अभिकेंद्रीय बल कैलकुलेटर

अभिकेंद्रीय बल = द्रव्यमान × वेग² ÷ त्रिज्या अभिकेंद्रीय त्वरण = वेग² ÷ त्रिज्या g-बल = त्वरण ÷ 9.80665

m

द्रव्यमान किलोग्राम में — फ़ील्ड ग्राम, टन और पाउंड भी लेती है। यह बल तय करता है, त्वरण नहीं: भारी कार को उसी मोड़ के लिए ज़्यादा पकड़ चाहिए, पर वह मोड़ उतना ही लेती है

v

वेग मीटर प्रति सेकंड में, और यही वह पद है जिसका वर्ग लगता है — फ़ील्ड km/h, mph और ft/s भी लेती है। 10 प्रतिशत तेज़ चलने पर 21 प्रतिशत ज़्यादा बल चाहिए, इसीलिए मोड़ों पर रफ़्तार किसी भी और चीज़ से ज़्यादा घातक होती है

r

मोड़ की त्रिज्या मीटर में, वृत्त के केंद्र से वस्तु तक, सड़क की चौड़ाई नहीं। यह हर में बैठती है: चौड़ा मोड़ कम बल माँगता है, उलटे अनुपात में

a

अभिकेंद्रीय त्वरण, v²/r, m/s² में। वेग स्थिर होने पर भी यह केंद्र की ओर ही इशारा करता है, क्योंकि वेग की दिशा हर पल बदल रही होती है

g

वही त्वरण मानक गुरुत्व के रूप में, 9.80665 m/s² प्रति g। सड़क पर यह संख्या उस घर्षण गुणांक के भी बराबर है जो टायरों को चाहिए; कक्षा में यह वही गुरुत्व है जो खींच रहा है

यह पेज तब लीजिए जब किसी चीज़ को मोड़ पर चलाना हो और जानना हो कि उसकी क़ीमत क्या है: मोड़ में कार या साइकिल, पटरी पर रेलगाड़ी, डोरी से घुमाई गई गेंद, कक्षा में उपग्रह या अंतरिक्ष स्टेशन, रोलर कोस्टर के लूप पर बैठा यात्री, सेंट्रीफ़्यूज का नमूना, चुंबकीय क्षेत्र में मुड़ता आवेशित कण। सवाल हमेशा एक ही रहता है — कितना भीतर की ओर बल, और क्या जो दे सकता है उसके पास उतना है। दो आदतें मदद करती हैं। पहली, न्यूटन के बजाय g वाला आँकड़ा पढ़िए, क्योंकि वही हर हालत में साथ चलता है: सड़क पर 0.637 g एक ऐसा घर्षण गुणांक है जो टायर दे सकते हैं, लूप में 4 g के लिए सीट बेल्ट और मज़बूत गर्दन चाहिए, और कक्षा में 0.884 g वही गुरुत्व है जो पहले से मौजूद था। दूसरी, जवाब मानने से पहले देने वाले को जाँचिए। अगर पेज कहता है कि किसी मोड़ को भीगी सड़क पर 1.2 का घर्षण गुणांक चाहिए, तो ईमानदार पाठ यह नहीं कि बल बड़ा है, बल्कि यह कि उस रफ़्तार पर वह मोड़ लिया ही नहीं जा सकता — क्योंकि भीगा टायर 1.2 कभी नहीं देगा।

1. 3,300 पाउंड की कार, 328 फ़ुट के मोड़ पर 56 mph की रफ़्तार से

   1. 56 mph = 25 m/s; 328 ft = 100 m (फ़ील्ड SI इकाइयाँ लेती हैं और बदल देती है)
   2. त्वरण: 25² ÷ 100 = 625 ÷ 100 = 6.25 m/s²
   3. बल: 1500 × 6.25 = 9375 N, यानी 2107.6 lbf
   4. गुरुत्व में: 6.25 ÷ 9.80665 = 0.637 g

   साथ ले जाने लायक़ आँकड़ा g वाला है। सड़क पर यह उस घर्षण गुणांक के भी बराबर है जो टायरों को देना पड़ता है, और 0.637 अच्छी डामर पर सूखे टायर के 0.7 से 0.9 के काफ़ी भीतर है — यानी यह मोड़ ठीक है, थोड़ी गुंजाइश के साथ। भीगे में वही टायर क़रीब 0.4 से 0.5 देता है, संख्या उससे ऊपर चली जाती है, और ईमानदार जवाब «कितना बल चाहिए» से बदलकर «यह मोड़ आख़िर किस रफ़्तार तक लिया जा सकता है» हो जाता है: क़रीब 20 m/s, यानी 45 mph। बल ख़ुद अलग राशि है — 9375 N लगभग एक छोटी कार का भार है, जो मोड़ के उन दो-तीन सेकंडों तक टायरों को बग़ल में खींचता रहता है।

2. वही कार, 164 फ़ुट की त्रिज्या पर, यानी आधे नाप की

   1. सिर्फ़ त्रिज्या बदली: 164 ft = 50 m, पिछले उदाहरण की आधी
   2. त्वरण: 625 ÷ 50 = 12.5 m/s²
   3. बल: 1500 × 12.5 = 18750 N, या 4215.2 lbf
   4. गुरुत्व में: 12.5 ÷ 9.80665 = 1.275 g

   त्रिज्या आधी करने से माँग दुगनी हो जाती है, और 1.275 g किसी भी सड़क-टायर की हैसियत से बाहर है — उदाहरण का मुद्दा यही है। मोड़ तंग होने पर ज़रूरी बल धीरे-धीरे नहीं चूकता; वह किसी एक त्रिज्या पर उपलब्ध घर्षण को पार कर जाता है, और उसके आगे कार मुड़ती ही नहीं। इसीलिए राजमार्ग के स्लिप रोड पर वही रफ़्तार गोल चक्कर पर वही रफ़्तार होकर भी बिल्कुल अलग लगती है: कार में कुछ नहीं बदला, त्रिज्या 100 मीटर से 50 मीटर हो गई। द्रव्यमान g वाले आँकड़े से कट जाता है, इसलिए हल्की कार यहाँ ज़्यादा सुरक्षित नहीं — उसे उतना ही कम बल चाहिए जितनी कम पकड़ उसके टायर देते हैं।

3. अंतरिक्ष स्टेशन: 17,100 mph पर 420 टन

   1. 7660 m/s यानी 17,100 mph; कक्षीय त्रिज्या 6771 किलोमीटर है, धरती के केंद्र से नापी गई (सतह से क़रीब 400 किलोमीटर ऊपर)
   2. त्वरण: 7660² ÷ 6771000 = 58675600 ÷ 6771000 = 8.666 m/s²
   3. बल: 420000 × 8.666 = 3639603 N, या 818215.3 lbf
   4. गुरुत्व में: 8.666 ÷ 9.80665 = 0.884 g

   स्टेशन 420 टन का है और उस पर लगने वाला भीतर की ओर बल 3.6 मेगान्यूटन है — और इसे कोई खींच नहीं रहा, इस अर्थ में कि इसमें न कोई रस्सी है न टायर। पूरा देने वाला गुरुत्व है, और 0.884 g ठीक उसी ऊँचाई पर गुरुत्व की ताक़त है। कक्षाओं का यही सामान्य ढर्रा है: ज़रूरी अभिकेंद्रीय बल हमेशा उपलब्ध गुरुत्व के बराबर होता है, इसीलिए पिंड भीतर गिरने या बाहर उड़ जाने के बजाय चक्कर काटता रहता है। इसीलिए चालक दल तैरता भी है: वे 0.884 g से गिर रहे हैं और उनके आसपास का स्टेशन भी, इसलिए कोई चीज़ उन्हें फ़र्श से नहीं दबाती। यह भी देखिए कि त्वरण छोटा नहीं है — स्टेशन धरती की ओर उस कार से ज़्यादा ज़ोर से त्वरित हो रहा है जो अपनी हद पर मोड़ ले रही हो।

सूत्र स्थिर वेग से वृत्त में चलने की बात करता है, और जो त्वरण देता है वह सिर्फ़ इसीलिए केंद्र की ओर होता है कि वेग स्थिर है — मोड़ के दौरान ब्रेक लगाती या तेज़ होती कार का एक स्पर्शरेखीय त्वरण भी होता है, और कुल दोनों का सदिश योग होता है, जो इस पेज के बताए आँकड़े से ज़्यादा है। यह मान लेता है कि मोड़ वृत्त है; असली सड़क का मोड़ क्लोथॉइड या सर्पिल होता है, इसलिए उसके साथ त्रिज्या बदलती रहती है और चरम माँग पूरे मोड़ में नहीं, एक बिंदु पर आती है। यह नहीं बताता कि बल कहाँ से आता है, और व्यवहार में सबसे ज़्यादा ग़लत यही धारणा साबित होती है: टायर उतना ही दे सकता है जितना उसका घर्षण अनुमति दे, रस्सी की एक टूटने वाली सीमा होती है, और ढलवाँ मोड़ बल का एक हिस्सा घर्षण के बजाय अभिलंब बल से देता है, जो इस पेज में नहीं है। यह वस्तु को बिंदु द्रव्यमान मानता है, इसलिए यह नज़रअंदाज़ करता है कि असली कार झुकती है, उसके टायर भार असमान रूप से बाँटते हैं, और उसका द्रव्यमान केंद्र सड़क से ऊपर है — ऊँचा वाहन सरकने से पहले पलट सकता है। यह मान लेता है कि वस्तु तय त्रिज्या पर बनी रहती है, इसलिए नीचे उतरता सर्पिल उपग्रह, बाहर फिसलती कार और झुककर मुड़ता सवार — तीनों इससे बाहर हैं। यहाँ कुछ भी सापेक्षिक नहीं है: कक्षीय वेगों पर सुधार आठवें दशमलव में बैठता है, पर फ़ील्ड ऐसी रफ़्तारें भी ले लेती है जहाँ वह नहीं बैठता, और चुंबकीय क्षेत्र में मुड़ता आवेशित कण अपने अलग सूत्र वाला अलग सवाल है।

अभिकेंद्रीय बल का सूत्र क्या है?

F = mv²/r, और अकेले त्वरण a = v²/r। 100 मीटर त्रिज्या पर 25 m/s से चलती 1500 किलोग्राम की कार को 1500 × 625 ÷ 100 = 9375 N चाहिए, जो 6.25 m/s² का त्वरण है, यानी 0.637 g। देखिए कि त्रिज्या कहाँ बैठती है: नीचे। मोड़ को 100 मीटर से 50 मीटर करने पर बल दुगना हो जाता है, इसीलिए स्लिप रोड और गोल चक्कर पर वही रफ़्तार बिल्कुल अलग लगती है।

अभिकेंद्रीय और अपकेंद्रीय बल में क्या फ़र्क़ है?

अभिकेंद्रीय वह असली, भीतर की ओर लगने वाला बल है जो ज़मीन के ढाँचे में दिखता है, और उसका कोई न कोई देने वाला हमेशा होता है — टायरों का घर्षण, डोरी का तनाव, उपग्रह पर गुरुत्व। अपकेंद्रीय वह बाहर की ओर दिखने वाला बल है जो हिसाब घूमते ढाँचे में करने पर आता है, और असल में बाहर कुछ धकेल नहीं रहा होता। परिमाण एक ही है, इसलिए दोनों पेज वही संख्या देते हैं; फ़र्क़ इस बात का है कि आप कौन-सा सवाल पूछ रहे हैं। अगर आप कार हैं तो जानना चाहेंगे कि टायर दे पाएँगे या नहीं। अगर आप वह मशीन हैं जो भार उठाए है, तो जानना चाहेंगे कि बेयरिंग को क्या झेलना है।

कार के मोड़ लेते समय अभिकेंद्रीय बल कौन देता है?

टायर और सड़क के बीच का घर्षण, और ढलवाँ मोड़ पर उसका एक हिस्सा घर्षण के बजाय अभिलंब बल से आता है। इसीलिए इस पेज का g वाला आँकड़ा सड़क पर दोहरा काम करता है: वह संख्यात्मक रूप से उस घर्षण गुणांक के बराबर है जो टायरों को देना पड़ता है, और उसमें द्रव्यमान कहीं नहीं आता। अच्छी डामर पर सूखा टायर क़रीब 0.7 से 0.9 देता है; भीगे में क़रीब 0.4 से 0.5; बर्फ़ पर 0.1 से भी कम। अगर पेज कहे कि मोड़ को सतह की हैसियत से ज़्यादा चाहिए, तो ईमानदार जवाब बड़ा बल नहीं, कम रफ़्तार है।

चौड़े मोड़ को कम बल क्यों चाहिए?

क्योंकि त्रिज्या हर में बैठती है। 100 मीटर त्रिज्या से 200 मीटर जाने पर उसी रफ़्तार पर ज़रूरी बल आधा रह जाता है, और 100 से 50 मीटर जाने पर वह दुगना हो जाता है। यही उलटा रिश्ता वजह है कि राजमार्गों के जोड़ लंबे, खिंचे हुए मोड़ों से बनाए जाते हैं, और यह भी कि खुले मोड़ जितनी ही रफ़्तार से लिया गया गोल चक्कर हिंसक लगता है। माँग घटाने का यह सबसे सस्ता तरीक़ा भी है, क्योंकि रफ़्तार घटाने को वर्ग को पार करना पड़ता है जबकि त्रिज्या बढ़ाना सीधे काम करता है।

क्या भारी कार को मोड़ में ज़्यादा पकड़ चाहिए?

उसे अपने द्रव्यमान के अनुपात में ज़्यादा बल चाहिए, पर उसके पास ज़्यादा उपलब्ध भी होता है, क्योंकि टायर जितना घर्षण दे सकता है वह उस पर पड़े भार के अनुपात में होता है — इसलिए पहले अनुमान में मोड़ लेने की रफ़्तार एक ही रहती है। इसीलिए इस पेज के g वाले आँकड़े में द्रव्यमान है ही नहीं: कार 1500 किलोग्राम की हो या 3000 की, टायरों पर माँग 0.637 g ही रहती है। द्रव्यमान बाक़ी सब चीज़ों के लिए मायने रखता है — न्यूटन में बल, टायरों की गर्मी, सस्पेंशन पर भार — और यह साफ़-सुथरा कटाव तब टूटता है जब टायर अपनी हद के पास हो, इसीलिए व्यवहार में भारी वाहन मोड़ों पर धीमे होते हैं।

अंतरिक्ष स्टेशन को अभिकेंद्रीय बल क्यों चाहिए, जब उसे कोई खींच ही नहीं रहा?

खींच रहा है: गुरुत्व। 400 किलोमीटर ऊपर धरती का गुरुत्व अब भी क़रीब 0.884 g है, और 420 टन के स्टेशन को 7660 m/s पर अपनी कक्षा में चलते रहने के लिए 3.6 मेगान्यूटन भीतर की ओर बल चाहिए। गुरुत्व ठीक उतना ही देता है, और कक्षा में होने का मतलब यही है — स्टेशन लगातार धरती की ओर गिर रहा है और इतनी तेज़ी से बग़ल में बढ़ रहा है कि ज़मीन उसी दर से नीचे मुड़ जाती है। उसे कोई ऊपर थामे हुए नहीं है, और इसीलिए चालक दल भी तैरता है: वे और स्टेशन साथ-साथ गिर रहे हैं।

• Centripetal Acceleration (College Physics 2e, §6.2) — a = v²/r, why the acceleration points inward at constant speed, and the worked car and orbit examples — OpenStax
• Centripetal force — the force that always has a supplier, the banked-curve and orbiting-satellite cases, and the friction coefficient a corner demands — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², and the exact mile, foot and pound factors used in the examples above — National Institute of Standards and Technology