IRR कैलकुलेटर

वह r ढूँढ़िए जिस पर −शुरुआती निवेश + CF₁ ÷ (1+r) + CF₂ ÷ (1+r)² + … + CFₙ ÷ (1+r)ⁿ = 0 हो। दो से ज़्यादा अवधियाँ हों तो r के लिए कोई बीजगणितीय हल नहीं होता, इसलिए अंतराल को सिकोड़ते हुए वह दर निकाली जाती है जिस पर शुद्ध वर्तमान मूल्य दो दशमलव तक शून्य हो जाए।

शुरुआती निवेश

परियोजना पर आज, शुरू करते समय जो ख़र्च आता है। इसे धनात्मक संख्या के रूप में भरा जाता है और समीकरण में घटाया जाता है, ऋणात्मक नक़दी प्रवाह के रूप में नहीं लिखा जाता — इससे चिह्न की परिपाटी सूची में छिपने के बजाय सामने रहती है।

नक़दी प्रवाह

हर अवधि में जो वापस आता है, स्पेस से अलग करके। पहली प्रविष्टि आज से एक अवधि बाद की है, आज की नहीं — शून्यवें दिन मिली रक़म शुरुआती निवेश में घटाकर लिखी जाती है। अवधि आप जो चाहें रख सकते हैं, महीने या साल, बस छूट दर भी उसी अवधि की होनी चाहिए।

छूट दर

इस पेज पर यही आपकी बाधा दर है: आपकी पूँजी पर जो लागत पड़ती है, या उसी जोखिम पर कहीं और से जो प्रतिफल मिल सकता था। यह आंतरिक प्रतिफल दर को ज़रा भी नहीं बदलती। यह तय करती है कि परियोजना बाधा पार करती है या नहीं, इसलिए यही वह संख्या है जो एक दर को जवाब में बदल देती है।

शुद्ध वर्तमान मूल्य

हर भावी वसूली को आपकी दर पर छूट देकर और लागत घटाकर जो बचता है, वही परियोजना का आज का मूल्य है। धनात्मक होने का मतलब है कि वह बाधा से ऊपर है; आंतरिक प्रतिफल दर वह दर है जिस पर यह आँकड़ा शून्य को पार करता है।

आंतरिक प्रतिफल दर

वह छूट दर जिस पर शुद्ध वर्तमान मूल्य शून्य हो जाता है, प्रतिशत में। यह केवल नक़दी प्रवाह का गुण है — एक ही परियोजना की आंतरिक प्रतिफल दर हर बाधा दर पर एक ही रहती है — और इसीलिए दोनों आँकड़े कभी एक-दूसरे से नहीं टकराते, फिर भी अलग सलाह देते दिखते हैं।

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब आप किसी परियोजना की तुलना दूसरी परियोजना से नहीं, बल्कि पूँजी की लागत से करना चाहते हैं — पूँजी बजट की शुरुआत आम तौर पर इसी सवाल से होती है। दर की बात करना आसान है — यह परियोजना 22 प्रतिशत लौटाती है, हमारी पूँजी की लागत 8 है — और यह जानने पर निर्भर नहीं करती कि कितना निवेश करना है, इसलिए लंबी सूची की पहली छँटाई के लिए यह ठीक बैठती है। तीन काम यह नहीं कर सकती। यह आकार के बारे में कुछ नहीं कहती: एक हज़ार की लागत पर दो सौ प्रतिशत लौटाने वाली परियोजना और दस लाख पर पच्चीस प्रतिशत लौटाने वाली परियोजना की आंतरिक प्रतिफल दर एक जैसी हो सकती है, और कौन बेहतर है यह केवल शुद्ध वर्तमान मूल्य बताता है। यह मान लेती है कि हर वसूली अंत तक इसी दर पर दोबारा निवेश होती रहती है, जो बहुत ऊँची दर पर भारी अनुमान है — गणित सही रहता है, उसके साथ जोड़ी गई कहानी आशावादी हो जाती है। और इसे चाहिए कि नक़दी प्रवाह का चिह्न केवल एक बार बदले: पहले ख़र्च, फिर वसूली। किसी बाद की अवधि में भी ख़र्च आ जाए तो समीकरण के एक से ज़्यादा हल हो सकते हैं, और यह पेज ऐसा इनपुट लेने से इनकार करता है, चुपचाप कोई एक जड़ लौटाने के बजाय।

1. 1,00,000 लगाकर छह साल में 2,05,000 वापस, पूँजी की लागत 8 प्रतिशत

   1. कुल वसूली 2,05,000 है जबकि लागत 1,00,000, लेकिन इस तुलना में यह नज़रअंदाज़ हो जाता है कि पैसा कब-कब आया
   2. हर साल को 8 प्रतिशत पर छूट देने से वर्तमान मूल्य 1,53,968.13 बैठता है, जो 1,00,000 की लागत के सामने है, इसलिए शुद्ध वर्तमान मूल्य 53,968.13 है
   3. जिस दर पर शुद्ध वर्तमान मूल्य शून्य हो जाता है वह 22.49 प्रतिशत निकलती है
   4. 22.49, 8 प्रतिशत की बाधा से ऊपर है, इसलिए फ़ैसला स्वीकार का है

   दोनों जवाब साथ पढ़िए। आंतरिक प्रतिफल दर कहती है कि परियोजना 22.49 प्रतिशत तक की पूँजी लागत सँभाल सकती है, और शुद्ध वर्तमान मूल्य कहता है कि 8 प्रतिशत पर यह अपनी लागत से 53,968.13 ज़्यादा की है — एक ही फ़ैसला, एक बार दर के रूप में और एक बार पैसे के रूप में। तीसरा आँकड़ा 2,05,000 इसलिए दिया गया है कि जो छूट देने की मेहनत नहीं करना चाहे वह उसे लागत से घटा ले; यह लागत से 1,05,000 ज़्यादा है, और शून्य बाधा दर पर शुद्ध वर्तमान मूल्य ठीक इतना ही होता।

2. एक ही वसूली: 10,000 लगाकर एक अवधि बाद 12,000 वापस

   1. एक ही अवधि हो तो सीधा सूत्र चलता है: 12,000 ÷ 10,000 − 1 = 20 प्रतिशत
   2. 12,000 को 20 प्रतिशत पर छूट देने से 10,000 बैठता है, जो ठीक लागत है
   3. शुद्ध वर्तमान मूल्य: 10,000 − 10,000 = 0
   4. फ़ैसला ब्रेक-ईवन का है

   यही वह मामला है जिस पर यह पेज अपने हल को परखता है, क्योंकि जवाब हाथ से निकाला जा सकता है। यह वह जगह भी है जहाँ फ़ैसला अजीब लग सकता है: शुद्ध वर्तमान मूल्य 0.00 दिखता है और बैज ब्रेक-ईवन कहता है, अस्वीकार नहीं। जो भी आँकड़ा दो दशमलव तक शून्य पर आ जाए उसे ब्रेक-ईवन कहा जाता है, क्योंकि 0.00 के बगल में छपा अस्वीकार का फ़ैसला गणित की ग़लती जैसा पढ़ा जाता है — और पाठक बैज को इसी दिखने वाले आँकड़े से मिलाकर देखता है।

3. वही परियोजना, 25 प्रतिशत की बाधा पर

   1. आंतरिक प्रतिफल दर 20 प्रतिशत पर वही रहती है — यह बाधा पर निर्भर नहीं करती
   2. 12,000 को 25 प्रतिशत पर छूट देने से 9,600 बैठता है
   3. शुद्ध वर्तमान मूल्य: 9,600 − 10,000 = −400
   4. 20 प्रतिशत, 25 प्रतिशत की बाधा से नीचे है, इसलिए फ़ैसला पलटकर अस्वीकार हो जाता है

   एक ही परियोजना को दो बार चलाने पर पहला आँकड़ा वही रहता है और फ़ैसला उलटा हो जाता है — यह देखने का सबसे साफ़ तरीक़ा है कि कौन-सा आँकड़ा किस काम का है। आंतरिक प्रतिफल दर परियोजना का बयान करती है; बाधा दर आपका बयान करती है। एक को बदलिए और फ़ैसला पलट सकता है, जबकि परियोजना में कुछ भी नहीं बदला।

4. मूल्य गँवाने वाली परियोजना: 10,000 लगाकर 5,000 वापस

   1. फिर एक ही अवधि है, इसलिए सीधा सूत्र चलता है: 5,000 ÷ 10,000 − 1 = −50 प्रतिशत
   2. बिना किसी छूट के भी वसूली लागत से 5,000 कम पड़ती है
   3. शून्य बाधा पर शुद्ध वर्तमान मूल्य: 5,000 − 10,000 = −5,000
   4. फ़ैसला अस्वीकार का है, और ऋणात्मक दर ही ईमानदार बयान है

   ऋणात्मक आंतरिक प्रतिफल दर एक असली जवाब है, कोई ग़लती नहीं: इसका मतलब है कि परियोजना तभी बराबरी पर उतरती जब उसे शून्य से भी कम लागत पर पूँजी मिल जाए, यानी कभी नहीं। यही वह मामला है जो हल की निचली सीमा तय करता है — बॉन्ड यील्ड का हल निकालने वाली शून्य से सौ प्रतिशत की सीमा उधार लेने वाला कोई संस्करण यहाँ −50 लौटाने के बजाय ग़लती दिखा देता।

5. 10,000 लगाकर पाँच साल बाद 1 वापस

   1. पहली चार अवधियों में शून्य लिखना वैध है: कोई नक़द नहीं आता, पर कोई ख़र्च भी नहीं होता
   2. समीकरण बनता है 1 ÷ (1+r)^5 = 10,000 ÷ 10,000, यानी (1+r)^5 = 0.0001
   3. हल से r = −84.15 प्रतिशत निकलती है, −100 प्रतिशत नहीं, क्योंकि वसूली छोटी है पर शून्य नहीं
   4. शून्य बाधा पर शुद्ध वर्तमान मूल्य: 1 − 10,000 = −9,999

   वैध इनपुट जवाब को शून्य से बहुत नीचे धकेल सकते हैं, और पेज को वहाँ तक पहुँचना ही होगा, वरना वह उन आँकड़ों पर भी नाकामी बता देगा जो पूरी तरह परिभाषित हैं। फ़र्क़ याद रखने लायक़ है: इस परियोजना की आंतरिक प्रतिफल दर −84 प्रतिशत है, जबकि जो परियोजना कुछ भी नहीं लौटाती उसकी कोई आंतरिक प्रतिफल दर नहीं होती, क्योंकि किसी भी दर पर कुछ न होने का मूल्य लागत के बराबर नहीं हो सकता।

आंतरिक प्रतिफल दर एक दर है, और दरें आकार छिपा देती हैं। दो परियोजनाओं की दर एक जैसी हो सकती है जबकि दाँव पर लगा पैसा हज़ार गुना का फ़र्क़ रखता हो, इसलिए यह आँकड़ा फ़ैसला नहीं, छँटाई है: जो सूची बाधा पार कर ले, उसकी क्रम-सूची शुद्ध वर्तमान मूल्य से बनती है। यह यह भी मान लेती है कि वसूलियाँ परियोजना के अंत तक इसी आंतरिक प्रतिफल दर पर दोबारा निवेश होती रहती हैं, जो मामूली दर पर ठीक बैठता है और दो सौ प्रतिशत पर खिंचाव लगता है — गणित वैसा ही रहता है, पर यह मानना कि बीच के हर पैसे पर इतनी ही दर मिलेगी, नहीं। नक़दी प्रवाह का चिह्न ठीक एक बार बदलना चाहिए, पहले ख़र्च फिर वसूली; जिस परियोजना के आख़िरी साल में बंद करने का ख़र्च हो उसकी दो गणितीय रूप से वैध दरें हो सकती हैं, और यह पेज कोई एक चुनने के बजाय वह इनपुट लेने से इनकार करता है। दर जोखिम, कर या महँगाई के लिए समायोजित नहीं है, और आपकी दी हुई छूट दर इन सारी धारणाओं को अकेले उठाए हुए है।

आंतरिक प्रतिफल दर क्या होती है?

यह वह छूट दर है जिस पर किसी परियोजना के भावी नक़दी प्रवाह ठीक उतने का होते हैं जितनी परियोजना की लागत — यानी वह दर जिस पर शुद्ध वर्तमान मूल्य शून्य होता है। उस दर से ऊपर परियोजना मूल्य बनाती है; नीचे वह मूल्य गँवाती है। डिफ़ॉल्ट आँकड़ों पर, 1,00,000 लगाकर छह साल में 2,05,000 वापस पाने पर आंतरिक प्रतिफल दर 22.49 प्रतिशत बैठती है, यानी परियोजना 22.49 प्रतिशत तक की पूँजी लागत सँभाल सकती है, उसके बाद नहीं।

यह शुद्ध वर्तमान मूल्य से कैसे अलग है?

दोनों एक ही समीकरण हैं, बस अज्ञात अलग है। शुद्ध वर्तमान मूल्य छूट दर को दिया हुआ मानकर बताता है कि परियोजना कितने की है; आंतरिक प्रतिफल दर मूल्य को शून्य मानकर बताती है कि वह किस छूट दर पर आता है। चूँकि समीकरण एक ही है, दोनों कभी टकरा नहीं सकते: आपकी बाधा से ऊपर की दर और धनात्मक शुद्ध वर्तमान मूल्य एक ही बात है। फ़र्क़ यह है कि चलाने से पहले क्या पता होना चाहिए — शुद्ध वर्तमान मूल्य के लिए आपकी पूँजी लागत चाहिए, जबकि दर बिना उसके भी बताई जा सकती है, इसीलिए दरों की तुलना परियोजनाओं के बीच होती है और शुद्ध वर्तमान मूल्य से उनकी क्रम-सूची बनती है।

बाधा दर क्या रखूँ?

जो इस परियोजना के लिए आपकी पूँजी पर सचमुच पड़ती है: उधार से चलने वाली परियोजना हो तो उधारी की दर, वरना उसी जोखिम पर उसी पैसे से जो प्रतिफल मिल सकता था, और जहाँ कोई नियम दर तय करता हो तो वह प्रकाशित दर। पेज इसे आपके लिए नहीं चुनेगा, और यही वह इनपुट है जिसमें मनमाना होने की सबसे ज़्यादा गुंजाइश है। इसका काम एक ही परियोजना दो बार चलाकर देखा जा सकता है: 20 प्रतिशत बाधा पर बीस प्रतिशत लौटाने वाली परियोजना बराबरी पर रहती है, और 25 प्रतिशत पर वही परियोजना अस्वीकार हो जाती है। बदला सिर्फ़ पैमाना है।

आंतरिक प्रतिफल दर किसी सूत्र से क्यों नहीं निकाली जाती?

क्योंकि कोई सूत्र है ही नहीं। एक ही वसूली पर सीधा हल मिल जाता है — 10,000 पर 12,000 वापस यानी 20 प्रतिशत — लेकिन दो या ज़्यादा अवधियों से समीकरण उसी घात का बहुपद बन जाता है, और किसी भी पुनर्व्यवस्था से दर अलग नहीं होती। इसलिए कैलकुलेटर अंतराल सिकोड़ता है: पहले वह दर ढूँढ़ता है जिस पर शुद्ध वर्तमान मूल्य धनात्मक है और वह जिस पर ऋणात्मक, फिर दोनों के बीच का फ़ासला बार-बार आधा करता जाता है जब तक मूल्य दो दशमलव तक शून्य न हो जाए। इसीलिए पेज अपनी खोज की सीमा को लेकर सतर्क रहता है, क्योंकि −84 प्रतिशत लौटाने वाली परियोजना को भी उसी सीमा के अंदर आना है।

नक़दी प्रवाह में ऋणात्मक संख्या क्यों नहीं हो सकती?

क्योंकि तब जवाब अद्वितीय नहीं रहता। पहले ख़र्च और फिर वसूली वाली परियोजना में दर बढ़ने पर शुद्ध वर्तमान मूल्य लगातार गिरता है, इसलिए शून्य पार करने वाली दर ठीक एक ही होती है और उसे ढूँढ़ना हमेशा कामयाब होता है। किसी बाद की अवधि में ख़र्च डाल दीजिए — पाँचवें साल में बंद करने का बिल — तो वक्र वापस मुड़ सकता है और शून्य को दो बार पार कर सकता है, जिससे दो गणितीय रूप से वैध आंतरिक प्रतिफल दरें बन जाती हैं। पेज ऋणात्मक नक़दी प्रवाह लेने से इनकार करता है और यह बता भी देता है, बजाय इसके कि दो जड़ों में से एक लौटा दे और स्क्रीन पर कुछ भी यह न दिखाए कि दूसरी भी मौजूद है।

आंतरिक प्रतिफल दर ऋणात्मक हो सकती है?

हाँ, और इसका मतलब है कि परियोजना उस पूँजी को भी वापस नहीं करती जो वह खाती है। 10,000 लगाकर 5,000 वापस पाने पर −50 प्रतिशत बैठता है, यानी परियोजना तभी बराबरी पर आती जब पैसे की लागत शून्य से भी कम हो। इसी वजह से पेज जान-बूझकर शून्य के नीचे भी खोजता है: जो कार्यान्वयन शून्य से शुरू होने वाली सीमा उधार ले — जैसा बॉन्ड यील्ड का हल निकालने वाला बेझिझक करता है — वह इन बिल्कुल आम आँकड़ों पर ग़लती बता देता।

आंतरिक प्रतिफल दर ग़लत औज़ार कब होती है?

जब परियोजनाएँ आकार या अवधि में बहुत अलग हों, और जब जवाब इस पर निर्भर करे कि बीच में पैसे का क्या किया जाए। दर आकार नहीं देख सकती, इसलिए शानदार दर वाली छोटी परियोजना पैसे के हिसाब से कहीं ज़्यादा मूल्य बनाने वाली बड़ी परियोजना से आगे दिख सकती है; इसीलिए पूँजी बजट में दर के साथ शुद्ध वर्तमान मूल्य भी रखा जाता है, अकेले दर नहीं। यह चुपचाप यह भी मान लेती है कि वसूलियाँ अंत तक इसी दर पर दोबारा निवेश होती रहती हैं, जो 8 प्रतिशत पर ठीक बैठता है और 200 प्रतिशत पर उम्मीद भरा। जहाँ भी इनमें से कोई बात मायने रखे, वहाँ शुद्ध वर्तमान मूल्य से क्रम लगाइए और दर को छँटाई का औज़ार रखिए।

• Circular A-94, Guidelines and Discount Rates for Benefit-Cost Analysis of Federal Programs (revised November 9, 2023) — section 5a on the decision rule this page's verdict follows: projects with positive discounted net benefits generally increase welfare the most and are preferred, while those with negative discounted net benefits should generally be avoided — Office of Management and Budget, Executive Office of the President (United States)
• Compound Interest — the glossary definition of the growth that discounting runs backwards, which is the whole of the arithmetic behind a present value — Investor.gov, U.S. Securities and Exchange Commission (United States)
• Economic Survey, chapter 9 — Investment and Infrastructure: Strengthening Connectivity, Capacity and Competitiveness: the Government of India's own account of investment, capital expenditure and the Viability Gap Funding scheme, which exists precisely for projects that are economically desirable but do not clear their cost of capital on their own — Ministry of Finance, Government of India