दीर्घवृत्त कैलकुलेटर
नतीजा
क्षेत्रफल
- परिमाप
- 25.5270 cm
- उत्केंद्रता
- 0.8000
दीर्घवृत्त कैलकुलेटर अंडाकार के दोनों अक्ष लेकर तीन आँकड़े लौटाता है: वह जितनी सतह घेरता है, उसके किनारे के चारों ओर की दूरी, और वह गोल होने से कितना हटा हुआ है। पहले दो सेंटीमीटर में आते हैं — क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में, परिमाप सीधे सेंटीमीटर में — और तीसरा बिलकुल नंगी संख्या है, बिना किसी इकाई के। दीर्घवृत्त वह बन जाता है जब किसी वृत्त को एक दिशा में दूसरी से ज़्यादा खींच दिया जाए, और दोनों अक्ष वही दो दिशाएँ हैं। दीर्घ अक्ष लंबा वाला है, जो केंद्र से होकर एक सिरे से दूसरे सिरे तक जाता है; लघु अक्ष छोटा वाला है, उस पर समकोण बनाता हुआ। दोनों में से आधे को अर्ध-अक्ष कहते हैं, और यह फ़र्क़ यहाँ मायने रखता है क्योंकि मानक सूत्र अर्ध-अक्षों में लिखे जाते हैं जबकि यह पेज पूरी लंबाइयाँ माँगता है: दोनों खाने वही लेते हैं जो फ़ीता किसी मेज़ के ऊपर या किसी दौड़ के पथ पर आपको देगा, और आधा करने का काम भीतर हो जाता है। क्षेत्रफल वह अकेला आँकड़ा है जिसका सूत्र हर कोई बिना मदद लगा सकता है। यह π गुणा दोनों अर्ध-अक्ष है, जो वृत्त के क्षेत्रफल जैसा ही व्यंजक है — बस ध्यान दीजिए कि वृत्त तो वह दीर्घवृत्त है जिसके दोनों अक्ष बराबर हैं। अगर आपके दोनों नाप बराबर निकलें, तो यह पेज और वृत्त का क्षेत्रफल वाला पेज ठीक-ठीक एक ही जवाब देंगे, और यहाँ का परिमाप भी परिधि वाले पेज जितना ही आएगा — संदर्भ तालिका की पहली कतार इसी जाँच के लिए रखी है। परिमाप वह आँकड़ा है जिसके साथ चेतावनी ज़रूरी है। क्षेत्रफल के उलट, दीर्घवृत्त के चारों ओर की दूरी ऐसे सूत्र से नहीं लिखी जा सकती जिसमें आम क्रियाएँ गिनी-चुनी बार लगें; वह एक दीर्घवृत्तीय समाकल है, और संख्या निकालने का अकेला काम का रास्ता कोई अनुमान है। यहाँ जो लगाया गया है वह रामानुजन का दूसरा अनुमान है, जो इतना सटीक है कि जिस किसी दीर्घवृत्त को आप नाप सकें उसके लिए चार दशमलव तक कोई फ़र्क़ नहीं दिखता — पर यह अनुमान है, और दोनों सिरों पर इसका बर्ताव ख़ास है। जब दोनों अक्ष बराबर हों तो यह ठीक-ठीक सही होता है, क्योंकि सूत्र के दोनों सिरे एक-दूसरे को काट देते हैं। और जब लघु अक्ष सिकुड़कर शून्य की तरफ़ जाए तो दीर्घवृत्त चपटा होकर एक रेखाखंड बन जाता है, और अनुमान ज़रा कम आता है: दीर्घ अक्ष 10 और लघु अक्ष 0 पर सही किनारा 20 होना चाहिए और यह पेज 19.992 छापता है। उत्केंद्रता तीसरा आँकड़ा है और वह जिसकी किसी को उम्मीद नहीं होती। यह 0 से 1 के बीच की एक अकेली संख्या है जो बताती है कि दीर्घवृत्त वृत्त होने से कितना दूर है: 0 वृत्त है, और 1 के जितना क़रीब जाएगा, दीर्घवृत्त उतना चपटा होगा। इसकी कोई इकाई नहीं, क्योंकि यह अनुपात है — सेंटीमीटर में नापिए या मील में, यह संख्या वही रहती है — और पेज इसीलिए इसे बिना इकाई के छापता है। तीनों आँकड़े अलग-अलग तरह से बढ़ते हैं, और तालिका यह एक ही जोड़ी कतारों में दिखा देती है। दोनों अक्ष दुगुने कर दीजिए तो क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है, किनारा सिर्फ़ दुगुना, और उत्केंद्रता ज़रा भी नहीं हिलती, क्योंकि उन्हीं अनुपातों वाला बड़ा दीर्घवृत्त वही आकृति है। इसीलिए किसी तस्वीर को बड़ा करने से उसमें दिखने वाली चीज़ नहीं बदलती, और इसीलिए किसी कक्षा की शक्ल बताने के लिए उत्केंद्रता काफ़ी है जबकि उसका नाप बताने के लिए अक्ष चाहिए। एक काम पेज आपके लिए नहीं करेगा: वह आपके दोनों नाप सुधारकर सीधे नहीं करेगा। अगर छोटा अक्ष बड़े वाले खाने में डाला जाए तो वह चुपचाप बदलने के बजाय बता देता है और रुक जाता है — जो पेज आपके आँकड़े अपनी मर्जी से क्रम में लगा दे, वह स्क्रीन पर दिख रहे आँकड़े को उसके ऊपर लिखे नाम से अलग कर देता है, और आपको पता भी न चलता।
आम दीर्घवृत्त: दोनों अक्षों से क्षेत्रफल, परिमाप और उत्केंद्रता
| दीर्घ अक्ष (cm) | लघु अक्ष (cm) | क्षेत्रफल (cm²) | परिमाप (cm) | उत्केंद्रता |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 10 | 78.5398 | 31.4159 | 0 |
| 10 | 8 | 62.8319 | 28.3617 | 0.6 |
| 10 | 6 | 47.1239 | 25.527 | 0.8 |
| 20 | 12 | 188.4956 | 51.054 | 0.8 |
| 10 | 4 | 31.4159 | 23.0131 | 0.9165 |
| 10 | 2 | 15.708 | 21.01 | 0.9798 |
| 10 | 1 | 7.854 | 20.3196 | 0.995 |
| 10 | 0 | 0 | 19.992 | 1 |
आठ दीर्घवृत्त और पाँच स्तंभ, जिनमें दोनों अक्ष भीतर जाते हैं और तीन आँकड़े बाहर आते हैं। पहली कतार वृत्त है और यही वह कतार है जिसे दूसरे पेजों से मिलाकर जाँचा जा सकता है: 10 बटा 10 का दीर्घवृत्त त्रिज्या 5 का वृत्त है, इसलिए उसका क्षेत्रफल 78.5398 वही है जो वृत्त के क्षेत्रफल वाला पेज छापता है और परिमाप 31.4159 वही जो परिधि वाला पेज छापता है। दूसरी कतार ज़्यादा गोल अंडाकार है, 10 बटा 8, जिसकी उत्केंद्रता 0.6 है — ढेर सारी असली चीज़ों की शक्ल, रेसट्रैक से लेकर अंडाकार मेज़ तक। तीसरी कतार वही जोड़ा है जिसके साथ पेज खुलता है, 10 बटा 6, जिसकी उत्केंद्रता ठीक 0.8 है। चौथी कतार वही दीर्घवृत्त है जिसके दोनों अक्ष दुगुने कर दिए गए हैं, और तीनों आँकड़े तीन अलग तरह से जवाब देते हैं — क्षेत्रफल चार गुना बड़ा, परिमाप दुगुना, और उत्केंद्रता जस की तस — और यही पूरी वजह है कि उत्केंद्रता नाप से अलग बताई जाती है। पाँचवीं और छठी कतार उसी 10 सेंटीमीटर वाले दीर्घ अक्ष को और चपटा करती हैं, पहले 4 और फिर 2 तक, और दिखाती हैं कि उत्केंद्रता अपनी सीमा की तरफ़ चढ़ती जाती है जबकि परिमाप मुश्किल से हिलता है। सातवीं कतार 10 बटा 1 है, जहाँ परिमाप 20.3196 और उत्केंद्रता 0.995 हो जाती है। आख़िरी कतार वह अपवाद है जहाँ दीर्घवृत्त सिकुड़कर रेखाखंड रह गया है: क्षेत्रफल शून्य है और उत्केंद्रता अपनी सीमा 1 पर पहुँच गई है, और परिमाप वाले स्तंभ में 19.992 है जहाँ सही मान ठीक 20 है — यही सबसे बड़ी ग़लती है जो अनुमान इस पूरी तालिका में कहीं करता है। यह भी ग़ौर कीजिए कि आख़िरी दो कतारों का परिमाप लगभग एक जैसा है — 20.3196 और 19.992 — जबकि एक पतला दीर्घवृत्त है और दूसरा सीधी रेखा, क्योंकि आकृति इतनी पतली हो जाने के बाद किनारे की लंबाई लघु अक्ष पर जवाब देना बंद कर देती है।
फ़ॉर्मूला
A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)
- a
- दीर्घ अक्ष का आधा — अर्ध-दीर्घ अक्ष। यह पेज पूरा दीर्घ अक्ष माँगता है और उसे आधा कर देता है, क्योंकि फ़ीता वही देता है; सूत्र अर्ध-अक्षों में लिखा है क्योंकि हमेशा वही लिखा जाता है
- b
- लघु अक्ष का आधा। जब b और a बराबर हों तो दीर्घवृत्त वृत्त है, और क्षेत्रफल का सूत्र जाने-पहचाने πr² में बदल जाता है, जहाँ r किसी भी अर्ध-अक्ष के लिए खड़ा होता है
- πab
- क्षेत्रफल। नीचे वाले परिमाप के उलट यह ठीक-ठीक सही है — दोनों अर्ध-अक्षों को गुणा कीजिए, π से गुणा कीजिए, और जवाब उतने दशमलव तक मिल जाता है जितने तक आप गिनना चाहें
- h
- यह नाप कि दोनों अर्ध-अक्ष कितने असमान हैं, जो उनके अंतर के वर्ग को उनके योग से भाग देकर निकलती है। वृत्त के लिए यह 0 है और दीर्घवृत्त के रेखा की तरफ़ चपटा होने पर 1 की तरफ़ बढ़ती है, और परिमाप का अनुमान इसी राशि पर खड़ा है
- P
- दीर्घवृत्त का परिमाप, सेंटीमीटर में। इसका कोई सीधा-सादा बंद रूप नहीं है, इसलिए यह रामानुजन का दूसरा अनुमान है: दोनों अक्ष बराबर हों तो ठीक-ठीक, और लघु अक्ष शून्य की तरफ़ बढ़े तो ज़रा कम
- e = √(1 − b² ÷ a²)
- उत्केंद्रता, 0 से 1 के बीच की नंगी संख्या, बिना किसी इकाई के। वृत्त के लिए यह 0 है और दीर्घवृत्त के चपटा होने पर 1 की तरफ़ बढ़ती है, और यही वह नाप है जो खगोलशास्त्री और चश्मे बनाने वाले तब बताते हैं जब सिर्फ़ शक्ल मायने रखती है, नाप नहीं
- चार दशमलव स्थान
- पाठ कितना चौड़ा छपते हैं। क्षेत्रफल भीतर से ठीक-ठीक है; परिमाप एक अनुमान है; और उत्केंद्रता अनुपात है, इसलिए लगभग गोल दीर्घवृत्त पर उसके शुरुआती अंक ही लगभग सारी जानकारी रखते हैं
जो भी अंडाकार नापना पड़े वह सबसे सीधा मामला है: ऐसी गोल मेज़ जो निकली गोल नहीं, अंडाकार आइना या गलीचा या बेसिन, दौड़ का पथ या रेसट्रैक जिसके दोनों सीधे हिस्से और दोनों मोड़ उसके अक्षों से बयान होते हैं, अंडाकार सम्मेलन मेज़, दोनों सिरों से गोल तरणताल, और अंडाकार कटाव वाला तस्वीर का फ़्रेम या मैट। इनमें से हर जगह क्षेत्रफल वह है जो सामग्री की मात्रा या ढकने के हिसाब को चाहिए, और किनारे की लंबाई वह जिससे फ़्रेम, किनारे की पट्टी या घेरने वाला तार ख़रीदा जाता है। भूदृश्य और निर्माण में यह अंडाकार क्यारियों, मुड़ी फ़र्शबंदी, दीर्घवृत्तीय आँगन और उस हर आकृति के लिए इस्तेमाल होता है जो दो कीलों के बीच डोरी तानकर खींची जाती है — ज़मीन पर दीर्घवृत्त बनाने का यही मानक तरीक़ा है। बनाने-बिगाड़ने में यह अंडाकार छेदों, अंडाकार नलियों, चपटी की गई पाइप और ऐसी हर चीज़ की काट के लिए आता है जिसे खींचकर या दबाकर अंडाकार बनाया गया हो; वहाँ उत्केंद्रता मायने रखती है क्योंकि एक ही क्षेत्रफल वाले दो अंडाकार साफ़ अलग शक्ल के हो सकते हैं और उनमें से सिर्फ़ एक ही किसी फ़िटिंग में बैठेगा। खगोलशास्त्र में उत्केंद्रता ही सबसे ज़्यादा मायने रखने वाला अंक है: ग्रहों की कक्षाएँ दीर्घवृत्त हैं जिनके एक नाभि पर सूर्य होता है, और उत्केंद्रता बताती है कि हर कक्षा वृत्त के कितने क़रीब है — पृथ्वी की 0.0167 और किसी धूमकेतु की उससे कहीं ज़्यादा। प्रकाशिकी में यह उन अंडाकार सपाट दर्पणों के लिए आती है जो दूरबीन में प्रकाश का रास्ता मोड़ते हैं, जहाँ दर्पण के अक्ष उसके झुकाव के कोण से तय होते हैं, और चिकित्सा में यह वाहिकाओं और कक्षों की काट तथा विकिरण-चिकित्सा में इस्तेमाल होने वाले अंडाकार क्षेत्रों के लिए आती है। सांख्यिकी में यह विश्वास-दीर्घवृत्त की शक्ल है, जिसके अक्ष दो मानक विचलनों से आते हैं और जिसका क्षेत्रफल ढकाव बताता है। कक्षा में यह इस बात का प्रदर्शन है कि वृत्त किसी ज़्यादा आम चीज़ का ख़ास मामला है — दो आलपिनों के चारों ओर धागे का फंदा लपेटिए, पेंसिल से उसे खींचकर घुमाइए, और जैसे-जैसे आलपिनें दूर होती जाएँगी आकृति बदलती जाएगी जबकि परिमाप ठीक फंदे जितना ही रहेगा, और यह अपने आप में ग़ौर करने लायक़ बात है। और रोज़मर्रा के हिसाब में यह बताता है कि अंडाकार गलीचा फ़र्श ढकेगा या नहीं, अंडाकार मेज़पोश में कितना कपड़ा लगेगा, और अंडाकार क्यारी को कितने किनारे की पट्टी की ज़रूरत होगी।
हल किए हुए उदाहरण
10 चौड़ा और दूसरी तरफ़ 6 का दीर्घवृत्त
- दोनों को आधा कीजिए: अर्ध-दीर्घ अक्ष 5, अर्ध-लघु अक्ष 3
- क्षेत्रफल: π × 5 × 3 = 47.1239 वर्ग सेंटीमीटर
- उत्केंद्रता: √(1 − 3² ÷ 5²) = √0.64 = 0.8
- परिमाप: h = ((5 − 3) ÷ (5 + 3))² = 0.0625, जिससे π × 8 × 1.0157… = 25.527 सेंटीमीटर
वही जोड़ा जिसके साथ पेज खुलता है, और यह इसलिए चुना गया है कि उत्केंद्रता ठीक 0.8 निकलती है — ऐसा अंक जिसे पढ़ने वाला हाथ से जाँच सकता है और जो इस आँकड़े का मतलब साफ़-साफ़ दिखा देता है। क़दम आधा करने से शुरू होते हैं, और यही वह क़दम है जो दोनों खाने छिपा लेते हैं: 10 को 6 से और फिर π से गुणा करने पर क्षेत्रफल चार गुना आता, और इस पेज की सबसे आम ग़लती वही है।
वही दीर्घवृत्त दुगुना: 20 बटा 12
- दोनों को आधा कीजिए: 10 और 6
- क्षेत्रफल: π × 10 × 6 = 188.4956 — पिछले उदाहरण का चार गुना
- उत्केंद्रता: √(1 − 36 ÷ 100) = 0.8, ज़रा भी नहीं बदली
- परिमाप: 51.054 — पिछले उदाहरण का दुगुना
दोनों अक्ष दुगुने, और तीनों आँकड़े तीन अलग तरह से जवाब देते हैं। क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है, किनारा सिर्फ़ दुगुना, और उत्केंद्रता ज़रा भी नहीं हिलती। आकृति में कुछ नहीं बदला, और उत्केंद्रता यही कह रही है — वह अनुपात बताती है, नाप नहीं, इसीलिए कक्षाओं की तुलना करने में वही इस्तेमाल होती है।
भेस बदला हुआ वृत्त: 10 बटा 10
- दोनों को आधा कीजिए: अर्ध-अक्ष 5 और 5
- क्षेत्रफल: π × 5 × 5 = 78.5398 वर्ग सेंटीमीटर
- उत्केंद्रता: √(1 − 25 ÷ 25) = 0
- परिमाप: अनुमान यहाँ π × 10 × 1 = 31.4159 सेंटीमीटर बन जाता है
बराबर अक्षों वाला दीर्घवृत्त वृत्त है, और इस कतार की जाँच दो और पेजों से हो सकती है। 10 बटा 10 का दीर्घवृत्त त्रिज्या 5 का वृत्त है, और 78.5398 वही क्षेत्रफल है जो वृत्त के क्षेत्रफल वाला पेज उस त्रिज्या के लिए छापता है, जबकि 31.4159 वही परिधि है जो परिधि वाला पेज और दोनों तरफ़ वाला बदलाव पेज दोनों छापते हैं। परिमाप का अनुमान यहाँ क़रीब-क़रीब नहीं बल्कि ठीक-ठीक सही है, और यह उसे चुनने की दो वजहों में से एक है।
बहुत चपटा दीर्घवृत्त: 10 बटा 2
- दोनों को आधा कीजिए: 5 और 1
- क्षेत्रफल: π × 5 × 1 = 15.708 वर्ग सेंटीमीटर
- उत्केंद्रता: √(1 − 1 ÷ 25) = 0.9798
- परिमाप: 21.01 सेंटीमीटर — दीर्घ अक्ष पर जाकर वापस आने वाले 20 से क़रीब बीसवाँ हिस्सा ज़्यादा
0.9798 की उत्केंद्रता सीमा के क़रीब है, और यही वह कतार है जो बताती है कि उत्केंद्रता किसी चीज़ का प्रतिशत नहीं है। उस आकृति के चारों ओर 21.01 का किनारा, जिसका सबसे लंबा फैलाव 10 है, दिखाता है कि बहुत चपटा दीर्घवृत्त उस सीधी रेखा से कितनी कम दूरी जोड़ता है जिसकी तरफ़ वह सिकुड़ रहा है — पाँच प्रतिशत, आधा नहीं।
पूरी तरह चपटा: 10 बटा 0
- दोनों को आधा कीजिए: 5 और 0
- क्षेत्रफल: π × 5 × 0 = 0 — आकृति सिकुड़कर रेखाखंड रह गई है और कुछ नहीं घेरती
- उत्केंद्रता: √(1 − 0 ÷ 25) = 1, यानी सीमा
- परिमाप: 19.992 सेंटीमीटर — और यहीं अनुमान अपनी अकेली ख़राबी दिखाता है
वह सिरा जिसके बारे में पेज ईमानदार है। लघु अक्ष शून्य होने पर दीर्घवृत्त 10 लंबा एक रेखाखंड बन जाता है, इसलिए सही किनारा 20 है — अर्ध-दीर्घ अक्ष का दुगुना, जाइए और वापस आइए। अनुमान 19.992 छापता है, यानी 0.008 कम। दीर्घवृत्तीय समाकल के बजाय किसी सूत्र का इस्तेमाल करने की पूरी क़ीमत यही है, और इस पेज पर अनुमान इससे बड़ी ग़लती कहीं नहीं करता।
सीमाएँ
यह पेज दीर्घवृत्त को सिर्फ़ उसके दोनों अक्षों से निकालता है और कुछ नहीं: यह क्षेत्रफल या परिमाप लेकर अक्ष वापस नहीं निकालता, नाभियाँ या नाभि-दूरी नहीं देता, किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा या अभिलंब नहीं देता, और कुछ बनाता भी नहीं। दोनों अक्ष ज़रूरी हैं, और छोटा वाला लघु अक्ष वाले खाने में ही डालना है; लंबा आँकड़ा वहाँ डालिए तो पेज बताता है कि दोनों में से लंबा दीर्घ अक्ष वाले खाने में जाता है, चुपचाप बदल देने के बजाय। दोनों बराबर हो सकते हैं, जो वृत्त है, और दोनों शून्य भी हो सकते हैं, जो एक बिंदु है। कोई भी ऋणात्मक नहीं हो सकता। परिमाप ठीक-ठीक आँकड़ा नहीं बल्कि एक अनुमान है — रामानुजन का दूसरा अनुमान, जो दोनों अक्ष बराबर हों तो ठीक-ठीक है और लघु अक्ष के शून्य की तरफ़ जाने पर ज़रा कम, जहाँ दीर्घ अक्ष 10 और लघु अक्ष 0 पर सही 20 के सामने 19.992 आता है। जिस दीर्घवृत्त को आप सचमुच नाप सकें, उसके लिए यह ग़लती चौथे दशमलव तक कभी नहीं पहुँचती, और इस पेज पर इससे ज़्यादा सटीक आँकड़ा पाने का कोई रास्ता नहीं है क्योंकि सही परिमाप एक दीर्घवृत्तीय समाकल है। उत्केंद्रता की कोई इकाई नहीं है, क्योंकि वह दो लंबाइयों का अनुपात है और इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता कि उन्हें किसमें नापा गया था; जो भी इसके आगे कोई इकाई छापे, वह ग़लत है। दोनों अक्ष सेंटीमीटर, मीटर, मिलीमीटर, इंच या फ़ुट लेते हैं और सेंटीमीटर वाले दोनों पाठ किसी भी इकाई में डाले जाने पर सेंटीमीटर में ही लौटते हैं, क्योंकि बदलाव भीतर आते समय हो जाता है; इंच में नापा गया क्षेत्रफल लंबाई के गुणक के वर्ग से बदलता है, यानी 6.4516 से, 2.54 से नहीं। चार दशमलव स्थान लिखने की चौड़ाई है, परिशुद्धता का दावा नहीं, और यह याद रखने लायक़ है कि लगभग गोल दीर्घवृत्त पर उत्केंद्रता छोटी होती है और उसके शुरुआती अंक ही लगभग सारी जानकारी रखते हैं। यहाँ घुमाए हुए दीर्घवृत्त का कोई हिसाब नहीं है, और ऐसे किसी अंडाकार का भी नहीं जो सचमुच दीर्घवृत्त न हो — अंडे की शक्ल और स्टेडियम की शक्ल दोनों अंडाकार दिखती हैं और दोनों दीर्घवृत्त नहीं हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
- दोनों खाने पूरे अक्ष लेते हैं या आधे अक्ष?
- पूरे अक्ष — जो भी फ़ीता आपको किसी अंडाकार के एक सिरे से दूसरे सिरे तक दे। सूत्रों में दोनों में से आधे लगते हैं, इसलिए पेज ख़ुद उन्हें आधा कर देता है; आधा करने का काम खानों में डाल देने का मतलब होता कि आपसे ही आपके नाप लिखने से पहले दो से भाग लिया जाए। यह इस पूरे हिसाब का अकेला छिपा हुआ क़दम है, इसीलिए हर हल किया हुआ उदाहरण उसे नाम लेकर शुरू होता है।
- परिमाप ठीक-ठीक क्यों नहीं है?
- क्योंकि दीर्घवृत्त के चारों ओर की दूरी का ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसे आम क्रियाओं में लिखा जा सके — वह एक दीर्घवृत्तीय समाकल है, और उससे बचने का कोई रास्ता नहीं। पेज रामानुजन का दूसरा अनुमान लगाता है, जो दोनों अक्ष बराबर हों तो ठीक-ठीक है और दीर्घवृत्त के चपटा होने पर ज़रा कम; सिरे पर, दीर्घ अक्ष 10 और लघु अक्ष 0 पर यह 19.992 देता है जहाँ सही जवाब 20 है। जिस दीर्घवृत्त को आप फ़ुटे से नाप सकें, उसके लिए यह फ़र्क़ छपे हुए चौथे दशमलव तक कभी नहीं पहुँचता।
- उत्केंद्रता असल में क्या बताती है?
- यह कि दीर्घवृत्त वृत्त होने से कितना दूर है, 0 से 1 के बीच की एक अकेली संख्या के रूप में। शून्य पूरा वृत्त है और आकृति के चपटा होने के साथ यह संख्या बढ़ती है। इसकी कोई इकाई नहीं क्योंकि यह दो लंबाइयों का अनुपात है, इसलिए सेंटीमीटर में नापिए या मील में, यह वही रहती है — इसीलिए ग्रहों की कक्षाओं की शक्ल तुलना करने में यही इस्तेमाल होती है, जिनके नाप बेतहाशा अलग हैं और शक्लें नहीं।
- अक्ष दुगुने करने पर क्षेत्रफल बदला पर उत्केंद्रता क्यों नहीं?
- क्योंकि उत्केंद्रता शक्ल बताती है और क्षेत्रफल नाप, और दोनों अक्ष दुगुने करने से इनमें से सिर्फ़ एक बदलता है। दोनों दुगुने कीजिए तो क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है और किनारा सिर्फ़ दुगुना, जबकि उत्केंद्रता ठीक वहीं रहती है जहाँ थी। बड़ा किया हुआ दीर्घवृत्त वही शक्ल है, और जो संख्या शक्ल बताती है उसके हिलने की कोई वजह नहीं।
- मैंने लंबा नाप छोटे खाने में डाला। बदल देने के बजाय ग़लती क्यों?
- क्योंकि बदल देने से स्क्रीन पर ऐसा आँकड़ा आ जाता जो उस खाने के ऊपर लिखे नाम से मेल नहीं खाता जिससे वह आया, और आपको पता भी न चलता कि ऐसा हुआ। पेज बताता है कि लंबा नाप किस खाने में जाता है और फ़ैसला आप पर छोड़ देता है — एक ही सुधार में बात ठीक हो जाती है, और वह आपका ही नाप रहता है, पेज का नहीं बन जाता।
- क्या यह वृत्त के क्षेत्रफल वाले पेज जैसा ही है?
- जिस दीर्घवृत्त के दोनों अक्ष बराबर हों उसके लिए यह उससे ठीक-ठीक मेल खाता है, और तालिका की पहली कतार वही मामला है: 10 बटा 10 का दीर्घवृत्त त्रिज्या 5 का वृत्त है, और दोनों पेज क्षेत्रफल के लिए 78.5398 तथा चारों ओर की दूरी के लिए 31.4159 छापते हैं। बाक़ी किसी भी दीर्घवृत्त पर वृत्त वाला पेज लागू ही नहीं होता, क्योंकि वृत्त का एक ही नाप होता है और दीर्घवृत्त के दो।
संदर्भ
- Ellipse — the curve, its semimajor and semiminor axes, the area πab, and the perimeter as a complete elliptic integral with Ramanujan's approximations — Wolfram MathWorld (United States)
- Eccentricity — what the number means and how it runs from 0 for a circle towards 1 for a fully flattened ellipse — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the case an ellipse reduces to when its two axes are equal, and the reason the first row of the table agrees with two other pages on this site — Wolfram MathWorld (United States)