गुरुत्वाकर्षण बल कैलकुलेटर

गुरुत्वाकर्षण बल = G × m₁ × m₂ / r²

G

गुरुत्वाकर्षण नियतांक, 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²। यह भौतिकी का सबसे कम सटीकता से नापा गया नियतांक है — अनुशंसित मान की आपेक्षिक अनिश्चितता 2.2 × 10⁻⁵ है, जो अगले सबसे कम ज्ञात नियतांक से चार कोटि या उससे भी ज़्यादा बदतर है — इसलिए इस पेज के किसी भी जवाब के आख़िरी अंक मायने नहीं रखते, और कोई भी इनपुट इसे नहीं बदल सकता

m₁

पहली वस्तु का द्रव्यमान, किलोग्राम में। यह फ़ील्ड ग्राम, टन और पाउंड भी लेती है, और यह द्रव्यमान होना चाहिए, भार नहीं: यहाँ दो 70 kg के लोग महज़ दो मात्राएँ हैं। यह धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि जिसमें द्रव्यमान ही न हो वह कोई गुरुत्व बल नहीं लगाती

m₂

दूसरी वस्तु का द्रव्यमान, उन्हीं इकाइयों में और उसी नियम के तहत। सूत्र में दोनों द्रव्यमान गुणा होते हैं, इसलिए वे अदल-बदलने योग्य हैं — उन्हें आपस में बदलने से कुछ नहीं बदलता, इसीलिए पेज को यह बताने की ज़रूरत ही नहीं कि कौन कौन है

r

दोनों द्रव्यमान-केंद्रों के बीच की दूरी, मीटर में, न कि उनकी सतहों के बीच का अंतराल। ज़मीन से 400 km ऊपर का उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से 6771 km दूर है, और समीकरण को यही दूसरी संख्या चाहिए। यह फ़ील्ड किलोमीटर, सेंटीमीटर, फुट और मील भी लेती है, और इसे धनात्मक होना चाहिए

F

दोनों वस्तुओं का एक-दूसरे पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल, न्यूटन में और पाउंड-बल में, वैज्ञानिक संकेतन में। यह एक बल है, दो नहीं: पृथ्वी आपको 687 N से खींचती है और आप पृथ्वी को उलटी दिशा में 687 N से। दूसरी पंक्ति उसी संख्या का रूपांतरण है, दूसरा नतीजा नहीं

इस पेज का इस्तेमाल तब कीजिए जब आपके पास दो द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी हो और खिंचाव चाहिए: चंद्रमा को उसकी कक्षा में थामे रखने वाला बल, किसी उपग्रह और उसके इर्द-गिर्द घूमते ग्रह के बीच का आकर्षण, क्या प्रयोगशाला के दो द्रव्यमानों के बीच का गुरुत्व बल नापा भी जा सकता है (नहीं — वह क़रीब 10⁻⁷ N है, और इसीलिए वह प्रयोग 1798 तक नहीं हुआ), या किसी पिंड का अपना द्रव्यमान और अपनी त्रिज्या इसी समीकरण में डालकर उसका सतही गुरुत्व क्या निकलेगा। आख़िरी वाली बात ही नीचे की तालिका है: आठ पिंड, इसी तरह निकाला गया उनका सतही गुरुत्व, और यही वह संख्या है जो तय करती है कि हर एक पर आपका वज़न कितना होगा। जवाब पर भरोसा करने से पहले दो बातें देख लीजिए। पहली, r केंद्र-से-केंद्र की दूरी है: त्रिज्या की जगह ऊँचाई डाल देना बल को बहुत बढ़ा-चढ़ाकर बताता है, 400 km पर क़रीब 290 गुना, जबकि ऊँचाई को पूरी तरह छोड़कर सिर्फ़ पिंड की त्रिज्या लेने से वह दस प्रतिशत से कुछ ज़्यादा कम आता है, और यह अंतर ऊँचाई के साथ बढ़ता जाता है। दूसरी, सूत्र हर वस्तु को एक बिंदु मान लेता है, जो गोलों के लिए बिल्कुल ठीक है और r की तुलना में छोटी हर चीज़ के लिए अच्छा सन्निकटन — पर लगभग छूती हुई दो वस्तुएँ इसके दायरे से बाहर हैं।

1. एक मीटर की दूरी पर दो 70 kg के लोग

   1. द्रव्यमान: 70 kg और 70 kg, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 1 m
   2. द्रव्यमानों का गुणनफल: 70 × 70 = 4900 kg²
   3. दूरी का वर्ग: 1² = 1 m²
   4. बल: 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3.2704 × 10⁻⁷ N
   5. पाउंड-बल में: 3.2704 × 10⁻⁷ ÷ 4.4482 = 7.352 × 10⁻⁸ lbf

   एक माइक्रोन्यूटन का तिहाई, और यही वह जवाब है जो पूरा विषय ज़मीन पर उतार देता है: एक-दूसरे के पास खड़े दो लोग क़रीब उतने बल से खींच रहे हैं जितना कुछ दसियों माइक्रोग्राम पदार्थ तौलता है, और रोज़मर्रा की कोई चीज़ इसे ज़ाहिर नहीं करती। देखिए कि गणना घातांक से कभी बाहर नहीं निकलती — 4900 महज़ चार अंकों का है, और जवाब को छोटा करने वाला गुणक 10⁻¹¹ है। गुरुत्व का कमज़ोर होना इसी मायने में है: ऐसा नहीं कि नियतांक बाक़ी संख्याओं की तुलना में छोटा है, बल्कि यह कि वह हर उस चीज़ की तुलना में छोटा है जितना द्रव्यमान कोई मनुष्य बना सकता है।

2. पृथ्वी और चंद्रमा

   1. द्रव्यमान: पृथ्वी का 5.972 × 10²⁴ kg, चंद्रमा का 7.342 × 10²² kg
   2. केंद्रों के बीच की दूरी: 384400 km = 3.844 × 10⁸ m
   3. द्रव्यमानों का गुणनफल: 5.972 × 10²⁴ × 7.342 × 10²² = 4.3846 × 10⁴⁷ kg²
   4. दूरी का वर्ग: (3.844 × 10⁸)² = 1.4776 × 10¹⁷ m²
   5. बल: 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.3846 × 10⁴⁷ ÷ 1.4776 × 10¹⁷ = 1.980 × 10²⁰ N
   6. पाउंड-बल में: 1.980 × 10²⁰ ÷ 4.4482 = 4.452 × 10¹⁹ lbf

   1.98 × 10²⁰ N लगभग 200 एक्ज़ान्यूटन है, और यही वह आँकड़ा है जिससे लोगों को लगता है कि गुरुत्व बलवान है — यह वह बल है जो 384000 km दूर किसी पिंड को हर महीने एक मोड़ मुड़वाता है। इसकी तुलना पिछले उदाहरण से कीजिए और पूरा सबक़ घातांकों में है: द्रव्यमान क़रीब 10⁴⁴ गुना बढ़े, दूरी क़रीब 3.8 × 10⁸ गुना (यानी वर्ग करने पर 1.5 × 10¹⁷), और बल 10⁴⁴ ÷ 10¹⁷ = 10²⁷ गुना। दोनों गणनाओं के बीच नियम में कुछ नहीं बदला; बदला सिर्फ़ इतना कि दोनों तरफ़ कितना पदार्थ था।

3. पृथ्वी और उस पर खड़ा 70 kg का व्यक्ति

   1. सूत्र जो दूरी माँगता है वह पृथ्वी की औसत त्रिज्या है: 6371 km = 6.371 × 10⁶ m, न कि आपके पैरों के नीचे की ज़मीन तक की दूरी
   2. द्रव्यमानों का गुणनफल: 5.972 × 10²⁴ × 70 = 4.1804 × 10²⁶ kg²
   3. दूरी का वर्ग: (6.371 × 10⁶)² = 4.05896 × 10¹³ m²
   4. बल: 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4.1804 × 10²⁶ ÷ 4.05896 × 10¹³ = 687.398 N
   5. पाउंड-बल में: 687.398 ÷ 4.4482 = 154.533 lbf

   यह वही 687 N है जिसे आपका बाथरूम तराज़ू 70 kg बताकर दिखाता है, और यह साफ़ रहे कि तराज़ू असल में बल नाप रहा है और 9.8 से भाग देकर द्रव्यमान छाप रहा है। यह इस पेज की अकेली पंक्ति भी है जो साधारण संकेतन में बैठती है: जवाब 10⁻³ और 10⁶ के बीच है, इसलिए पेज उसे 6.874 × 10² लिखने के बजाय 687.398 ही छोड़ता है। और यह आँकड़ा जानबूझकर थोड़ा कम है — इसमें औसत त्रिज्या ली गई है, इसलिए भूमध्य रेखा पर खड़ा व्यक्ति ध्रुव पर खड़े व्यक्ति से केंद्र से 21 km ज़्यादा दूर है, और यह अकेला आँकड़ा दोनों का औसत है।

सबसे बड़ी सीमा नमूने में नहीं, नियतांक में है। G क़रीब चार सार्थक अंकों तक ज्ञात है — CODATA का अनुशंसित मान 6.67430 है जिसमें आख़िरी दो अंकों में 15 की अनिश्चितता है, यानी 2.2 × 10⁻⁵ की आपेक्षिक अनिश्चितता — और यह भौतिकी का सबसे कम अच्छी तरह नापा गया नियतांक है, अगले सबसे कम ज्ञात नियतांक से चार कोटि या उससे भी ज़्यादा बदतर। इसलिए इस पेज के हर जवाब का चौथा अंक सजावट है: 1.980 × 10²⁰ N असल में 1.98 × 10²⁰ N है, और ज़्यादा सटीक द्रव्यमान लिखने से यह नहीं सुधरेगा। इसके अलावा, यह समीकरण दोनों वस्तुओं को बिंदु मान लेता है, जो सिर्फ़ गोलों के लिए बिल्कुल ठीक है; यह बाक़ी हर बल को छोड़ देता है, इसलिए यह नहीं बताता कि दोनों पिंड असल में कक्षा में हैं या एक-दूसरे की ओर गिर रहे हैं; यह सामान्य आपेक्षिकता को छोड़ देता है, जो बुध के सूर्य-निकटतम बिंदु के लिए और किसी कृष्ण विवर के आसपास की हर चीज़ के लिए मायने रखती है; और यह मान लेता है कि द्रव्यमान स्थिर हैं, जो किसी रॉकेट या वाष्पित होते धूमकेतु पर लागू नहीं होता। छोटे सिरे पर यह नमूना अपनी मंज़िल सीमा से बाहर भी इस्तेमाल हो रहा है: एक मिलीमीटर की दूरी पर रखी दो वस्तुएँ बिंदु मानकर ठीक से नहीं बताई जातीं, और दो परमाणुओं के बीच का आकर्षण इस समीकरण का नहीं बल्कि रसायन शास्त्र का विषय है, इसीलिए दूरी वाली फ़ील्ड 1 mm पर रुक जाती है। आख़िर में, तालिका का सतही गुरुत्व औसत त्रिज्याएँ लेता है और मान लेता है कि पिंड एक परिपूर्ण गोला है जो घूमता नहीं, इसलिए पृथ्वी की पंक्ति 9.80665 m/s² के परिभाषित मानक मान के बजाय 9.82 m/s² पर आती है।

गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र क्या है?

F = G × m₁ × m₂ / r², जिसमें G गुरुत्वाकर्षण नियतांक 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² है, दोनों m किलोग्राम में द्रव्यमान हैं, और r उनके केंद्रों के बीच की दूरी मीटर में। एक मीटर की दूरी पर दो 70 kg के लोग 6.6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3.270 × 10⁻⁷ N देते हैं। हर में आया r² ही इसे व्युत्क्रम-वर्ग नियम बनाता है: दोनों वस्तुओं को दुगुनी दूर कर दीजिए और बल आधे के बजाय चौथाई रह जाता है।

दो लोगों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल इतना कम क्यों होता है?

क्योंकि G ख़ुद छोटा है: 6.6743 × 10⁻¹¹, जो 1 से ग्यारह कोटि नीचे है। दूसरी दिशा में काम करने वाली अकेली चीज़ द्रव्यमान है, और 70 kg प्रति व्यक्ति कोई बड़ा द्रव्यमान नहीं है। वही समीकरण एक तरफ़ ग्रह रखकर लगाइए और घातांक पलट जाता है: पृथ्वी और चंद्रमा एक-दूसरे को 1.98 × 10²⁰ N से खींचते हैं। इन दोनों हालतों में नियम में कुछ भी अलग नहीं है — गुरुत्व कमज़ोर है, और उसे बलवान दिखाने के लिए एक पूरे ग्रह भर का पदार्थ चाहिए, इसीलिए जो बल सौरमंडल को जोड़े रखता है वही बल दो लोगों को एक-दूसरे की ओर नहीं खींच पाता।

r सतहों के बीच की दूरी है या केंद्रों के बीच की?

हमेशा केंद्रों के बीच की। पृथ्वी पर खड़े व्यक्ति के लिए r पृथ्वी की त्रिज्या है, 6371 km, शून्य नहीं। 400 km ऊपर के उपग्रह के लिए r 6771 km है, 400 km नहीं — ऊँचाई एक सतही दूरी है और उसमें त्रिज्या जोड़नी पड़ती है। यह जवाब ग़लत करने का सबसे आम तरीक़ा है, और ग़लती का आकार देखने लायक है: त्रिज्या की जगह 400 km की ऊँचाई लिख देने से बल क़रीब 290 गुना बड़ा आता है, जबकि ऊँचाई पूरी तरह छोड़कर 6371 km ही लेते रहने पर भी वह क़रीब 12 प्रतिशत बड़ा ही रहता है।

सतही गुरुत्व क्या है और यहाँ कैसे निकाला जाता है?

सतही गुरुत्व वह त्वरण है जो कोई पिंड अपनी सतह पर खड़ी चीज़ को देता है, g = GM/R², और यह वही गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र है जिसमें दूसरा द्रव्यमान 1 और r पिंड की अपनी त्रिज्या रख दी जाए। इस पेज की तालिका आठ पिंडों के लिए ठीक यही करती है: चंद्रमा 1.62 m/s² पर आता है, पृथ्वी 9.82 m/s² पर, और सूर्य 274 m/s² पर। यही संख्या तय करती है कि वहाँ आपका वज़न कितना होगा — 70 kg के व्यक्ति को पृथ्वी पर 687 N चाहिए, चंद्रमा पर 113 N, और सूर्य पर क़रीब 19 kN, इसीलिए सूर्य पर उतरने का सवाल तापमान उठने से पहले ही तय हो जाता है।

यह गणना कितनी सटीक है?

क़रीब चार सार्थक अंकों तक, और सीमा गणित की नहीं बल्कि नियतांक की है। G भौतिकी का सबसे कम सटीकता से ज्ञात नियतांक है: अनुशंसित मान 6.67430 है जिसमें आख़िरी दो अंकों में 15 की अनिश्चितता है, यानी 2.2 × 10⁻⁵ की आपेक्षिक अनिश्चितता, जो अगले सबसे कम ज्ञात नियतांक से चार कोटि या उससे भी ज़्यादा बदतर है। इसलिए 1.980 × 10²⁰ N को 1.98 × 10²⁰ N पढ़िए, और द्रव्यमान दस अंकों तक लिखने से पाँचवाँ सार्थक अंक नहीं जुड़ेगा। इनपुट के द्रव्यमान और दूरियाँ आम तौर पर इससे भी ढीली होती हैं — पृथ्वी का द्रव्यमान क़रीब 10⁵ में एक भाग तक ज्ञात है, और यहाँ इस्तेमाल हुई संख्या आपके अक्षांश की त्रिज्या नहीं बल्कि औसत त्रिज्या है।

क्या भारी वस्तु ज़्यादा ज़ोर से खींचती है, या दोनों बराबर?

बराबर। सूत्र में दोनों द्रव्यमान गुणा होते हैं, इसलिए आप पर पृथ्वी का बल और पृथ्वी पर आपका बल, दोनों वही 687 N हैं, उलटी दिशाओं में — ऐसा कोई अर्थ नहीं जिसमें पृथ्वी ज़्यादा ज़ोर से खींचती हो। फ़र्क़ इस बात में है कि वह बल करता क्या है: 687 N आपको 9.82 m/s² से त्वरित करता है और पृथ्वी को 1.15 × 10⁻²² m/s² से, इसीलिए आप गिरते हैं और ग्रह दिखने में हिलता नहीं। इसी तर्क से इस पेज को दो बलों की जोड़ी नहीं, सिर्फ़ एक दूरी और एक जवाब चाहिए।

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — the inverse-square law, the value of G, and the Cavendish experiment that first measured it — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — centre-to-centre distance, the shell theorem for spherical bodies, and the range over which the point-mass idealisation holds — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended 6.67430(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology