सदिश जोड़ कैलकुलेटर

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃) u − v = u + (−v) |u + v| = √(w₁² + w₂² + w₃²)

सदिश u

पहला सदिश, दो या तीन संख्याओं की सूची के रूप में, स्पेस या सेमीकॉलन से अलग। यह किस बक्से में जाता है, इससे जोड़ का जवाब नहीं बदलता और घटाव में सिर्फ़ चिह्न पलटता है, इसलिए इसे सीधे पहला सदिश मान लेने में कोई नुक़सान नहीं

सदिश v

दूसरा सदिश, उसी तरह लिखा हुआ। इसमें घटकों की गिनती पहले के बराबर होनी चाहिए: दो घटकों वाले सदिश को तीन घटकों वाले के साथ जोड़ने का कोई नियम नहीं है, क्योंकि तीसरी संख्या के साथ जोड़ने के लिए सामने कुछ होता ही नहीं

u + v

जोड़, घटक-दर-घटक निकाला हुआ। जवाब का हर घटक दोनों इनपुट में से उसी जगह वाले घटकों को इस्तेमाल करता है — पहले घटक साथ, दूसरे घटक साथ, और इसी तरह

u − v

अंतर, यानी वही जोड़ जिसमें पहले दूसरे सदिश का हर घटक उलट दिया गया है। दूसरे सदिश के चिह्न पलट देना ही जोड़ और घटाव के बीच का पूरा फ़र्क़ है, और इसीलिए दोनों के लिए एक ही नियंत्रण काफ़ी है

परिणामी के x, y और z घटक

जवाब की तीनों पंक्तियाँ, जिन्हें मिलाकर एक सदिश पढ़ा जाता है। तीसरा घटक 0 तब होता है जब दोनों इनपुट द्विविम हों: वह शून्य भराव नहीं, बल्कि वही दिशा है जो तीन निर्देशांकों में लिखी गई है

|u + v|

नतीजे सदिश की लंबाई, यानी उसके घटकों के वर्गों के जोड़ का वर्गमूल। यह तीनों घटकों से अलग सवाल है और अपनी अलग पंक्ति के लायक़ है: घटक बताते हैं कि जवाब किस ओर है, लंबाई बताती है कि कितनी दूर तक

जोड़ या घटाव

इस पन्ने की इकलौती पूछ, और दोनों तरीक़ों में बदलने वाली इकलौती चीज़। दोनों में वही दो बक्से और वही चार आउटपुट पंक्तियाँ इस्तेमाल होती हैं; सिर्फ़ हिसाब बदलता है

शून्य सदिश

वह सदिश जिसके सारे घटक 0 हों। जोड़ या अंतर शून्य सदिश हो सकता है और वह सही जवाब है, नाकामी नहीं — किसी सदिश को उसके ऋण के साथ जोड़ने पर ठीक यही मिलता है, और संदर्भ तालिका में ऐसी एक पंक्ति मौजूद है

चार दशमलव स्थान

आउटपुट कितने चौड़े लिखे जाते हैं। जब इनपुट पूरी संख्याएँ हों तो घटक ठीक-ठीक आते हैं, क्योंकि यहाँ सिर्फ़ जोड़ और घटाव है; आँकड़े पूरे करने की ज़रूरत लंबाई में पड़ती है, जो वर्गमूल है

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब दो सदिश एक ही चीज़ पर एक साथ लग रहे हों और आपको उनका मिला-जुला असर चाहिए। किसी वस्तु पर दो बल, किसी धारा में जोड़ी गई दो चालें, एक के बाद एक चली गई दो विस्थापनाएँ — ये सब घटक-दर-घटक जोड़ हैं, और जवाब वह अकेला सदिश है जो दोनों का काम अकेले कर देगा। घटाव इसी सवाल का दूसरा आधा जवाब देता है: u − v वह सदिश है जो आपको v के सिरे से u के सिरे तक ले जाता है, इसीलिए सापेक्ष स्थिति और सापेक्ष वेग का हर हिसाब इसी क्रिया पर टिका है। सदिश इतने आसानी से जुड़ते हैं क्योंकि उनके घटक कभी आपस में नहीं मिलते — जवाब की हर जगह सिर्फ़ इनपुट की उसी जगह पर निर्भर करती है — और यह जानना काम का है क्योंकि गुणा में यह सच नहीं है, वहाँ जवाब का हर घटक दोनों इनपुट के सारे घटकों पर निर्भर करता है और बीच में एक कोण आ जाता है। दो घटक और तीन घटक, दोनों चलते हैं, और दोनों इनपुट की गिनती आपस में मेल खानी चाहिए। शून्य आना एक साधारण नतीजा है: किसी सदिश और उसके ऋण का जोड़ शून्य है, और शून्य बिल्कुल अच्छा सदिश है। सिर्फ़ एक बात सीधी रखिए: साथ छपी लंबाई नतीजे की लंबाई है, दोनों इनपुट की लंबाइयों का जोड़ नहीं — जब तक दोनों सदिश एक ही दिशा में न हों, ये दो अलग संख्याएँ हैं, और यही फ़र्क़ वह पूरी वजह है कि सदिशों को उनके आकार जोड़कर नहीं जोड़ा जाता।

1. 3 4 + 1 2 (जोड़)

   1. x घटक: 3 + 1 = 4
   2. y घटक: 4 + 2 = 6
   3. z घटक: 0 + 0 = 0, क्योंकि दोनों इनपुट द्विविम हैं
   4. लंबाई: √(16 + 36 + 0) = √52 = 7.211103

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और इसमें हर क़दम आँखों के सामने है। दोनों सदिश लगभग एक ही ओर इंगित करते हैं, इसलिए जवाब लंबा निकलता है: 7.2111, जबकि दोनों इनपुट की लंबाइयाँ 5 और 2.2361 हैं और उनका जोड़ 7.2361 बैठता है। यहाँ दोनों आँकड़े पास-पास हैं पर बराबर नहीं, और बराबर तभी होते हैं जब दोनों सदिश ठीक एक ही दिशा में हों — संदर्भ तालिका में दो पंक्तियाँ वही मामला हैं, और बाक़ी हर पंक्ति में जोड़ दोनों लंबाइयों के जोड़ से छोटा निकलता है।

2. 3 4 − 1 2 (घटाव)

   1. x घटक: 3 − 1 = 2
   2. y घटक: 4 − 2 = 2
   3. z घटक: 0 − 0 = 0
   4. लंबाई: √(4 + 4) = √8 = 2.828427

   पहले उदाहरण के ही दोनों सदिश, बस दूसरा विकल्प चुना हुआ — और बदला सिर्फ़ इतना है कि दूसरे इनपुट पर चिह्न लगा है। जवाब किसी भी इनपुट से काफ़ी छोटा निकलता है, क्योंकि दोनों सदिश एक ही ओर के हैं और उन्हें अलग करने पर बहुत कम बचता है। इस उदाहरण और पिछले उदाहरण के बीच विकल्प बदलते रहना ही यह देखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है कि यह नियंत्रण क्या करता है।

3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

   1. x घटक: 1 + (−1) = 0
   2. y घटक: 2 + (−2) = 0
   3. z घटक: 3 + (−3) = 0
   4. लंबाई: √(0 + 0 + 0) = 0

   अपने ही ऋण के साथ जोड़ा गया सदिश, और जवाब शून्य सदिश। यहाँ कुछ बिगड़ा नहीं है: दोनों तीरों की लंबाई एक ही है और दिशाएँ उलटी, इसलिए जो यात्रा वे बताते हैं वह वहीं ख़त्म हो जाती है जहाँ से शुरू हुई थी। पन्ना इसे ठुकराने की जगह बताता है, और संदर्भ तालिका की सातवीं पंक्ति यही मामला है। इसी इनपुट पर विकल्प घटाव कर दीजिए तो जवाब दुगुना हो जाता है — 2 4 6, लंबाई 7.4833 — और चिह्न का असर इससे साफ़ कहीं नहीं दिखता।

4. −1 2 − 3 −5 (घटाव)

   1. x घटक: −1 − 3 = −4
   2. y घटक: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7
   3. z घटक: 0 − 0 = 0
   4. लंबाई: √(16 + 49) = √65 = 8.062258

   यह वह मामला है जिसमें चिह्न कटते नहीं और हिसाब सँभालकर करना पड़ता है। ऋण पाँच घटाने का मतलब पाँच जोड़ना है, इसलिए y घटक बढ़कर 7 हो जाता है, और x घटक ऋणात्मक चला जाता है क्योंकि दूसरे सदिश का पहला घटक बड़ा है। नतीजा दोनों इनपुट से लंबा निकलता है, और ऐसा तब होता है जब दोनों सदिश उलटी दिशाओं में हों — लंबाई ही इसकी सबसे साफ़ पहचान है, क्योंकि −4 और 7 देखकर यह नहीं लगता कि सदिश लंबा है, जब तक उनके वर्ग जोड़कर वर्गमूल न लिया जाए।

5. 3 4 + 3 4 (जोड़)

   1. x घटक: 3 + 3 = 6
   2. y घटक: 4 + 4 = 8
   3. z घटक: 0 + 0 = 0
   4. लंबाई: √(36 + 64) = √100 = 10

   एक ही सदिश दो बार, यानी ठीक एक ही दिशा में इंगित करते दोनों इनपुट — और यही वह अकेला मामला है जिसमें जोड़ की लंबाई दोनों लंबाइयों के जोड़ के बराबर होती है: 5 + 5 = 10, ठीक-ठीक, बिना किसी आँकड़े के। संदर्भ तालिका की तीसरी और छठी पंक्ति भी यही मामला हैं, और बाक़ी हर पंक्ति इससे अलग है। इसी इनपुट पर विकल्प घटाव करने पर तीनों घटक शून्य आते हैं, क्योंकि तब एक सदिश अपने ही ऋण से घट रहा होता है।

दोनों सदिशों में घटकों की गिनती एक ही होनी चाहिए, और हर एक में दो या तीन: पैनल में तीन घटक पंक्तियाँ हैं, और गिनती बेमेल होने पर एक इनपुट की तीसरी संख्या के सामने जोड़ने के लिए कुछ बचता ही नहीं। दो घटकों वाले सदिश को तीन तक भरा नहीं जाता — वह सपाट तल में पड़ा है, और तीसरी पंक्ति में छपा 0 यही बताता है कि वह दिशा तीन निर्देशांकों में कैसी दिखती है। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़), और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता — इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। संदर्भ तालिका में सिर्फ़ जोड़ है, क्योंकि तालिका यह जाने बिना बनती है कि आपने कौन-सा विकल्प चुना है; घटाव वही पंक्तियाँ हैं जिनमें दूसरे सदिश के चिह्न उलट दिए गए हों, और नीचे के हल किए हुए उदाहरण उसे पूरा कर देते हैं। नतीजे के साथ छपी लंबाई नतीजे की लंबाई है, दोनों इनपुट की लंबाइयों का जोड़ नहीं। दोनों लंबाइयाँ जोड़ देना तभी सही जवाब देता है जब दोनों सदिश ठीक एक ही दिशा में हों; किसी सदिश को उसके ऋण के साथ जोड़ने पर 0 आता है, दुगुनी लंबाई नहीं, और यह उससे जितना दूर हो सकता है उतना दूर है। चार दशमलव स्थान सटीकता का दावा नहीं, लिखने की चौड़ाई हैं। यहाँ किसी को यह नहीं पता कि घटक किसमें नापे गए थे, और जवाब वही इकाई साथ ले चलता है — तीनों घटक और लंबाई, सब उसी इकाई में हैं, इसलिए तीनों घटकों को अकेले कोई लंबाई मत पढ़िए।

दो सदिश जोड़ने का मतलब क्या है?

दो सदिश जोड़ने का मतलब है उनके घटकों को जगह-जगह जोड़ना: पहले घटक साथ, फिर दूसरे, फिर तीसरे, और वे तीनों जोड़ जवाब के घटक हैं। कुछ भी गुणा नहीं होता और कोई कोण नहीं चाहिए, और यही सदिश जोड़ को सदिश गुणा से इतना आसान बनाता है — घटक आपस में कभी नहीं मिलते, इसलिए जवाब का हर घटक दोनों इनपुट के ठीक एक-एक घटक पर निर्भर करता है।

सदिश घटाव जोड़ से कैसे अलग है?

एक चिह्न से। घटाना जोड़ना ही है, बस पहले दूसरे सदिश के चिह्न उलट दिए जाते हैं, इसलिए u − v और u + (−v) एक ही हिसाब की दो लिखावटें हैं। इसीलिए यहाँ दोनों एक ही नियंत्रण के पीछे हैं: हिसाब में जो बदलता है वह एक अकेला चिह्न है, और उन्हें एक ही इनपुट पर सामने-सामने रखकर देखना ही इसे देखने का साफ़ तरीक़ा है। 3 4 में से 1 2 घटाइए तो 2 2 मिलता है; जोड़िए तो 4 6।

क्या जोड़ का नतीजा शून्य सदिश हो सकता है?

हाँ, और वह सही जवाब है, नाकामी नहीं। किसी सदिश को उसके ठीक ऋण के साथ जोड़ने पर शून्य आता है: दोनों तीरों की लंबाई बराबर और दिशाएँ उलटी हैं, इसलिए जो विस्थापन वे बताते हैं वह वहीं लौट आता है जहाँ से शुरू हुआ था। पन्ना तीनों घटकों के लिए 0 लिखता है और लंबाई 0। संदर्भ तालिका की सातवीं पंक्ति यही मामला है, और यही इनपुट घटाव पर 2u देता है।

क्या दोनों सदिशों में घटकों की गिनती एक ही होनी चाहिए?

हाँ। दो घटकों वाले सदिश को तीन घटकों वाले के साथ जोड़ने का कोई नियम नहीं है, क्योंकि तीसरी संख्या के साथ जोड़ने के लिए सामने कुछ होता ही नहीं। हर इनपुट में दो या तीन घटक चलते हैं — यह पैनल की सीमा है, हिसाब की नहीं — पर दोनों गिनतियाँ मेल खानी चाहिए, और पन्ना यह बताता है, चुपचाप ग़ायब घटक को शून्य मान नहीं लेता।

क्या जोड़ की लंबाई दोनों लंबाइयों का जोड़ है?

नहीं, और यही वह भूल है जिसे पन्ना सबसे ज़्यादा रोकना चाहता है। जोड़ की लंबाई दोनों लंबाइयों के जोड़ के बराबर सिर्फ़ तब होती है जब दोनों सदिश ठीक एक ही दिशा में हों; उलटी दिशाओं में वह लंबाइयों के अंतर के बराबर भी हो सकती है, और लंबवत होने पर दोनों में से किसी से भी छोटी। वजह यह है कि घटक आपस में कुछ काट देते हैं, और कितना कटेगा यह आकार पर नहीं, दिशाओं पर निर्भर करता है।

क्या मैं द्विविम सदिश को त्रिविम सदिश के साथ जोड़ सकता हूँ?

नहीं, और पन्ना इसे ठुकरा देता है, तीसरा ग़ायब घटक शून्य मानकर नहीं भरता। दो घटकों वाला सदिश तल में पड़ा सदिश है, जो उस तीन घटकों वाले सदिश जैसा ही है जिसका तीसरा घटक 0 हो — पर यह इस बात का तथ्य है कि तल अंतरिक्ष में कैसे पड़ा है, और यह इसकी इजाज़त नहीं देता कि किसी संख्या के सामने कुछ न होने पर भी जोड़ दिया जाए। अगर आपका मतलब यही है, तो तीसरा घटक साफ़ लिखिए।

• Vector addition — the component-by-component sum, and the parallelogram rule that says the same thing geometrically, which is what the two input boxes and the resultant rows implement — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector subtraction — the difference of two vectors as the sum with the second one negated, which is why one control on this page serves both operations — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object being added, including the rule that two vectors may only be added when they have the same number of components and that the sum of a vector and its negative is the zero vector — Wolfram MathWorld (United States)