0.1 g और 30 g दोनों अपने-अपने संदर्भ में आम हैं, और त्वरण झेलने लायक कितना है यह उतना ही इस पर निर्भर है कि वह कितनी देर चलता है, जितना इस पर कि कितना बड़ा है।

• Vector Addition and Subtraction: Analytical Methods (College Physics 2e, §3.3) — resolving a vector into perpendicular components and recombining them with the Pythagorean theorem — OpenStax
• Euclidean vector — magnitude as the norm of a vector, the sign of a component as direction rather than size, and why a direction in three dimensions needs two angles — Wikipedia
• NIST Guide to the SI, Appendix B.9: Factors for Units Listed by Kind of Quantity — the ACCELERATION section, and standard gravity as the defined 9.806 65 m/s² — National Institute of Standards and Technology