सदिश का परिमाण कैलकुलेटर

|u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ … ＋ uₙ²）

सदिश u

वह सदिश जिसकी लंबाई चाहिए: दो या तीन संख्याएँ, स्पेस या सेमीकॉलन से अलग। और कुछ भी यह नहीं बताता कि कौन-सा प्रकार है — संख्याओं की गिनती ही तय करती है कि आपका मतलब सपाट तल का सदिश था या त्रिविम अंतरिक्ष का

|u|

लंबाई ख़ुद: हर घटक का वर्ग, वर्गों का जोड़, और उस जोड़ का वर्गमूल। यही संख्या पैनल पर छपती है

u₁² ＋ u₂² ＋ …

वर्गों का जोड़, जिसे नीचे के हल किए हुए उदाहरण एक-एक पद करके लिखते हैं। यह हिसाब का अकेला बीच का क़दम है, और इसे लिखा हुआ देखना ही नतीजे को हाथ से जाँचने लायक़ बनाता है

√

वर्गमूल, और इसीलिए इतने जवाब अपरिमेय निकलते हैं। 3 4 ठीक 5 देता है क्योंकि 9 और 16 मिलकर 25 बनते हैं; 1 1 से 1.4142 आता है और कोई भी सीमित दशमलव उसके बराबर नहीं होता

दो घटक

सपाट तल का सदिश। दोनों गिनतियाँ स्वीकार हैं और कोई भी ख़ास मामला नहीं: द्विविम सदिश असल में वही त्रिविम सदिश है जिसका तीसरा घटक 0 है

शून्य सदिश

वह सदिश जिसके सारे घटक 0 हैं। उसकी लंबाई 0 है, और यह जवाब है, मना करना नहीं — इस पन्ने पर किसी संख्या से भाग नहीं दिया जाता, और इसीलिए शून्य सदिश यहाँ चलता है जबकि जो पन्ने इकाई सदिश बनाते हैं वे उसे लौटा देते हैं

चार दशमलव स्थान

जवाब कितना चौड़ा लिखा जाता है। जब वर्गों का जोड़ पूर्ण वर्ग हो तो जवाब ठीक-ठीक, वरना चार स्थानों तक पूरा किया हुआ

कोई इकाई नहीं

इस पन्ने को नहीं पता कि घटक किसमें नापे गए थे, और जवाब वही इकाई साथ ले चलता है जो घटकों की थी। लंबाई 5 का मतलब है जो भी लिखा गया था, उसकी 5 इकाई

यह पन्ना तब इस्तेमाल कीजिए जब यह मायने रखता हो कि कोई चीज़ कितनी बड़ी है, और वह किस ओर है यह नहीं। सबसे साफ़ मामला तुलना है: दो बलों, दो वेगों या दो विस्थापनों की तुलना सिर्फ़ लंबाई से होती है, और दिशा बीच में आकर उलझाती भर है। दूसरा मामला वह लंबाई है जो किसी लंबे हिसाब का एक क़दम है — इकाई सदिश बनाते समय लंबाई भाजक बनती है, प्रक्षेपण के फ़ॉर्मूले में हर बनती है, और अदिश गुणनफल के दो गुणकों में से एक होती है — इसलिए इसे अलग से निकालना उसके अपने लिए इस्तेमाल होने से कहीं ज़्यादा बार होता है। तीसरा मामला सबसे ठोस है: सदिश के घटक किसी बिंदु के निर्देशांक हैं, इसलिए उसकी लंबाई उस बिंदु की मूल बिंदु से दूरी है, और यही अभिव्यक्ति वही दूरी सूत्र है जिसे आप शायद दूसरे नाम से जानते हैं। जो बात इस जवाब में नहीं है वह दिशा है, और यह साफ़ कह देने लायक़ है क्योंकि इसे ज़रूरत से ज़्यादा पढ़ लेना आसान है। लंबाई 5, सदिश 3 4 से भी आई, −3 4 से भी और 0 5 से भी। अगर यह जानना है कि इनमें से कौन-सा है, तो लंबाई वह पन्ना नहीं है जो चाहिए — घटक या इकाई सदिश चाहिए। दो घटकों वाला इनपुट भी ठीक है और उसे भरा नहीं जाता: वह सपाट तल का सदिश है, और उसकी लंबाई वही दूरी सूत्र है, बस दो पदों के साथ। शून्य सदिश स्वीकार है, और उसकी लंबाई 0 एक सच्चा कथन है, कोई त्रुटि नहीं।

1. 3 4

   1. हर घटक का वर्ग कीजिए: 3² ＝ 9 और 4² ＝ 16
   2. वर्गों को जोड़िए: 9 ＋ 16 ＝ 25
   3. वर्गमूल लीजिए: √25 ＝ 5

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और सबसे साफ़ मामला भी। 9 और 16 मिलकर 25 बनाते हैं, जो पूर्ण वर्ग है, इसलिए जवाब पूरी संख्या है और कुछ भी पूरा नहीं करना पड़ता — ऐसा इसलिए होता है क्योंकि 3 और 4 समकोण त्रिभुज 3-4-5 की दो भुजाएँ हैं। उलटी तरफ़ से जाँचिए: तीन इकाई दाईं और चार इकाई ऊपर वाला बिंदु मूल बिंदु से पाँच इकाई दूर है — यानी सदिश 3 4 की लंबाई पाँच है, बात वही है।

2. 5 12

   1. हर घटक का वर्ग कीजिए: 5² ＝ 25 और 12² ＝ 144
   2. वर्गों को जोड़िए: 25 ＋ 144 ＝ 169
   3. वर्गमूल लीजिए: √169 ＝ 13

   3-4-5 के बाद की अगली पाइथागोरस त्रिक, और यह दिखाती है कि पूरा जवाब कोई एक बार का संयोग नहीं है। दोनों घटक पहले उदाहरण से बड़े हैं और जवाब फिर भी पूरा आता है। यह भी दिखता है कि जवाब किसी एक घटक तक सीमित नहीं रहता: 13, 5 से भी बड़ा है और 12 से भी — वर्गों के जोड़ का वर्गमूल यही करता है।

3. 1 1

   1. हर घटक का वर्ग कीजिए: 1² ＝ 1 और 1² ＝ 1
   2. वर्गों को जोड़िए: 1 ＋ 1 ＝ 2
   3. वर्गमूल लीजिए: √2 ＝ 1.414214, जो 1.4142 छपता है

   यह अपवाद नहीं, सामान्य मामला है: ज़्यादातर वर्गों का जोड़ पूर्ण वर्ग नहीं होता, इसलिए ज़्यादातर जवाब अपरिमेय आते हैं और चार दशमलव स्थानों तक पूरे किए जाते हैं। √2 इनमें सबसे सरल है और पहचानने लायक़ भी — जब कोई इकाई दो घटकों में बराबर बाँटी जाए तो यही आता है। परिभाषा उलटी दिशा में जाँचिए: 1.4142 का वर्ग 1.99996 है, जो पूरा करने की सीमा में 2 ही है।

4. 0 0

   1. हर घटक का वर्ग कीजिए: 0² ＝ 0 और 0² ＝ 0
   2. वर्गों को जोड़िए: 0 ＋ 0 ＝ 0
   3. वर्गमूल लीजिए: √0 ＝ 0

   शून्य सदिश, और यह पन्ना उसे ठुकराने की जगह जवाब देता है। मूल बिंदु से मूल बिंदु तक गए सदिश की लंबाई 0 है, और हिसाब में कहीं भी किसी संख्या से भाग नहीं दिया गया, इसलिए मना करने का कोई कारण नहीं। जो पन्ने सदिश को इकाई सदिश में बदलते हैं वे यही इनपुट ठुकरा देते हैं, क्योंकि वहाँ लंबाई भाजक बनती है — फ़ैसला इनपुट का नहीं, पूछे गए सवाल का है।

दो या तीन घटक स्वीकार होते हैं, और बस वही: एक अकेली संख्या दिशा नहीं, कोई चिह्नित राशि है, और चार या ज़्यादा संख्याएँ ऐसी लंबाई नहीं बनातीं जो किसी ने इस पन्ने से माँगी हो। दो घटकों वाला इनपुट तीन तक नहीं भरा जाता — वह सपाट तल में रहता है, और वही दिशा तीन निर्देशांकों में लिखने पर उसका तीसरा घटक 0 होता है, इसीलिए इस बक्से को यह पूछने की ज़रूरत नहीं कि आपका मतलब कौन-सा है। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़) — और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता, इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। चार दशमलव स्थान सिर्फ़ लिखने की चौड़ाई हैं, सटीकता का दावा नहीं, और जवाब बिना पूरा किए गए वर्गों के जोड़ से निकाला जाता है, इसलिए छपा हुआ आँकड़ा उलटा करने पर ठीक वही संख्या न दे। लंबाई एक शुद्ध संख्या है: यहाँ किसी को नहीं पता कि घटक मीटर में थे, न्यूटन में या किसी और चीज़ में, और परिमाण उसी इकाई के साथ चलता है जो घटकों की थी। जो बात यह जवाब सचमुच नहीं बता सकता वह दिशा है। लंबाई 5, सदिश 3 4 में भी है, −3 4 में भी और 0 5 में भी, और जो पन्ना केवल लंबाई बताता है उसने यह अंतर बनावट से ही गिरा दिया है। दिशा के लिए घटक ख़ुद देखिए या उनसे बना इकाई सदिश; और जहाँ तुलना में दिशा से मतलब न हो वहाँ यही पन्ना पूरा जवाब है — यही इसका मक़सद है।

सदिश का परिमाण क्या होता है?

यह सदिश की लंबाई है: हर घटक का वर्ग, वर्गों का जोड़, और उस जोड़ का वर्गमूल। यह एक अकेली संख्या है, जो बताती है कि सदिश कितना बड़ा है — किस ओर है, यह नहीं बताती। मूल बिंदु से किसी बिंदु तक खींचे गए सदिश का परिमाण उस बिंदु की मूल बिंदु से दूरी के बराबर होता है, इसीलिए यह अभिव्यक्ति दूरी सूत्र जैसी लगती है — यह दूरी सूत्र ही है।

सदिश की लंबाई हाथ से कैसे निकाले?

हर घटक का वर्ग कीजिए, वर्गों को जोड़िए, और जोड़ का वर्गमूल लीजिए। 3 4 के लिए यह 9 और 16 है, यानी 25, और 25 का वर्गमूल 5 है। 1 1 के लिए 1 और 1, यानी 2, और 2 का वर्गमूल चार दशमलव स्थानों तक 1.4142 है। बीच का क़दम ही अकेला ऐसा क़दम है जहाँ ग़लती की गुंजाइश है, और वही क़दम पन्ने की तालिका हर पंक्ति के लिए लिखती है।

क्या दो और तीन विमाओं वाला सदिश दोनों लिख सकते हैं?

दोनों चलेंगे, और बदलने के लिए कोई सेटिंग नहीं है: दो संख्याएँ द्विविम सदिश हैं और तीन संख्याएँ त्रिविम। एक ही बक्सा दोनों लेता है क्योंकि हिसाब भी एक ही है — सपाट तल का सदिश असल में वही सदिश है जिसका तीसरा घटक 0 है, और उसकी लंबाई वही वर्गमूल है, बस नीचे तीन की जगह दो पद हैं।

शून्य सदिश का परिमाण कितना होता है?

शून्य, और यह पन्ना उसे ठुकराने की जगह बताता है। हर घटक 0 है, इसलिए हर वर्ग 0, इसलिए जोड़ 0 और उसका वर्गमूल 0। हिसाब में कहीं लंबाई से भाग नहीं दिया गया — यही कारण है कि यहाँ कोई त्रुटि नहीं आती; इकाई सदिश वाला पन्ना यही इनपुट इसलिए ठुकराता है क्योंकि वहाँ लंबाई भाजक बनती है।

क्या परिमाण से दिशा का पता चल जाता है?

नहीं, और चल भी नहीं सकता: वह एक अकेली संख्या है, और दिशा के लिए कम से कम दो चाहिए। 3 4, −3 4 और 0 5 — तीनों की दिशाएँ अलग हैं और तीनों की लंबाई पाँच है, इसलिए लंबाई से इन्हें पहचाना नहीं जा सकता। अगर दिशा चाहिए तो घटक ख़ुद पढ़िए, या सदिश को इकाई सदिश में बदल दीजिए — वह दिशा रखता है और आकार गिरा देता है।

सदिश के परिमाण का उपयोग कहाँ होता है?

आकार की तुलना में, और किसी लंबे हिसाब के अगले क़दम में। जब दिशाओं से मतलब न हो तो दो बलों या दो वेगों की तुलना परिमाण से की जाती है। साथ ही यह वह संख्या है जिससे बहुत-से और फ़ॉर्मूले भाग देते हैं या गुणा करते हैं — इकाई सदिश बनाना, एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेपण, और अदिश गुणनफल, सब इसे इस्तेमाल करते हैं — इसलिए लंबाई अंतिम जवाब न हो तब भी उसे अलग से निकालना आम है।

• Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the operation this page performs and the definition its table is built on — Wolfram MathWorld (United States)
• Norm — the general name for a length function on vectors, of which the square-root-of-sum-of-squares used here is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld (United States)
• Distance — the distance between two points as the length of the vector joining them, which is why a vector's magnitude and the distance from the origin are the same calculation — Wolfram MathWorld (United States)