इकाई सदिश कैलकुलेटर

û ＝ u ÷ |u| |u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ … ＋ uₙ²） |û| ＝ 1

सदिश u

जिस सदिश को इकाई सदिश बनाना है: दो या तीन संख्याएँ, स्पेस या सेमीकॉलन से अलग, जैसे 3 4। दो घटक सपाट तल का सदिश हैं और तीन त्रिविम अंतरिक्ष का; भरने के लिए कोई गिनती-फ़ील्ड नहीं है, और सूची की लंबाई ही बताती है कि आपका मतलब कौन-सा था

|u|

इनपुट सदिश की लंबाई: उसके घटकों के वर्गों के जोड़ का वर्गमूल। यही वह संख्या है जिससे सब कुछ भाग दिया जाता है, और यही पैनल का चौथा आउटपुट है — उस सदिश की लंबाई जो आपने लिखा, इकाई सदिश की नहीं, क्योंकि उसकी लंबाई हमेशा 1 होती है

û

इकाई सदिश: इनपुट का हर घटक उसकी लंबाई से भाग दिया हुआ। यह इनपुट की ठीक उसी रेखा पर इंगित करता है और उसकी लंबाई 1 है, यानी दोनों आकार में अलग हैं, दिशा में नहीं। ऊपर का हैट (^) इसे लिखने का मानक तरीक़ा है

x घटक

जवाब का पहला घटक: इनपुट के पहले घटक को लंबाई से भाग देकर। इसका चिह्न इनपुट का ही चिह्न है — धनात्मक लंबाई से भाग देने पर दिशा पलट नहीं सकती, इसलिए बाईं ओर इंगित करता सदिश बाईं ओर ही इंगित करता इकाई सदिश देता है

y घटक

दूसरा घटक, इसी तरह भाग दिया हुआ। x घटक के साथ यह सपाट तल में दिशा तय कर देता है, चाहे मूल सदिश की लंबाई कुछ भी हो

z घटक

तीसरा घटक, इसी तरह भाग दिया हुआ, और दो घटकों वाले इनपुट के लिए 0। वह शून्य भरने के लिए नहीं है: द्विविम सदिश सपाट तल में पड़ा होता है, और वही दिशा तीन निर्देशांकों में लिखने पर उसका तीसरा घटक ठीक 0 ही होता है

|û| ＝ 1

वह गुण जिसके लिए यह जवाब बनाया गया है, और यही कारण है कि इसे पाँचवीं पंक्ति की तरह नहीं छापा जाता। इकाई सदिश की लंबाई हर मामले में 1 होती है, इसलिए 1.0000 पढ़ती कोई पंक्ति नतीजे के भेस में एक स्थिरांक ही होती

चार दशमलव स्थान

जवाब कितने चौड़े लिखे जाते हैं। ठीक-ठीक तभी आते हैं जब इनपुट की लंबाई पूरी संख्या या छोटा मूल निकले — 3 4 से 5 आता है, और तिहाई तथा मूल सामान्यतः बराबर नहीं उतरते

यह पन्ना तब इस्तेमाल कीजिए जब आपको दिशा अकेली चाहिए, आकार साथ नहीं। सबसे साफ़ मामला ऐसी दो दिशाओं की तुलना है जिनके परिमाण अलग पैमानों पर हों: जो दो सदिश केवल लंबाई में अलग हों उनका इकाई सदिश एक ही होता है, इसलिए इकाई सदिश बनाने से वह हिस्सा हट जाता है जो आप पूछ ही नहीं रहे थे। दूसरा आम मामला किसी ऐसे फ़ॉर्मूले के लिए इनपुट तैयार करना है जो लंबाई 1 का सदिश मान लेता है — परावर्तन, प्रक्षेपण और प्रकाश-गणना सब ऐसा ही करते हैं, और उन्हें लंबाई 5 का सदिश देने पर जवाब चुपचाप 5 गुना हो जाता है। साथ छपी लंबाई से भाग जाँचा जा सकता है: 3 4 से 0.6 और 0.8 आते हैं, और दोनों में से 5 निकलता हुआ दिख जाता है। दो बातें याद रखने लायक़ हैं। जवाब इनपुट के चिह्न लेकर चलता है, इसलिए बाईं या नीचे की ओर इंगित करता सदिश बाईं या नीचे की ओर ही इंगित करता इकाई सदिश देता है — इकाई सदिश बनाने से सदिश की लंबाई बदलती है और बस वही। और जवाब की लंबाई, आपने जो भी लिखा हो, 1 ही रहती है, इसीलिए यह पन्ना उसकी जगह इनपुट की लंबाई छापता है; जानकारी उसी संख्या में है। दो घटकों वाला सदिश भी ठीक है और उसका तीसरा घटक 0 लौटकर आता है, क्योंकि वही दिशा तीन निर्देशांकों में लिखने पर ऐसी ही दिखती है। शून्य सदिश वह अकेला इनपुट है जो ठुकराया जाता है, क्योंकि उसमें इकाई सदिश बनाने के लिए कोई दिशा ही नहीं है।

1. 3 4

   1. लंबाई: √(9 + 16) = √25 = 5
   2. x घटक: 3 ÷ 5 = 0.6
   3. y घटक: 4 ÷ 5 = 0.8
   4. z घटक: 0 ÷ 5 = 0, क्योंकि दो घटकों वाला सदिश सपाट तल में पड़ा होता है

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और सबसे साफ़ मामला भी: 3-4-5 त्रिभुज से लंबाई पूरी संख्या बन जाती है, इसलिए दोनों घटक ठीक-ठीक आते हैं। यही वह पंक्ति है जो दिखाती है कि चौथा आउटपुट किस काम का है — पैनल पर लिखा 5 वही लंबाई है जिससे 3 और 4 दोनों को भाग दिया गया, और उसके बग़ल में 0.6 तथा 0.8 पढ़ लेना ही पूरा हिसाब है। वर्ग करके जाँचिए: 0.36 + 0.64 = 1।

2. 2 3 6

   1. लंबाई: √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
   2. x घटक: 2 ÷ 7 = 0.285714
   3. y घटक: 3 ÷ 7 = 0.428571
   4. z घटक: 6 ÷ 7 = 0.857143

   त्रिविम मामला जिसकी लंबाई भी पूरी संख्या निकलती है, 7, जबकि तीनों घटकों में से कोई नहीं: तीनों आवर्ती दशमलव हैं और चार दशमलव स्थानों तक पूरे किए गए हैं। यह जोड़ी विचित्र नहीं, सामान्य है — पूरी संख्या वाली लंबाई काफ़ी आम है, इकाई सदिश के पूरे घटक नहीं। दिशा वही है जो 2 3 6 की थी, और लंबाई उसमें से भाग देकर हटा दी गई है।

3. -3 4

   1. लंबाई: √(9 + 16) = √25 = 5, वही जो 3 4 के लिए थी
   2. x घटक: −3 ÷ 5 = −0.6
   3. y घटक: 4 ÷ 5 = 0.8
   4. z घटक: 0 ÷ 5 = 0

   पहला उदाहरण, जिसके पहले घटक का चिह्न बदल दिया गया है — और इकाई सदिश वह चिह्न रख लेता है: −0.6 और 0.8। धनात्मक लंबाई से भाग देने पर सदिश पलट नहीं सकता, और यही वह पंक्ति है जहाँ यह दिखता है। बाईं और ऊपर की ओर इंगित करता सदिश बिल्कुल सामान्य इनपुट है, और उसका इकाई सदिश भी बाईं और ऊपर ही इंगित करता है। लंबाई दोनों हालत में 5 है, क्योंकि किसी घटक का चिह्न बदलने से लंबाई नहीं बदलती।

4. 0 5

   1. लंबाई: √(0 + 25) = 5
   2. x घटक: 0 ÷ 5 = 0
   3. y घटक: 5 ÷ 5 = 1
   4. z घटक: 0 ÷ 5 = 0

   ऐसा सदिश जो पहले से किसी अक्ष पर पड़ा है, इसलिए उसका इकाई सदिश ख़ुद अक्ष की दिशा है: 0, 1, 0। यहाँ चौथा आउटपुट देखने वाली पंक्ति है — वह 5 पढ़ता है, 1 नहीं। सीधा ऊपर की ओर इंगित करते लंबाई-5 सदिश का इकाई सदिश लंबाई 1 का होता है, और पन्ना यह बात भाग देकर हटाई गई लंबाई छापकर कहता है, उस स्थिरांक 1 को छापकर नहीं जो निकलकर आया।

5. 1 1 1

   1. लंबाई: √(1 + 1 + 1) = √3 = 1.732051
   2. हर घटक: 1 ÷ 1.732051 = 0.577350

   घन का विकर्ण, और तीनों घटक बराबर आते हैं — आना ही चाहिए, क्योंकि इनपुट के तीनों घटक बराबर थे और सबको एक ही संख्या से भाग देने पर वह बराबरी टूट नहीं सकती। लंबाई पूरी संख्या नहीं, वर्गमूल है, इसलिए यहाँ कुछ भी ठीक-ठीक नहीं है। नतीजा उसी तरह जाँचिए जैसा इस पन्ने की परिभाषा कहती है: 0.5774 का वर्ग 0.3334 होता है, और ऐसे तीन जोड़ने पर पूरा करने की सीमा में 1 आता है।

दो या तीन घटक स्वीकार होते हैं, और बस वही: एक संख्या दिशा नहीं, कोई चिह्नित राशि है, और चार या ज़्यादा पैनल की तीन घटक-पंक्तियों में बैठते ही नहीं। दो घटकों वाला सदिश किसी मायने में तीन तक भरा नहीं जाता — वह सपाट तल में पड़ा होता है, और तीसरी पंक्ति का 0 वही है जो वह दिशा तीन निर्देशांकों में लिखने पर दिखती है, इसीलिए इस पन्ने को यह पूछने की ज़रूरत नहीं कि आपका मतलब कौन-सा था। शून्य सदिश पूरी तरह ठुकराया जाता है: उसकी लंबाई शून्य है, इसलिए भाग देने को कुछ बचता ही नहीं, और उसमें कोई ऐसी दिशा भी नहीं जिसे जवाब बचा सके। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़) — और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता, इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। चार दशमलव स्थान लिखने की चौड़ाई हैं, सटीकता का दावा नहीं, और घटक बिना पूरा किए गए परिमाण से निकाले जाते हैं, इसलिए छपे हुए आँकड़े वर्ग करके जोड़ने पर ठीक 1 न बनें। पैनल पर छपी लंबाई इनपुट की है, जवाब की नहीं; जवाब की लंबाई परिभाषा से 1 है, और उसे छापना एक स्थिरांक छापना होता। इस पन्ने को नहीं पता कि घटक किसमें नापे गए थे — इकाई सदिश की कोई इकाई नहीं होती, यही उसकी बात है, और लंबाई वही इकाई साथ ले चलती है जो इनपुट की थी। एक हिसाब की बारीक़ी कह देने लायक़ है: हर घटक का चिह्न इनपुट के चिह्न के साथ चलता है, इसलिए बाईं ओर इंगित करता सदिश बाईं ओर ही इंगित करता इकाई सदिश देता है। अगर आप धनात्मक जवाब की उम्मीद कर रहे थे, तो आप किसी और सदिश की उम्मीद कर रहे थे।

इकाई सदिश क्या होता है?

किसी दी हुई दिशा में इंगित करता लंबाई-1 का सदिश। यह किसी सदिश को उसकी अपनी लंबाई से भाग देकर मिलता है, और दिशा साथ ले चलता है, आकार नहीं। जो दो सदिश केवल लंबाई में अलग हों उनका इकाई सदिश एक ही होता है, और इसीलिए अलग पैमानों पर नापी गई दिशाओं की तुलना इसी से होती है।

चौथी पंक्ति 1 की जगह इनपुट की लंबाई क्यों दिखाती है?

क्योंकि इकाई सदिश की लंबाई हर एक मामले में 1 होती है, और हमेशा 1.0000 पढ़ती पंक्ति नतीजा नहीं, कोई स्थिरांक होती। इनपुट की लंबाई वह संख्या है जिससे भाग दिया गया, इसलिए उसे छापने से भाग दिख जाता है: 3 4 लिखिए, 5 देखिए, और पढ़ लीजिए कि 0.6 तथा 0.8 दोनों उसी 5 पर से हैं।

क्या केवल दो घटकों वाला सदिश लिखा जा सकता है?

हाँ, और तीसरा घटक 0 लौटकर आता है। यह भरना नहीं है — द्विविम सदिश सपाट तल में पड़ा होता है, और वही दिशा तीन निर्देशांकों में लिखने पर उसका तीसरा घटक 0 ही होता है। पैनल पर तीन घटक-पंक्तियाँ हैं, इसलिए दो और तीन घटकों वाले इनपुट एक ही ख़ाके में आ जाते हैं।

जवाब में ऋण चिह्न क्यों बना रहता है?

क्योंकि किसी लंबाई से भाग देने पर सदिश पलट नहीं सकता। लंबाई धनात्मक संख्या है, इसलिए हर घटक अपना चिह्न रख लेता है: −3 4 का इकाई सदिश −0.6 और 0.8 है। अगर आपको उम्मीद थी कि जवाब धनात्मक लौटेगा, तो वह कोई और दिशा होती, वही दिशा इकाई सदिश बनाई हुई नहीं।

सारे शून्य वाला सदिश क्यों ठुकराया जाता है?

क्योंकि उसे इकाई सदिश बनाने का मतलब है उसकी लंबाई से भाग देना, और उसकी लंबाई शून्य है। भाग के अलावा दूसरा कारण भी है: शून्य सदिश की कोई दिशा ही नहीं होती, इसलिए जवाब को बचाने के लिए कुछ है ही नहीं। कोण वाले और अदिश गुणनफल वाले पन्ने भी इसे ठुकराते हैं, जबकि सदिश गुणनफल वाला पन्ना इसे स्वीकार करता है — वहाँ यह सचमुच शून्य सदिश ही देता है।

किसी सदिश को इकाई सदिश बनाना किस काम आता है?

दिशा को आकार से अलग करने में। परावर्तन, प्रक्षेपण और प्रकाश-गणना के फ़ॉर्मूले मान लेते हैं कि जो सदिश आप दे रहे हैं उसकी लंबाई 1 है, और उन्हें लंबाई 5 का सदिश देने पर जवाब बिना किसी चेतावनी के 5 गुना हो जाता है। दूसरा उपयोग अलग पैमानों पर नापी गई दो दिशाओं की तुलना है: दोनों को इकाई सदिश बना दीजिए और आकार बीच में पड़ना बंद कर देते हैं।

• Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is what this page returns, and the normalisation-by-division that produces it — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector — the object being normalised, and the definition of its length as the square root of the sum of the squares of its components — Wolfram MathWorld (United States)
• Norm — the general name for the length of a vector, of which the square-root-of-sum-of-squares is the ordinary Euclidean case used here — Wolfram MathWorld (United States)