व्युत्क्रम cosine कैलकुलेटर

θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] दूसरा हल = 360° − θ

x

वह cosine मान जिससे शुरुआत होती है, माइनस एक से एक के बीच। इस पट्टी के बाहर किसी कोण का cosine नहीं होता, इसलिए वह मान नज़दीकी जवाब बनाकर नहीं दिखाया जाता बल्कि सीधे मना कर दिया जाता है

θ

फलन जो कोण लौटाता है। व्युत्क्रम sine से उलट, यह कभी ऋणात्मक नहीं होता, क्योंकि सीमा दाहिने आधे वृत्त की नहीं बल्कि ऊपरी आधे वृत्त की है — शून्य से एक सौ अस्सी डिग्री तक

360° − θ

वृत्त का वह दूसरा कोण जिसका cosine वही है। क्षैतिज अक्ष के आर-पार का प्रतिबिंब cosine साझा करता है, इसीलिए यहाँ साथी पूरे चक्कर में से घटाकर मिलता है, जबकि व्युत्क्रम sine वाले पेज पर आधे चक्कर में से घटाया जाता है

180° = π rad

डिग्री और रेडियन का रिश्ता, जो परिभाषा है और किसी माप पर नहीं टिका। इसी से 180.00° और 3.1416 rad एक ही कोण बनते हैं, और इसीलिए रेडियन वाला ख़ाना मुख्य कोण का उलटा नहीं, दूसरा रूप है

इस पेज की ओर तब मुड़िए जब हाथ में आसन्न भुजा बटा कर्ण का अनुपात हो और उनके बीच का कोण चाहिए: दीवार से लगी सीढ़ी का कोण, दो सदिशों का बिंदु-गुणनफल निकालकर उनके बीच का कोण, या वह दिशा जो cosine के रूप में दर्ज की गई हो। यही फलन तब भी चाहिए जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों और कोण पूछा जाए, क्योंकि cosine नियम से cosine ही निकलता है और वह वहीं रुक जाता है। दो पड़ोसी पेज याद रखिए। अगर हाथ में सामने की भुजा बटा कर्ण हो, तो वह व्युत्क्रम sine है, जिसकी सीमा दाहिना आधा वृत्त है और जिसका जवाब चिह्न रखता है; दोनों पहले चतुर्थांश में एक ही जवाब देते हैं और उसके बाद अलग-अलग चलते हैं। और अगर कोण से cosine चाहिए, तो cosine वाला पेज उलटी दिशा में चलता है।

1. 0.5 का cosine मान

   1. 0.5 पट्टी के भीतर है, इसलिए कोई इनकार नहीं
   2. फलन मुख्य कोण लौटाता है: साठ डिग्री
   3. वही कोण रेडियन में π का तीसरा हिस्सा है, यानी 1.0472

   साठ डिग्री के दो कोण हैं और यहाँ सिर्फ़ एक छपता है। तीन सौ डिग्री का cosine भी ठीक 0.5 है, और वह ग़लत जवाब नहीं — वह इसी समीकरण का दूसरा जवाब है जिसे फलन देने की इजाज़त नहीं रखता। तालिका उसे तीसरे ख़ाने में दिखाती है, और वहाँ से यह भी निकलता है कि दोनों कोण जोड़ने पर पूरा चक्कर आता है। इसी मान पर व्युत्क्रम sine तीस डिग्री देता है — दोनों जवाब जोड़ने पर नब्बे, और यही इस जोड़ी की सबसे तेज़ जाँच है।

2. ऋणात्मक मान, जो यहाँ ऋणात्मक कोण नहीं देता

   1. मान ऋणात्मक है, पर सीमा ऊपरी आधा वृत्त है
   2. फलन 120.00 डिग्री लौटाता है, न कि −60.00
   3. रेडियन में 2.0944, यानी π का दो-तिहाई

   यह पंक्ति इस पेज और उसके पड़ोसी के फ़र्क़ की सबसे साफ़ मिसाल है। माइनस 0.5 का साथी कोण दो सौ चालीस डिग्री है, और वृत्त पर माइनस साठ डिग्री भी उसी दिशा में इशारा करता है — पर मुख्य मान वाली पट्टी शून्य से एक सौ अस्सी तक है, इसलिए जवाब एक सौ बीस आता है। व्युत्क्रम sine उसी तरह के मान पर ऋणात्मक कोण लौटाता, और यही अंतर है जिसे लोग दोनों पेजों में मिला देते हैं।

3. 0.25, जो किसी ख़ास कोण का मान नहीं है

   1. 0.25 किसी 30-45-60 जैसे कोण का cosine नहीं है
   2. फलन 75.52 डिग्री लौटाता है, यानी पचहत्तर से ज़रा सा ऊपर
   3. रेडियन में 1.3181 — दोनों ख़ाने एक ही कोण के दो रूप हैं

   जवाब नब्बे डिग्री के काफ़ी क़रीब है, और यह उम्मीद के मुताबिक़ है: cosine नब्बे डिग्री पर शून्य होता है, इसलिए छोटा धनात्मक मान लेकर चलने पर कोण नब्बे के पास ही रहता है। किताबों की तालिकाएँ इस मान पर रुक जाती हैं और यह काम कैलकुलेटर का है। ध्यान दीजिए कि ऊपरी आधे वृत्त में cosine घटता है, इसलिए यहाँ 0.25 का कोण 0.5 के कोण से बड़ा है — और यही वजह है कि नीचे की तालिका का जवाब वाला ख़ाना उलटी दिशा में चलता है।

4. माइनस एक, यानी पट्टी का सिरा

   1. माइनस एक इस पट्टी का सबसे छोटा मान है, और यह चलता है
   2. फलन पूरा आधा चक्कर लौटाता है: 180.00 डिग्री
   3. रेडियन में 3.1416, यानी π — और यहीं दोनों कोण वाले ख़ाने मिल जाते हैं

   यह तालिका की अकेली पंक्ति है जहाँ मुख्य कोण और दूसरा कोण दोनों एक सौ अस्सी छापते हैं, और वजह ज्यामिति में है: cosine का न्यूनतम ठीक आधे चक्कर पर है, और न्यूनतम बिंदु का प्रतिबिंब ख़ुद वही बिंदु होता है। दूसरा सिरा इसी बात को उलटे रूप में दिखाता है, जहाँ एक पर दोनों ख़ाने शून्य हैं और उनका जोड़ भी शून्य ही रह जाता है — तालिका की अकेली पंक्ति जहाँ पूरा चक्कर नहीं बनता।

तीन बातें यह पेज नहीं करता। पहली, माइनस एक से एक के बाहर का मान मना कर दिया जाता है, क्योंकि किसी कोण का cosine ऐसा नहीं होता — यह वही हद है जो व्युत्क्रम sine पर है और वजह भी वही है: त्रिभुज की दो भुजाओं का अनुपात, जिसमें हर बार सबसे लंबी भुजा नीचे हो, एक से ऊपर नहीं जा सकता। दूसरी बात, जवाब सिर्फ़ मुख्य मान है। माइनस एक से एक के बीच का हर cosine पूरे चक्कर में दो कोणों का और चक्करों के हिसाब से अनगिनत कोणों का होता है, और यह पेज ऊपरी आधे वृत्त वाला कोण लौटाता है; दूसरा कोण तालिका के तीसरे ख़ाने में है, और वह आगे कितने चक्कर दूर है, यह यहाँ कहीं नहीं आता। तीसरी बात, रेडियन चार दशमलव तक और डिग्री दो दशमलव तक छपती है, इसलिए जो मान काटने के बाद किसी ख़ास कोण पर पड़ता है वह उसी कोण के नाम से छपता है: 0.866 का व्युत्क्रम cosine 30.00 छपता है, जबकि तीस डिग्री का असली cosine 0.866 से ज़रा सा बड़ा है और जवाब काटने के बाद ही तीस बनता है। यह काटने की मजबूरी है, जवाब की ग़लती नहीं, और घोषित सीमा माइनस एक से एक है, इसलिए 1.0000001 जैसा मान भी 1.5 की तरह ही मना हो जाता है।

व्युत्क्रम cosine कभी ऋणात्मक कोण क्यों नहीं देता?

क्योंकि सीमा ऊपरी आधे वृत्त की है, शून्य से एक सौ अस्सी डिग्री तक। ऋणात्मक cosine किसी अधिक कोण का होता है, और यह सीमा उसे नब्बे से ऊपर के कोण के रूप में लौटाती है — न कि व्युत्क्रम sine की तरह शून्य के नीचे मोड़कर। माइनस 0.5 का cosine एक सौ बीस डिग्री पर है, माइनस साठ पर नहीं, भले ही ये दोनों दिशाएँ वृत्त पर एक ही हों।

यह व्युत्क्रम sine से किस तरह अलग है?

सीमा से, और इसीलिए पहले चतुर्थांश से आगे के पूरे बर्ताव से। व्युत्क्रम sine माइनस नब्बे से नब्बे के बीच कोण लौटाता है; व्युत्क्रम cosine शून्य से एक सौ अस्सी के बीच। पट्टी के हर मान पर दोनों जवाब जोड़ने पर नब्बे डिग्री आते हैं, और किसी भी एक की जाँच का यह सबसे तेज़ तरीक़ा है — 0.5 का व्युत्क्रम cosine साठ है और व्युत्क्रम sine तीस। दूसरा हल भी अलग तरह से मिलता है: यहाँ पूरे चक्कर में से घटाया जाता है, वहाँ आधे चक्कर में से।

एक से बड़ा मान भरने पर क्या होता है?

वह मना कर दिया जाता है। कोण चाहे कितना भी हो, उसका cosine माइनस एक और एक के बीच ही रहता है, इसलिए इस फलन की सीमा ठीक वही पट्टी है और उसके बाहर का मान किसी कोण से मेल नहीं खाता। यह वही हद है जो व्युत्क्रम sine पर है और वजह भी वही जगह से आती है: त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा नीचे होती है, इसलिए दो भुजाओं का अनुपात एक से ऊपर नहीं जा सकता।

cosine के मान से कोण हाथ से कैसे निकालें?

याद रखने लायक़ आँकड़े लीजिए — 0.5 पर साठ डिग्री, 0.7071 पर पैंतालीस, और 0.866 पर तीस — और बाक़ी तालिका या कैलकुलेटर से पढ़ लीजिए; 0.25 जैसे मान का कोण 75.52 डिग्री है और वह किसी किताब की तालिका में नहीं मिलता। इसके बाद दूसरा कोण याद रखिए, जो पहले का क्षैतिज अक्ष के आर-पार प्रतिबिंब है और तीन सौ साठ में से घटाकर मिलता है। और जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों, तो यही पेज चाहिए, क्योंकि cosine नियम cosine तक ही ले जाता है।

तालिका उलटी दिशा में क्यों चलती है?

क्योंकि कोण बढ़ने पर cosine घटता है। इस पेज की सीमा में, यानी शून्य से एक सौ अस्सी डिग्री तक, cosine एक से माइनस एक तक गिरता है, इसलिए बड़ा मान भरने पर कोण हमेशा छोटा मिलता है। तालिका ऊपर से नीचे पढ़िए तो मान माइनस एक से एक तक चढ़ता है और उसके बग़ल वाला जवाब एक सौ अस्सी से शून्य तक उतरता जाता है — यह तालिका इस साइट पर अकेली ऐसी है। व्युत्क्रम sine वाला पेज उलटा बर्ताव करता है, और यही फ़र्क़ दोनों वक्रों की शक्ल में भी दिखता है।

क्या व्युत्क्रम cosine वही है जो एक बटा cosine होता है?

नहीं। व्युत्क्रम cosine, cosine को उलट देता है: 0.5 डालिए तो साठ डिग्री लौटाता है। एक बटा cosine, 0.5 से 2 बनाता है, जो साठ डिग्री का secant है — यानी एक अनुपात, कोण नहीं। लिखने का तरीक़ा उलझन बढ़ा देता है, क्योंकि व्युत्क्रम को अक्सर ऊपर छोटा माइनस एक लिखकर दिखाया जाता है, जो देखने में घात जैसा लगता है और घात है नहीं।

• Inverse Cosine — the function this page computes, with its range and the sense in which it decreases — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — all three inverse functions together, with the ranges that separate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and the identity that ties the first two together — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — the same three functions in plain language, with the range diagrams side by side — Math is Fun (United Kingdom)