हुक का नियम कैलकुलेटर

स्प्रिंग बल = स्प्रिंग नियतांक × विस्थापन

k

स्प्रिंग नियतांक, यानी कठोरता, N/m में। यह हर मीटर खिंचाव के पीछे लगने वाला बल है — रिट्रैक्टेबल पेन क़रीब 10 N/m का होता है, स्प्रिंग-तराज़ू 100 N/m का, कार की सस्पेंशन स्प्रिंग 30 N/mm की, और औद्योगिक डाई स्प्रिंग 100 kN/m की। फ़ील्ड kN/m, N/mm और lbf/in भी लेती है, और नीचे की तालिका एक ही कठोरता इनमें से तीन तरह से लिखकर दिखाती है। इसे धनात्मक होना चाहिए: शून्य कठोरता कोई स्प्रिंग नहीं होती

x

विस्थापन, सेंटीमीटर में — यानी स्प्रिंग अपनी आराम की लंबाई से कितनी हिली। फ़ील्ड मीटर, मिलीमीटर और इंच भी लेती है। यह एक माप है, चिह्न वाली राशि नहीं, इसलिए संपीड़न और तनाव में फ़र्क़ नहीं किया जाता: 10 cm खींची गई और 10 cm दबाई गई स्प्रिंग, दोनों वही 10 N से वापस धकेलती हैं, बस दिशा उलटी होती है। शून्य भी एक वैध मान है और उसका मतलब है स्प्रिंग आराम में है

F

स्प्रिंग बल, न्यूटन, किलोन्यूटन, पाउंड-बल और किलोग्राम-बल में। यह वह बल है जो स्प्रिंग लगाती है, और वही बल है जो आपको उसे उसी जगह रोके रखने के लिए लगाना पड़ता है। इस फ़ील्ड को ख़ाली छोड़ दीजिए तो पेज बाक़ी दो से इसे हल कर देता है; इसे किसी एक के साथ भरिए तो तीसरा निकल आता है

इस पेज की ज़रूरत तब है जब आपको ऊर्जा नहीं, पाठ चाहिए: किसी दिए खिंचाव पर स्प्रिंग-तराज़ू कितना ज़ोर लगाएगा, कोई स्प्रिंग दरवाज़ा खुला रखने लायक कड़ी है या नहीं, पूरी डोरी खींचने पर धनुष की डोरी उसकी लचीली भुजाओं पर कितना बल डाल रही है, ज्ञात कोने-भार के नीचे सस्पेंशन स्प्रिंग कितनी दबती है, या किसी तय खिंचाव पर तय बल देने के लिए कठोरता कितनी चाहिए। आख़िरी वाली दिशा इसीलिए बनी है और ज़्यादातर कैलकुलेटर उसमें पीछे रह जाते हैं: तीन में से दो फ़ील्ड ख़ाली छोड़ी जा सकती हैं, और कौन-सी दो भरते हैं इसी से तय होता है कि हल क्या होगा। दो आदतें बना लेने लायक हैं — एक इकाइयों की, दूसरी दायरे की। इकाइयों पर: फ़ील्ड सेंटीमीटर में है और सूत्र को मीटर चाहिए, इसलिए पेज अंदर ही बदल देता है — पर कठोरता किसी विक्रेता की डेटाशीट से N/mm या lbf/in में आ सकती है, और वे N/m से क्रमशः हज़ार गुना और 175 गुना हटी हुई हैं, और नीचे की तालिका ठीक इसी काम की है। दायरे पर: हुक का नियम सिर्फ़ स्प्रिंग की प्रत्यास्थ सीमा तक सच है, और हर असली स्प्रिंग कहीं न कहीं सीधी रेखा छोड़ देती है; उस बिंदु से आगे खींची गई स्प्रिंग इस पेज के बताए बल से कम बल देती है और अपनी पुरानी लंबाई पर वापस नहीं आती। उसी स्प्रिंग में खींचते समय जमा होने वाली ऊर्जा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा वाले पेज पर निकाली जाती है, जहाँ वही दो इनपुट और वही स्प्रिंग है।

1. चूक वाली स्प्रिंग, 10 cm तक खींची गई

   1. कठोरता: 100 N/m। विस्थापन: 10 cm, यानी 0.1 m — सूत्र को मीटर चाहिए
   2. स्प्रिंग बल: 100 × 0.1 = 10 N
   3. बाक़ी दो पंक्तियाँ बस इनपुट दोहरा रही हैं, क्योंकि कुछ हल करना ही नहीं पड़ा
   4. इसकी तुलना उसी स्प्रिंग पर लटकाए 1 kg से कीजिए: वह 9.81 N से खींचेगा और स्प्रिंग को 9.81 cm खींच देगा

   दस न्यूटन एक लीटर पानी का भार है, और 100 N/m का मतलब समझने का इससे तेज़ रास्ता कोई नहीं: इस स्प्रिंग पर एक लीटर की बोतल लटकाइए और वह हर 100 ग्राम पर क़रीब एक सेंटीमीटर खिंचेगी। इस पंक्ति से सीखने लायक दूसरी बात वह इकाई-जाल है जिससे यह गुज़रती है — 10 cm को गुणा करने से पहले 0.1 m बनना पड़ा, और उलटी दिशा में करने पर 1000 N आता है, सौ गुना ज़्यादा। इस पेज की सबसे आम गिनती की ग़लती यही है, और फ़ील्ड पर सेंटीमीटर लिखे होने की वजह भी यही है जबकि सूत्र में सेंटीमीटर नहीं है।

2. बल पता है, कठोरता नहीं: 10 cm पर 25 N

   1. कठोरता वाली फ़ील्ड ख़ाली छोड़िए और बाक़ी दो भरिए: विस्थापन 10 cm, बल 25 N
   2. F = kx को k के लिए पलटिए: k = F ÷ x
   3. पहले इकाई बदलिए: 10 cm = 0.1 m
   4. कठोरता: 25 ÷ 0.1 = 250 N/m

   यह वही दिशा है जिसके लिए यह पेज बना है। बल और दूरी, दोनों रसोई के तराज़ू और फ़ुटे से आसानी से नापे जा सकते हैं, और कठोरता ही वह संख्या है जो सीधे नहीं नापी जा सकती — इसीलिए असल में स्प्रिंग खींचकर बल पढ़ना ही नियतांक निकालने का तरीक़ा है। यही गिनती इम्पीरियल इकाइयों में हर ऑटोमोटिव कैटलॉग की lbf/in दरों की जड़ है: 10 इंच पर 25 lbf का मतलब 2.5 lbf/in। ध्यान दीजिए कि भरी हुई दो फ़ील्ड विस्थापन और बल थीं, फिर भी पेज ने तीनों राशियाँ हल कर दीं, क्योंकि F = kx में तीन चर हैं और कोई भी दो तीसरे को तय कर देते हैं।

3. स्प्रिंग पता है, बल पता है: कितनी हिलेगी?

   1. कठोरता 1000 N/m — कार की सस्पेंशन स्प्रिंग इससे क़रीब 30 गुना कड़ी है, औद्योगिक डाई स्प्रिंग क़रीब 100 गुना
   2. F = kx को x के लिए पलटिए: x = F ÷ k
   3. विस्थापन: 30 ÷ 1000 = 0.03 m
   4. दिखाने के लिए वापस बदला: 3 cm

   जवाब मीटर में निकलता है और पेज उसे सेंटीमीटर में दिखाता है, यानी वही रूपांतरण जो पहले उदाहरण ने उलटी दिशा में किया था। यह देखने लायक है कि खिंचाव कितना छोटा है: 30 N — तीन लीटर पानी का भार — इस स्प्रिंग को सिर्फ़ तीन सेंटीमीटर हिलाता है, जबकि वही 30 N पहले दो उदाहरणों की 100 N/m स्प्रिंग को तीस सेंटीमीटर हिला देता। कठोरता ठीक यही अनुपात है, और इसीलिए कड़ी स्प्रिंग छोटे भार पर अड़ियल लगती है और नरम स्प्रिंग बड़े भार पर बैठ जाती है। कोई भी बेहतर नहीं है; चुनाव इस बात से तय होता है कि तंत्र में कितनी चाल की जगह है।

हुक का नियम एक रैखिक सन्निकटन है और हर असली स्प्रिंग कहीं न कहीं इसे मानना बंद कर देती है। प्रत्यास्थ सीमा के आगे बल kx से धीमे बढ़ता है और स्प्रिंग अपनी पुरानी लंबाई पर वापस नहीं आती, इसलिए डेटाशीट की कठोरता से निकला जवाब सिर्फ़ निर्धारित चाल के भीतर ही मान्य है — जो डाई स्प्रिंग के लिए कुछ मिलीमीटर हो सकती है और धनुष की डोरी के लिए उसकी लंबाई का बड़ा हिस्सा। कुंडलीदार स्प्रिंग अपने दायरे के भीतर भी पूरी तरह रैखिक नहीं होती: दबते-दबते कुंडलियों के सिरे पास आ जाते हैं, इसलिए पूरी संपीड़न के नज़दीक प्रभावी कठोरता बढ़ जाती है, और बहुत ज़्यादा खींची गई स्प्रिंग पूरी तरह सीधी हो जाती है। यह पेज स्प्रिंग को द्रव्यमानहीन और घर्षणहीन मानता है, जो ऐसी स्प्रिंग के लिए ग़लत है जो ख़ुद भारी हो या किसी छड़ पर सरकती हो। यह संपीड़न और तनाव में फ़र्क़ नहीं करता, न आगे-पीछे की दिशा में, क्योंकि नमूना सचमुच नहीं करता: अगर आपका काम इसी फ़र्क़ पर टिका है, तो वह इस समीकरण में नहीं रहता। फ़ील्डों के काम करने के तरीक़े में भी एक व्यावहारिक जाल है। चूँकि पहली दो फ़ील्ड शुरू से भरी आती हैं, कठोरता हल करने का इरादा रखने वाले को पहले उनमें से एक ख़ाली करनी पड़ती है — अगर वे मौजूदा मानों के ऊपर कोई बल टाइप कर दें, तो पेज चुपचाप नया मान लेने के बजाय बताएगा कि संख्याएँ आपस में नहीं मिलतीं, जो जानबूझकर है पर लोगों को चौंका देता है। और जवाब में ऊर्जा नहीं है: स्प्रिंग को यहाँ तक खींचने में किया गया काम ½kx² है, जो F × x से बड़ा निकलता है क्योंकि बल पूरे रास्ते अपने आख़िरी मान पर नहीं था।

हुक का नियम सूत्र क्या है?

F = kx: स्प्रिंग बल बराबर स्प्रिंग नियतांक गुणा विस्थापन। 100 N/m की स्प्रिंग 10 cm (0.1 m) खींचने पर 100 × 0.1 = 10 N से वापस खींचती है। यह संबंध रैखिक है, इसलिए विस्थापन दुगुना तो बल भी दुगुना, और यह दोनों दिशाओं में चलता है — खींचने और दबाने दोनों में — इसीलिए स्प्रिंग को तराज़ू की तरह इस्तेमाल किया जा सकता है। स्प्रिंग की गिनती में जो मशहूर वर्ग दिखता है वह जमा ऊर्जा ½kx² का है, बल का नहीं।

अगर स्प्रिंग नियतांक सीधे नापा न जा सके तो कैसे निकालें?

स्प्रिंग पर ज्ञात भार लटकाइए, नापिए कि वह कितनी खिंची, और भाग दीजिए। 2 kg का द्रव्यमान 19.62 N का बल देता है; अगर स्प्रिंग 4 cm खिंचे तो k = 19.62 ÷ 0.04 = 490.5 N/m। दो सावधानियाँ। नाप आराम की लंबाई और भार वाली लंबाई के बीच लीजिए, स्प्रिंग के ऊपरी सिरे से नहीं, और पाठ तब लीजिए जब स्प्रिंग ठहर जाए, झूलते हुए नहीं। अगर स्प्रिंग इतनी कड़ी है कि आपके पास मौजूद भार से नापने लायक नहीं खिंचती, तो और भार डालिए या उत्तोलक लगाइए — गिनती वही रहती है, और 4 cm खिंचाव पर 1 mm की नाप की अनिश्चितता ही जवाब की सीमा तय करती है।

तीन में से कौन-सी दो फ़ील्ड भरनी चाहिए?

कोई भी दो, और पेज तीसरी हल कर देता है। कठोरता और विस्थापन से बल मिलता है, जो आम दिशा है। विस्थापन और बल से कठोरता मिलती है, और स्प्रिंग दर असल में इसी तरह नापी जाती है। कठोरता और बल से चाल मिलती है, जो तंत्र की माप तय करते समय चाहिए होती है। तीनों सिर्फ़ तब भरिए जब आप उन्हें एक-दूसरे से जाँचना चाहते हों: अगर वे मेल न खाएँ तो पेज किसी एक को चुनने के बजाय यही बताता है, क्योंकि एक ही स्क्रीन पर नतीजे में एक बल दिखाना जो इनपुट बॉक्स के बल से उलटा हो, ग़लती का संदेश दिखाने से बदतर है।

N/m, N/mm और lbf/in में क्या फ़र्क़ है?

ये एक ही कठोरता लिखने के तीन तरीक़े हैं, और इनके बीच के गुणक बड़े हैं। 1 N/mm बराबर 1000 N/m, क्योंकि बल और लंबाई दोनों हज़ार गुना हो जाते हैं। 1 lbf/in लगभग 175.13 N/m है, और यह गोल संख्या नहीं है क्योंकि न पाउंड-बल मीट्रिक तंत्र से परिभाषित है, न इंच। इसका व्यावहारिक नतीजा यह है कि 30 N/mm बताई गई स्प्रिंग 30000 N/m की होती है — तीसरे उदाहरण की 1000 N/m स्प्रिंग से तीस गुना कड़ी, तीस गुना नरम नहीं — और इम्पीरियल कैटलॉग से बिना बदले उतारी गई दर 175 गुना की ग़लती लेकर आती है।

स्प्रिंग दबाई गई है या खींची गई, इससे फ़र्क़ पड़ता है?

इस समीकरण के लिए नहीं। F = kx विस्थापन का परिमाण लेता है, इसलिए 10 cm दबाई गई और 10 cm खींची गई स्प्रिंग, दोनों एक ही परिमाण से वापस धकेलती हैं — बस बल की दिशा उलटी होती है। असली स्प्रिंग पूरी तरह सममित नहीं होती: कुंडली को ऐसे लपेटा जा सकता है कि संपीड़न में वह थोड़ा अलग बर्ताव करे, और बहुत ज़्यादा दबाई गई स्प्रिंग की कुंडलियाँ एक-दूसरे से टकराकर जाम हो जाती हैं, जिसके बाद वह लगभग कठोर हो जाती है और यह समीकरण लागू होना बंद कर देता है। निर्धारित चाल के भीतर, दोनों दिशाओं को एक जैसा मानना ही नमूना है और ज़्यादातर काम के लिए उतना ही सटीक है।

जमा ऊर्जा ½kx² है, kx² क्यों नहीं?

क्योंकि स्प्रिंग को खींचते समय बल अपने आख़िरी मान पर नहीं होता — वह शून्य से शुरू होकर बराबर बढ़ता है, इसलिए पूरी चाल पर औसत बल आख़िरी बल का आधा रहता है, और काम बराबर औसत बल गुणा दूरी। इसे गुणा करके निकालिए तो ½kx² आता है। यही वजह है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उसका आधार गुणा ऊँचाई का आधा होता है। यह पेज वह संख्या जानबूझकर नहीं दिखाता: स्प्रिंग में जमा ऊर्जा अपनी अलग गिनती और अपने हल किए उदाहरणों वाला विषय है, और एक ही स्क्रीन पर रैखिक पद के बग़ल में वर्ग वाला पद रखने से पाठक को लगने लगता है कि दोनों एक ही सूत्र के दो नतीजे हैं।

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — the linear region, the spring constant, and where real springs leave the straight line — OpenStax
• Hooke's law — the force-displacement relation, the elastic limit, and why the constant is a property of the spring rather than of the material — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the newton, the pound-force and kilogram-force factors, and the unit prefixes used by the stiffness field and the reference table — National Institute of Standards and Technology