दो सदिशों के बीच का कोण

cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|) θ = arccos(cos θ) u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ

सदिश u

पहला सदिश, उसके घटकों के रूप में, स्पेस या सेमीकॉलन से अलग: तीन विमाओं के लिए 1 1 0, दो के लिए 0 3, या जितने चाहिए उतने। बक्सों की कोई तय संख्या नहीं है क्योंकि पन्ना किसी भी विमा को स्वीकार करता है, और दोनों सदिशों में घटकों की संख्या एक-दूसरे के बराबर होनी चाहिए

सदिश v

दूसरा सदिश, इसी तरह लिखा हुआ और पहले के बराबर घटकों के साथ। दोनों सदिश बदल देने से कुछ नहीं बदलता — उनके बीच का कोण दोनों तरह से एक ही रहता है

u · v

अदिश गुणनफल, जिसे यह पन्ना इस्तेमाल करता है पर छापता नहीं: पहले घटकों को आपस में गुणा कीजिए, दूसरे घटकों को, और इसी तरह आगे भी, और गुणनफल जोड़ दीजिए। यहाँ यह कोण का कच्चा माल है, अपने आप में कोई जवाब नहीं

|u| और |v|

दोनों सदिशों की लंबाई, जिस भी इकाई में घटक नापे गए थे उसी में: उसके घटकों के वर्गों के जोड़ का वर्गमूल। अदिश गुणनफल इन्हीं दोनों संख्याओं से भाग दिया जाता है, और हर एक अपनी अलग बात है — इनमें से एक का बड़ा होना दूसरे के बारे में कुछ नहीं कहता

cos θ

दोनों सदिशों के बीच के कोण का cosine: अदिश गुणनफल को दोनों लंबाइयों के गुणनफल से भाग देकर। एक ही ओर इंगित करते सदिशों के लिए यह 1 से चलता है, समकोण पर 0 से होकर, उलटी दिशाओं में इंगित करते सदिशों के लिए −1 तक, और इस दायरे से कभी बाहर नहीं जाता। कोण असल में इसी संख्या से निकाला जाता है, इसीलिए पन्ना इसे छापता है

θ

दोनों सदिशों के बीच का कोण, डिग्री में — एक ही ओर होने पर 0 से, लंबवत होने पर 90 से होकर, उलटी दिशाओं में होने पर 180 तक। यह ऊपर वाली संख्या का प्रतिलोम cosine है, इसलिए इसका दायरा वही रहता है और यह उससे बाहर कभी नहीं आ सकता

रेडियन

वही कोण दूसरे तरीक़े से लिखा हुआ: 180 डिग्री π रेडियन होते हैं, 90 उसका आधा, और यह आउटपुट बिना किसी इकाई की सादी संख्या है। कलन के फ़ॉर्मूले और ज़्यादातर प्रोग्रामिंग भाषाएँ रेडियन माँगते हैं, इसलिए पन्ना दोनों देता है, आपको π से गुणा करके 180 से भाग देने नहीं भेजता

डिग्री

मुख्य आउटपुट की इकाई, और इस पन्ने का अकेला ऐसा आउटपुट जिसकी कोई इकाई है। cosine और रेडियन वाला आँकड़ा सादी संख्याएँ हैं

चार दशमलव स्थान

हर आउटपुट कितना चौड़ा लिखा जाता है। cosine सिर्फ़ ख़ास मामलों में ठीक-ठीक आता है — 0, 0.5, 1 और −1 — और कोण भी तभी ठीक-ठीक आता है जब cosine इनमें से कोई हो, इसलिए इस पन्ने की लगभग हर पंक्ति में पूरे किए हुए आँकड़े हैं

यह वह पन्ना है जब आपको कोण ख़ुद चाहिए, केवल यह नहीं कि दो दिशाओं का आपस में क्या रिश्ता है। तीन कोण बिना कोई हिसाब किए पहचानने लायक़ हैं: cosine 1 का मतलब 0 डिग्री और दोनों सदिश एक ही ओर, cosine 0 का मतलब 90 डिग्री और दोनों लंबवत, और cosine −1 का मतलब 180 डिग्री और दोनों उलटी दिशाओं में। बाक़ी हर जवाब सचमुच एक कोण है और पन्ना उसे चार दशमलव स्थानों तक देता है। असली सबसे आम इस्तेमाल है किसी दिशा को किसी मानक दिशा से मिलाकर देखना — हवा उत्तर से कितनी घूम गई, कैमरा कितना मुड़ा, नापी गई दिशा अपनी होनी चाहिए वाली दिशा से कितनी खिसक गई। जिन ज्यामिति के सवालों में दो दिशाएँ मालूम हों, वही हिसाब उनमें भी लगता है, और दो रेखाओं के बीच का कोण भी, बस हर रेखा को सदिश की तरह लिख लेने के बाद। किसी भी जवाब की काम की जाँच यह है कि cosine और कोण एक ही बात कहें: शून्य से बड़ा cosine हमेशा 90 डिग्री से कम कोण के साथ जाता है, ऋणात्मक cosine उससे बड़े कोण के साथ, और शून्य cosine ठीक 90 के साथ। अगर दोनों आपस में न मिलें, तो घटक वह नहीं हैं जो आपने सोचा था। रेडियन वाला आउटपुट उस मामले के लिए है जहाँ कोण किसी फ़ॉर्मूले में या कोड की किसी पंक्ति में जाने वाला है, क्योंकि वे लगभग हमेशा रेडियन माँगते हैं, और हाथ से बदलना ही वह जगह है जहाँ चिह्न की ग़लतियाँ और 180 के गुणक की भूलें पैदा होती हैं।

1. 1 1 0 और 1 0 1

   1. अदिश गुणनफल: 1 × 1 + 1 × 0 + 0 × 1 = 1
   2. u की लंबाई: √(1 + 1 + 0) = √2 = 1.414214
   3. v की लंबाई: √(1 + 0 + 1) = √2 = 1.414214
   4. cosine: 1 ÷ (1.414214 × 1.414214) = 1 ÷ 2 = 0.5
   5. कोण: 0.5 का प्रतिलोम cosine 60 डिग्री है, यानी 60 × π ÷ 180 = 1.047198 रेडियन

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और सबसे साफ़ पंक्ति भी: cosine ठीक आधा और कोण ठीक 60 डिग्री निकलता है। ध्यान दीजिए कि अदिश गुणनफल, यानी 1, पैनल पर कहीं नहीं है — यह पन्ना cosine और कोण छापता है, और अदिश गुणनफल बीच का क़दम है। दोनों लंबाइयाँ दो का वर्गमूल हैं, इसलिए उनका गुणनफल ठीक 2 होता है, और इसीलिए cosine तथा कोण पूरे किए हुए नहीं, ठीक-ठीक आते हैं।

2. 3 4 0 और 4 3 0

   1. अदिश गुणनफल: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 24
   2. दोनों की लंबाई: √(9 + 16) = 5, क्योंकि तीसरा घटक शून्य है
   3. cosine: 24 ÷ (5 × 5) = 0.96
   4. कोण: 0.96 का प्रतिलोम cosine 16.2602 डिग्री है, यानी 0.2838 रेडियन

   यही पंक्ति दिखाती है कि cosine छापने लायक़ क्यों है। cosine 0.96 सुनकर लगता है कि दोनों सदिश लगभग एक जैसे हैं, और कोण 16.26 डिग्री है — समकोण का लगभग छठा हिस्सा। cosine 0 से 90 डिग्री का पूरा दायरा 1 से 0 के बीच की संख्याओं में ठूँस देता है, और वह भी असमान रूप से, इसीलिए cosine को किसी चीज़ का अनुपात समझकर पढ़ना ग़लत जाता है। यहाँ दोनों लंबाइयाँ ठीक 5 हैं, यानी 3-4-5 त्रिभुज अपना आम काम कर रहा है।

3. 1 0 और 0 1

   1. अदिश गुणनफल: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. दोनों की लंबाई: 1
   3. cosine: 0 ÷ 1 = 0
   4. कोण: शून्य का प्रतिलोम cosine ठीक 90 डिग्री है, यानी 1.570796 रेडियन

   यही वह जवाब है जिसके लिए यह पन्ना सबसे ज़्यादा खोला जाता है, और ठीक-ठीक आने वाला मामला भी: cosine शून्य का मतलब है सदिश लंबवत हैं, और कोण पूरा करने की जगह ठीक 90 लौटकर आता है। ये दोनों सबसे सीधी लंबवत जोड़ी हैं — एक x अक्ष के साथ, एक y अक्ष के साथ। रेडियन वाला आँकड़ा, 1.5708, यानी π ÷ 2।

4. -1 0 0 और 1 0 0

   1. अदिश गुणनफल: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
   2. दोनों की लंबाई: 1
   3. cosine: −1 ÷ 1 = −1
   4. कोण: −1 का प्रतिलोम cosine ठीक 180 डिग्री है, यानी 3.141593 रेडियन

   दायरे का दूसरा सिरा। cosine −1 यानी दो सदिश जो सबसे बड़ा संभव कोण बना सकते हैं, 180 डिग्री, और रेडियन वाला आँकड़ा π है। ठीक उलटी दिशाओं में इंगित करते हुए भी दो सदिश दो सदिश ही हैं, और उनके बीच का कोण शून्य नहीं है — जब 180 का जवाब ग़लत लगे तो यही पंक्ति देखने की है। वह ग़लत नहीं है: उलटा होना भी एक रिश्ता है, जैसे समांतर होना।

5. 2 -3 और 4 5

   1. अदिश गुणनफल: 2 × 4 + (−3) × 5 = 8 − 15 = −7
   2. u की लंबाई: √(4 + 9) = √13 = 3.605551
   3. v की लंबाई: √(16 + 25) = √41 = 6.403124
   4. cosine: −7 ÷ (3.605551 × 6.403124) = −7 ÷ 23.086793 = −0.303201
   5. कोण: −0.303201 का प्रतिलोम cosine 107.6501 डिग्री है, यानी 1.8788 रेडियन

   अधिक कोण वाला जवाब, और यही मामला लोगों को चौंकाता है: दो सदिश 90 डिग्री से बड़ा कोण बना सकते हैं, और ऐसा तब होता है जब अदिश गुणनफल ऋणात्मक हो। यहाँ u का एक घटक ऋणात्मक है, यानी वह बाईं या नीचे की ओर इंगित करता है — लिखने का तरीक़ा यही है। −0.3032 का cosine छोटा है, पर उसका चिह्न ही पूरा संदेश है — वह कहता है कि दोनों सदिश एक-दूसरे से दूर झुके हैं, और 107.6501 डिग्री का कोण उससे सहमत है।

दोनों सदिशों में घटकों की संख्या एक ही होनी चाहिए, और जो जोड़ी मेल न खाए उसे शून्य भरकर पूरा करने की जगह ठुकरा दिया जाता है। शून्य सदिश पूरी तरह ठुकराया जाता है: जिस सदिश के सारे घटक शून्य हों उसकी कोई दिशा नहीं होती, इसलिए उसके और किसी भी चीज़ के बीच का कोण परिभाषित ही नहीं है, और पन्ना शून्य डिग्री दिखाने की जगह पूरा हिसाब ठुकरा देता है — क्योंकि शून्य डिग्री पढ़ने में लगता कि वह आपके सदिश की ही ओर इंगित करता है। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़) — और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता, इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। हर सदिश में 200 घटक तक स्वीकार हैं, जो किसी भी हाथ से लिखे मामले से कहीं ज़्यादा है पर किसी डेटा-पाइपलाइन के आकार से कम। अदिश गुणनफल जान-बूझकर आउटपुट में नहीं है: वह वह क़दम है जिससे कोण निकाला जाता है, और उसे जवाब की तरह छापने वाला पन्ना कोई दूसरा है। चार दशमलव स्थान सटीकता का दावा नहीं, लिखने की चौड़ाई हैं, और दोनों आउटपुट बिना पूरी की गई लंबाइयों से निकाले जाते हैं, इसलिए छपे हुए आँकड़ों को वापस गुणा करने पर छपा हुआ कोण ठीक-ठीक न मिले। पन्ने को नहीं पता कि घटक किसमें नापे गए थे — इनपुट सादी संख्याएँ हैं, और cosine तथा रेडियन वाला आँकड़ा भी, जबकि डिग्री यहाँ इकलौती इकाई है।

घटक कैसे लिखें?

उन्हें स्पेस से या कॉमा और उसके बाद स्पेस से अलग कीजिए: 1 1 0 और 1, 1, 0 दोनों चलते हैं। दो अंकों के बीच बिना स्पेस वाला कॉमा दशमलव बिंदु पढ़ा जाता है (1,5 का मतलब डेढ़); 1,500 जैसा हज़ार का विभाजक अनुमान लगाने की जगह ठुकरा दिया जाता है, इसलिए 1500 लिखिए। दोनों सदिशों में घटकों की संख्या एक ही होनी चाहिए, और जब तक वे मेल खाएँ कितने ही हों — दो विमाएँ और तीन विमाएँ एक ही पन्ना हैं।

कोण का cosine किस काम आता है?

कोण इसी संख्या से निकाला जाता है, और जिन तीन मामलों में फ़र्क़ पड़ता है वहाँ यह कोण से पढ़ने में आसान है। cosine 1 का मतलब है सदिश एक ही ओर इंगित करते हैं, 0 का मतलब लंबवत, और −1 का मतलब उलटी दिशा। इनके बीच जो भी आए वह सचमुच एक कोण है और पन्ना उसे डिग्री तथा रेडियन दोनों में देता है।

दो सदिश लंबवत हैं या नहीं, यह कैसे पता करें?

उनके कोण का cosine शून्य होता है, और पन्ना ठीक 90 डिग्री पढ़ेगा। इस जाँच के लिए कोण वाले आउटपुट की कोई त्रिकोणमिति नहीं चाहिए — यह ठीक तभी सच होती है जब अदिश गुणनफल शून्य हो, और उसमें सिर्फ़ गुणा लगता है। यह पन्ना cosine इसीलिए दिखाता है कि समकोण वाला मामला बिना कुछ निकाले दिख जाए।

कोण 180 डिग्री से ज़्यादा कभी क्यों नहीं होता?

क्योंकि कोण का cosine −1 और 1 के बीच बँधा हुआ है, और प्रतिलोम cosine केवल 0 से 180 डिग्री तक के मान लौटाता है। 180 डिग्री का कोण मतलब दोनों सदिश ठीक उलटी दिशाओं में इंगित करते हैं, और दो दिशाओं के बीच 200 डिग्री जैसा कोई कोण होता ही नहीं — 200 और 160 तीरों की वही जोड़ी बताते हैं।

कोण के दो आउटपुट, डिग्री और रेडियन, क्यों हैं?

क्योंकि पढ़ने वाले दो अलग हैं। लोग डिग्री पढ़ते हैं; फ़ॉर्मूले और प्रोग्रामिंग भाषाएँ लगभग हमेशा रेडियन माँगते हैं, और 180 डिग्री π रेडियन होते हैं। दोनों छापने से किसी को π से गुणा करके 180 से भाग नहीं देना पड़ता, और 180 के गुणक की भूलें वहीं से आती हैं। रेडियन का आँकड़ा बिना किसी इकाई की सादी संख्या है।

सारे शून्य वाला सदिश क्यों ठुकराया जाता है?

क्योंकि शून्य सदिश की कोई दिशा नहीं होती, इसलिए उसके और किसी भी चीज़ के बीच का कोण परिभाषित नहीं है। उसकी लंबाई शून्य है और cosine अदिश गुणनफल को दोनों लंबाइयों के गुणनफल से भाग देकर आता है, इसलिए उसे निकालने का मतलब शून्य से भाग देना होता। जो पन्ना 0 डिग्री लौटाता, वह कह रहा होता कि वह आपके सदिश की ही ओर इंगित करता है — यानी ऐसी दिशा का दावा, जो है ही नहीं।

• Dot product — the sum of the products of corresponding components, and the identity equating it to the two lengths times the cosine of the angle, which is the equation this page solves backwards — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object with a magnitude and a direction whose components this page reads, and whose length is the square root of the sum of the squares of those components — Wolfram MathWorld (United States)
• Perpendicular — the right-angle relation, the one case where the cosine is exactly zero and the angle exactly 90 degrees, and the reason this calculation is worth doing at all — Wolfram MathWorld (United States)