सदिश गुणनफल कैलकुलेटर

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁) |u × v| = |u| × |v| × sin θ = समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

सदिश u

पहला सदिश: ठीक तीन संख्याएँ, स्पेस या सेमीकॉलन से अलग, जैसे 1 2 3। तीन ही इकलौती स्वीकार्य गिनती है, क्योंकि सदिश गुणनफल त्रिविम क्रिया है — द्विविम जोड़ी को शून्य भरकर बैठाने की जगह ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि भरने से जवाब चुपचाप बदल जाता

सदिश v

दूसरा सदिश, वह भी ठीक तीन संख्याएँ। यहाँ दोनों सदिशों का क्रम उस तरह मायने रखता है जैसे अदिश गुणनफल में नहीं रखता: दोनों बदल देने पर जवाब का हर घटक चिह्न पलट देता है

x घटक

जवाब का पहला घटक: पहले सदिश का दूसरा घटक गुणा दूसरे सदिश का तीसरा, घटा उसका तीसरा गुणा दूसरे सदिश का दूसरा। सदिश गुणनफल का हर घटक दो गुणनफलों का अंतर है, और चिह्न वहीं से आते हैं

y घटक

वही नमूना एक जगह आगे खिसका हुआ: पहले सदिश का तीसरा घटक गुणा दूसरे सदिश का पहला, घटा उसका पहला गुणा दूसरे सदिश का तीसरा। यही खिसकाव ग़लत करना सबसे आम भूल है — इससे कोई बेतुका जवाब नहीं आता, बस एक घटक का चिह्न ग़लत हो जाता है

z घटक

नमूना एक बार और खिसका हुआ: पहले सदिश का पहला घटक गुणा दूसरे सदिश का दूसरा, घटा उसका दूसरा गुणा दूसरे सदिश का पहला। तीनों घटक मिलकर वह सदिश हैं जो दोनों इनपुट पर लंबवत है

परिमाण

नतीजे सदिश की लंबाई: तीनों घटकों के वर्गों के जोड़ का वर्गमूल। यह उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी है जो दोनों इनपुट सदिश बनाते हैं, और उन दो भुजाओं वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगुना भी — और पढ़ने का आम तौर पर ज़्यादा काम का तरीक़ा यही है

|u| × |v| × sin θ

वही लंबाई दूसरी तरफ़ से लिखी हुई, जहाँ θ दोनों इनपुट के बीच का कोण है। यह कहती है कि लंबाई सबसे बड़ी तब होती है जब दोनों सदिश लंबवत हों, और दोनों के एक रेखा में आते-आते शून्य तक गिर जाती है — इसीलिए शून्य सदिश गुणनफल का मतलब समांतर है, और इसीलिए अदिश गुणनफल, जो ठीक उलटा बर्ताव करता है, इस पन्ने का पूरक है

दोनों पर लंबवत

वह गुण जिसके लिए यह आउटपुट रखने लायक़ है: नतीजा दोनों इनपुट में से हर एक के समकोण पर है। आउटपुट में इसे कोई भी अदिश गुणनफल लेकर जाँचा जा सकता है — पूरा करने की सीमा में दोनों शून्य आते हैं

चार दशमलव स्थान

आउटपुट कितने चौड़े लिखे जाते हैं। जब इनपुट पूरी और छोटी संख्याएँ हों तो घटक ठीक-ठीक आते हैं, और हाथ के ज़्यादातर हिसाब ऐसे ही होते हैं; जहाँ नहीं, वहाँ आँकड़े पूरे किए जाते हैं

सदिश गुणनफल अदिश गुणनफल से अलग सवाल का जवाब देता है, और दोनों विकल्प नहीं, एक-दूसरे के पूरक हैं। अदिश गुणनफल दो सदिश लेकर एक संख्या देता है जो उनके एक ही ओर होने पर सबसे बड़ी होती है; सदिश गुणनफल दो सदिश लेकर एक सदिश देता है जो उनके लंबवत होने पर सबसे लंबा होता है। इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब आपको दो मालूम दिशाओं के समकोण पर कोई दिशा चाहिए — किसी सतह का अभिलंब, वह अक्ष जिसके चारों ओर कोई घूर्णन हो रहा है, वह दिशा जिसमें कोई चुंबकीय बल किसी गतिमान आवेश को धकेलता है। इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब आपको दो भुजा-सदिशों से समांतर चतुर्भुज या त्रिभुज का क्षेत्रफल चाहिए: जवाब की लंबाई समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, इसलिए उसका आधा त्रिभुज का। इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब जाँचना है कि दो सदिश समांतर हैं या नहीं, क्योंकि वे समांतर हों तो जवाब ठीक तीन शून्य आता है। और इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब लंबवत दिशा सही ओर वाली चाहिए — यहीं दोनों सदिशों का क्रम और दाएँ हाथ का नियम काम आते हैं: पहला सदिश वह है जिससे आपकी उँगलियाँ दूर मुड़ती हैं और दूसरा वह जिसकी ओर वे मुड़ती हैं, और अंगूठा जवाब देता है। दो चेतावनियाँ। नतीजा दोनों इनपुट पर लंबवत है, इसलिए यह उनमें से किसी की ओर इंगित करती कोई दिशा नहीं है — अगर आपको जवाब किसी एक के साथ चाहिए था, तो आपको अदिश गुणनफल चाहिए था। और शून्य लंबाई एक सच्चा जवाब है, नाकामी नहीं: वह कहती है कि दोनों सदिश समांतर हैं, और उसमें वह मामला भी शामिल है जिसमें उनमें से एक शून्य सदिश है।

1. 1 2 3 और 4 5 6

   1. x घटक: 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
   2. y घटक: 3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
   3. z घटक: 1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
   4. परिमाण: √(9 + 36 + 9) = √54 = 7.348469

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है, और यही पंक्ति दिखाती है कि हिसाब कितना सामान्य है: दो गुणनफलों के तीन अंतर, और कुछ नहीं। तीनों घटक शून्य नहीं हैं, इसलिए हाथ से किया कोई क़दम पन्ने से मिलाकर जाँचने के लिए यह सबसे काम की पंक्ति है — किसी शून्य में चिह्न की ग़लती छिप नहीं सकती। लंबाई 7.3485 उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है जो ये दोनों सदिश बनाते हैं — इन दो भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसका आधा है।

2. 1 0 0 और 0 1 0

   1. x घटक: 0 × 0 − 0 × 1 = 0
   2. y घटक: 0 × 0 − 1 × 0 = 0
   3. z घटक: 1 × 1 − 0 × 0 = 1
   4. परिमाण: √(0 + 0 + 1) = 1

   पहले दो अक्षों के इकाई सदिश, और सदिश गुणनफल तीसरे के रूप में लौटकर आता है। यही वह पंक्ति है जो वह चक्रीय क्रम दिखाती है जिस पर यह पन्ना बना है: x गुणा y बराबर z, और लंबाई का 1 कहता है कि दोनों इनपुट लंबवत थे और समांतर चतुर्भुज एक इकाई वर्ग है। यहाँ तीनों घटक हाथ से एक बार लिख लेना काम का है — यह वह मामला है जिसमें जो-जो पद शून्य होने चाहिए थे, वे सब हो जाते हैं।

3. 0 1 0 और 1 0 0

   1. x घटक: 1 × 0 − 0 × 0 = 0
   2. y घटक: 0 × 1 − 0 × 0 = 0
   3. z घटक: 0 × 0 − 1 × 1 = −1
   4. परिमाण: √(0 + 0 + 1) = 1

   पिछली पंक्ति ही है, बस दोनों बक्से बदले हुए, और पूरा फ़र्क़ तीसरे घटक के चिह्न का है। यही इस क्रिया का क्रम-परक गुण है, और यह पन्ना उसे बिना किसी बीजगणित के दिखा देता है: वही जोड़ी दो बार लिखिए, बक्से बदलिए, और एक घटक को चिह्न बदलते देखिए। लंबाई 1 ही रहती है, जो इस कथन का दूसरा आधा है — दोनों सदिश बदलने पर जवाब की दिशा उलट जाती है, आकार नहीं।

4. 1 2 3 और 2 4 6

   1. x घटक: 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0
   2. y घटक: 3 × 2 − 1 × 6 = 6 − 6 = 0
   3. z घटक: 1 × 4 − 2 × 2 = 4 − 4 = 0
   4. परिमाण: √(0 + 0 + 0) = 0

   एक ही रेखा पर इंगित करते दो सदिश — दूसरा पहले का ठीक दुगुना है — और जवाब तीन शून्य। यही समांतर वाला मामला है, और इसे पहचानना ज़रूरी है, क्योंकि सदिश गुणनफल की लंबाई वह क्षेत्रफल है जो दोनों सदिश बनाते हैं, और समांतर सदिश कोई क्षेत्रफल बनाते ही नहीं। तीन शून्य लौटकर आना सही जवाब है, नाकामी नहीं: वह कहता है कि दोनों दिशाएँ एक ही रेखा हैं, और उस रेखा पर किसी सतह के अभिलंब जैसा कोई सदिश लंबवत नहीं है।

5. 3 4 0 और 4 3 0

   1. x घटक: 4 × 0 − 0 × 3 = 0
   2. y घटक: 0 × 4 − 3 × 0 = 0
   3. z घटक: 3 × 3 − 4 × 4 = 9 − 16 = −7
   4. परिमाण: √(0 + 0 + 49) = 7

   सपाट तल में पड़े दो सदिश, इसलिए लंबवत दिशा उस तल से सीधे बाहर वाली है और पहले दो घटक शून्य हैं। लंबाई 7 इन दोनों को भुजा मानकर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, और इन दो भुजाओं वाले त्रिभुज का 3.5। तीसरे घटक का चिह्न बताता है कि जवाब तल के किस ओर इंगित करता है, और यहाँ वह ऋणात्मक है क्योंकि दूसरी ओर से देखने पर पहला सदिश ही वह है जो वामावर्त घूमकर दूसरे में जाता है। इन दोनों सदिशों की लंबाई 5 है, उनका अदिश गुणनफल 24 है, और 7, 24 तथा 25 एक पाइथागोरस त्रिक हैं — यानी यह कहने का दूसरा तरीक़ा कि यहाँ की लंबाई और अदिश गुणनफल उस समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं जिसका कर्ण दोनों लंबाइयों का गुणनफल है।

दोनों सदिशों में ठीक तीन घटक होने चाहिए, और दो या चार वाली जोड़ी को भरने की जगह ठुकरा दिया जाता है। द्विविम सदिश गुणनफल जैसी कोई चीज़ नहीं होती: यह क्रिया परिभाषा से त्रिविम है, और द्विविम जोड़ी को बैठाने के लिए चुपचाप एक शून्य जोड़ देने पर ऐसी दिशा निकलती जिसका उस तल से कोई रिश्ता ही न होता जिसमें दोनों सदिश पड़े हैं। घटक साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़) — और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता, इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। चार दशमलव स्थान सटीकता का दावा नहीं, लिखने की चौड़ाई हैं। शून्य सदिश यहाँ स्वीकार है, अदिश गुणनफल और कोण वाले पन्नों के उलट, और यह फ़र्क़ जान-बूझकर है: शून्य सदिश के साथ सदिश गुणनफल सचमुच शून्य सदिश ही है, क्योंकि शून्य सदिश किसी के साथ कोई क्षेत्रफल नहीं बनाता, इसलिए देने के लिए एक सच्चा जवाब है, ठुकराने के लिए कोई हिसाब नहीं। इसलिए तीन शून्य लौटकर आने में एक ऐसी दुविधा है जिसे यह पन्ना आपके लिए सुलझा नहीं सकता — इसका मतलब है कि दोनों सदिश समांतर हैं, और यह भी कि उनमें से एक शून्य सदिश है, और कौन-सा, यह सिर्फ़ आप जानते हैं। दोनों ही मामले सही आउटपुट हैं। इकाइयों का कोई हिसाब नहीं है: घटक सादी संख्याएँ हैं और जवाब की लंबाई भी, हालाँकि लंबाई वही इकाई साथ ले चलती है जिसमें इनपुट वर्गित हुए थे। पन्ना नतीजे की ओर किसी असली दाएँ हाथ से नहीं जाँचता, इसलिए अगर आप आउटपुट को अभिलंब या घूर्णन-अक्ष की तरह इस्तेमाल कर रहे हैं, तो दोनों सदिश किस क्रम में लिखे गए थे, यही तय करता है कि आपको दो लंबवत दिशाओं में से कौन-सी मिलेगी।

द्विविम सदिश क्यों नहीं लिख सकते?

क्योंकि किसी तल में दो सदिशों का सदिश गुणनफल होता ही नहीं। यह क्रिया तीन विमाओं में परिभाषित है — जवाब को दोनों इनपुट पर लंबवत होना है, और सपाट तल में उसके इंगित करने के लिए कोई दिशा बचती ही नहीं। द्विविम जोड़ी को बैठाने के लिए शून्य जोड़ देने पर ऐसा जवाब मिलता जिसका उस तल से कोई रिश्ता नहीं होता, इसलिए पन्ना ठुकरा देता है।

जवाब का ज्यामिति में क्या मतलब है?

यह वह सदिश है जो दोनों इनपुट के समकोण पर है, और इसकी लंबाई उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है जो दोनों इनपुट बनाते हैं। उस लंबाई का आधा इन दो भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है। यही दोहरा पढ़ाव कारण है कि वही हिसाब तब भी आता है जब आपको सतह का अभिलंब चाहिए और तब भी जब क्षेत्रफल चाहिए।

मुझे तीन शून्य मिले। कहीं कुछ गड़बड़ हो गई?

नहीं — शून्य सदिश गुणनफल एक सच्चा जवाब है। इसका मतलब है कि दोनों सदिश समांतर हैं और कोई क्षेत्रफल नहीं बनाते, और यह तब भी आता है जब उनमें से एक शून्य सदिश हो। दोनों ही सही नतीजे हैं, नाकामी नहीं, और पन्ने के पास यह बताने का कोई ज़रिया नहीं कि आप किस मामले में हैं, क्योंकि दोनों में वही तीन शून्य आते हैं।

क्या दोनों सदिशों का क्रम मायने रखता है?

हाँ, और यही वह जगह है जहाँ यह पन्ना अदिश गुणनफल वाले पन्ने से साफ़ अलग होता है। दोनों सदिश बदल देने पर जवाब की दिशा उलट जाती है: हर घटक का चिह्न बदल जाता है, जबकि लंबाई बिल्कुल वही रहती है। वही जोड़ी दो बार, बक्से बदलकर लिखिए और यह होते दिख जाएगा। दो लंबवत दिशाओं में से कौन-सी चाहिए, यह दाएँ हाथ का नियम तय करता है।

कौन-सा घटक पहले आता है?

पहले x घटक, फिर y, फिर z, और जवाब सदिश की तरह ठीक उसी तरह छपता है जैसे इनपुट लिखे गए थे। हर एक दो गुणनफलों का अंतर है, और नमूना हर बार चक्र में एक जगह आगे खिसकता है: y घटक x वाला सरनामा घटकों को चक्र में घुमाकर दोहराता है, और z घटक एक बार और घुमाता है।

यह अदिश गुणनफल से किस तरह अलग है?

अदिश गुणनफल दो सदिश लेकर एक संख्या देता है, जो दोनों एक ही ओर हों तो सबसे बड़ी होती है; सदिश गुणनफल एक सदिश देता है, जो दोनों लंबवत हों तो सबसे लंबा होता है। दोनों एक-दूसरे के पूरक हैं। अगर आपको एक अकेली संख्या चाहिए थी — कोण, प्रक्षेपण, समानता — तो अदिश गुणनफल चाहिए; और अगर दोनों पर लंबवत कोई दिशा चाहिए थी, तो यह पन्ना।

• Cross product — the operation this page computes, with the component-by-component definition and the two properties the page leans on, that the result is perpendicular to both inputs and that the order of the factors flips its sign — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the array of numbers whose evaluation is exactly the cross product's component formulas, which is why the same cycle turns up in both places and why this page points at the matrix calculator — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the figure whose area the length of a cross product gives, and the reason the answer is three zeros exactly when the two vectors are parallel — Wolfram MathWorld (United States)