मैट्रिक्स कैलकुलेटर

A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ) (A × B)ᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ = (1 ÷ det A) × (a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁)

आव्यूह A, पंक्ति 1 / पंक्ति 2

पहला आव्यूह, हर पंक्ति के लिए एक बक्सा और उसमें दो संख्याएँ, जैसे 4 7 और 2 6। चार अलग बक्सों की जगह पंक्तियाँ इसलिए कि आव्यूह एक ही चीज़ है: उसे चार बक्सों में बाँटने पर एक इनपुट चार हो जाता, और ऐसा कुछ भरा जा सकता जो आव्यूह है ही नहीं

आव्यूह B, पंक्ति 1 / पंक्ति 2

दूसरा आव्यूह, उसी तरह लिखा हुआ, और इस पन्ने का इकलौता वैकल्पिक इनपुट। जोड़ने और गुणा करने में यह चाहिए; उलटना इसे पूरी तरह नज़रअंदाज़ करता है, इसलिए वह क्रिया चुनने पर दोनों बक्से ख़ाली छोड़े जा सकते हैं। ख़ाली छोड़ना कोई ग़लती नहीं — वह चाबी बस मौजूद ही नहीं है

क्रिया

तीनों में से क्या करना है: दोनों आव्यूह जोड़ना, उनका गुणा करना, या पहले को उलटना। एक ही पन्ना, तीन की जगह, क्योंकि तीनों एक ही इनपुट लेती हैं और सिर्फ़ उस हिसाब से अलग होती हैं जो उस पर लगता है

परिणाम, पंक्ति 1 स्तंभ 1

जवाब का ऊपर बायाँ अवयव, और बाक़ी तीन भी इन्हीं नामों से। जोड़ में यह ऊपर बाएँ वाली दोनों संख्याओं का जोड़ है; गुणा में यह A की पूरी पहली पंक्ति बनाम B का पूरा पहला स्तंभ है, इसीलिए यह ऊपर बाएँ वाले दोनों अवयवों के गुणनफल भर से नहीं बनता

det A

पहले आव्यूह का सारणिक: ऊपर बायाँ गुणा नीचे दायाँ, घटा ऊपर दायाँ गुणा नीचे बायाँ। यह हर क्रिया में छपता है और हमेशा A का होता है, जवाब का नहीं — यह आपके लिखे आव्यूह का गुण है, इसलिए एक ही संख्याओं पर जोड़ने से गुणा करने और उलटने के बीच विकल्प बदलने पर यह नहीं बदलता

1 ÷ det A

व्युत्क्रम में लगने वाला पैमाना, और शून्य सारणिक के मना होने की वजह: व्युत्क्रम को इसी संख्या से भाग दिया जाता है। जोड़ने या गुणा करने में इसकी ज़रूरत ही नहीं पड़ती, इसीलिए वे दोनों शून्य सारणिक वाले आव्यूह पर भी चलते रहते हैं

A⁻¹

वह आव्यूह जो A का काम उलट देता है: दोनों को किसी भी क्रम में गुणा कीजिए और तत्समक आव्यूह मिलता है, यानी विकर्ण पर एक और बाक़ी जगह शून्य। यही इसे रखने लायक़ बनाता है, और यह ठीक तभी मौजूद होता है जब सारणिक शून्य न हो

तत्समक आव्यूह (identity)

वह आव्यूह जिसके विकर्ण पर एक और विकर्ण से हटकर शून्य होता है, और जो आव्यूह-गुणा में वही है जो साधारण गुणा में संख्या 1। व्युत्क्रम सही है या नहीं, यह जाँचने का तरीक़ा यही है कि उसे वापस गुणा करके यही आव्यूह मिले

चार दशमलव स्थान

आउटपुट कितने चौड़े लिखे जाते हैं। पूरी संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने पर नतीजे ठीक-ठीक आते हैं, और जिस आव्यूह का सारणिक 1 या −1 हो उसे उलटने पर भी; बाक़ी आँकड़े पूरे किए जाते हैं, और विकर्ण पर 3 लिए हुए आव्यूह सबसे आम ऐसा मामला है जो बराबर नहीं बैठता

जोड़ना वह क्रिया है जो लगभग किसी को नहीं चाहिए, और यह यहाँ मुख्यतः इसलिए है कि तीनों एक-दूसरे के बग़ल में बैठ सकें: यह अवयव-दर-अवयव जोड़ती है, यह हमेशा चलती है, और यही वह जगह है जहाँ आव्यूह साधारण संख्याओं की तरह बर्ताव करते हैं। गुणा वह है जो रूपांतरणों के लिए मायने रखता है — किसी आकृति पर पहले घुमाव और फिर पैमाना लगाना, दोनों आव्यूहों का गुणा करना है, और जिस क्रम में आप उन्हें गुणा करते हैं वही क्रम है जिसमें वे लगते हैं। व्युत्क्रम उलटने के लिए है: अगर कोई आव्यूह निर्देशांकों को एक तरह मोड़ता है, तो उसका व्युत्क्रम उन्हें वापस मोड़ देता है, और यह तब चाहिए जब आपके पास किसी रूपांतरण का नतीजा हो और आपको वह इनपुट चाहिए जिससे वह बना। बग़ल में छपा सारणिक अपने आप में पढ़ने लायक़ है। शून्य सारणिक का मतलब है कि आव्यूह तल को एक रेखा पर दबा देता है, इसलिए अलग-अलग इनपुट एक ही जवाब पर पहुँच जाते हैं और कुछ भी वापस नहीं उलटा जा सकता — यह वही बात है जो व्युत्क्रम का न होना कहती है। इसका चिह्न बताता है कि आव्यूह तल का क्रम बनाए रखता है या उसे पलट देता है। इस पन्ने को इस्तेमाल करते हुए दो बातें ध्यान रखिए। गुणा क्रम-परक नहीं है: दोनों आव्यूह बदल दीजिए तो जवाब कुछ और आता है, इसलिए अगर आप रूपांतरण जोड़ रहे हैं तो क्रम सवाल का हिस्सा है, कोई बारीकी नहीं। और सारणिक सिर्फ़ पहले आव्यूह का दिखता है, इसलिए दूसरे का भी चाहिए तो उसे पहली जगह पर रखकर उलटिए — कौन-सा आव्यूह पहला गिना जाएगा, यह बक्से नहीं, ड्रॉपडाउन तय करता है।

1. 4 7 / 2 6 गुणा 1 2 / 3 4

   1. ऊपर बायाँ: (4 × 1) + (7 × 3) = 4 + 21 = 25
   2. ऊपर दायाँ: (4 × 2) + (7 × 4) = 8 + 28 = 36
   3. नीचे बायाँ: (2 × 1) + (6 × 3) = 2 + 18 = 20
   4. नीचे दायाँ: (2 × 2) + (6 × 4) = 4 + 24 = 28
   5. A का सारणिक: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10

   यही वह इनपुट है जिसके साथ पन्ना खुलता है। जवाब का हर अवयव पहले आव्यूह की एक पूरी पंक्ति बनाम दूसरे आव्यूह के एक पूरे स्तंभ से बनता है, और यहीं देखने वाली बात है: जवाब का ऊपर बायाँ अवयव 25 है, जबकि इनपुट के ऊपर बाएँ बैठी दोनों संख्याओं में से कोई 25 नहीं है — 4 और 1, जिनका गुणनफल 4 है। साथ में छपा सारणिक 10 है, और वह A का है — 4 7 बनाम 2 6 — जवाब का नहीं।

2. वही दोनों आव्यूह, जोड़े हुए

   1. ऊपर बायाँ: 4 + 1 = 5
   2. ऊपर दायाँ: 7 + 2 = 9
   3. नीचे बायाँ: 2 + 3 = 5
   4. नीचे दायाँ: 6 + 4 = 10
   5. A का सारणिक: 10 ही रहता है, क्योंकि A पिछले उदाहरण वाला ही आव्यूह है

   पिछला उदाहरण, बस एक चीज़ बदली हुई: ड्रॉपडाउन। अब हर अवयव सीधा जोड़ है, और तीनों क्रियाओं में से यही अकेली है जिसमें आव्यूह साधारण संख्याओं की तरह बर्ताव करते हैं — क्रम से कुछ नहीं बिगड़ता और ऐसा कुछ नहीं है जो ग़लत हो सके। सारणिक अब भी 10 है, क्योंकि वह A का तथ्य है और A नहीं बदला। ड्रॉपडाउन को जोड़ और गुणा के बीच आगे-पीछे करते रहना यह देखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है कि सारणिक हिसाब का गुण नहीं है।

3. 4 7 / 2 6 का व्युत्क्रम

   1. A का सारणिक: (4 × 6) − (7 × 2) = 24 − 14 = 10
   2. विकर्ण की दोनों संख्याएँ आपस में बदल दीजिए: 6 और 4
   3. बाक़ी दोनों के चिह्न उलटिए: −7 से 7, और 2 से −2
   4. हर एक को सारणिक से भाग दीजिए: 6 ÷ 10 = 0.6, −7 ÷ 10 = −0.7, −2 ÷ 10 = −0.2, 4 ÷ 10 = 0.4
   5. जाँच: (4 × 0.6) + (7 × −0.2) = 2.4 − 1.4 = 1, यानी तत्समक आव्यूह का ऊपर बायाँ अवयव

   शर्त वाली क्रिया कहने के बावजूद यहाँ दूसरे आव्यूह के बक्से जान-बूझकर ख़ाली हैं — उलटना सिर्फ़ A पढ़ता है और पन्ना को कोई ऐतराज़ नहीं। तरीक़ा हर बार यही चार क़दम हैं: विकर्ण बदलिए, बाक़ी दोनों के चिह्न उलटिए, सारणिक से भाग दीजिए। आख़िर की जाँच एक बार हाथ से कर लेना काम का है: जवाब को वापस मूल आव्यूह में गुणा करने पर विकर्ण पर एक और बाक़ी जगह शून्य आना चाहिए, और कुछ और आए तो कहीं कोई चिह्न फिसला है।

4. 1 2 / 3 4 गुणा 5 6 / 7 8

   1. ऊपर बायाँ: (1 × 5) + (2 × 7) = 5 + 14 = 19
   2. ऊपर दायाँ: (1 × 6) + (2 × 8) = 6 + 16 = 22
   3. नीचे बायाँ: (3 × 5) + (4 × 7) = 15 + 28 = 43
   4. नीचे दायाँ: (3 × 6) + (4 × 8) = 18 + 32 = 50
   5. A का सारणिक: (1 × 4) − (2 × 3) = 4 − 6 = −2

   यह वह पंक्ति है जिसे बदलकर देखना चाहिए। वही चारों संख्याएँ A और B की जगहें बदलकर भरिए और जवाब 23, 34, 31 और 46 आता है — वही इनपुट, अलग क्रम, और बिल्कुल दूसरा आव्यूह। आव्यूह-गुणा क्रम-परक नहीं है, और व्यवहार में इसका मतलब यही है: अगर दोनों आव्यूह दो रूपांतरण हैं, तो जिस क्रम में उन्हें गुणा किया जाता है वही क्रम है जिसमें वे लगाए जाते हैं। ध्यान दीजिए कि यहाँ A का सारणिक −2 है और वहाँ भी −2, क्योंकि दोनों आव्यूहों का सारणिक संयोग से एक ही है — अलगाव चारों नतीजा-अवयवों में है, और सारणिक वाला स्तंभ इन दोनों में फ़र्क़ नहीं बता सकता।

5. शून्य सारणिक वाला आव्यूह, गुणा करते हुए

   1. ऊपर बायाँ: (1 × 1) + (2 × 3) = 1 + 6 = 7
   2. ऊपर दायाँ: (1 × 2) + (2 × 4) = 2 + 8 = 10
   3. नीचे बायाँ: (2 × 1) + (4 × 3) = 2 + 12 = 14
   4. नीचे दायाँ: (2 × 2) + (4 × 4) = 4 + 16 = 20
   5. A का सारणिक: (1 × 4) − (2 × 2) = 4 − 4 = 0

   पहले आव्यूह का सारणिक शून्य है — उसकी दूसरी पंक्ति पहली की ठीक दुगुनी है, यानी वह तल को एक रेखा पर दबा देता है — और फिर भी गुणा सामान्य रूप से हुआ। उदाहरण का मतलब यही है: शून्य सारणिक उलटने के लिए मुसीबत है, और किसी और चीज़ के लिए नहीं। इसी आव्यूह को उलटने को कहिए तो पन्ना मना कर देगा। जोड़ने या गुणा करने को कहिए तो जवाब देगा, क्योंकि दोनों के यहाँ पूरी तरह सुपरिभाषित जवाब हैं। सारणिक वाला स्तंभ दोनों में 0 ही पढ़ता है।

सिर्फ़ 2×2 आव्यूह स्वीकार हैं, हर पंक्ति के लिए एक बक्सा और उसमें दो संख्याएँ। बड़े आव्यूहों के लिए बड़ा बक्सा नहीं, अलग तरतीब चाहिए, क्योंकि ख़ानों की गिनती आकार के वर्ग के साथ बढ़ती है। दूसरे आव्यूह के बक्से ख़ाली छोड़े जा सकते हैं, और वे भरने पड़ेंगे या नहीं यह क्रिया तय करती है, बक्सा नहीं: जोड़ने और गुणा करने में दोनों आव्यूह चाहिए, उलटना सिर्फ़ पहला पढ़ता है। व्युत्क्रम तभी मौजूद होता है जब सारणिक शून्य न हो, और यह जाँच शून्य से ठीक-ठीक की जाती है, लगभग शून्य से नहीं — यह एक असली सीमा भी है और एक फ़ैसला भी। किसी छूट की हद रखने पर असली उलटने लायक़ आव्यूह भी ठुकराने पड़ते, इसलिए कोई हद नहीं रखी गई; इसकी क़ीमत यह है कि दशमलव में लिखा कोई ऐसा आव्यूह जो सटीक गणित में अव्युत्क्रमणीय है, 0 की जगह शून्य के बहुत क़रीब सारणिक बना सकता है और उलट दिया जाता है — जवाब में चारों अवयव बेतहाशा बड़े आते हैं। मापा हुआ नतीजा: 2.5 5 बनाम 5 10.00001 उलट दिया जाता है और उसके अवयव 4,00,000.4000 जैसे आँकड़े बन जाते हैं, जबकि साथ छपा सारणिक 0.0000 दिखता है; और 0.7 1.3 बनाम 1.3 2.4142 में सारणिक −0.0001 छपता है और अवयव −40,236.6667 तथा 21,666.6667 जैसे आते हैं। ज़ाहिर है कि ऐसे आँकड़े होने पर उलटने का जवाब भरोसे के लायक़ नहीं है — इतना छोटा सारणिक ख़ुद ही एक इशारा है, और पूरी संख्याएँ लिखने से यह पूरी तरह टल जाता है। सारणिक सिर्फ़ पहले आव्यूह का दिखता है, इसलिए दूसरे का निकालना हो तो उसे पहली जगह पर रखिए। अवयव साधारण संख्याओं की तरह पढ़े जाते हैं: पंक्ति की दोनों संख्याओं के बीच स्पेस या सेमीकॉलन (;) लगाइए, जबकि अंकों के बीच बैठा कॉमा दशमलव बिंदु गिना जाता है (1,5 का मतलब डेढ़), और हज़ार का विभाजक ठुकरा दिया जाता है, अनुमान नहीं लगाया जाता — इसलिए 1,500 नहीं, 1500 लिखिए। यही वजह है कि 4 7 की जगह 4,7 लिखने पर पन्ना एक संख्या गिनता है और पंक्ति ठुकरा देता है। चार दशमलव स्थान सटीकता का दावा नहीं, लिखने की चौड़ाई हैं, और व्युत्क्रम बिना पूरे किए सारणिक से निकाला जाता है, इसलिए छपे हुए जवाब को वापस A में गुणा करने पर छपे हुए आँकड़ों में ठीक-ठीक एक और शून्य न मिले तो हैरान न हों। इस पन्ने पर कहीं कोई इकाई नहीं है और कोई इकाई मानी भी नहीं जाती: अवयव सादी संख्याएँ हैं, और चार दशमलव स्थान ही उनके बारे में एकमात्र दावा है।

हर संख्या के लिए अलग बक्से की जगह हर पंक्ति के लिए एक बक्सा क्यों?

क्योंकि आव्यूह एक ही चीज़ है, और चार बक्से उसे चार अलग इनपुट बना देते, जिन्हें स्वतंत्र रूप से भरा जा सकता — ऐसे तरीक़ों से भी जिनमें वह आव्यूह रहता ही नहीं। पूरा आव्यूह एक ही बक्से में डालने में उलटी दिक़्क़त है: ग़ायब अवयव और ग़लत जगह बैठे अवयव में फ़र्क़ नहीं किया जा सकता। पंक्ति-दर-पंक्ति बक्सा एक पंक्ति की दोनों संख्याएँ साथ रखता है और पन्ने को यह जाँचने भी देता है कि हर पंक्ति में ठीक दो हैं।

दूसरा आव्यूह ख़ाली कब छोड़ सकते हैं?

जब आपकी चुनी हुई क्रिया को उसकी ज़रूरत न हो। उलटना सिर्फ़ पहला आव्यूह पढ़ता है, इसलिए दूसरे आव्यूह के दोनों बक्से ख़ाली रह सकते हैं और कुछ भी कम नहीं पड़ता। जोड़ने और गुणा करने में दोनों चाहिए, और जब तक आप टाइप कर रहे हों पन्ना शिकायत करने की जगह इंतज़ार करता है। कोई बक्सा भरना पड़ेगा या नहीं, यह क्रिया तय करती है, बक्सा नहीं।

आव्यूह उलटने से कभी मना क्यों कर दिया जाता है?

क्योंकि व्युत्क्रम वह आव्यूह है जो पहले वाले का काम उलटता है, और जिसका सारणिक शून्य हो — ऐसा आव्यूह तल को एक रेखा पर दबा देता है, इसलिए अलग-अलग इनपुट एक ही जवाब पर पहुँच जाते हैं और कुछ भी वापस नहीं उलटा जा सकता। ऐसे आव्यूह के लिए उलटा आव्यूह होता ही नहीं। पन्ना जवाब जैसे दिखने वाले चार आँकड़े छापने की जगह मना कर देता है। वही आव्यूह जोड़ने और गुणा करने में सामान्य रूप से काम करता है।

सारणिक किस आव्यूह का होता है?

हमेशा पहले का, चाहे आपने कोई भी क्रिया चुनी हो, इसलिए एक ही इनपुट पर जोड़ने, गुणा करने और उलटने के बीच विकल्प बदलते रहने पर भी वह अपनी जगह रहता है। यह उस आव्यूह का गुण है, जवाब का नहीं, और यही तय करता है कि व्युत्क्रम मौजूद है या नहीं। दूसरे आव्यूह का सारणिक चाहिए तो उसे पहली जगह पर रखकर उलटिए।

क्या दोनों आव्यूहों का क्रम मायने रखता है?

गुणा में हाँ, और यह असली फ़र्क़ है, कोई तकनीकी बात नहीं: दोनों आव्यूह बदल दीजिए तो चारों अवयव बदल जाते हैं। अगर वे दो रूपांतरण हैं, तो जिस क्रम में उन्हें गुणा किया जाता है वही क्रम है जिसमें वे लगाए जाते हैं। जोड़ अपवाद है — आव्यूह साधारण संख्याओं की तरह जुड़ते हैं और क्रम से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।

व्युत्क्रम किस काम आता है?

आव्यूह का काम उलटने के। किसी आव्यूह को उसके व्युत्क्रम से किसी भी क्रम में गुणा कीजिए और तत्समक आव्यूह मिलता है: विकर्ण पर एक, बाक़ी जगह शून्य। इसीलिए यह पीछे लौटने में काम आता है — बदले हुए निर्देशांकों से उन निर्देशांकों तक जाने में जिनसे वे बने थे। पन्ना इसके बग़ल में सारणिक छापता है क्योंकि शून्य सारणिक ठीक वही मामला है जिसमें यह काम नहीं हो सकता।

• Matrix — the object this page takes as input, with the definitions of addition, multiplication and the identity matrix that the three operations here follow — Wolfram MathWorld (United States)
• Matrix inverse — the matrix that undoes another, its formula for the 2×2 case as used on this page, and the condition that it exists only when the determinant is not zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Determinant — the number the page prints beside every answer: how it is computed for a 2×2 matrix, why the inverse is divided by it, and what a value of zero says about the matrix — Wolfram MathWorld (United States)