सदिश प्रक्षेप कैलकुलेटर

s ＝ (u · v) ÷ |v| proj_v u ＝ (s ÷ |v|) · v ＝ ((u · v) ÷ |v|²) · v

स्रोत सदिश u

वह सदिश जिसे प्रक्षेपित किया जा रहा है — जिसकी छाया चाहिए। दो या तीन संख्याएँ, स्पेस या सेमीकॉलन से अलग। यह शून्य सदिश हो सकता है, और तब इसका प्रक्षेपण सीधे शून्य होता है

लक्ष्य सदिश v

वह सदिश जिस पर छाया पड़ती है, और जो दिशा देता है। यह बक्सा और दूसरा बक्सा एक-दूसरे की जगह इस्तेमाल नहीं हो सकते: दोनों बदल देने पर जवाब बदल जाता है, इसीलिए इन्हें नंबर देने की जगह भूमिका से पहचाना गया है

u · v

दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल: हर जोड़ी के घटक गुणा करके गुणनफल जोड़ दिए जाते हैं। यह दोनों फ़ॉर्मूलों के अंश में आता है, इसलिए यह देखने लायक़ है कि अदिश गुणनफल शून्य होने का मतलब है दोनों सदिश लंबवत हैं — और वही मामला प्रक्षेपण को शून्य बनाता है

|v|

लक्ष्य सदिश की लंबाई, और अदिश गुणनफल इसी से भाग दिया जाता है। अगर लक्ष्य की लंबाई 1 हो तो यह भाग कुछ नहीं बदलता और अदिश प्रक्षेपण सीधे अदिश गुणनफल बन जाता है — तालिका की पहली पंक्ति यही मामला है, और हाथ से जाँचने लायक़ सबसे आसान पंक्ति भी

s

अदिश प्रक्षेपण: लक्ष्य की दिशा में स्रोत कितनी दूर तक पहुँचता है, चिह्न के साथ एक संख्या के रूप में। जब दोनों मोटे तौर पर उलटी ओर हों तो यह ऋणात्मक होता है और जब लंबवत हों तो शून्य। यह न स्रोत सदिश की लंबाई है और न अदिश गुणनफल — यह अदिश गुणनफल को लक्ष्य की लंबाई से भाग देकर आता है

proj_v u

प्रक्षेपण सदिश: अदिश प्रक्षेपण को लक्ष्य के इकाई सदिश से गुणा किया जाता है, जिससे दिशा वापस आ जाती है और जवाब लक्ष्य की रेखा पर ठीक-ठीक पड़ा सदिश बन जाता है। इसकी लंबाई s का निरपेक्ष मान होती है

s का चिह्न

लक्ष्य उलट देने पर क्या होता है। लक्ष्य सदिश का चिह्न बदलने पर अदिश प्रक्षेपण का चिह्न पलट जाता है, क्योंकि अंश का चिह्न बदलता है और हर की वर्गित लंबाई नहीं बदलती — लेकिन प्रक्षेपण सदिश जस का तस रहता है, क्योंकि वही ऋण चिह्न ऊपर भी एक बार और नीचे भी एक बार आ जाता है

शून्य लक्ष्य सदिश

ठुकरा दिया जाता है। लक्ष्य ही दिशा देता है और हर भी वही बनता है, और शून्य सदिश में दोनों नहीं हैं: हर शून्य हो जाएगा, और प्रक्षेपित करने के लिए कोई रेखा ही नहीं बचेगी। शून्य स्रोत सदिश बिल्कुल अलग बात है और स्वीकार है, और तब प्रक्षेपण शून्य आता है

कोई इकाई नहीं

अदिश प्रक्षेपण और प्रक्षेपण सदिश के तीनों घटक यहाँ सादे संख्याएँ हैं। अदिश प्रक्षेपण की इकाई वही है जो इनपुट घटकों की थी, क्योंकि वह उन्हीं में नापी गई एक लंबाई है, पर इस पन्ने को नहीं पता कि वह क्या थी

चार दशमलव स्थान

जवाब कितने चौड़े लिखे जाते हैं। अदिश प्रक्षेपण अक्सर इनपुट का साफ़ भिन्न निकलता है — 11 को 5 से भाग देने पर ठीक 2.2 — जबकि सदिश के घटक लगभग हमेशा पूरे किए हुए आते हैं

यह पन्ना तब इस्तेमाल कीजिए जब आपको किसी सदिश का वह हिस्सा चाहिए जो दूसरे सदिश की दिशा में पड़ता है — किसी भी चीज़ को घटकों में बाँटने की असली अवस्था यही है। किसी बल के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर हिस्से निकालना दोनों अक्षों पर प्रक्षेपण है; बल द्वारा किया गया काम बल का गति की दिशा पर प्रक्षेपण होता है, जिसे दूरी से गुणा किया जाता है; छाया, ढलान के साथ वाला घटक, और न्यूनतम वर्गों वाले फ़िट का गुणांक — सब यही क्रिया हैं। इसके दो जवाब इस बारे में दो अलग सवालों के उत्तर हैं। चिह्न वाला अदिश बताता है कितना, और किस ओर, यह भी: आगे के हिसाब में यही काम आता है, जहाँ ऋणात्मक मान का मतलब है कि स्रोत लक्ष्य से दूर झुका है। सदिश बताता है कहाँ, और यह तब काम आता है जब जवाब को सदिश ही रहना हो — यह लक्ष्य की रेखा पर ठीक-ठीक पड़ा होता है, इसलिए इसे किसी और सदिश में जोड़ा जा सकता है या खींचा जा सकता है। दोनों का फ़र्क़ देखने का सबसे तेज़ तरीक़ा लक्ष्य सदिश उलट देना है: अदिश का चिह्न बदल जाता है और सदिश का नहीं, क्योंकि अदिश किसी ओर के सापेक्ष नापा जाता है और सदिश नहीं। लंबवत सदिशों का प्रक्षेपण दोनों जवाबों में शून्य आता है, और शून्य यहाँ सचमुच एक जवाब है — इसका मतलब है कि स्रोत में लक्ष्य की दिशा वाला कोई हिस्सा नहीं है। एक ही इनपुट इस्तेमाल नहीं हो सकता: शून्य लक्ष्य सदिश, क्योंकि दिशा और भाजक — यही दो चीज़ें वह नहीं दे पाता।

1. 3 4 का 1 0 पर प्रक्षेपण

   1. अदिश गुणनफल: 3 × 1 ＋ 4 × 0 ＝ 3
   2. लक्ष्य की लंबाई: |1 0| ＝ 1
   3. अदिश प्रक्षेपण: 3 ÷ 1 ＝ 3
   4. प्रक्षेपण सदिश: (3 ÷ 1) × (1, 0) ＝ (3, 0, 0)

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और वह मामला जिसमें कुछ छिपा नहीं है: लक्ष्य एक इकाई सदिश है, इसलिए उसकी लंबाई से भाग देने से कुछ नहीं बदलता और अदिश प्रक्षेपण सीधे अदिश गुणनफल बन जाता है। आँख से जाँचने लायक़ यह भी सबसे आसान है, क्योंकि लक्ष्य x अक्ष पर पड़ा है और प्रक्षेपण वही स्रोत है जिसका y घटक गिरा दिया गया हो। प्रक्षेपण सबसे सरल रूप में यही करता है — सदिश का वह हिस्सा रख लेता है जो लक्ष्य की ओर है और बाक़ी गिरा देता है।

2. 1 2 का 3 4 पर प्रक्षेपण

   1. अदिश गुणनफल: 1 × 3 ＋ 2 × 4 ＝ 11
   2. लक्ष्य की लंबाई: √(9 ＋ 16) ＝ 5
   3. अदिश प्रक्षेपण: 11 ÷ 5 ＝ 2.2
   4. प्रक्षेपण सदिश: (2.2 ÷ 5) × (3, 4) ＝ (1.32, 1.76, 0)

   यह सामान्य मामला है, जहाँ लक्ष्य इकाई सदिश नहीं है और दोनों भाग देने पड़ते हैं। अदिश प्रक्षेपण ठीक-ठीक आता है — 11 को 5 से भाग देने पर 2.2 — जबकि सदिश के घटक नहीं। जाँचिए कि जवाब सचमुच लक्ष्य की रेखा पर पड़ा है: 1.32 को 3 से भाग देने पर 0.44 और 1.76 को 4 से भाग देने पर भी 0.44 आता है, यानी दोनों घटकों का अनुपात वही है जो लक्ष्य के घटकों का है, और इस रेखा पर होने का मतलब ठीक यही है। प्रक्षेपण की लंबाई 2.2 है, यानी अदिश — जैसा होना चाहिए।

3. 3 4 का −1 0 पर प्रक्षेपण

   1. अदिश गुणनफल: 3 × (−1) ＋ 4 × 0 ＝ −3
   2. लक्ष्य की लंबाई: |−1 0| ＝ 1
   3. अदिश प्रक्षेपण: −3 ÷ 1 ＝ −3
   4. प्रक्षेपण सदिश: (−3 ÷ 1) × (−1, 0) ＝ (3, 0, 0)

   वही स्रोत और वही रेखा जो पहले उदाहरण में थी, बस लक्ष्य उलटी ओर — और यह इस पन्ने पर सबसे साफ़ प्रमाण है कि दोनों जवाबों में से किसे क्या पता है। अदिश प्रक्षेपण पलटकर −3 हो गया: वह किसी ओर के सापेक्ष नापा जाता है, और वह ओर बदल गई। प्रक्षेपण सदिश पहले उदाहरण वाला ही है, अक्षर-दर-अक्षर (3, 0, 0), क्योंकि लक्ष्य का चिह्न बदलने से अंश में एक ऋण और हर के वर्ग में दूसरा ऋण आता है, और दोनों कट जाते हैं। अदिश को पता है कि लक्ष्य किस ओर है; सदिश को केवल उसकी रेखा पता है।

4. 1 0 का 0 1 पर प्रक्षेपण

   1. अदिश गुणनफल: 1 × 0 ＋ 0 × 1 ＝ 0
   2. लक्ष्य की लंबाई: |0 1| ＝ 1
   3. अदिश प्रक्षेपण: 0 ÷ 1 ＝ 0
   4. प्रक्षेपण सदिश: (0 ÷ 1) × (0, 1) ＝ (0, 0, 0)

   दो लंबवत सदिश, और प्रक्षेपण दोनों जवाबों में शून्य। यह सच्चा जवाब है, कोई नाकामी नहीं: इसका मतलब है कि स्रोत में लक्ष्य की ओर पड़ने वाला कोई हिस्सा नहीं है, और लंबवत होने का मतलब ठीक यही है। अदिश गुणनफल का शून्य होना वही संकेत है जिसे देखना है, और किसी एक सदिश के शून्य हुए बिना अदिश प्रक्षेपण शून्य करने का यही इकलौता तरीक़ा है। यहाँ दोनों सदिश एक-एक इकाई लंबे हैं, इसलिए कोई भी छोटा नहीं है — दो पूरी लंबाई वाले सदिशों के बीच शून्य प्रक्षेपण पहली बार देखने पर ठहरकर सोचने लायक़ है।

5. 0 0 का 3 4 पर प्रक्षेपण

   1. अदिश गुणनफल: 0 × 3 ＋ 0 × 4 ＝ 0
   2. लक्ष्य की लंबाई: √(9 ＋ 16) ＝ 5
   3. अदिश प्रक्षेपण: 0 ÷ 5 ＝ 0
   4. प्रक्षेपण सदिश: (0 ÷ 5) × (3, 4) ＝ (0, 0, 0)

   स्रोत की जगह शून्य सदिश: अदिश गुणनफल में हर गुणनफल शून्य है, इसलिए दोनों जवाब शून्य आते हैं और भाग देने की कोई दिक़्क़त भी नहीं उठती। इस पन्ने पर यह इनपुट कहीं से भी ठुकराया नहीं जाता। मना करने की दिशा उलटी है — लक्ष्य सदिश वह है जो शून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि दिशा और भाजक वही देता है, और शून्य सदिश पर प्रक्षेपण के लिए कोई रेखा ही नहीं है जिस पर वह गिरे।

दोनों सदिशों में घटकों की संख्या एक ही होनी चाहिए, और हर एक में दो या तीन। दोनों बक्से एक-दूसरे की जगह इस्तेमाल नहीं हो सकते, और लेबल बता देते हैं कि कौन कौन है: स्रोत वह सदिश है जिसे प्रक्षेपित करना है, और लक्ष्य वह जिस पर प्रक्षेपित करना है। दोनों बदल देने पर एक अलग जवाब आता है जो बिल्कुल ठीक दिखता है, इसलिए अगर कोई नतीजा चौंकाए तो हिसाब जाँचने से पहले दोनों बक्से देख लीजिए। लक्ष्य सदिश शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि दिशा और भाजक दोनों वही देता है; स्रोत सदिश शून्य हो सकता है, और तब प्रक्षेपण शून्य आता है। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़) — और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता, इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। चार दशमलव स्थान लिखने की चौड़ाई हैं, सटीकता का दावा नहीं, और प्रक्षेपण सदिश बिना पूरा किए गए अदिश से निकाला जाता है, इसलिए किसी घटक को वापस पढ़कर लक्ष्य के उसी घटक से भाग देने पर छपा हुआ अदिश ठीक-ठीक न मिले। संदर्भ तालिका स्रोत और लक्ष्य सदिशों को लिखे गए रूप में और चारों जवाब दिखाती है, और उसमें जान-बूझकर शून्य लक्ष्य सदिश वाली कोई पंक्ति नहीं है, क्योंकि वह मामला यह पन्ना हल ही नहीं कर सकता। एक ओवरलैप नाम लेने लायक़ है: अदिश गुणनफल प्रक्षेपण के फ़ॉर्मूले में अंश बनकर आता है, और इकाई सदिश दूसरे फ़ॉर्मूले में वह दिशा बनकर आता है जिससे गुणा करके दिशा वापस डाली जाती है — यानी यह पन्ना उन दोनों औज़ारों पर टिका है, पर उनमें से कोई एक नहीं है; प्रक्षेपण उनका भागफल है, न अदिश गुणनफल और न कोई इकाई सदिश।

अदिश प्रक्षेपण और प्रक्षेपण सदिश में क्या फ़र्क़ है?

अदिश प्रक्षेपण एक चिह्नित संख्या है: लक्ष्य की दिशा में स्रोत कितनी दूर तक पहुँचता है, और जब दोनों अलग-अलग ओर झुके हों तो वह ऋणात्मक। प्रक्षेपण सदिश वही दूरी है, पर लक्ष्य की रेखा पर पड़े सदिश के रूप में लिखी हुई। अदिश को पता है कि लक्ष्य किस ओर है, सदिश को नहीं — लक्ष्य उलट दीजिए तो अदिश का चिह्न पलट जाता है और प्रक्षेपण सदिश नहीं बदलता। आगे के हिसाब में अदिश लीजिए, और जब जवाब को सदिश ही रहना हो तो सदिश।

अदिश प्रक्षेपण ऋणात्मक कब आता है?

जब स्रोत सदिश लक्ष्य की ओर झुकने की जगह उससे दूर झुका हो। अदिश प्रक्षेपण किसी ओर के सापेक्ष नापा जाता है, इसलिए जब दोनों सदिश मोटे तौर पर उलटी दिशाओं में हों तो जवाब ऋणात्मक आता है। यह ग़लती नहीं है और यह ऐसा चिह्न भी नहीं है जिसे हटाया जा सके: किसी दिशा के उलट खींचने वाले बल का उस दिशा में घटक सचमुच ऋणात्मक होता है, और इसी कारण किया गया काम भी ऋणात्मक निकल सकता है।

प्रक्षेपित कौन-सा सदिश होता है?

स्रोत सदिश, यानी पहला बक्सा। दूसरा बक्सा लक्ष्य सदिश है, जो वह दिशा देता है जिसके साथ छाया पड़ती है। इस पन्ने पर दोनों एक-दूसरे की जगह नहीं लग सकते: u का v पर प्रक्षेपण और v का u पर प्रक्षेपण दो अलग संख्याएँ हैं, और दोनों बक्से बदल देने पर जवाब बदल जाता है जबकि कुछ टूटा हुआ नहीं दिखता। इसीलिए इन बक्सों को सदिश u और सदिश v कहने की जगह भूमिका से पहचाना गया है।

दोनों सदिश लंबवत हों तो क्या होता है?

दोनों जवाब शून्य आते हैं, और यह नाकामी नहीं बल्कि सच्चा जवाब है। अदिश गुणनफल का शून्य होने का मतलब है कि दोनों सदिश लंबवत हैं — किसी एक सदिश के ख़ुद शून्य हुए बिना अदिश प्रक्षेपण शून्य करने का यही इकलौता तरीक़ा है — और शून्य प्रक्षेपण का मतलब है कि स्रोत में लक्ष्य की ओर पड़ने वाला कोई हिस्सा ही नहीं है। संदर्भ तालिका की चौथी पंक्ति यही मामला है। भौतिकी में यही बात यह कहकर लिखी जाती है कि लंबवत बल एक-दूसरे पर कोई काम नहीं करते।

क्या प्रक्षेपित किया जाने वाला सदिश शून्य हो सकता है?

हाँ, और तब दोनों जवाब शून्य आते हैं: अदिश गुणनफल में हर गुणनफल शून्य है, और भाग लक्ष्य की लंबाई से दिया जाता है, जो ठीक है। इस पन्ने पर मना करने की दिशा उलटी है। लक्ष्य सदिश वह है जो शून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि दिशा और भाजक वही देता है, और शून्य सदिश पर प्रक्षेपित करने के लिए कोई रेखा ही नहीं है।

प्रक्षेपण का फ़ॉर्मूला क्या है?

अदिश प्रक्षेपण दोनों सदिशों के अदिश गुणनफल को लक्ष्य की लंबाई से भाग देकर आता है: s ＝ (u · v) ÷ |v|. प्रक्षेपण सदिश उस अदिश को लक्ष्य के इकाई सदिश से गुणा करता है, जो अदिश गुणनफल को लक्ष्य से गुणा करके लक्ष्य की वर्गित लंबाई से भाग देने के बराबर है। जब लक्ष्य की लंबाई पहले से 1 हो तो दोनों फ़ॉर्मूले सरल हो जाते हैं और अदिश प्रक्षेपण सीधे अदिश गुणनफल बन जाता है — इसीलिए संदर्भ तालिका की पहली पंक्ति हाथ से जाँचने लायक़ है।

• Scalar projection — the length of the shadow one vector casts along another, signed, which is the first of this page's two outputs — Wolfram MathWorld (United States)
• Dot product — the sum of the products of corresponding components, which is the numerator of the projection and the quantity whose being zero means the vectors are perpendicular — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing along the target, which is what the scalar projection is multiplied by to give the projection vector — Wolfram MathWorld (United States)