सदिश कैलकुलेटर

u = (u₁, u₂, u₃) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) û = u ÷ |u|

सदिश u

इकलौता इनपुट: दो या तीन संख्याएँ, स्पेस या सेमीकॉलन से अलग। दो संख्याएँ तल में पड़ा सदिश हैं और तीन अंतरिक्ष में, और यही गिनती बताती है कि आपका मतलब कौन-सा था — कोई अलग विमा चुनने का विकल्प यहाँ नहीं है

u = (u₁, u₂, u₃)

घटक: वही संख्याएँ जो आपने लिखीं, सदिश के रूप में वापस पढ़ी हुई। दो घटकों वाले इनपुट में तीसरा घटक 0 होता है, जो भराव नहीं है — वही दिशा तीन निर्देशांकों में लिखी हुई ऐसी दिखती है

|u|

परिमाण: हर घटक का वर्ग, वर्गों का जोड़, और उसका वर्गमूल। यह पहली आउटपुट पंक्ति है और इस सवाल का जवाब कि सदिश कितना बड़ा है

û

इकाई सदिश, जिसे दिशा भी कहते हैं: हर घटक को परिमाण से भाग देकर। यह इनपुट की ठीक उसी रेखा पर इंगित करता है और बनावट से ही 1 लंबा होता है, इसलिए इसमें ढोए गए आँकड़े दिशा हैं, और कुछ नहीं

u ÷ |u|

वह भाग जो दोनों पढ़तों को अलग करता है। घटक वह हैं जो भीतर गए, इकाई सदिश के घटक वही हैं जिन्हें लंबाई से भाग दिया गया, और यह पन्ना दोनों छापता है ताकि वह क़दम दिखे, अनुमान का विषय न रहे — और बग़ल के पन्ने यही एक चीज़ नहीं करते

शून्य सदिश

ठुकराया जाता है, और वजह सँकरी है: इसका परिमाण 0 है, इसलिए इकाई सदिश वाला भाग 0 ÷ 0 बन जाता और बताने के लिए कोई दिशा बचती ही नहीं। शून्य सदिश कोई नाजायज़ इनपुट नहीं है — बग़ल वाला परिमाण का पन्ना शून्यों की यही सूची पढ़कर 0 ही जवाब देता है — पर यह पन्ना तीन पढ़तें वादा करता है और उनमें से दो ही दे सकता है

दो घटक

स्वीकार हैं। दो घटकों वाला सदिश तल में पड़ा सदिश है, उसका परिमाण भी वही वर्गमूल है बस नीचे दो पद हैं, और हर आउटपुट का तीसरा घटक 0 रहता है

चार दशमलव स्थान

आउटपुट कितने चौड़े लिखे जाते हैं। जहाँ इनपुट पूरी या ख़त्म होने वाली दशमलव संख्या थी वहाँ घटक वाली पंक्तियाँ उसे ठीक-ठीक दोहराती हैं; परिमाण अक्सर पूरी संख्या होता है; और इकाई सदिश लगभग हमेशा पूरा किया जाता है, क्योंकि किसी वर्गमूल से भाग देने पर आँकड़े शायद ही कभी ख़त्म होते हैं

कोई इकाई नहीं

घटक, परिमाण और इकाई सदिश के घटक, तीनों सादी संख्याएँ हैं। यहाँ किसी को यह नहीं पता कि घटक किसमें नापे गए थे, और तीनों पढ़तें वही अज्ञात इकाई साथ चलती हैं — सिवाय इकाई सदिश के, जो इकाई-रहित है

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब आपके पास एक सदिश हो और उसके बारे में वह सब चाहिए जो दूसरा सदिश लाए बिना कहा जा सकता हो। घटकों वाली पंक्तियाँ इनपुट को संख्याओं के रूप में वापस पढ़ती हैं — यह तब काम आता है जब लिखावट हाथ से हुई हो और देखना हो कि वह कैसे पढ़ी गई; परिमाण वाली पंक्ति बताती है कि वह कितना बड़ा है; और इकाई सदिश वाली पंक्तियाँ बताती हैं कि वह किस ओर है। आख़िरी दो व्यवहार में सबसे ज़्यादा काम की जोड़ी हैं, क्योंकि वे मिलकर सदिश के दो हिस्से हैं — एक आकार और एक दिशा — और यह पन्ना वह जगह है जहाँ उन दोनों की सीधी तुलना हो सकती है। यह सार है, किसी का विकल्प नहीं: अगर सिर्फ़ लंबाई चाहिए तो वह पन्ना जल्दी जवाब देता है जो बस लंबाई छापता है, और यही बात दिशा के लिए भी है, और दो सदिशों वाले काम जैसे जोड़ना, प्रक्षेपण या अदिश गुणनफल के लिए दो बक्सों वाला पन्ना चाहिए। इस पन्ने का अपना योगदान बग़ल-बग़ल दिखने वाला नज़ारा है। इकाई सदिश वाली पंक्तियाँ घटकों वाली पंक्तियों को परिमाण से भाग देकर निकली हैं और एक ही पैनल में छपी हैं, इसलिए वह भाग पढ़ा जा सकता है, मान लेना नहीं पड़ता। दो और तीन घटक, दोनों स्वीकार हैं, और दो घटकों वाले सदिश का तीसरा घटक हर जगह 0 रहता है। शून्य सदिश इकलौता ठुकराया गया इनपुट है, और वह इसलिए ठुकराया जाता है कि तीन में से एक वादा की हुई पढ़त उसके लिए मौजूद नहीं है, इसलिए नहीं कि इनपुट नाजायज़ है।

1. 3 4

   1. घटक: इनपुट वापस पढ़ने पर (3, 4, 0)
   2. परिमाण: √(9 + 16) = √25 = 5
   3. इकाई सदिश का x: 3 ÷ 5 = 0.6
   4. इकाई सदिश का y: 4 ÷ 5 = 0.8
   5. इकाई सदिश का z: 0 ÷ 5 = 0

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और यही पंक्ति बताती है कि घटक छापे ही क्यों जाते हैं। दूसरे झुंड का हर आँकड़ा पहले झुंड के किसी आँकड़े को 5 से भाग देकर आया है, और दोनों झुंड एक ही पर्दे पर होने से वह भाग निकालने की जगह पढ़ा जा सकता है। यहाँ परिमाण पूरी संख्या है क्योंकि 3-4-5 एक समकोण त्रिभुज है, और इसीलिए इकाई सदिश के दोनों घटक भी ठीक-ठीक आते हैं। भाग को उलटी तरफ़ से जाँचिए: 0.6 गुणा 5 बराबर 3 और 0.8 गुणा 5 बराबर 4, यानी इकाई सदिश को परिमाण से गुणा करने पर सदिश वापस मिल जाता है।

2. 0 0 5

   1. घटक: इनपुट वापस पढ़ने पर (0, 0, 5)
   2. परिमाण: √(0 + 0 + 25) = 5
   3. इकाई सदिश का x: 0 ÷ 5 = 0
   4. इकाई सदिश का y: 0 ÷ 5 = 0
   5. इकाई सदिश का z: 5 ÷ 5 = 1

   z अक्ष पर पड़ा सदिश, और वह मामला जिसमें घटकों वाले स्तंभ अपनी जगह सबसे साफ़ कमाते हैं। जैसा लिखा गया है, 0 0 5 को एक संख्या वाला सदिश पढ़ा जा सकता था; घटकों वाली पंक्तियाँ साफ़ कर देती हैं कि यह त्रिविम सदिश है जिसके पहले दो घटक संयोग से शून्य हैं। तब इकाई सदिश ख़ुद अक्ष की दिशा है, 0 0 1, और भाग की सबसे आसान जाँच भी यही पंक्ति है: 5 बटा 5 एक, और 0 बटा 5 शून्य।

3. 2 3 6

   1. घटक: (2, 3, 6)
   2. परिमाण: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   3. इकाई सदिश का x: 2 ÷ 7 = 0.285714
   4. इकाई सदिश का y: 3 ÷ 7 = 0.428571
   5. इकाई सदिश का z: 6 ÷ 7 = 0.857143

   साधारण त्रिविम मामला, और वह पंक्ति जो दिखाती है कि तीनों पढ़तें सचमुच अलग-अलग संख्याएँ हैं। परिमाण पूरी संख्या है, 7, जबकि इकाई सदिश का कोई भी घटक पूरा नहीं है: तीनों आवर्ती दशमलव हैं, चार स्थानों तक पूरे किए हुए। घटक ख़ुद ठीक-ठीक हैं, और उनकी तुलना इकाई सदिश वाले झुंड से करना ही पूरा हिसाब है — 2 बटा 7, 3 बटा 7, 6 बटा 7। यह भी देखिए कि सबसे बड़ा घटक, 6, इकाई सदिश का सबसे बड़ा घटक देता है, क्योंकि तीन संख्याओं को एक ही संख्या से भाग देने पर उनका क्रम नहीं बदल सकता।

4. −3 4

   1. घटक: (−3, 4, 0)
   2. परिमाण: √(9 + 16) = 5, वही जो 3 4 का था
   3. इकाई सदिश का x: −3 ÷ 5 = −0.6
   4. इकाई सदिश का y: 4 ÷ 5 = 0.8
   5. इकाई सदिश का z: 0 ÷ 5 = 0

   पहला उदाहरण, बस एक चिह्न बदला हुआ, और वह पंक्ति जो बताती है कि चिह्न तीनों पढ़तों में से कहाँ तक पहुँचता है। परिमाण 5 ही रहता है, क्योंकि किसी घटक का चिह्न पलटने से उसके वर्गों का जोड़ नहीं बदलता। घटक चिह्न रखते हैं, यह साफ़ है। इकाई सदिश भी रखता है, क्योंकि धनात्मक लंबाई से भाग देने पर सदिश पलट नहीं सकता — इसलिए तीनों पढ़तों में से दिशा सिर्फ़ घटक और इकाई सदिश वाली पंक्तियाँ ढोती हैं, और परिमाण वह अकेली है जो ढो नहीं सकती। इसी पन्ने की तालिका इस उदाहरण के बग़ल में रखिए: दोनों पंक्तियाँ साथ-साथ बैठी हैं और ठीक एक चिह्न से अलग हैं।

5. 1 1 1

   1. घटक: (1, 1, 1)
   2. परिमाण: √(1 + 1 + 1) = √3 = 1.732051
   3. इकाई सदिश का x: 1 ÷ 1.732051 = 0.577350
   4. इकाई सदिश का y: 1 ÷ 1.732051 = 0.577350
   5. इकाई सदिश का z: 1 ÷ 1.732051 = 0.577350

   घन का विकर्ण, और वह मामला जिसमें तीनों इकाई-सदिश घटक बराबर आते हैं — यानी दिशा तीनों अक्षों से एक ही कोण बनाती है। यहाँ भाग को आँख से पकड़ना सबसे आसान है: तीनों इनपुट संख्याएँ एक ही हैं, इसलिए तीनों आउटपुट संख्याएँ भी एक ही होनी चाहिए, और हैं। ध्यान दीजिए कि परिमाण 1.7321 है, इसलिए तीनों घटकों का जोड़ 3 नहीं बल्कि उससे थोड़ा ज़्यादा 1.7321 है — इकाई सदिश के घटक कभी जोड़कर 1 नहीं होते, क्योंकि उसकी लंबाई 1 है, और लंबाई उसी वर्गमूल से निकलती है जिससे यह पन्ना शुरू हुआ था।

दो या तीन घटक स्वीकार हैं, बस इतने ही। बग़ल के पन्नों से जो ओवरलैप है वह असली है और उसे नाम लेकर बताना चाहिए, क्योंकि यह पन्ना सार है और वे विशेषज्ञ हैं: परिमाण वाली पंक्ति में ठीक वही संख्या आती है जो सदिश का परिमाण वाला पन्ना देता है, तीनों इकाई सदिश पंक्तियों में ठीक वही संख्याएँ आती हैं जो इकाई सदिश वाला पन्ना देता है, और उन दोनों पन्नों में से कोई घटक नहीं छापता। अगर आपको उनमें से कोई एक जवाब चाहिए, तो छोटा पन्ना वह जल्दी देता है; इस पन्ने का जोड़ इकाई सदिश के बग़ल में घटक हैं, और वही अकेली जगह है जहाँ भाग एक भाग की तरह दिखता है। यह एक सदिश संभालता है, इसलिए दो सदिशों वाली कोई भी चीज़ — जोड़ना, घटाना, प्रक्षेपण, अदिश गुणनफल, कोण — उन पन्नों की है जो दो बक्से लेते हैं। शून्य सदिश ठुकरा दिया जाता है: उसका परिमाण 0 है और उसकी कोई दिशा नहीं, इसलिए इकाई सदिश वाली पंक्तियाँ भरी नहीं जा सकतीं, और पैनल हर पंक्ति के लिए एक संख्या छापता है या किसी के लिए भी नहीं। वह इनकार इस पन्ने के वादे के बारे में है, इनपुट के बारे में नहीं, और उसी इनपुट का जवाब परिमाण वाला पन्ना 0 देता है। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़), और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता — इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। दो घटकों वाला सदिश स्वीकार है और उसका तीसरा घटक हर जगह 0 रहता है, ग़ायब नहीं होता। यहाँ किसी को यह नहीं पता कि घटक किसमें नापे गए थे — इकाई सदिश इकाई-रहित है, और घटक तथा परिमाण वही इकाई साथ चलाते हैं जो इनपुट में थी। चार दशमलव स्थान सटीकता का दावा नहीं, लिखने की चौड़ाई हैं।

यह पन्ना बाक़ी सदिश पन्नों से ज़्यादा क्या देता है?

घटक, संख्याओं के रूप में उस इकाई सदिश के बग़ल छपे हुए जिसमें उन्हें भाग दिया गया। परिमाण वाली पंक्ति में वही संख्या आती है जो सदिश का परिमाण वाला पन्ना देता है और इकाई सदिश वाली पंक्तियों में वही संख्याएँ जो इकाई सदिश वाला पन्ना देता है, इसलिए पढ़तें ख़ुद नई नहीं हैं। नया यह है कि वे सब घटकों के साथ एक ही पैनल में हैं, और वही अकेली जगह है जहाँ आप एक झुंड में 3 और 4 तथा अगले में 0.6 और 0.8 देखकर भाग सीधे पढ़ सकते हैं।

इनमें से कौन-सी संख्याएँ दिशा बताती हैं?

इकाई सदिश की तीनों पंक्तियाँ, और उन्हें साथ पढ़ना पड़ता है: अकेला एक घटक दिशा नहीं होता। इकाई सदिश आपके लिखे सदिश की ठीक उसी रेखा पर इंगित करता है, लंबाई हटा दी गई है, इसलिए उसकी अपनी लंबाई हर बार 1 रहती है और उसमें रखे आँकड़े पूरी तरह दिशा के बारे में हैं। उसके ऊपर वाली परिमाण की पंक्ति एक अकेली संख्या है और दिशा बता ही नहीं सकती, इसीलिए तीनों पंक्तियाँ चाहिए।

जब मैंने घटक ख़ुद लिखे थे तो वे छापे क्यों जाते हैं?

क्योंकि इनपुट को संख्याओं के रूप में इकाई सदिश के बग़ल देखना ही इस पन्ने का मतलब है। इससे यह भी तय हो जाता है कि आपकी लिखावट कैसे पढ़ी गई: 0 0 5 को एक संख्या वाला सदिश समझा जा सकता था, और घटकों वाली पंक्तियाँ दिखाती हैं कि यह त्रिविम सदिश है जिसमें दो घटक शून्य हैं। इनके बिना पैनल परिमाण और दिशा तो दिखाता, पर इनपुट का उनमें से किसी के साथ कोई दिखने वाला रिश्ता न होता।

परिमाण वाला पन्ना शून्य सदिश स्वीकार करता है तो यहाँ उसे क्यों ठुकराया जाता है?

क्योंकि यह पन्ना तीन पढ़तें वादा करता है और शून्य सदिश के लिए उनमें से दो ही मौजूद हैं: घटक 0 0 0 हैं और परिमाण 0, पर कोई दिशा नहीं — उसे इकाई सदिश बनाने का मतलब होगा शून्य लंबाई से भाग देना। परिमाण वाला पन्ना एक पढ़त वादा करता है और वह दे सकता है, इसलिए वही इनपुट वहाँ जवाब पा जाता है। पैनल हर पंक्ति के लिए एक मान छापता है, इसलिए आधा-अधूरा नतीजा यह पन्ना दिखा ही नहीं सकता।

यह सदिश का परिमाण वाले कैलकुलेटर से किस तरह अलग है?

वह पन्ना एक सवाल का जवाब देता है और यह तीन का; परिमाण की संख्या दोनों पर एक जैसी ही है। अगर सिर्फ़ लंबाई चाहिए तो छोटा पन्ना जल्दी पहुँच जाता है। यह पन्ना तब के लिए है जब लंबाई और दिशा दोनों चाहिए और यह भी देखना हो कि दोनों में रिश्ता क्या है — इकाई सदिश के घटक यानी घटकों को परिमाण से भाग देकर, और दोनों के एक ही पर्दे पर होने से वह जाँचने की चीज़ बन जाता है, भरोसे की नहीं।

क्या मैं द्विविम सदिश लिख सकता हूँ?

हाँ, और हर पंक्ति का तीसरा घटक 0 आता है। दो घटकों वाला सदिश तल में पड़ा सदिश है, जो उस त्रिविम सदिश जैसा ही है जिसका तीसरा घटक 0 हो, इसलिए एक ही पैनल दोनों संभाल लेता है और विमा चुनने का कोई विकल्प नहीं चाहिए। परिमाण भी वही वर्गमूल है, बस नीचे दो पद हैं, और इकाई सदिश उन दोनों घटकों को उसी लंबाई से भाग देकर बनता है।

• Vector — the object this page describes, including the definition of its components and of the two quantities derived from them here, its magnitude and its direction — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the first of this page's three readings — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is how the direction reading is expressed and what the division by the magnitude produces — Wolfram MathWorld (United States)