अदिश गुणनफल कैलकुलेटर

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

सदिश u

पहला सदिश, अपने घटकों की तरह लिखा हुआ, स्पेस या सेमीकोलन से अलग: तीन आयामों के लिए 1 2 2, दो के लिए 0 3, या जितने चाहें उतने। ख़ानों की कोई तय संख्या नहीं है क्योंकि पेज कोई भी आयाम लेता है, और दोनों सदिशों में घटकों की संख्या एक ही होनी चाहिए। अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है, इसलिए अलग करने के लिए कॉमा की जगह स्पेस या सेमीकोलन ही लिखिए

सदिश v

दूसरा सदिश, उसी तरह लिखा हुआ और पहले जितने ही घटकों के साथ। क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता — दोनों सदिश आपस में बदल देने पर अदिश गुणनफल और कोण वही रहते हैं

u · v

अदिश गुणनफल: पहले घटकों को आपस में गुणा कीजिए, फिर दूसरे घटकों को, और इसी तरह आगे, और सारे नतीजे जोड़ दीजिए। यह एक अकेली सादी संख्या है जिस पर कोई इकाई नहीं लगती, क्योंकि सदिश के घटकों पर जो इकाई होती है वह दो घटकों के गुणनफल पर उसका वर्ग बन जाती

|u| और |v|

हर सदिश का परिमाण, उसी इकाई में जिसमें घटक नापे गए थे: उसके घटकों के वर्गों का जोड़ लेकर उसका वर्गमूल। यह तीर की साधारण लंबाई है, और यह वही हिसाब है जो मूल बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी निकालता है जिधर सदिश इशारा करता है

θ

दोनों सदिशों के बीच का कोण, डिग्री में, 0 से — जब वे एक ही दिशा में हों — 90 से होते हुए 180 तक जब वे उलटी दिशाओं में हों। यह इस घेरे से बाहर कभी नहीं जाता, क्योंकि inverse cosine इससे बाहर कुछ लौटा ही नहीं सकता

cos θ

अदिश गुणनफल बटा दोनों परिमाणों का गुणनफल, और यही इस पेज के दोनों हिस्सों के बीच पुल है। यह 1 से — एक ही दिशा में इशारा करते सदिशों के लिए — समकोण पर 0 होते हुए −1 तक जाता है, और कोण असल में इसी संख्या से निकाला जाता है

डिग्री

कोण वाले आउटपुट की इकाई, और इस पेज का अकेला आउटपुट जिसकी कोई इकाई है। अदिश गुणनफल और दोनों परिमाण सादी संख्याएँ हैं

चार दशमलव स्थान

हर आउटपुट कितना चौड़ा लिखा जाता है। घटक पूर्ण संख्याएँ हों तो अदिश गुणनफल भी अकसर पूर्ण संख्या आता है; दोनों परिमाणों में वर्गमूल बैठा है और कोण में inverse cosine, इसलिए वे तीन लगभग कभी ठीक-ठीक नहीं निकलते

अदिश गुणनफल यह पूछने का मानक तरीक़ा है कि दो दिशाएँ कितनी सहमत हैं, और जिन सवालों का यह जवाब देता है वे हिसाब के लगाने से कहीं ज़्यादा बार आते हैं। लंबवत होना सबसे बड़ा मामला है: अदिश गुणनफल शून्य हुआ तो दोनों सदिश समकोण पर मिलते हैं, और इसी से कोई प्रोग्राम तय करता है कि कोई सतह किसी रोशनी की ओर है या नहीं, कोई रास्ता किसी दीवार को काटता है या नहीं, या किसी चित्र की दो रेखाएँ एक-दूसरे पर सीधी हैं या नहीं — और इसमें बस गुणा लगता है, त्रिकोणमिति कहीं नहीं। इसके बाद चिह्न देखने की बात है: धनात्मक का मतलब है दोनों मोटे तौर पर एक ही दिशा में, ऋणात्मक का मतलब मोटे तौर पर उलटी दिशा में, और पीछे का हिस्सा हटाने तथा यह तय करने की पूरी जाँच यही है कि कोई बल किसी चीज़ पर काम कर रहा है या उसके ख़िलाफ़। भौतिकी यही संख्या कार्य के नाम से इस्तेमाल करती है: किसी बल द्वारा किया गया कार्य बल का तय की गई दूरी के साथ अदिश गुणनफल है, इसीलिए तिरछे धकेलना सीधे धकेलने से कम असर करता है, और समकोण पर धकेलना कोई असर ही नहीं करता। जब आपको रिश्ते के बजाय कोण ख़ुद चाहिए हो तो पेज वह भी देता है, और पहचानने लायक़ आँकड़े 0, 90 और 180 डिग्री हैं — समानांतर, लंबवत और उलटे। इनके अलावा जो भी आए वह उन तीनों से हटा हुआ कोई जोड़ा है, और काम की जाँच यह है कि अदिश गुणनफल का चिह्न कोण से मेल खाना चाहिए: ऋणात्मक अदिश गुणनफल और 90 डिग्री से कम का कोण दोनों एक साथ सही नहीं हो सकते।

1. 1 2 2 और 2 2 1

   1. अदिश गुणनफल: 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 4 + 2 = 8
   2. u की लंबाई: √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
   3. v की लंबाई: √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
   4. Cosine: 8 ÷ (3 × 3) = 0.888889, और उसका inverse cosine 27.2659… है, जो पूर्णांकित होकर 27.266 बनता है

   वही इनपुट जिसके साथ पेज खुलता है, और साफ़-सुथरा मामला: दोनों सदिशों की लंबाई ठीक 3 है, इसलिए cosine बस अदिश गुणनफल बटा नौ है। दो अलग सदिश, एक अदिश गुणनफल, दो परिमाण, एक कोण — पूरा पेज एक ही पंक्ति में। कोण 90 डिग्री से कम है और अदिश गुणनफल धनात्मक, जो वह चिह्न-जाँच है जो हर जवाब पर कर लेनी चाहिए।

2. 3 4 0 और 4 3 0

   1. अदिश गुणनफल: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
   2. दोनों की लंबाई: √(9 + 16) = 5, क्योंकि तीसरा घटक शून्य है
   3. Cosine: 24 ÷ (5 × 5) = 0.96, और उसका inverse cosine 16.2602… है

   समतल में पड़े दो सदिश, जिनमें तीसरा घटक साफ़-साफ़ शून्य लिखा गया है ताकि दिखे कि दो आयामों वाला सदिश बस वही तीन आयामों वाला सदिश है जिसमें एक शून्य बैठा हो। दोनों लंबाइयाँ ठीक 5 निकलती हैं, यानी 3-4-5 त्रिभुज अपना उधार का काम कर रहा है। कोण छोटा है और अदिश गुणनफल बड़ा तथा धनात्मक, जो उन दो सदिशों की शक्ल है जो ज़्यादातर एक ही दिशा में इशारा करते हैं।

3. 1 0 और 0 1

   1. अदिश गुणनफल: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. दोनों की लंबाई: 1
   3. Cosine: 0 ÷ 1 = 0, और शून्य का inverse cosine ठीक 90 डिग्री होता है

   वह जवाब जिसके लिए यह पेज सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होता है। अदिश गुणनफल शून्य का मतलब है कि दोनों सदिश लंबवत हैं, और ये दोनों उसका सबसे सादा उदाहरण हैं: एक x-अक्ष के साथ, एक y-अक्ष के साथ। ग़ौर कीजिए कि कोण ठीक 90 आता है, कोई पूर्णांकित आँकड़ा नहीं, क्योंकि cosine ठीक शून्य है और वहाँ तक पहुँचने में कोई वर्गमूल या भाग नहीं लगा। यही समकोण की जाँच है, और इसमें कोण वाले आउटपुट की त्रिकोणमिति ज़रा भी नहीं लगती।

4. 1 2 3 और 4 5 6

   1. अदिश गुणनफल: 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 32
   2. u की लंबाई: √(1 + 4 + 9) = √14 = 3.741657…, जो पूर्णांकित होकर 3.7417 बनता है
   3. v की लंबाई: √(16 + 25 + 36) = √77 = 8.774964…, जो पूर्णांकित होकर 8.775 बनता है
   4. Cosine: 32 ÷ (3.741657 × 8.774964) = 0.974631…, और उसका inverse cosine 12.9331… है, जो पूर्णांकित होकर 12.9332 बनता है

   दो ऐसे सदिश जिनकी लंबाइयाँ साफ़-सुथरी नहीं हैं, और यही वह पंक्ति है जो देखनी चाहिए अगर यह जानना हो कि पूर्णांकन की क़ीमत क्या है। दोनों परिमाण ऐसे वर्गमूल हैं जो कभी ख़त्म नहीं होते, इसलिए cosine उनके बिना-पूर्णांकित मानों से निकाला जाता है, स्क्रीन पर लिखे 3.7417 और 8.775 से नहीं — और इसीलिए छपे हुए दोनों आँकड़ों के गुणनफल से 32 को भाग देने पर 0.9746 आता है और वह भी उसी कोण पर उतरता है, मगर बाल-बाल। कोण छोटा है क्योंकि दोनों सदिश लगभग समानांतर हैं — 4 5 6 लगभग 1 2 3 को बड़ा करके बनाया हुआ है।

5. -1 0 0 और 1 0 0

   1. अदिश गुणनफल: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
   2. दोनों की लंबाई: 1
   3. Cosine: −1 ÷ 1 = −1, और −1 का inverse cosine ठीक 180 डिग्री होता है

   घेरे का दूसरा सिरा। ठीक उलटी दिशाओं में इशारा करते दो सदिशों का अदिश गुणनफल उनकी लंबाइयों के गुणनफल का ऋणात्मक होता है, और यहाँ वह −1 है, जिससे cosine −1 और कोण 180 डिग्री आता है। यही वह पंक्ति है जो दिखाती है कि अदिश गुणनफल ऋणात्मक क्यों हो सकता है और ऋणात्मक मान का मतलब क्या है: न कोई ग़लती और न कोई छोटा कोण, बल्कि दो तीर जो एक-दूसरे से दूर इशारा कर रहे हैं।

दोनों सदिशों में घटकों की संख्या एक ही होनी चाहिए, और पेज ऐसा जोड़ा ठुकरा देता है जिसमें वे मेल न खाएँ, छोटे वाले को शून्यों से भरने के बजाय। शून्य सदिश पूरी तरह ठुकरा दिया जाता है: जिस सदिश का हर घटक शून्य हो उसकी कोई दिशा नहीं होती, इसलिए उसका और किसी भी चीज़ का कोण अनिर्धारित है, और पेज शून्य डिग्री दिखाने के बजाय पूरा हिसाब बंद कर देता है, क्योंकि शून्य डिग्री का मतलब होता कि वह आपके सदिश जैसी ही दिशा में इशारा करता है। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: घटकों को अलग करने के लिए स्पेस या सेमीकोलन लगाइए, अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु पढ़ा जाता है (1,5 यानी डेढ़), और हज़ार का समूह बनाने वाला कॉमा अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है — 1500 लिखिए, 1,500 नहीं। हर सदिश में दो सौ घटक तक लिए जाते हैं, जो हाथ से लिखे किसी भी मामले से कहीं ज़्यादा है और किसी डेटा पाइपलाइन के आकार से कम। चार दशमलव प्रदर्शन की चौड़ाई है, सटीकता का दावा नहीं, और कोण बिना-पूर्णांकित परिमाणों से निकाला जाता है, इसलिए छपे हुए आँकड़ों को आपस में गुणा करने पर छपा हुआ कोण ठीक-ठीक वापस नहीं आ सकता। यह पेज सिर्फ़ अदिश गुणनफल और कोण के लिए है: यह सदिश गुणनफल नहीं देता, न एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप, न इकाई सदिश, और यह नहीं देखता कि घटक किसमें नापे गए हैं, इसलिए मीटर में लिखे घटकों से निकला अदिश गुणनफल वर्ग मीटर में आने के बजाय सादी संख्या बनकर आता है।

घटक कैसे लिखूँ?

उन्हें स्पेस या सेमीकोलन से अलग कीजिए: 1 2 2 और 1; 2; 2 दोनों चलते हैं। दो अंकों के बीच बिना स्पेस बैठा कॉमा दशमलव बिंदु पढ़ा जाता है (1,5 यानी डेढ़); 1,500 जैसा हज़ार का समूह अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, इसलिए 1500 लिखिए। दोनों सदिशों में घटकों की संख्या एक ही होनी चाहिए, और संख्या पर कोई सीमा नहीं जब तक वे मेल खाएँ — दो आयाम और तीन आयाम एक ही पेज हैं।

अदिश गुणनफल असल में क्या बताता है?

यह कि दोनों सदिश कितना एक ही दिशा में इशारा करते हैं। यह सबसे बड़ा तब होता है जब वे समानांतर और एक ही दिशा में हों, शून्य तब जब वे लंबवत हों, और ऋणात्मक तब जब वे उलटी दिशाओं में हों। इसका मान इस पर भी टिकता है कि सदिश कितने लंबे हैं, इसलिए लंबे सदिशों का बड़ा अदिश गुणनफल छोटे कोण का मतलब नहीं रखता — दोनों लंबाइयों से भाग दीजिए, जो पेज आपके लिए कर देता है, और कोण की cosine मिल जाती है।

कैसे पता चले कि दो सदिश लंबवत हैं?

उनका अदिश गुणनफल शून्य है। पूरी जाँच यही है, और इसमें बस गुणा लगता है — कोई वर्गमूल नहीं और कोई त्रिकोणमिति नहीं, इसीलिए कोड में यही रूप इस्तेमाल होता है। पेज कोण भी देता है और वह 90 पढ़ा जाएगा, मगर अगर आपको सिर्फ़ लंबवत होना जानना है तो अकेला अदिश गुणनफल ही फ़ैसला कर देता है।

अदिश गुणनफल ऋणात्मक क्यों हो सकता है?

क्योंकि वह नाप के साथ-साथ दिशा भी दर्ज करता है। मोटे तौर पर एक-दूसरे की ओर इशारा करते दो सदिश धनात्मक संख्या देते हैं; समकोण पर दोनों का योगदान कट जाता है और गुणनफल शून्य होता है; और मोटे तौर पर दूर इशारा करते सदिश ऋणात्मक देते हैं। ऋणात्मक अदिश गुणनफल के साथ हमेशा 90 डिग्री से ऊपर का कोण जाता है, और दोनों को कभी एक-दूसरे से सहमत न होने दीजिए — अगर वे सहमत न हों तो इनपुट में कुछ गड़बड़ है।

सारे शून्य वाला सदिश क्यों ठुकरा दिया जाता है?

क्योंकि शून्य सदिश की कोई दिशा नहीं होती, इसलिए उसका और किसी भी चीज़ का कोण अनिर्धारित है। किसी भी चीज़ के साथ उसका अदिश गुणनफल शून्य होता है और उसकी लंबाई शून्य, इसलिए cosine निकालने का मतलब होगा शून्य से भाग देना। जो पेज शून्य डिग्री लौटाता वह यह कह रहा होता कि वह आपके सदिश जैसी ही दिशा में इशारा करता है, यानी ऐसी दिशा के बारे में बयान दे रहा होता जो है ही नहीं।

जवाब किस इकाई में है?

कोण डिग्री में है और बाक़ी तीनों आउटपुट की कोई इकाई ही नहीं है। अदिश गुणनफल घटकों के गुणनफलों का जोड़ है, इसलिए अगर घटक मीटर में नापे गए थे तो वह वर्ग मीटर में है, और अगर वे सादी संख्याएँ थीं तो वह सादी संख्या है; पेज अंदाज़ा लगाने के बजाय इकाई छोड़ देता है, क्योंकि यही हिसाब एक दिशा, एक बल और अंकों की एक सूची, तीनों के लिए चलता है।

• Dot product — the sum of the products of corresponding components, with the geometric interpretation as the product of the two lengths and the cosine of the angle between them that this page inverts — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object with a magnitude and a direction whose components this page reads, and whose length is the square root of the sum of the squares of those components — Wolfram MathWorld (United States)
• Perpendicular — the right-angle relation that a dot product of zero detects, which is the commonest use of this calculation and needs none of its trigonometry — Wolfram MathWorld (United States)