व्युत्क्रम tangent कैलकुलेटर

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) दूसरा हल = θ + 180°

x

tangent का मान, जो कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। यहाँ कुछ भी मना नहीं किया जाता, क्योंकि वृत्त पर कहीं न कहीं tangent हर वास्तविक मान ले लेता है — यही इसे बाक़ी दो व्युत्क्रम फलनों से अलग करता है

θ

फलन जो कोण लौटाता है, हमेशा माइनस नब्बे और नब्बे डिग्री के बीच, पर दोनों सिरों को छोड़कर। दोनों सिरे बाहर हैं क्योंकि उनमें से किसी पर tangent का कोई मान नहीं होता

θ + 180°

वृत्त का वह दूसरा कोण जिसका tangent वही है। tangent हर आधे चक्कर पर दोहराता है, इसलिए साथी जोड़कर मिलता है — किसी अक्ष के आर-पार प्रतिबिंब बनाकर नहीं, जैसा sine और cosine वाले पेजों पर होता है

180° = π rad

डिग्री और रेडियन का रिश्ता, जो परिभाषा है। इसी से 45.00° और 0.7854 rad एक ही कोण बनते हैं, और इसीलिए नब्बे डिग्री की तरफ़ बढ़ता कोण रेडियन में 1.5708 की तरफ़ बढ़ता दिखता है

इस पेज की ओर तब मुड़िए जब जाने वाला अनुपात कोई ढलान हो — ऊँचाई बटा दूरी, किसी सड़क या छत की ढाल, तल में किसी सदिश की दिशा। यही वह व्युत्क्रम फलन है जो किसी मान को बहुत बड़ा होने की वजह से कभी नहीं लौटाता, इसलिए जहाँ पता न हो कि अनुपात एक से ऊपर जाएगा या नहीं, वहाँ यह सुरक्षित चुनाव है। दूसरा मौक़ा तब आता है जब त्रिभुज की जानी हुई दो भुजाएँ वही हों जो समकोण पर मिलती हैं, क्योंकि कोण का tangent सामने की भुजा बटा आसन्न भुजा होता है। दो पड़ोसी पेज याद रखिए: अगर अनुपात सामने की भुजा बटा कर्ण हो तो व्युत्क्रम sine लीजिए, जो माइनस एक से एक की पट्टी में रहता है; और अगर कोण से tangent चाहिए तो tangent वाला पेज उलटी दिशा में चलता है और वहीं यह भी समझाया गया है कि समकोण पर यह अनुपात क्यों फट जाता है।

1. एक का tangent मान

   1. एक हर वास्तविक संख्या की तरह चलता है, कोई पट्टी नहीं
   2. फलन पैंतालीस डिग्री लौटाता है, यानी ठीक आधी ढलान
   3. रेडियन में 0.7854, यानी π का चौथा हिस्सा

   पैंतालीस डिग्री इस अनुपात का सबसे साफ़ बिंदु है, क्योंकि वहाँ सामने की और आसन्न भुजा बराबर होती हैं और भाग ठीक एक आता है। इसी वजह से यह अकेला कोण है जहाँ tangent और cotangent दोनों एक ही आँकड़ा देते हैं। इसका साथी कोण दो सौ पच्चीस डिग्री है, और वह एक-दूसरे का प्रतिबिंब नहीं बल्कि आधे चक्कर की दूरी पर है — दोनों की ढलान एक ही है, इसलिए दोनों दिशाएँ मिलकर एक ही सीधी रेखा बनाती हैं।

2. ऋणात्मक मान, माइनस एक

   1. मान ऋणात्मक है और यह भी बिना रोक के चलता है
   2. फलन माइनस 45.00 डिग्री लौटाता है
   3. रेडियन में भी वही ऋण चलता है: −0.7854

   यहाँ सीमा का निचला आधा हिस्सा काम आता है, क्योंकि मुख्य मान वाली पट्टी माइनस नब्बे से नब्बे तक चलती है और उसका आधा शून्य के नीचे है। ऋणात्मक tangent का मतलब है कि ढलान नीचे की तरफ़ जाती है, और जवाब उसी हिसाब से ऋणात्मक छपता है। इसका साथी कोण एक सौ पैंतीस डिग्री है: दोनों एक ही ढलान हैं, बस उलटी दिशाओं में, और तालिका में यही जोड़ा आमने-सामने दिखता है।

3. 0.5, जो किसी ख़ास कोण का मान नहीं है

   1. आधा किसी 30-45-60 जैसे कोण का tangent नहीं है
   2. फलन 26.57 डिग्री लौटाता है, यानी छब्बीस से ज़रा सा ऊपर
   3. रेडियन में 0.4636 — दोनों ख़ाने एक ही कोण के दो रूप हैं

   किताबों की तालिकाएँ ख़ास कोणों पर रुक जाती हैं और यह मान उनमें नहीं मिलता, इसलिए यह काम कैलकुलेटर का है। जवाब तीस डिग्री से ज़रा सा कम है और यह उम्मीद के मुताबिक़ है, क्योंकि तीस डिग्री का tangent 0.5774 होता है — और यह भी दिखाता है कि अनुपात एक से कम होने पर कोण पैंतालीस से नीचे रहता है। इसका साथी कोण 206.57 डिग्री है, और वह मुख्य कोण से ठीक एक सौ अस्सी डिग्री आगे है।

4. दस लाख, यानी बहुत बड़ा मान

   1. दस लाख भी बिना रोक के चलता है — यहाँ कोई पट्टी नहीं
   2. जवाब नब्बे डिग्री की तरफ़ चढ़ता है और दो दशमलव तक 90.00 छपता है
   3. रेडियन में 1.5708, यानी π बटा दो

   यह पंक्ति इस पेज की सबसे ज़रूरी चेतावनी है। नब्बे डिग्री सीमा में शामिल ही नहीं है, क्योंकि वहाँ tangent का कोई मान नहीं होता; इसलिए जो 90.00 छपा है वह ठीक नब्बे नहीं बल्कि उससे ज़रा सा नीचे का कोण है, जो दो दशमलव तक काटने पर नब्बे जैसा दिखता है। इसे पकड़ने का एक तरीक़ा यह है कि बग़ल वाला रेडियन ख़ाना देखा जाए — जवाब जितना बड़ा होता जाएगा, वह दिखने में उतना ही नब्बे के क़रीब आता जाएगा पर उससे आगे नहीं जाएगा। ठीक नब्बे डिग्री कभी नहीं आती, और यह सीमा की परिभाषा से तय है, किसी गिनती की कमी से नहीं।

तीन बातें यह पेज नहीं करता। पहली, सीमा के दोनों सिरे कभी नहीं लौटाए जाते। नब्बे और माइनस नब्बे डिग्री बाहर हैं क्योंकि वहाँ tangent का कोई मान नहीं होता, इसलिए जवाब उनकी तरफ़ बढ़ता है और पहुँचता नहीं। पर जब मान इतना बड़ा हो जाता है कि फ़र्क़ दो दशमलव के नीचे चला जाए, तो डिग्री वाला ख़ाना 90.00 ही छापता है, और वह पठन काटा हुआ है, ठीक नहीं। इसे अनुमान से नहीं, नाप कर बताया जा सकता है: 10,000 पर जवाब अभी 89.99 छपता है और 11,459 पर भी 89.99, जबकि 11,460 पर वह 90.00 हो जाता है। और उसी पंक्ति में रेडियन वाला ख़ाना 1.5707 छापता है, जबकि π बटा दो 1.5708 है — दोनों ख़ाने एक ही जवाब के हैं और एक ही समय पर सहमत नहीं, जो साफ़ बताता है कि आँकड़ा दोनों सिरों से कुछ पहले ही रुक गया है। दूसरी बात, जवाब सिर्फ़ मुख्य मान है। tangent हर आधे चक्कर पर दोहराता है, इसलिए इस पेज का हर मान पूरे चक्कर में दो कोणों का और चक्करों के हिसाब से अनगिनत कोणों का होता है, और यह पेज माइनस नब्बे से नब्बे के बीच वाला कोण लौटाता है; साथी कोण तालिका के तीसरे ख़ाने में है, और वह ठीक आधे चक्कर की दूरी पर है। तीसरी बात, रेडियन चार दशमलव तक और डिग्री दो दशमलव तक छपती है, इसलिए जो मान काटने के बाद किसी ख़ास कोण पर पड़ता है वह उसी कोण के नाम से छपता है: 1.7321 का व्युत्क्रम tangent 60.00 छपता है, जबकि साठ डिग्री का असली tangent 1.7321 से ज़रा सा कम है और जवाब काटने के बाद ही साठ बनता है।

जब बाक़ी दो फलन एक से ऊपर के मान मना करते हैं, तो यहाँ हर मान क्यों चलता है?

क्योंकि tangent की कोई ऊपरी हद नहीं है। व्युत्क्रम sine और व्युत्क्रम cosine ऐसा अनुपात लेते हैं जिसमें सबसे लंबी भुजा नीचे होती है, इसलिए उनका मान एक से ऊपर नहीं जा सकता; tangent सामने की भुजा बटा आसन्न भुजा है, और इनमें से कोई भी सबसे लंबी नहीं होती, इसलिए अनुपात उतना बड़ा हो सकता है जितना त्रिभुज तीव्र हो। दस लाख का tangent उस दीवार की ढलान है जो अपनी चौड़ाई से दस लाख गुना ऊँची हो।

बहुत बड़ा मान डालने पर ठीक 90 डिग्री ही क्यों छपता है?

कड़े मतलब में यह नब्बे नहीं होता — नब्बे से ज़रा सा नीचे का कोण होता है जो काटने पर नब्बे जैसा छपता है। नब्बे डिग्री सीमा में है ही नहीं, क्योंकि वहाँ tangent का कोई मान नहीं होता: भाग शून्य से चला जाता। मान बढ़ने पर जवाब नब्बे की तरफ़ चढ़ता रहता है और पहुँचता नहीं; नाप कर देखिए तो 10,000 पर 89.99 छपता है और 11,459 पर भी, जबकि 11,460 पर छपा हुआ जवाब 90.00 हो जाता है — और उसी पंक्ति में रेडियन वाला ख़ाना 1.5707 दिखाता है, जबकि π बटा दो 1.5708 है। यानी पठन उस परिशुद्धता पर सही है, और अगर उसे ठीक नब्बे मान लिया जाए तो ग़लत।

दूसरा कोण आधे चक्कर दूर क्यों होता है, प्रतिबिंब क्यों नहीं?

क्योंकि tangent तीन सौ साठ पर नहीं, एक सौ अस्सी डिग्री पर दोहराता है। किसी कोण में आधा चक्कर जोड़ने पर सामने की और आसन्न दोनों भुजाओं के चिह्न उलट जाते हैं, इसलिए उनका भाग वही रहता है। व्युत्क्रम sine और व्युत्क्रम cosine अपना दूसरा हल किसी अक्ष के आर-पार प्रतिबिंब बनाकर ढूँढ़ते हैं, क्योंकि sine और cosine दर्पण प्रतिबिंबों में साझा होते हैं; tangent ऐसा नहीं करता, इसलिए उसका साथी जोड़कर मिलता है, घटाकर नहीं।

tangent के मान से कोण हाथ से कैसे निकालें?

याद रखिए कि एक का tangent पैंतालीस डिग्री है और 1.7321 का साठ, बाक़ी तालिका या कैलकुलेटर से निकाल लीजिए, और वृत्त का दूसरा कोण चाहिए तो एक सौ अस्सी डिग्री जोड़ दीजिए। ढलान के सवालों में, यानी ऊँचाई बटा दूरी में, यही व्युत्क्रम फलन इस्तेमाल होता है, और यही तब भी जब त्रिभुज की जानी हुई दो भुजाएँ वही हों जो समकोण पर मिलती हैं। हाथ से करते समय एक बात याद रखिए: छोटा मान भरने पर जवाब शून्य के क़रीब रहता है और बहुत बड़ा मान भरने पर नब्बे की तरफ़ चला जाता है, पर कभी नब्बे नहीं होता।

ऋणात्मक मान पर जवाब ऋणात्मक क्यों आता है?

क्योंकि सीमा माइनस नब्बे से नब्बे डिग्री तक चलती है और उसका आधा हिस्सा शून्य के नीचे है। ऋणात्मक tangent का मतलब है कि सामने की और आसन्न भुजा के चिह्न अलग हैं, यानी ढलान ऊपर की नहीं नीचे की तरफ़ जाती है, और पेज जवाब को भरने वाले मान के चिह्न के साथ छापता है। साथी कोण, जो आधे चक्कर दूर है, धनात्मक होता है — माइनस पैंतालीस और एक सौ पैंतीस एक ही ढलान हैं, उलटी दिशाओं में।

क्या व्युत्क्रम tangent वही है जो एक बटा tangent होता है?

नहीं। व्युत्क्रम tangent, tangent को उलट देता है: एक डालिए तो पैंतालीस डिग्री लौटाता है। एक बटा tangent, एक से एक बनाता है, जो पैंतालीस डिग्री का cotangent है — यानी एक अनुपात, कोण नहीं। दोनों आँकड़े सिर्फ़ पैंतालीस डिग्री पर एक जैसे लगते हैं, और यही संयोग इस उलझन को इतना टिकाऊ बना देता है।

• Inverse Tangent — the function this page computes, with the open range and the behaviour at large values — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — the three inverse functions together, and why only this one accepts every real number — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the definition of the ratio, its period of half a turn, and the angles at which it has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — the same three functions in plain language, with the range diagrams side by side — Math is Fun (United Kingdom)