Calculatrice de pente

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

Les deux points, utilisés quand le sélecteur est réglé sur deux points. Le premier point et le second sont interchangeables — les échanger change le signe du numérateur et celui du dénominateur, si bien que la pente reste la même. Ce qui n’est pas interchangeable, c’est de mettre un x dans une case de y : rien ne le vérifie, et le résultat sera un nombre d’apparence parfaitement ordinaire

a, b, c

Les trois coefficients de l’équation de droite ax + by = c, utilisés quand le sélecteur est réglé sur l’équation. Ils ne sont lus que dans ce mode, et dans l’autre ils sont ignorés sans aucune indication à l’écran. À noter que b désigne ici le coefficient de y, et non l’ordonnée à l’origine — celle-ci est une sortie distincte, et confondre les deux est l’erreur la plus fréquente avec cette forme

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

La pente à partir de deux points : la montée sur la distance horizontale. C’est le même nombre quelles que soient la distance entre les points, et c’est ce qui fait qu’une droite est droite — prenez deux points à un kilomètre ou à un millimètre et le rapport ne change pas. Le seul cas qui la casse est x₁ égal à x₂, où le dénominateur est nul et la droite verticale. Les manuels français appellent ce nombre le coefficient directeur et le notent a dans l’équation réduite y = ax + b ; la notation m est conservée ici parce qu’elle est celle de la page et des autres pages du site

m = −a ÷ b

La pente tirée de l’équation de droite, obtenue en réarrangeant ax + by = c sous la forme y = (−a ÷ b)x + (c ÷ b). Le signe moins s’oublie facilement, et l’oublier donne une pente de bonne grandeur avec le mauvais signe — exactement l’erreur qui fait paraître montante une droite qui descend. Quand b est nul, le réarrangement divise par zéro et la droite est verticale : ce cas est donc refusé plutôt qu’approché

b = y₁ − m·x₁

L’ordonnée à l’origine, l’endroit où la droite traverse l’axe vertical. Elle est calculée à partir de la pente et de l’un des points plutôt que lue sur un graphique, et elle est imprimée pour toutes les entrées, y compris celles où elle vaut zéro. Une droite passant par l’origine a une ordonnée à l’origine exactement nulle, ce qui mérite d’être vu explicitement : c’est le cas où l’équation n’a aucun terme constant

angle = arctan(m)

L’angle de la pente, l’arctangente de la pente en degrés, qui se situe entre −90 et 90. Une pente de 1 donne 45 degrés, une pente de −1 donne −45, et une droite horizontale donne 0. Ce n’est pas l’angle d’inclinaison utilisé en géométrie analytique, qui va de 0 à 180 et donnerait 135 pour la même droite à −45 ; l’arctangente est employée ici parce qu’elle découle directement de la pente, de façon bijective et sans règle supplémentaire

Utilisez cette page quand une pente doit sortir d’une droite donnée sous l’une ou l’autre forme standard, et aussi quand l’équation d’une droite doit être lue pour sa pente et son ordonnée à l’origine sans être réarrangée à la main — 2x + 3y = 6 donne une pente de −2/3 et une ordonnée à l’origine de 2 en une seule étape. C’est la page pour contrôler une droite déjà tracée : une pente qui revient avec le mauvais signe, ou une ordonnée qui ne correspond pas à l’endroit où la droite coupe l’axe, signale que l’équation a été mal lue quelque part. L’angle sert quand la pente doit être comparée à une inclinaison physique, encore qu’il s’agisse de l’arctangente et non de l’angle d’inclinaison : lisez donc cette colonne en gardant la différence en tête. Passez à la page de la pente en pourcentage quand la question porte sur une rampe plutôt que sur une droite — même arithmétique, vocabulaire différent. Passez à la calculatrice de formule quadratique quand l’équation contient un terme en x², puisqu’une courbe n’a pas de pente unique et que cette page-là cherche où elle s’annule. Passez à la calculatrice de forme point-pente quand la pente est connue et que c’est l’équation que vous voulez, ce qui est la question de cette page lue à l’envers.

1. La droite passant par (1, 2) et (4, 8)

   1. La variation de y : 8 − 2 = 6
   2. La variation de x : 4 − 1 = 3
   3. La pente : 6 ÷ 3 = 2
   4. L’ordonnée à l’origine : 2 − 2 × 1 = 0, donc la droite passe par l’origine
   5. L’angle : arctan(2) = 63,4349 degrés

   Le cas des deux points, où toutes les réponses sont rondes sauf l’angle — ce qui est la situation ordinaire, l’arctangente d’une pente rationnelle n’étant presque jamais un nombre entier de degrés. L’ordonnée à l’origine exactement nulle mérite qu’on s’y arrête : elle dit que l’équation de cette droite est y = 2x sans rien de plus, et un lecteur qui attendait une ordonnée à l’origine à une certaine hauteur sur l’axe regarde une droite qui passe pile par l’origine.

2. La droite passant par (0, 3) et (4, 0)

   1. La variation de y : 0 − 3 = −3
   2. La variation de x : 4 − 0 = 4
   3. La pente : −3 ÷ 4 = −0,75, négative parce que la droite descend vers la droite
   4. L’ordonnée à l’origine : 3 − (−0,75 × 0) = 3, ce qui se voit sur le graphique au point (0, 3)
   5. L’angle : arctan(−0,75) = −36,8699 degrés

   La pente négative, et le cas où la convention d’angle compte. Cette droite descend vers la droite, donc l’angle est négatif — un manuel de géométrie appellerait l’inclinaison de la même droite 143,13 degrés, et les deux nombres décrivent une seule droite. L’ordonnée à l’origine est ici la plus facile à vérifier, puisque le premier point a un x nul et se trouve exactement sur l’axe vertical.

3. La droite 2x + 3y = 6

   1. Réarranger sous la forme y = ax + b : 3y = 6 − 2x, donc y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. La pente vaut −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0,666667
   3. L’ordonnée à l’origine vaut c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
   4. L’angle : arctan(−0,666667) = −33,6901 degrés
   5. Le contrôle : pour x = 0 l’équation se lit 3y = 6, donc y = 2, ce qui est bien l’ordonnée à l’origine

   Le mode équation, et le cas qui montre pourquoi la formule contient un signe moins. L’oublier donne 0,666667 au lieu de −0,666667 — la même raideur, mais montante au lieu de descendante, le genre d’erreur qu’un contrôle sur l’équation d’origine attrape et qu’un coup d’œil au nombre ne voit pas. L’ordonnée à l’origine se confirme en posant x égal à zéro dans l’équation plutôt qu’en faisant confiance à la formule.

4. La droite x − y = 4

   1. Réarranger : −y = 4 − x, donc y = x − 4
   2. La pente vaut −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
   3. L’ordonnée à l’origine vaut c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
   4. L’angle : arctan(1) = 45 degrés exactement

   Un b négatif, cas où les deux signes moins des formules s’annulent et où les réponses ressortent positives. C’est aussi l’une des rares droites dont l’angle est un nombre entier de degrés : une pente de 1 vaut 45 degrés et une pente de −1 vaut −45, ce qui explique la présence de ces deux lignes dans le tableau de référence. L’ordonnée à l’origine de −4 dit que la droite coupe l’axe sous l’origine, ce qu’un lecteur ayant supposé qu’un coefficient négatif signifiait une pente négative comprendrait exactement à l’envers.

5. La droite horizontale passant par (2, 5) et (6, 5)

   1. La variation de y : 5 − 5 = 0
   2. La variation de x : 6 − 2 = 4
   3. La pente : 0 ÷ 4 = 0 — une droite horizontale, dont la pente est nulle et non indéfinie
   4. L’ordonnée à l’origine : 5 − 0 × 2 = 5, la hauteur à laquelle la droite se tient
   5. L’angle : arctan(0) = 0 degré

   La pente nulle, cas le plus souvent confondu avec la droite verticale que cette page refuse. Une droite horizontale a une pente exactement nulle — elle ne monte ni ne descend — tandis qu’une droite verticale n’a aucune pente du tout, et la différence tient à ce que le zéro se trouve au numérateur ou au dénominateur. Toutes les sorties sont ici des nombres propres, ce qui en fait la ligne la plus facile de la page à contrôler sur un croquis.

Les deux groupes de cases sont tous les deux à l’écran et c’est le sélecteur de mode qui décide lequel est lu. Le groupe qui n’est pas lu n’est pas grisé — la page ne sait pas le faire — donc les nombres saisis dans le mauvais groupe sont ignorés en silence et le résultat ne bougera pas quand on les modifie. C’est le seul comportement de cette page qui ne peut pas être découvert à l’écran, et le seul remède est de vérifier le sélecteur : les cases de coordonnées sont lues quand il indique deux points, et les cases a, b et c quand il indique l’équation de droite. Les droites verticales sont refusées dans les deux modes plutôt que signalées par une pente infinie, parce qu’un infini n’est pas un nombre utilisable et qu’une droite verticale n’a réellement aucune pente ; une droite horizontale est un cas tout différent et revient avec une pente exactement nulle. L’angle est l’arctangente de la pente et va de −90 à 90 degrés, et non de 0 à 180 comme l’angle d’inclinaison de la géométrie analytique — la même droite descendante vaut −45 ici et 135 là-bas, et confondre les deux introduit une erreur de signe dans tout ce qui se calcule à partir de l’angle. La pente est un nombre pur sans unité, ce qui n’a de sens que si les deux axes sont mesurés dans la même chose : une pente de 5 entre une distance en mètres et un temps en secondes vaut 5 mètres par seconde, et la page ne le dira pas. Les coordonnées sont bornées à un million en valeur absolue, ce qui est une plage d’affichage. La page ne donne pas de grades : la raideur d’une droite n’a pas de seuil faisant autorité, et le signe de la pente dit déjà si elle monte ou descend. Enfin, la page ne traite que les droites — une courbe a une pente différente en chaque point, et rien ici ne calcule de dérivée.

Pourquoi modifier une case ne change-t-il parfois pas la réponse ?

Parce que le sélecteur de mode est réglé sur l’autre groupe. Les deux groupes de cases sont toujours à l’écran, et un seul est lu à la fois : quand le sélecteur est sur deux points, les cases a, b et c sont entièrement ignorées, et quand il est sur l’équation, ce sont les quatre cases de coordonnées. Le groupe inutilisé n’est pas grisé, donc le sélecteur est la seule indication de quels nombres comptent — vérifiez-le en premier dès qu’un résultat semble figé.

Quelle est la pente d’une droite verticale ?

Elle n’en a aucune, et cette page refuse cette entrée plutôt que d’imprimer l’infini. La pente est la variation de y divisée par la variation de x, et sur une droite verticale la variation de x est nulle : l’arithmétique demande donc de diviser par zéro. L’infini n’est pas un nombre que l’on peut emporter à l’étape suivante, et dire que la pente est infinie suggérerait un nombre très grand plutôt qu’aucun nombre. Une droite horizontale est le cas opposé : sa pente est exactement nulle.

Comment trouver la pente à partir d’une équation ?

On réarrange ax + by = c sous la forme y = ax + b. Cela donne une pente de −a ÷ b et une ordonnée à l’origine de c ÷ b, ce que la page calcule quand le sélecteur est réglé sur l’équation. Le signe compte plus qu’il n’en a l’air : pour 2x + 3y = 6, la pente vaut −2/3, et oublier le moins donne une droite de même raideur mais penchée dans l’autre sens.

Quelle différence y a-t-il entre l’angle de la pente et l’angle d’inclinaison ?

L’angle de la pente est l’arctangente de la pente et se situe entre −90 et 90 degrés ; l’angle d’inclinaison utilisé en géométrie analytique se situe entre 0 et 180. Pour une droite qui descend vers la droite, les deux diffèrent de 180 degrés : cette page annonce −45 pour une pente de −1, alors que l’inclinaison de la même droite vaut 135. La page emploie l’arctangente parce qu’elle découle directement et bijectivement de la pente, sans règle supplémentaire consistant à ajouter 180 pour les pentes négatives.

La pente a-t-elle une unité ?

Pas à elle seule. Une pente est le rapport de deux variations, donc un nombre pur, et elle ne devient « tant par unité » que lorsque les deux axes sont mesurés dans la même chose — des mètres sur chaque axe donnent un nombre sans dimension, tandis que des mètres contre des secondes donnent des mètres par seconde. La page ne pose pas la question, donc elle ne peut ni convertir ni étiqueter ; si les axes sont dans des unités différentes, la pente est un taux et l’unité est la seule chose que la page ne peut pas fournir.

Puis-je m’en servir pour trouver l’équation d’une droite ?

Non — cette page va dans l’autre sens. Elle prend une droite déjà décrite, soit par deux points, soit par une équation, et en donne la pente et l’ordonnée à l’origine. Passer d’une pente et d’un point à l’équation est une autre tâche, et c’est la calculatrice de forme point-pente qui s’en charge. Ce que cette page fournit au passage, c’est l’ordonnée à l’origine, et pente plus ordonnée à l’origine est déjà l’équation réduite de la droite si vous voulez l’écrire vous-même.

• Slope — the definition of the slope of a line as rise over run, with the two-point and equation forms this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the general equation ax + by = c and its rearrangement into slope-intercept form, including the vertical case where b is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — the arctangent used for the angle column, and the range from −90 to 90 degrees that distinguishes it from the inclination angle — Wolfram MathWorld (United States)