सहप्रसरण कैलकुलेटर

cov = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ भाजक, जहाँ नमूने पर n − 1 और समष्टि पर n; r = cov ÷ (sₓ × s_y)

xᵢ, yᵢ

जोड़ीदार मान: पहली सूची का i-वाँ अंक दूसरी सूची के i-वें अंक के साथ जाता है। दोनों सूचियाँ बराबर लंबाई की होनी चाहिए, और किसी को क्रम से नहीं लगाया जाता — जोड़ी स्थान से बनती है, इसलिए एक सूची का क्रम बदलना जवाब बदल देता है

x̄, ȳ

हर सूची का माध्य; दोनों नतीजे में छपते हैं। हर मान अपनी सूची के माध्य से दूरी बनकर हिसाब में उतरता है, इसीलिए किसी सूची के हर मान से एक ही स्थिरांक घटाने पर सहप्रसरण नहीं बदलता

n

कितने जोड़े हैं — यानी किसी भी सूची की लंबाई, यहाँ तक कि 200। यही समष्टि का भाजक है और नमूने के भाजक से एक कम

sₓ, s_y

दोनों सूचियों का मानक विचलन, उसी नमूना या समष्टि वाले चुनाव पर। यही सहप्रसरण को सहसंबंध गुणांक में बदलते हैं, और इन्हें इसीलिए छापा जाता है कि r को सिर्फ़ पैनल देखकर दोबारा निकाला जा सके

cov

सहप्रसरण ख़ुद: धनात्मक तब जब दोनों सूचियाँ साथ-साथ चढ़ती-उतरती हों, ऋणात्मक तब जब एक चढ़े और दूसरी उतरे, और शून्य के क़रीब तब जब रेखीय संबंध कमज़ोर हो। इसकी इकाई पहली सूची की इकाई गुणा दूसरी की इकाई होती है

r

पियर्सन सहसंबंध गुणांक, cov ÷ (sₓ × s_y), जो वे इकाइयाँ काटकर −1 से 1 के बीच उतर आता है। सहप्रसरण से उलट, किसी सूची का पैमाना बदलने पर यह नहीं बदलता, और नमूना तथा समष्टि दोनों पर बराबर निकलता है

सहप्रसरण तब सहज सारांश है जब एक ही चीज़ों पर दो माप लिए गए हों और सवाल यह हो कि वे साथ चलते हैं या नहीं: लंबाई और वज़न, पढ़ाई के घंटे और अंक, तापमान और बिजली की खपत, या एक ही सेंसर की दो मौकों पर पढ़ी गई माप। मानक विचलन जिस राशि का दो चरों तक फैलाव है, वह यही है, और हर सहसंबंध, हर नियमन रेखा की ढलान तथा हर पोर्टफ़ोलियो-प्रसरण सूत्र इसी से बनते हैं — इसलिए इसे एक बार हाथ से निकालकर देख लेना काम का है। चिह्न पढ़िए, आकार नहीं: 1.5 और 150 का सहप्रसरण बिलकुल एक जैसा संबंध बता सकते हैं, अगर एक सूची मीटर में नापी गई हो और दूसरी सेंटीमीटर में। नीचे छपा सहसंबंध गुणांक इकाई-रहित रूप है, और संबंध की ताक़त पूछी जाए तो वही बोलना चाहिए। सहप्रसरण कारण भी नहीं बताता, और वह सिर्फ़ सीधी रेखाएँ देखता है: पूरी तरह नियमित घुमावदार संबंध रखने वाली दो सूचियों का सहप्रसरण शून्य हो सकता है।

1. पाँच जोड़े जो साथ चढ़ते हैं: सहप्रसरण 1.5, r = 0.7746

   1. माध्य: x̄ = (1+2+3+4+5) ÷ 5 = 3, और ȳ = (2+4+5+4+5) ÷ 5 = 4
   2. माध्य से दूरियाँ, x: −2, −1, 0, 1, 2; y: −2, 0, 1, 0, 1
   3. गुणनफल जोड़िए: (−2)(−2) + (−1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6
   4. नमूने का भाजक n − 1 = 4: सहप्रसरण = 6 ÷ 4 = 1.5
   5. मानक विचलन 1.5811 और 1.2247, इसलिए r = 1.5 ÷ (1.5811 × 1.2247) = 0.7746

   चिह्न धनात्मक है, और सहप्रसरण असल में इसी के लिए पढ़ा जाता है: x के औसत से ऊपर वाले मान y के भी औसत से ऊपर वाले मानों के साथ बैठते हैं। आकार — 1.5 — पहली इकाई गुणा दूसरी इकाई में है और किसी भी सूची का पैमाना बदलते ही बदल जाएगा, इसीलिए बग़ल में सहसंबंध गुणांक छपता है। r 0.7746 आता है: साफ़ ऊपर की ओर संबंध, पर सीधी रेखा से दूर, क्योंकि जोड़ी (4, 4) पैटर्न के नीचे बैठती है।

2. वही जोड़े समष्टि के रूप में: सहप्रसरण 1.2, r वही

   1. जोड़ वही रहते हैं: गुणनफलों का योग अब भी 6 है और माध्य अब भी 3 तथा 4
   2. समष्टि का भाजक n = 5: सहप्रसरण = 6 ÷ 5 = 1.2 — नमूने के मान से छोटा, क्योंकि भाजक बड़ा है
   3. इसी वजह से दोनों मानक विचलन भी सिकुड़ जाते हैं: 1.4142 और 1.0954
   4. r = 1.2 ÷ (1.4142 × 1.0954) = 0.7746 — पहले जैसा ही

   भाजक बदलने से सहप्रसरण और दोनों मानक विचलन हिलते हैं, पर सहसंबंध नहीं: उस अनुपात में n − 1, n के साथ कट जाता है। यानी नमूना या समष्टि का चुनाव सहप्रसरण के लिए मायने रखता है और r के लिए बिलकुल नहीं। यह बात उससे पहले जान लेना काम का है जब आप यहाँ निकाला सहप्रसरण कहीं और छपे सहप्रसरण से मिलाने बैठें: दो रिपोर्ट 1.5 बनाम 1.2 पर असहमत हो सकती हैं और संबंध पर पूरी तरह सहमत।

3. पूरी तरह नियमित घुमाव, और सहप्रसरण शून्य

   1. माध्य: दोनों सूचियों का औसत 3 है
   2. दूरियाँ, x: −2, −1, 0, 1, 2; y: −2, 1, 2, 1, −2
   3. गुणनफल: 4 − 1 + 0 + 1 − 4 = 0
   4. सहप्रसरण: 0 ÷ 4 = 0, और r = 0 ÷ (1.5811 × 1.8708) = 0 भी

   दूसरी सूची उलटा U है: 1, 4, 5, 4, 1 एक पूरी तरह नियमित पैटर्न है, और 1 से 5 के साथ उसका सहप्रसरण ठीक शून्य है। सहप्रसरण सिर्फ़ सीधी रेखा वाले संबंध पकड़ता है — यहाँ दूसरी सूची पहले चढ़ती है और फिर उतरती है, और धनात्मक तथा ऋणात्मक योगदान ठीक-ठीक कट जाते हैं। इसलिए शून्य के क़रीब सहप्रसरण का मतलब 'कोई रेखीय संबंध नहीं' है, 'कोई संबंध नहीं' कभी नहीं — और यही वजह है कि एक अकेली संख्या ने बिंदु-आलेख को बेकार नहीं कर दिया।

सहप्रसरण, सहसंबंध नहीं है और उसे सहसंबंध की तरह पढ़ना नहीं चाहिए। उसका आकार दोनों सूचियों की इकाइयों पर निर्भर है, इसलिए अलग पैमानों पर नापे गए चरों के जोड़ों की तुलना उससे नहीं की जा सकती, और उसके पास कोई ऊपरी सीमा भी नहीं जिसके सामने जाँचा जा सके — सीधे पढ़ने लायक सिर्फ़ उसका चिह्न है। वह सिर्फ़ रेखीय संबंध नापता है, इसलिए मज़बूत घुमावदार संबंध का सहप्रसरण शून्य के क़रीब आ सकता है। चूँकि वह जोड़ीदार मानों से बनता है, दोनों सूचियों का सीधे मिलना ज़रूरी है: दोनों की लंबाई बराबर होनी चाहिए, और हर मान उसी स्थान वाले मान के साथ जुड़ता है, इसलिए एक सूची में छूटी या ज़्यादा लिखी गई एक प्रविष्टि उसके बाद का सब कुछ खिसका देती है। अगर किसी एक सूची में ज़रा भी बदलाव न हो — हर मान एक जैसा हो — तो सहसंबंध गुणांक परिभाषित नहीं होता और यह पेज शून्य से भाग देकर जवाब छापने के बजाय जवाब देने से इनकार कर देता है। सूचियाँ 200 जोड़ों तक सीमित हैं, और 1,500 जैसा टोकन अंदाज़ा लगाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है, क्योंकि अंकों के बीच बैठा कॉमा कहीं दशमलव बिंदु होता है और कहीं हज़ार का विभाजक। यहाँ से कारण का कोई पता नहीं चलता: साथ हिलती दो सूचियाँ ऐसे तीसरे कारक का जवाब दे रही हो सकती हैं जो दोनों में से किसी में दर्ज ही नहीं है।

सहप्रसरण कैसे निकाला जाता है?

दोनों सूचियों को स्थान के हिसाब से जोड़िए, हर सूची के मानों में से उसी सूची का माध्य घटाइए, हर जोड़ी की दोनों दूरियों को गुणा कीजिए, उन गुणनफलों को जोड़िए, और नमूने पर n − 1 तथा समष्टि पर n से भाग दीजिए। x = 1, 2, 3, 4, 5 और y = 2, 4, 5, 4, 5 पर गुणनफलों का योग 6 आता है, इसलिए नमूने का सहप्रसरण 6 ÷ 4 = 1.5 है। दोनों माध्य, दोनों मानक विचलन और नतीजा ऊपर छपे हैं, इसलिए हर क़दम पर नज़र रखी जा सकती है।

क्या दोनों सूचियों की लंबाई बराबर होनी ज़रूरी है?

हाँ, और क्रम भी सही होना चाहिए — एक सूची का पहला मान दूसरी के पहले मान के साथ जुड़ता है, और कुछ भी क्रम से नहीं लगाया जाता। इसीलिए यह पेज बेमेल सूचियों को छोटी वाली में भरने के बजाय ठुकरा देता है: एक सूची में 3 मान और दूसरी में 2 हों तो यह जानने का कोई तरीक़ा नहीं कि कौन-सी प्रविष्टि छूटी है, और चुपचाप पहले दो को जोड़ देना ऐसा ग़लत जवाब देगा जो बिलकुल ठीक लगता है। चिपकाने से पहले जाँच लीजिए कि दोनों सूचियाँ एक ही चीज़ों से, एक ही पंक्तियों के क्रम में आई हैं।

सहप्रसरण का चिह्न क्या बताता है?

धनात्मक सहप्रसरण का मतलब है कि जब कोई मान अपनी सूची के माध्य से ऊपर बैठता है, तब उसका साथी मान दूसरी सूची के माध्य से ऊपर बैठने की प्रवृत्ति रखता है: दोनों साथ चढ़ते-उतरते हैं। ऋणात्मक इसका उलटा बताता है — एक औसत से ऊपर तो दूसरी औसत से नीचे। शून्य के क़रीब मान का मतलब कोई सीधी रेखा वाला पैटर्न नहीं है, जो 'कोई संबंध नहीं' से अलग बात है: सूची 1, 4, 5, 4, 1 पूरी तरह नियमित उलटा U बनाती है और 1, 2, 3, 4, 5 के साथ उसका सहप्रसरण ठीक शून्य है।

सहसंबंध गुणांक भी क्यों छापा जाता है?

क्योंकि सहप्रसरण अकेले पढ़ा नहीं जा सकता। उसकी इकाई पहली सूची की इकाई गुणा दूसरी की इकाई है, इसलिए एक सूची को मीटर के बजाय सेंटीमीटर में नापना उसे सौ गुना कर देता है और संबंध में कुछ नहीं बदलता। दोनों मानक विचलनों से भाग देने पर वे इकाइयाँ कट जाती हैं और जवाब −1 से 1 के बीच सिमट जाता है, जिससे अलग-अलग चरों में तुलना हो सके। सहप्रसरण वह राशि है जिससे बीजगणित बनता है; और जब कोई पूछे कि संबंध कितना मज़बूत है, तो r बोलना चाहिए।

किसी एक सूची में सब मान एक जैसे हों तो जवाब क्यों नहीं मिलता?

क्योंकि सहसंबंध गुणांक में शून्य से भाग देना पड़ता: अगर किसी सूची का हर मान एक जैसा है तो उसका मानक विचलन शून्य है, और संबंध की कोई परिभाषित ताक़त नहीं रहती। सहप्रसरण ख़ुद पूरी तरह परिभाषित है — वह शून्य है — पर यह पेज दोनों संख्याएँ एक साथ छापता है, और आधा जवाब देने का मतलब होता पाठक के हाथ में एक अर्थहीन r थमा देना। यही चुनाव इस साइट पर कहीं और भी किया गया है: भिन्नता गुणांक वाला पेज माध्य धनात्मक न होने पर अपरिभाषित अनुपात छापने के बजाय जवाब देने से इनकार कर देता है।

नमूना लूँ या समष्टि?

नमूना चुनिए, यानी n − 1, जब आपकी सूचियाँ किसी बड़े समूह से निकाला गया नमूना हों और आप उस बड़े समूह के बारे में बताना चाहते हों — यही आम मामला है। समष्टि चुनिए, यानी n, जब सूचियाँ ही वह पूरा समूह हों जिसकी आपको बात करनी है। यह चुनाव सहप्रसरण और दोनों मानक विचलन बदल देता है पर सहसंबंध गुणांक कभी नहीं, क्योंकि उस अनुपात में n − 1, n के साथ कट जाता है। ऊपर के पाँच जोड़ों पर सहप्रसरण नमूने के रूप में 1.5 है और समष्टि के रूप में 1.2, जबकि r दोनों तरह 0.7746।

• Correlation, Variance and Covariance (Matrices) — R stats package reference (cov and cor; documents the n − 1 denominator used for the covariance and treats the correlation as the covariance scaled by the two standard deviations) — The R Project for Statistical Computing
• scipy.stats.pearsonr — SciPy reference (the Pearson coefficient's range and its interpretation as a measure of linear association) — SciPy
• The Regression Equation — Introductory Statistics 2e, section 12.3 (defines the correlation coefficient r, after Karl Pearson, as a numerical measure of the strength and direction of the linear association between two variables) — OpenStax, Rice University