प्रभावी वार्षिक दर क्या होती है?

यह वह है जो हर अवधि पर लगने वाली दर साल भर में बन जाती है, जब हर अवधि के ब्याज पर भी ब्याज लगता है। महीने का 1 प्रतिशत साल का 12.683 प्रतिशत है, 12 प्रतिशत नहीं, क्योंकि दूसरे महीने का ब्याज उस बकाये पर लगता है जिसमें पहले महीने का ब्याज जुड़ चुका है। प्रभावी वार्षिक दर यह हिसाब रखती है; नाममात्र वार्षिक दर प्रति अवधि दर को बारह से गुणा करके मिलती है, जो खुलासे की परंपरा का आँकड़ा है और चक्रवृद्धि को पूरी तरह अनदेखा करती है।

प्रति अवधि दर से प्रभावी वार्षिक दर कैसे निकालूँ?

प्रति अवधि दर में एक जोड़िए, उसे साल की अवधियों की घात तक उठाइए, और एक घटाइए। महीने का 1 प्रतिशत यानी 1.01 की बारहवीं घात घटा एक, जो 0.126825 है, यानी 12.683 प्रतिशत। यही सूत्र जमा खाते पर सालाना प्रतिशत प्रतिफल भी बनाता है — अवधि एक साल की हो तो दोनों एक ही राशि हैं, और इस पेज के इनपुट वही हैं जो आपके पास विज्ञापन के बजाय ब्यौरा पढ़ते समय होते हैं।

लगातार चक्रवृद्धि का विकल्प क्यों नहीं है?

क्योंकि प्रति अवधि दर को एक अवधि चाहिए। लगातार चक्रवृद्धि वह सीमा है जिसकी ओर अवधि शून्य की तरफ़ सिकुड़ते हुए जाती है, इसलिए शुरू करने के लिए "प्रति अवधि लगने वाली दर" जैसी कोई चीज़ बचती ही नहीं — प्रभावी वार्षिक दर तब भी होती है, और वह उस पेज पर लगातार वाली सीमा बनकर दिखती है जो नाममात्र वार्षिक दर से शुरू करता है। इस पेज पर आवृत्तियों की सूची पाँच पर रुकती है, और छठी का न होना इनपुट का गुण है, कोई छूटी हुई सुविधा नहीं।

क्या नाममात्र वार्षिक दर और सालाना प्रतिशत दर एक ही हैं?

दोनों एक ही तरह निकाले जाते हैं — प्रति अवधि दर गुणा साल की अवधियाँ — पर सालाना प्रतिशत दर में शुल्क भी जुड़ता है, और यह पेज कोई शुल्क नहीं जोड़ता। बिना शुल्क वाले ऋण पर दोनों मिल जाते हैं, इसीलिए यहाँ का नाममात्र आँकड़ा किसी ऋण खुलासे की जाँच का काम का ज़रिया है। जिस ऋण पर शुरुआती शुल्क लगे, वहाँ सालाना प्रतिशत दर यहाँ छपने वाली नाममात्र वार्षिक दर से ऊँची होगी, और वह फ़र्क़ ही शुल्क है।

क्या दोनों दरों के बीच का अंतर दर के साथ बढ़ता है?

हाँ, और तेज़ी से। नाममात्र 6 प्रतिशत पर महीने-दर-महीने अंतर 0.168 प्रतिशत अंक है; 12 प्रतिशत पर महीने-दर-महीने 0.683; 18.25 प्रतिशत पर रोज़-रोज़ 1.766; और दिन के आधे प्रतिशत पर — नाममात्र 182.5 प्रतिशत — प्रभावी दर 517.465 प्रतिशत और अंतर 334.965 अंक होता है। इन स्तरों पर चक्रवृद्धि दर के वर्ग के अनुपात में बढ़ती है, इसलिए दुगनी होती दर अंतर को दुगना नहीं बल्कि लगभग चौगुना कर देती है।

दो ऋणों की तुलना में कौन सी दर देखूँ?

प्रभावी वार्षिक दर, अगर किसी भी ऋण पर शुल्क न हो, क्योंकि दोनों में से यही अकेली है जो यह हिसाब रखती है कि ब्याज कितनी बार चक्रवृद्धि होता है — और जमा पर यह सालाना प्रतिशत प्रतिफल जैसी ही राशि है। अगर किसी भी ऋण पर शुल्क हो तो सालाना प्रतिशत दर बेहतर तुलना है, क्योंकि वह उसी रेखीय सालाना बनाने पर टिकी है जो यहाँ नाममात्र आँकड़े के रूप में छपती है, और शुल्क भी समेटती है। मासिक दर बताने वाले ऋण की तुलना सालाना दर बताने वाले ऋण से उनकी नाममात्र दरों पर करना वही ग़लती है जिसे रोकने के लिए यह पेज बना है।

EAR कैलकुलेटर

नतीजा

12.683%

प्रभावी वार्षिक दर (APY, %)

नाममात्र वार्षिक दर (%): 12.000%
प्रभावी दर से अंतर (%): 0.683%

EAR कैलकुलेटर वहीं से शुरू होता है जहाँ ब्यौरा आपको छोड़ देता है: उस दर से जो हर अवधि पर असल में लगती है। महीने का 1 प्रतिशत भरिए, या महीने का 0.5 प्रतिशत, या दिन का 0.05 प्रतिशत, और बताइए कि साल भर में ऐसी कितनी अवधियाँ आती हैं — पेज तीन चीज़ें लौटाता है: वह प्रभावी वार्षिक दर जो इस प्रति अवधि दर से साल भर में बनती है, वह नाममात्र वार्षिक दर जो प्रति अवधि दर को अवधियों की संख्या से गुणा करके मिलती है, और इन दोनों के बीच का अंतर। इस पेज को देखने की असली वजह यही तीसरा आँकड़ा है। महीने का 1 प्रतिशत लेने वाला कार्ड उस रेखीय अर्थ में साल का 12 प्रतिशत लेता है जो खुलासे की परंपरा में लिखा जाता है, और उस अर्थ में साल का 12.683 प्रतिशत लेता है जो बताता है कि साल भर की असल क़ीमत क्या है — क्योंकि हर महीने का ब्याज उसी बकाये में जुड़ जाता है जिस पर अगले महीने का ब्याज लगता है। इन दोनों संख्याओं के बीच का 0.683 प्रतिशत अंक ही चक्रवृद्धि है, और अवधि छोटी होने पर यह लोगों की उम्मीद से तेज़ बढ़ती है। नाममात्र आँकड़े को 6 प्रतिशत पर स्थिर रखिए: महीने का 0.5 प्रतिशत चक्रवृद्धि होकर 6.168 प्रतिशत बनता है, जबकि दिन का 0.05 प्रतिशत — रेखीय हिसाब से वही साल का 18.25 प्रतिशत — चक्रवृद्धि होकर 20.016 प्रतिशत बन जाता है, यानी 1.766 अंकों का अंतर। दोनों पैनल पर हैं, और दूसरा ही बात समझाता है: अवधि जितनी छोटी, ब्याज पर ब्याज उतनी ही बार लगता है, और छोटी प्रति अवधि दरों पर यह असर पूरे पैसे में छोटा दिखता है पर दर के मुक़ाबले बड़ा होता है। सूत्र वही है जो जमा के खुलासे में सालाना प्रतिशत प्रतिफल के लिए इस्तेमाल होता है — वह इसी राशि का दूसरा नाम है: प्रति अवधि दर जमा एक, साल की अवधियों की घात, घटा एक। इनपुट के बारे में दो बातें साफ़ कह देनी चाहिए। यह पेज लगातार चक्रवृद्धि का विकल्प नहीं देता, और यह छूट नहीं है — प्रति अवधि दर अपने आप में एक अवधि मान लेती है, इसलिए जब चक्रवृद्धि कभी रुकती ही न हो तो "प्रति अवधि लगने वाली दर" जैसी कोई चीज़ होती ही नहीं; वह लगातार वाली सीमा उस पेज पर एक आउटपुट के रूप में दिखती है जो नाममात्र वार्षिक दर से शुरू करता है। और यहाँ आवृत्तियों की सूची इसी वजह से छह पर नहीं, पाँच पर रुकती है। यह पेज अपने पड़ोसियों के बीच कहाँ बैठता है, यह इस पर निर्भर है कि आपके पास पहले से क्या है। अगर आपके हाथ में ब्यौरा है तो आपके पास प्रति अवधि दर है और यही पेज है। अगर आपके हाथ में विज्ञापन है तो आपके पास नाममात्र वार्षिक दर और एक चक्रवृद्धि आवृत्ति है, और उसके लिए सालाना प्रतिशत प्रतिफल वाला पेज है। और अगर आपके पास ऐसी गिनती है जो किसी सूची में नहीं मिलती — 26, 52 — तो प्रभावी ब्याज दर वाला पेज 1 से 365 तक कोई भी पूर्णांक ले लेता है।

महीने-दर-महीने चक्रवृद्धि, महीने के 0.1% से 2% तक

प्रति अवधि दर	नाममात्र वार्षिक दर	प्रभावी वार्षिक दर	प्रभावी दर तक का अंतर
0.1	1.2	1.207	0.007
0.25	3	3.042	0.042
0.5	6	6.168	0.168
1	12	12.683	0.683
2	24	26.824	2.824

यहाँ हर पंक्ति महीने-दर-महीने चक्रवृद्धि है, इसलिए दूसरा कॉलम बस पहले का बारह गुना है और तालिका को एक ही सवाल की तरह पढ़ा जा सकता है: इस प्रति अवधि दर पर सालाना बनाना कितना छिपा रहा है? महीने के 0.1 प्रतिशत पर जवाब 0.007 प्रतिशत अंक है, और महीने के 2 प्रतिशत पर 2.824 — अंतर मोटे तौर पर दर के वर्ग के साथ बढ़ता है, इसीलिए आख़िरी पंक्ति अपने ऊपर वाली की दुगनी नहीं बल्कि लगभग नौ गुनी है। एक अकेला हिसाब करने के बजाय तालिका पढ़ने का फ़ायदा यही है: चक्रवृद्धि वाला हिस्सा उन दरों पर दिखता ही नहीं जिन्हें लोग छोटा समझते हैं और उन दरों पर छा जाता है जिन्हें लोग बड़ा समझते हैं, और जहाँ वह अनदेखा करने लायक़ नहीं रहता वह जगह इन पाँच पंक्तियों के बीचोंबीच कहीं है। पहला कॉलम इनपुट है और चौथा उस सवाल का जवाब जो यह पेज पूछता है, इसलिए जो पाठक सिर्फ़ दो कॉलम देखना चाहे उसे यही दो देखने चाहिए।

फ़ॉर्मूला

प्रभावी वार्षिक दर = (1 + प्रति अवधि दर)^(साल की अवधियाँ) − 1 नाममात्र वार्षिक दर = प्रति अवधि दर × साल की अवधियाँ

प्रति अवधि दर: एक अवधि में लगने या जुड़ने वाली दर, यानी वही जो ब्यौरे पर लिखी होती है और जिस पर चक्रवृद्धि का एक क़दम चलता है — महीने का 1 प्रतिशत, महीने का 0.5 प्रतिशत, दिन का 0.05 प्रतिशत। यही वह इनपुट है जो इस पेज को इसके पड़ोसियों से अलग करता है: वे सालाना आँकड़े से शुरू करके भाग देते हैं, यह अवधि से शुरू करके गुणा करता है
चक्रवृद्धि की आवृत्ति: साल भर में ऐसी कितनी अवधियाँ आती हैं: सालाना के लिए 1, साल में दो बार के लिए 2, तिमाही के लिए 4, महीने में एक बार के लिए 12 और रोज़ के लिए 365। यही संख्या चक्रवृद्धि में घात भी है और नाममात्र आँकड़े में गुणक भी
प्रभावी वार्षिक दर: एक अवधि की दर साल भर में असल में कितनी पड़ती है, जब हर अवधि के ब्याज पर भी ब्याज लगता है — यह हमेशा नाममात्र आँकड़े से कम नहीं होती, और अवधि छोटी होने पर यह फ़ासला बढ़ता जाता है
नाममात्र वार्षिक दर: प्रति अवधि दर को अवधियों की संख्या से गुणा करके मिलने वाला सालाना आँकड़ा, यानी वही जो ऋण के खुलासे में इस्तेमाल होता है और जो ज़्यादातर लोग बताते, अगर उनसे पूछा जाए कि खाता कितना लेता है। यह चक्रवृद्धि को पूरी तरह अनदेखा करता है, इसीलिए इसे प्रभावी दर के बग़ल में छापा जाता है, उसके बदले नहीं
दर का अंतर: प्रभावी दर घटा नाममात्र दर, यानी चक्रवृद्धि ही जो प्रतिशत अंकों में लिखी गई हो। यही वह संख्या है जो बताती है कि सालाना दर बताने की परंपरा कितना छिपा रही है

हल किए हुए उदाहरण

महीने का 1%, यानी कार्ड वाला मामला
1. साल में अवधियाँ: 12
2. नाममात्र वार्षिक दर: 1% × 12 = 12%
3. प्रभावी वार्षिक दर: 1.01¹² − 1 = 12.6825%, छपती है 12.683
4. अंतर: 12.683% − 12% = 0.683 प्रतिशत अंक
डिफ़ॉल्ट हालत, और वही जो सबने देखी है: महीने की दर बताने वाला कार्ड। साल का 12 प्रतिशत वह आँकड़ा है जो खुलासे की परंपरा बनाती है, और 12.683 प्रतिशत वह है जो बिना चुकाए पड़े बकाये का एक साल असल में लेता है। यह 0.683 कोई शुल्क नहीं और कोई जुर्माना नहीं — यह ब्याज पर लगा ब्याज है, और यह हर ऐसे खाते में आता है जहाँ बकाया हर महीने चुकाया नहीं जाता बल्कि चक्रवृद्धि होने दिया जाता है।
दिन का 0.05% — वही नाममात्र दर, बिल्कुल दूसरा जानवर
1. साल में अवधियाँ: 365
2. नाममात्र वार्षिक दर: 0.05% × 365 = 18.25%
3. प्रभावी वार्षिक दर: 1.0005³⁶⁵ − 1 = 20.0156%, छपती है 20.016
4. अंतर: 20.016% − 18.25% = 1.766 प्रतिशत अंक
दिन का बीसवाँ हिस्सा प्रतिशत साल के 18.25 प्रतिशत से छोटा लगता है, और वह वही संख्या है: 0.05 गुणा 365 बराबर 18.25। पर रोज़ की चक्रवृद्धि उसे 20.016 प्रतिशत बना देती है, जो नाममात्र आँकड़े से 1.766 अंक ऊपर है — यानी उसी दर पर महीने वाले कार्ड के मामले से लगभग तीन गुना बड़ा अंतर। सबक़ यह नहीं है कि रोज़ की चक्रवृद्धि अपने आप ख़तरनाक है; सबक़ यह है कि अंतर दर पर भी निर्भर है और अवधि पर भी, और यहाँ दोनों बड़े हो गए।
साल का 2% जो साल में दो बार लगता है
1. साल में अवधियाँ: 2
2. नाममात्र वार्षिक दर: 2% × 2 = 4%
3. प्रभावी वार्षिक दर: 1.02² − 1 = 4.04%
4. अंतर: 4.04% − 4% = 0.04 प्रतिशत अंक
यह इनपुट आम तौर पर बॉन्ड से आता है: 4 प्रतिशत का कूपन साल में दो बार देने वाला बॉन्ड साल में दो बार 2 प्रतिशत देता है, और अगर कूपन फिर से लगाया जाए तो साल 4 प्रतिशत नहीं बल्कि 4.04 प्रतिशत देता है। चार सौवें अंक का फ़र्क़ छोटा है, और यही वजह है कि एक ही कूपन वाला साल में दो बार भुगतान करने वाला बॉन्ड और साल में एक बार भुगतान करने वाला बॉन्ड एक जैसा निवेश नहीं हैं — दूसरा 4 प्रतिशत देता है और एक ही बार चक्रवृद्धि करता है।

सीमाएँ

यह मान लेता है कि प्रति अवधि दर पूरे साल वही रहेगी। बदलती दर, ऐसी प्रचार दर जो कुछ महीनों बाद बदल जाए, किसी बेंचमार्क से बँधी दर — इनमें से हर एक प्रभावी वार्षिक दर को "साल के बारे में" नहीं बल्कि "आज की दर के बारे में" बयान बना देती है, और ऐसे कार्ड पर जिसकी दर बदल सकती है, अंतर वाला कॉलम ऐसे साल का हाल बताता है जो शायद कभी न आए। यह मान लेता है कि सारी अवधियाँ बराबर लंबी हैं। 365 दिन के साल पर महीने-दर-महीने चक्रवृद्धि बराबर बँटती ही नहीं, और जो खाता बारह बराबर महीनों के बजाय असली दिनों पर चक्रवृद्धि करता है उसका हिसाब थोड़ा अलग आएगा; वैसे ही उस खाते का आएगा जो 360 दिन के आधार पर ब्याज जोड़ता है, जैसा कुछ देशों के बैंक करते हैं। यह यह भी नहीं बताता कि बकाया वहाँ पहुँचा कैसे। चक्रवृद्धि सिर्फ़ उसी बकाये पर होती है जो टिका रह जाए: कार्ड से ख़र्च कीजिए और हर महीने पूरा चुका दीजिए, तो न प्रभावी दर लागू होती है न अंतर, क्योंकि जिस ब्याज में वह चक्रवृद्धि होती, वह बचता ही नहीं। यह सालाना प्रतिशत दर नहीं है — वह प्रति अवधि दर को बिना चक्रवृद्धि के सालाना बनाती है और उसमें शुल्क भी जोड़ती है; यह पेज उसी प्रति अवधि दर को दो बार सालाना बनाता है, एक बार रेखीय और एक बार चक्रवृद्धि के साथ, और किसी भी आँकड़े में कोई शुल्क नहीं जोड़ता। और यह कोई खुलासा दस्तावेज़ नहीं है: अवधि 365 दिन की हो तो प्रभावी वार्षिक दर और सालाना प्रतिशत प्रतिफल एक ही राशि हैं, इसलिए जमा के खुलासे में लिखा प्रतिफल इस पेज के पहले आउटपुट से उसी दर और उसी आवृत्ति पर मेल खाना चाहिए — पर ऋण के खुलासे वाली सालाना प्रतिशत दर नहीं मिलेगी, क्योंकि वह उसी रेखीय सालाना बनाने पर टिकी है जो यहाँ दूसरा आउटपुट बनकर छपती है। रक़मों के साथ कोई मुद्रा नहीं जुड़ी, इसलिए वे उसी मुद्रा में सही हैं जिसमें आपने लिखी।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

प्रभावी वार्षिक दर क्या होती है?: यह वह है जो हर अवधि पर लगने वाली दर साल भर में बन जाती है, जब हर अवधि के ब्याज पर भी ब्याज लगता है। महीने का 1 प्रतिशत साल का 12.683 प्रतिशत है, 12 प्रतिशत नहीं, क्योंकि दूसरे महीने का ब्याज उस बकाये पर लगता है जिसमें पहले महीने का ब्याज जुड़ चुका है। प्रभावी वार्षिक दर यह हिसाब रखती है; नाममात्र वार्षिक दर प्रति अवधि दर को बारह से गुणा करके मिलती है, जो खुलासे की परंपरा का आँकड़ा है और चक्रवृद्धि को पूरी तरह अनदेखा करती है।
प्रति अवधि दर से प्रभावी वार्षिक दर कैसे निकालूँ?: प्रति अवधि दर में एक जोड़िए, उसे साल की अवधियों की घात तक उठाइए, और एक घटाइए। महीने का 1 प्रतिशत यानी 1.01 की बारहवीं घात घटा एक, जो 0.126825 है, यानी 12.683 प्रतिशत। यही सूत्र जमा खाते पर सालाना प्रतिशत प्रतिफल भी बनाता है — अवधि एक साल की हो तो दोनों एक ही राशि हैं, और इस पेज के इनपुट वही हैं जो आपके पास विज्ञापन के बजाय ब्यौरा पढ़ते समय होते हैं।
लगातार चक्रवृद्धि का विकल्प क्यों नहीं है?: क्योंकि प्रति अवधि दर को एक अवधि चाहिए। लगातार चक्रवृद्धि वह सीमा है जिसकी ओर अवधि शून्य की तरफ़ सिकुड़ते हुए जाती है, इसलिए शुरू करने के लिए "प्रति अवधि लगने वाली दर" जैसी कोई चीज़ बचती ही नहीं — प्रभावी वार्षिक दर तब भी होती है, और वह उस पेज पर लगातार वाली सीमा बनकर दिखती है जो नाममात्र वार्षिक दर से शुरू करता है। इस पेज पर आवृत्तियों की सूची पाँच पर रुकती है, और छठी का न होना इनपुट का गुण है, कोई छूटी हुई सुविधा नहीं।
क्या नाममात्र वार्षिक दर और सालाना प्रतिशत दर एक ही हैं?: दोनों एक ही तरह निकाले जाते हैं — प्रति अवधि दर गुणा साल की अवधियाँ — पर सालाना प्रतिशत दर में शुल्क भी जुड़ता है, और यह पेज कोई शुल्क नहीं जोड़ता। बिना शुल्क वाले ऋण पर दोनों मिल जाते हैं, इसीलिए यहाँ का नाममात्र आँकड़ा किसी ऋण खुलासे की जाँच का काम का ज़रिया है। जिस ऋण पर शुरुआती शुल्क लगे, वहाँ सालाना प्रतिशत दर यहाँ छपने वाली नाममात्र वार्षिक दर से ऊँची होगी, और वह फ़र्क़ ही शुल्क है।
क्या दोनों दरों के बीच का अंतर दर के साथ बढ़ता है?: हाँ, और तेज़ी से। नाममात्र 6 प्रतिशत पर महीने-दर-महीने अंतर 0.168 प्रतिशत अंक है; 12 प्रतिशत पर महीने-दर-महीने 0.683; 18.25 प्रतिशत पर रोज़-रोज़ 1.766; और दिन के आधे प्रतिशत पर — नाममात्र 182.5 प्रतिशत — प्रभावी दर 517.465 प्रतिशत और अंतर 334.965 अंक होता है। इन स्तरों पर चक्रवृद्धि दर के वर्ग के अनुपात में बढ़ती है, इसलिए दुगनी होती दर अंतर को दुगना नहीं बल्कि लगभग चौगुना कर देती है।
दो ऋणों की तुलना में कौन सी दर देखूँ?: प्रभावी वार्षिक दर, अगर किसी भी ऋण पर शुल्क न हो, क्योंकि दोनों में से यही अकेली है जो यह हिसाब रखती है कि ब्याज कितनी बार चक्रवृद्धि होता है — और जमा पर यह सालाना प्रतिशत प्रतिफल जैसी ही राशि है। अगर किसी भी ऋण पर शुल्क हो तो सालाना प्रतिशत दर बेहतर तुलना है, क्योंकि वह उसी रेखीय सालाना बनाने पर टिकी है जो यहाँ नाममात्र आँकड़े के रूप में छपती है, और शुल्क भी समेटती है। मासिक दर बताने वाले ऋण की तुलना सालाना दर बताने वाले ऋण से उनकी नाममात्र दरों पर करना वही ग़लती है जिसे रोकने के लिए यह पेज बना है।

संदर्भ

12 CFR 1026.2(a)(21) — periodic rate: a rate of finance charge that is or may be imposed by a creditor on a balance for a day, week, month, or other subdivision of a year — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
12 CFR 1030.2(c) — annual percentage yield: a percentage rate reflecting the total amount of interest paid on an account, based on the interest rate and the frequency of compounding for a 365-day period; the same quantity this page computes from a periodic rate — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
12 CFR Part 1030, Appendix A (Annual Percentage Yield Calculation) — APY = 100[(1 + Interest ÷ Principal)^(365 ÷ Days in term) − 1], and the assumed 365-day term for an account without a stated maturity — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
मौद्रिक प्रबंधन और वित्तीय मध्यस्थता: विनियामक स्पर्श को परिष्कृत करना — आर्थिक सर्वेक्षण का वह अध्याय जिसमें भारत सरकार स्वयं लिखती है कि नीति दर कैसे तय होती है और वह बैंकों की ऋण तथा जमा दरों तक कैसे पहुँचती है — आर्थिक सर्वेक्षण, वित्त मंत्रालय, भारत सरकार

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