अपकेंद्रीय बल कैलकुलेटर

अपकेंद्रीय बल = द्रव्यमान × ω² × त्रिज्या ω = 2π × rpm ÷ 60 स्पर्शरेखीय गति = ω × त्रिज्या

m

घूमती वस्तु का द्रव्यमान किलोग्राम में — फ़ील्ड ग्राम, टन और पाउंड भी लेती है, इसलिए 4.4 पाउंड यानी 2 किलोग्राम

ω

कोणीय वेग, रेडियन प्रति सेकंड में। फ़ील्ड सीधे rpm लेती है और भीतर ही बदल देती है: ω = 2π × rpm ÷ 60, इसलिए 1400 rpm यानी 146.61 rad/s। यही वह पद है जिसका वर्ग लगता है

r

घूर्णन की धुरी से द्रव्यमान के केंद्र तक की त्रिज्या, मीटर में। मायने उस दूरी का है जो द्रव्यमान तक है, ढोल के नाप का नहीं — 0.5 मीटर के ढोल की दीवार से सटा भार 0.25 मीटर पर बैठता है

v

स्पर्शरेखीय गति, ω × त्रिज्या, m/s और mph में बताई जाती है। यह वह रफ़्तार है जिससे वस्तु उड़ जाती अगर रोक हटा दी जाए, और यही अभिकेंद्रीय बल वाले पेज की माँगी गई इनपुट है

यह पेज तब लीजिए जब आप ख़ुद कुछ घुमा रहे हों और जानना हो कि ढाँचे को कितना सँभालना पड़ेगा: चक्र के आख़िर में वॉशिंग मशीन का ढोल, पंखे या ब्लोअर का इम्पेलर, पीसने का पहिया, टर्बाइन का ब्लेड, सेंट्रीफ़्यूज का रोटर, हार्ड डिस्क की प्लेट, वह पहिया जिसने कोई बैलेंस वज़न उड़ा दिया है। इन सबमें सवाल एक ही है — बेयरिंग और खोल यह खिंचाव झेल पाएँगे या नहीं — और जवाब यही बल है। दो बातें जवाब को ज़्यादा काम का बनाती हैं। पहली, याद रखिए कि यहाँ त्रिज्या धुरी से द्रव्यमान तक की दूरी है, मशीन का व्यास नहीं: त्रिज्या आधी हो तो बल भी आधा, और जो भार बीच में नहीं बैठा, वह शून्य और दीवार के बीच किसी त्रिज्या पर होता है। दूसरी, नतीजे को अकेले डिज़ाइन की गुंजाइश मत पढ़िए — दिलचस्प राशि आम तौर पर वह बल है जो वस्तु के अपने भार के मुक़ाबले है, इसीलिए वही भार उसी त्रिज्या पर 2800 rpm पर खड़ी हालत से क़रीब 2,200 गुना भारी हो जाता है। g में नापा गया यही अनुपात सेंट्रीफ़्यूज के रोटर की रेटिंग का आधार है, और बल के उलट यह हर नमूने के द्रव्यमान के लिए एक ही निकलता है। और अगर आप बाहर से किसी को घूमते हुए देख रहे हैं — मुड़ती कार, डोरी से बँधी गेंद, कक्षा में घूमता उपग्रह — तो आपके सवाल से अभिकेंद्रीय बल वाला पेज मेल खाता है।

1. 10 इंच के ढोल में 4.4 पाउंड का भार, 1400 rpm पर

   1. 1400 rpm = 1400 × 2π ÷ 60 = 146.61 rad/s
   2. त्रिज्या: 10 इंच = 0.254 m (फ़ील्ड मीटर लेती है)
   3. बल: 2 × 146.61² × 0.254 = 10918.9 N
   4. बाक़ी इकाइयों में: 10.919 kN, यानी 2454.7 lbf — क़रीब 1.1 टन
   5. स्पर्शरेखीय गति: 146.61 × 0.254 = 37.24 m/s, यानी 83.3 mph

   दस किलोन्यूटन वह आँकड़ा है जिसे पकड़कर रखना है: जो भार आप एक हाथ से उठा लेते हैं, मशीन के पूरी रफ़्तार पर पहुँचते-पहुँचते ढोल पर एक टन का बल बन जाता है। भार में कुछ नहीं बदला — वही 4.4 पाउंड गीले कपड़े हैं — और पूरा बल घूर्णन से आया। यही बल स्पिन बेयरिंग को झेलना पड़ता है, और इसीलिए जिस मशीन में ईंट पड़ी हो वह थपथपाती है: भार केंद्र में नहीं है, इसलिए उसके द्रव्यमान केंद्र की त्रिज्या हर चक्कर में एक बार चारों ओर घूमती है और पूरी मशीन प्रतिक्रिया देती है।

2. वही भार, स्पिन की रफ़्तार दुगनी करके 2800 rpm

   1. 2800 rpm = 293.22 rad/s — पिछले उदाहरण के कोणीय वेग से ठीक दुगना
   2. बल: 2 × 293.22² × 0.254 = 43675.4 N
   3. पिछले उदाहरण से तुलना: 10918.9 N, यानी बल 4.0 गुना बढ़ा
   4. बाक़ी इकाइयों में: 43.675 kN, या 9818.6 lbf — क़रीब 4.5 टन
   5. स्पर्शरेखीय गति: 74.48 m/s, यानी 166.6 mph — वह सिर्फ़ दुगनी हुई

   ये दो उदाहरण ही पूरा पेज हैं। रफ़्तार दुगनी करने से बल चार गुना हो जाता है, क्योंकि सूत्र में ω का वर्ग लगता है, जबकि स्पर्शरेखीय गति महज़ दुगनी होती है क्योंकि वह ω के साथ रैखिक है। मशीन बनाने वाले इसी पर ज़ोर देते हैं: स्पिन की रफ़्तार बढ़ाना कपड़ों से पानी निकालने का सबसे सस्ता तरीक़ा है, और उसकी क़ीमत बेयरिंग चुकाते हैं — दुगने rpm पर चार गुना भार। इसी से यह भी समझ आता है कि स्पिन चक्र के आख़िरी कुछ सौ rpm ही मशीन को हिलाते हैं, और 1400 rpm पर जो असंतुलन बर्दाश्त हो जाता है वह 2800 पर सर्विस कॉल बन जाता है।

3. एक अल्ट्रासेंट्रीफ़्यूज: 3.15 इंच पर 50 ग्राम, 100 000 rpm

   1. 100000 rpm = 10471.98 rad/s
   2. त्रिज्या: 3.15 इंच = 0.08 m
   3. बल: 0.05 × 10471.98² × 0.08 = 438649.1 N
   4. बाक़ी इकाइयों में: 438.649 kN, या 98612.2 lbf
   5. स्पर्शरेखीय गति: 10471.98 × 0.08 = 837.76 m/s — मैक 2.4, और 1874 mph

   पचास ग्राम एक नमूना नली है; उस पर लगने वाला बल क़रीब 45 टन है, यानी उसके अपने भार से थोड़ा कम दस लाख गुना। सेंट्रीफ़्यूज की बिक्री इसी अनुपात पर होती है, और इसीलिए रोटर एल्युमिनियम के बजाय टाइटेनियम या कार्बन फ़ाइबर से तराशना पड़ता है: सामग्री को यह बल अपने ही हर बिंदु पर झेलना है, और रोटर का किनारा ध्वनि की गति से दुगनी से भी ज़्यादा रफ़्तार से चल रहा होता है। इस आँकड़े में कोई विदेशी गणित नहीं है — यह वॉशिंग मशीन वाला ही सूत्र है, बस रफ़्तार 70 गुना ज़्यादा और द्रव्यमान 40 गुना कम, और रफ़्तार का वर्ग बड़े फ़र्क़ से जीत जाता है।

यह घूमते हुए ढाँचे में किया गया हिसाब है, और जो बल यह देता है वह जड़त्व का असर है, किसी क्रिया-प्रतिक्रिया का नहीं: बाहर की ओर वस्तु को कोई धकेल नहीं रहा, और रोक काट दें तो वस्तु बाहर की ओर तेज़ ही नहीं होती, वह स्पर्शरेखा की दिशा में उड़ जाती है। इसलिए पेज यह बताता है कि बेयरिंग, रस्सी या खोल को क्या देना है — अभिकेंद्रीय बल की बराबर और उलटी प्रतिक्रिया — यह नहीं कि जड़त्वीय ढाँचे में वस्तु पर क्या लग रहा है। यह मान लेता है कि वस्तु कठोर है, उसका द्रव्यमान केंद्र उसी त्रिज्या पर है जो आपने भरी, और वह ढोल के मुक़ाबले हिलती नहीं; जो भार रफ़्तार बढ़ने पर बाहर सरकता है उसका हिसाब अलग है, और जो वस्तु घूमते-घूमते आकार बदलती है उसका भी। यह स्थिर घूर्णन मान लेता है: रफ़्तार चढ़ते और उतरते समय कोणीय त्वरण से एक स्पर्शरेखीय बल भी लगता है, जो यह पेज नहीं निकालता। यह गुरुत्व और वस्तु के अपने भार को छोड़ देता है, यानी धुरी खड़ी मानी गई है — आड़ी धुरी पर एक चक्कर में बेयरिंग का भार बदलता रहता है, और असंतुलित मशीन के हिलने का तंत्र यही है। तरल के भीतर घूमते रोटर पर उत्प्लावन और प्रतिरोध छोड़ दिए गए हैं, जो हवा से भरे कक्ष में तेज़ रफ़्तार से घूमते सेंट्रीफ़्यूज रोटर के लिए मायने रखता है। आख़िर में, नतीजा एक ही वस्तु का आँकड़ा है: यह वस्तु के भीतर के प्रतिबल, पूरे तंत्र के संतुलन, या इस बात के बारे में कुछ नहीं कहता कि रोटर की अधिकतम सुरक्षित रफ़्तार इस बल से नहीं, सामग्री की सामर्थ्य से तय होती है।

अपकेंद्रीय बल का सूत्र क्या है?

F = mω²r, जहाँ m द्रव्यमान है, r धुरी से दूरी, और ω कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड में। घूर्णन दर rpm में हो तो पहले बदलिए: ω = 2π × rpm ÷ 60, इसलिए 1400 rpm यानी 146.61 rad/s। 0.25 मीटर की त्रिज्या पर 2 किलोग्राम का भार और 1400 rpm मिलकर 2 × 146.61² × 0.25 = 10746.9 N देते हैं, जो एक टन से कुछ ज़्यादा बल है।

क्या अपकेंद्रीय बल असली बल है?

उस अर्थ में नहीं जिस अर्थ में गुरुत्व या रस्सी असली है। ज़मीन के ढाँचे में घूमती वस्तु पर सिर्फ़ एक असली बल लगता है, और वह भीतर की ओर, धुरी की तरफ़ — और उसे हमेशा कोई देता है: रस्सी, टायर, ढोल की दीवार। अपकेंद्रीय बल वही असली बल है जब आप हिसाब घूमते ढाँचे में करते हैं: बाहर की ओर दिखने वाला एक ऐसा धक्का जो भीतर वाले असली बल को बराबर कर देता है ताकि उस ढाँचे में कुछ भी त्वरित न हो। परिमाण दोनों तरह सही निकलता है, इसीलिए सूत्र काम का है, पर बाहर धकेलने वाला कोई नहीं है और रोक काट दें तो कुछ बाहर उड़ता नहीं।

rpm दुगना करने पर बल चार गुना क्यों हो जाता है?

क्योंकि F = mω²r में कोणीय वेग का वर्ग लगता है। 1400 से 2800 rpm जाने पर ω दुगना होता है, और 2² = 4, इसलिए जो भार 10.9 kN खींच रहा था वह 43.7 kN खींचने लगता है। उसी क़दम में स्पर्शरेखीय गति सिर्फ़ दुगनी होती है, क्योंकि v = ωr में ω रैखिक है। यही फ़र्क़ बताता है कि स्पिन ड्रायर ढोल की दीवार की रफ़्तार से नहीं, rpm से बताए जाते हैं — और यह भी कि स्पिन चक्र के आख़िरी हिस्से में मशीन सबसे ज़्यादा हिलती है।

rpm को रेडियन प्रति सेकंड में कैसे बदलें?

2π से गुणा कीजिए और 60 से भाग दीजिए, यानी ω = rpm × 0.10472। इससे 1400 rpm = 146.61 rad/s, 2800 rpm = 293.22 rad/s, और 100000 rpm = 10471.98 rad/s मिलता है। इस पेज की फ़ील्ड सीधे rpm लेती है और वह बदलाव ख़ुद कर देती है; rad/s वाला आँकड़ा जानने लायक़ है क्योंकि उसी का वर्ग लगता है, और किरणीय त्वरण तथा बाक़ी घूर्णन-सूत्र उसी में लिखे जाते हैं।

अपकेंद्रीय और अभिकेंद्रीय बल में क्या फ़र्क़ है?

दोनों एक ही परिमाण हैं, दो अलग ढाँचों से देखे हुए, और अभिकेंद्रीय बल वाला पेज rpm के बजाय स्पर्शरेखीय गति से ठीक यही संख्या निकालता है। अभिकेंद्रीय का मतलब है ज़मीन के ढाँचे में भीतर की ओर लगने वाला असली बल — रस्सी का तनाव, टायर और सड़क के बीच घर्षण, वह गुरुत्व जो उपग्रह को थामे रखता है। अपकेंद्रीय का मतलब है घूमते ढाँचे में बाहर की ओर दिखने वाला बल, और अगर आप वह मशीन हैं जो भार उठाए हुए है तो यही काम का है, क्योंकि यही वह भार है जो आपकी बेयरिंग को झेलना है।

असंतुलित वॉशिंग मशीन फ़र्श पर क्यों चलने लगती है?

क्योंकि भार का द्रव्यमान केंद्र अब धुरी पर नहीं बैठता। 0.25 मीटर बाहर बैठा 2 किलोग्राम का असंतुलन 1400 rpm पर क़रीब 10.7 kN खींचता है, और घूमते ढाँचे में यह बल एक तय दिशा में लगता है — यानी फ़र्श से देखने पर वह हर चक्कर में एक बार घूमता है, इसलिए मशीन को एक बार एक तरफ़, फिर उलटी तरफ़, सेकंड में 23 बार धकेला जाता है। फ़र्श और सस्पेंशन उसे स्थिर भार की तरह सोख नहीं पाते, इसलिए मशीन खिसकने लगती है। यह स्पिन की रफ़्तार के वर्ग के साथ बढ़ता है, इसीलिए यह दिक़्क़त चक्र के आख़िर में दिखती है, शुरू में नहीं।

• Centripetal Force (College Physics 2e, §6.3) — the real force in the inertial frame, and the apparent outward force that appears when you do the analysis in the rotating frame — OpenStax
• Centrifugal force — the rotating-frame treatment, the washing machine and centrifuge examples, and why the force vanishes in an inertial frame — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — radians per second as the SI unit of angular velocity, the exact pound and inch factors used above, and standard gravity — National Institute of Standards and Technology