औसत परिवर्तन दर कैलकुलेटर

औसत परिवर्तन दर = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

अंतराल के पहले सिरे पर निवेश — यानी जो भी फ़ंक्शन लेता है उसका पहला मान: वेग वाले मामले में समय, ज्यामिति वाले में स्थिति। इस पर कोई बँध नहीं है, और इसका x₂ से छोटा होना भी ज़रूरी नहीं: दोनों सिरे किसी भी क्रम में दिए जा सकते हैं।

x₂

दूसरे सिरे पर निवेश। यह x₁ के बराबर नहीं हो सकता। बराबर हुआ तो अनुपात का हर शून्य हो जाता है और औसत निकालने को कुछ बचता ही नहीं: फ़ंक्शन से कहा जा रहा होगा कि निवेश में कोई बदलाव न होते हुए भी वह बदले, जो दर नहीं, एक खड़ा खंड है।

y₁, y₂

उन दोनों निवेशों पर फ़ंक्शन का निर्गत। फ़ंक्शन कोई सूत्र हो, आँकड़ों की तालिका हो या स्क्रीन पर खींचा कोई वक्र — पेज को बस ये दो मान चाहिए। अनुपात में यह क्रम कट जाता है, पर बदलाव वाले दोनों ख़ानों में यह मायने रखता है।

Δy ÷ Δx

औसत दर ख़ुद: निर्गत में हुआ कुल बदलाव, बँटा उस अंतराल की लंबाई पर जितने में वह हुआ। डेल्टा संकेतन में Δy यानी y में बदलाव और Δx यानी x में बदलाव। इस व्यंजक को प्रति इकाई की भाषा में पढ़ना ही असली बात है — जवाब बताता है कि x की हर एक इकाई पर y कितना खिसका।

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

वही राशि खुली हुई लिखी हुई। यह संख्यात्मक रूप से उस रेखा की ढाल के बराबर है जो इन्हीं दो बिंदुओं से जुड़ती है, और इसीलिए ढाल वाला पेज तथा यह पेज अलग सवालों का एक ही जवाब देते हैं: ढाल वाला पूछता है कि रेखा कितनी तीरछी है, और यह पेज पूछता है कि कोई फ़ंक्शन एक अंतराल में कितनी तेज़ी से चला। इनमें से सिर्फ़ दूसरी बात कलन तक पहुँचती है, जहाँ अंतराल को छोटे से छोटा किया जाता है।

1. x² की औसत परिवर्तन दर, 1 से 3 के अंतराल पर

   1. अंतराल दो इकाई लंबा है: Δx = 3 − 1 = 2
   2. निर्गत आठ से बदला: Δy = 9 − 1 = 8
   3. भाग दीजिए: 8 ÷ 2 = 4
   4. यानी निवेश की हर इकाई पर फ़ंक्शन औसतन 4 इकाई निर्गत बढ़ा

   वर्ग वाले फ़ंक्शन पर जवाब एक ऐसे नियम पर आता है जो जान लेने लायक़ है: a से b तक के किसी भी अंतराल पर उसकी औसत दर हमेशा a + b होती है, यहाँ 1 + 3 = 4। यह नियम इसलिए चलता है कि b² में से a² घटाने पर (b − a)(b + a) बनता है, और b − a हर के साथ कट जाता है। नीचे दी गई तालिका भी इसी एक फ़ंक्शन से बनी है।

2. तीन सेकंड की औसत चाल

   1. निवेश समय है, सेकंड में, 0 से 3 तक
   2. निर्गत स्थिति है, जो 10 से 70 तक पहुँची
   3. स्थिति तीन सेकंड में साठ से बदली: 60 ÷ 3 = 20
   4. औसत चाल 20 इकाई दूरी प्रति सेकंड है

   यही वह पढ़त है जो इस राशि को ठोस बना देती है: खड़ी धुरी पर स्थिति और आड़ी धुरी पर समय हो तो औसत परिवर्तन दर औसत चाल ही है। यह असली मायने में औसत है — बीच में चाल कभी भी बदलती रही हो सकती है, और यह अनुपात अंतराल के भीतर की किसी बात पर नहीं, सिर्फ़ दोनों सिरों पर टिका है।

3. दोनों सिरे आपस में बदल देना

   1. पहले उदाहरण वाले ही दो बिंदु, बस दूसरे क्रम में लिखे हुए
   2. Δx = 1 − 3 = −2 और Δy = 1 − 9 = −8
   3. अनुपात −8 ÷ −2 = 4 है, यानी पहले जितना ही
   4. दोनों बदलाव ख़ानों का चिह्न पलट गया, दर का नहीं

   जिस पढ़ने वाले को धनात्मक दर के बग़ल ऋणात्मक Δx दिखे, उसने कोई ग़लती नहीं पकड़ी। अंश और हर दोनों का चिह्न बदलने पर अनुपात नहीं बदलता, इसलिए औसत दर इस पर निर्भर नहीं कि पहला सिरा किसे कहा गया; बदलाव वाले दोनों ख़ाने इस पर निर्भर हैं, क्योंकि वे बिंदुओं के बीच की दिशा बताते हैं। मुख्य जवाब यह बताता है कि कितनी तेज़ी से, और बदलाव ख़ाने यह कि कहाँ से कहाँ तक।

दोनों निवेश अलग-अलग होने चाहिए। x₂ के x₁ के बराबर होते ही अनुपात का हर शून्य हो जाता है, और पेज उसे अनंत लौटाने के बजाय ठुकरा देता है: खड़े खंड के लिए x की प्रति इकाई कोई दर होती ही नहीं, क्योंकि x बदल ही नहीं रहा। दोनों सिरे किसी भी क्रम में दिए जा सकते हैं और औसत दर दोनों तरह एक ही आती है, पर बदलाव वाले दोनों ख़ाने चिह्नित हैं और क्रम बदलने पर आपस में बदल जाते हैं। यह पेज किसी अंतराल की दर बताता है, किसी बिंदु की नहीं — तात्क्षणिक दर वह सीमा है जो यह पेज नहीं निकालता, और उसके लिए फ़ंक्शन का सूत्र चाहिए, उसके दो मान नहीं। हर निर्देशांक 10¹² तक सीमित है; उससे बड़े मान पर घटाव की परिशुद्धता जाने लगती है और छपने वाले छह दशमलव भरोसे के लायक़ नहीं रहते। नतीजा छह दशमलव तक पूर्णांकित होता है जबकि हिसाब पूरी परिशुद्धता पर चलता है। यह पेज कोण नहीं छापता: कोण किसी सीधी रेखा का गुण है, और एक अंतराल पर पड़े फ़ंक्शन का कोई कोण नहीं होता — यही एक वजह है जिससे यह पेज उस ढाल वाले कैलकुलेटर से अलग है जिसका लिंक नीचे है।

औसत परिवर्तन दर क्या होती है?

यह किसी अंतराल में फ़ंक्शन के निर्गत में हुआ कुल बदलाव है, बँटा उस अंतराल की लंबाई पर। अगर स्थिति तीन सेकंड में 10 से 70 तक पहुँचे तो औसत दर 60 ÷ 3 यानी 20 इकाई प्रति सेकंड है। यहाँ औसत शब्द बेकार नहीं है: राशि पूरे अंतराल को एक संख्या में समेट देती है और उसके भीतर फ़ंक्शन कैसे चला, इस पर कुछ नहीं कहती।

यह ढाल से अलग कैसे है?

हिसाब एक ही है — दोनों खड़ी राशि का बदलाव आड़ी राशि के बदलाव पर बाँटते हैं — पर सवाल अलग है। ढाल बताती है कि कोई रेखा कितनी तीरछी है, जो उस रेखा का अपना गुण है। औसत परिवर्तन दर बताती है कि कोई फ़ंक्शन दो बिंदुओं के बीच कितनी तेज़ी से चला, और यही वह भाव है जो अंतराल को शून्य की ओर सिकोड़ने पर भी टिका रहता है। इन दोनों विचारों में से कलन तक सिर्फ़ एक पहुँचता है।

दोनों बिंदु बदल देने पर जवाब वही क्यों रहता है?

क्योंकि अंश और हर दोनों का चिह्न बदल जाने पर अनुपात नहीं बदलता, और दोनों सिरे बदलने पर दोनों एक साथ पलट जाते हैं। बदलाव वाले दोनों ख़ाने हाँ, पलट जाते हैं, क्योंकि वे पहले बिंदु से दूसरे तक की दिशा दर्ज करते हैं। यानी दर बताती है कि कितनी तेज़ी से, और बदलाव ख़ाने बताते हैं कि कहाँ से कहाँ तक — दोनों एक ही समय पर सही हैं।

क्या औसत परिवर्तन दर ऋणात्मक हो सकती है?

हाँ, और इसका मतलब है कि उस अंतराल में निवेश बढ़ते हुए निर्गत गिरा। −3 से −1 तक के अंतराल पर वर्ग वाला फ़ंक्शन 9 से 1 पर आ जाता है, इसलिए उसकी औसत दर −4 है। ऋणात्मक मान का मतलब यह नहीं कि कुछ उलटा भर दिया गया; यह बदलाव की दिशा है, और इसीलिए अनुपात के बग़ल बदलाव वाले दोनों ख़ाने भी छपते हैं।

दोनों निवेश बराबर हों तो क्या होता है?

पेज हिसाब ठुकरा देता है। x₂ के x₁ के बराबर होते ही हर शून्य हो जाता है, यानी औसत निकालने के लिए कोई अंतराल ही नहीं बचता — फ़ंक्शन से कहा जा रहा होगा कि अपने निवेश में कोई बदलाव न होते हुए भी बदल जाए। वह एक खड़ा खंड है, और उसकी x की प्रति इकाई कोई दर नहीं होती। पेज अनंत लौटाने के बजाय यही बताता है, क्योंकि अनंत कोई दर नहीं है।

क्या औसत दर और तात्क्षणिक दर एक ही हैं?

सिर्फ़ तब जब फ़ंक्शन एक सीधी रेखा हो, जहाँ दर हर जगह एक ही रहती है और दोनों मिल जाती हैं। बाक़ी मामलों में औसत पूरे अंतराल का बयान करती है और तात्क्षणिक दर किसी एक निवेश मान की। अंतराल को छोटे से छोटा करते जाना ही औसत को तात्क्षणिक दर में बदलता है, और वही सीमा अवकलज है — यह पेज वह क़दम नहीं उठाता, क्योंकि वह फ़ंक्शन के सूत्र से नहीं, उसके दो मानों से चलता है।

• Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Derivative — the limit of the average rate of change as the interval shrinks, which is where this quantity is heading — Wolfram MathWorld (United States)