Lequel des deux points faut-il saisir en premier ?

N’importe lequel — la réponse ne change pas. Échanger les deux points retourne le signe du numérateur et celui du dénominateur dans (y2 - y1) / (x2 - x1), et les deux retournements s’annulent. Il en va de même de l’ordonnée à l’origine, puisqu’elle se calcule à partir d’un point et de la pente. La seule chose qui compte est que les deux coordonnées d’un même point soient saisies sur la même ligne du formulaire.

Et si les deux points ont la même abscisse ?

Alors la droite est verticale et la page signale un calcul impossible. Une droite verticale n’a aucune pente — le déplacement horizontal est nul, donc la division n’a pas de réponse — et elle ne traverse jamais l’axe des ordonnées, si bien que l’équation y = mx + b ne peut pas la décrire quels que soient m et b. L’équation d’une verticale est x = 3, une équation sans pente ni ordonnée à l’origine, et c’est pourquoi elle sort de ce que cette page produit.

Pourquoi la pente s’écrit-elle m et non a ?

Parce que la page suit la convention anglaise. Les manuels français notent a le coefficient directeur et écrivent l’équation réduite y = ax + b ; la convention anglaise écrit y = mx + b. Le m imprimé ici est donc exactement le a des manuels français, et l’ordonnée à l’origine garde la même lettre b dans les deux conventions — il n’y a rien à convertir, seulement une lettre qui change.

Pourquoi la pente est-elle arrondie, et que se passe-t-il avec un décimal qui se répète ?

Elle est arrondie à six décimales, puis l’ordonnée à l’origine est calculée à partir de la valeur arrondie plutôt que de la valeur exacte. C’est délibéré : les deux nombres du panneau de résultats s’accordent ainsi exactement avec l’équation imprimée en dessous, ce qui permet de contrôler la réponse à la main. Le prix à payer est qu’avec une pente qui se répète, comme le 1/3 que produisent (1, 1) et (4, 2), la droite imprimée est la droite arrondie — 0,333333 plutôt qu’un tiers.

En quoi est-ce différent de la calculatrice de forme point-pente ?

Les entrées diffèrent. Cette page-ci prend deux points, ce que l’on a le plus souvent sous la main ; la page de forme point-pente prend un point et une pente déjà connue, et imprime l’équation sous une forme qui montre ce point. Les deux décrivent la même droite, si bien qu’elles s’enchaînent : reprenez la pente annoncée ici et le premier de vos deux points, et la page point-pente écrira la même droite dans l’autre sens.

Comment contrôler la réponse à la main ?

Remplacez x par l’une ou l’autre de vos abscisses dans l’équation imprimée et regardez si vous retrouvez l’ordonnée de ce point. Pour (1, 2) et (3, 10), l’équation est y = 4x − 2, et en x = 1 cela donne 2 tandis qu’en x = 3 cela donne 10 — les deux points sont bien sur la droite. Si l’un des deux échoue, la pente et l’ordonnée à l’origine imprimées au-dessus de l’équation sont les deux nombres à comparer avec votre propre calcul.

Calculatrice d’équation réduite

Résultat

y = 4x - 2

Forme réduite

Pente: 4,000000
Ordonnée à l’origine: -2,000000

L’équation réduite est la façon ordinaire d’écrire une droite — y = mx + b — et deux points suffisent à la remplir. La pente m dit de combien y bouge par unité de x, la montée divisée par le déplacement horizontal ; l’ordonnée à l’origine b dit où la droite rencontre l’axe vertical. Cette page prend les quatre coordonnées, calcule les deux nombres et imprime l’équation de droite qu’ils définissent. Une différence de notation vaut d’être signalée d’emblée : les manuels français écrivent cette même droite y = ax + b, avec a pour coefficient directeur et b pour ordonnée à l’origine, tandis que cette page a gardé la présentation anglaise et la lettre m — le m imprimé ici est exactement le a des manuels français, et les nombres, eux, sont identiques dans les deux conventions. Les deux nombres restent visibles à côté de l’équation, ce qui permet de contrôler l’arithmétique à la main : multipliez la pente par l’un des deux x et ajoutez l’ordonnée à l’origine, vous devez retomber sur le y de ce point. Deux points de même x forment le seul cas sans aucune réponse, parce que cette droite est verticale et ne traverse jamais l’axe des ordonnées.

Huit couples de points et la droite que chacun définit

x₁	y₁	x₂	y₂	Équation
1	2	3	10	y = 4x - 2
0	0	1	1	y = x
0	5	2	1	y = -2x + 5
0	1	2	2	y = (1/2)x + 1
0	3	2	2	y = (-1/2)x + 3
1	3	5	3	y = 3
1	2	2	4	y = 2x
0	7	1	6	y = -x + 7

Chaque ligne est un couple de points et l’équation réduite de la droite qui les traverse, obtenue par le même code que celui qui répond au formulaire ci-dessus. Les lignes ont été choisies pour couvrir les formes que l’équation peut prendre : une pente ordinaire, une pente de 1, une pente négative, une pente négative valant exactement −1, une droite horizontale dont l’équation n’a plus aucun x, une droite passant par l’origine dont l’équation n’a plus aucune constante, et les deux cas fractionnaires où la parenthèse autour du coefficient fait un vrai travail. Lire la dernière colonne de haut en bas est aussi le moyen le plus rapide de voir à quoi ressemble chaque forme une fois écrite. Chaque cellule est un nombre ou une notation, donc le tableau est identique dans toutes les langues du site.

Formule

points (x1, y1) et (x2, y2) → m = (y2 - y1) / (x2 - x1) → b = y1 - m * x1 → y = m * x + b

m: La pente : de combien la droite monte à chaque pas vers la droite. C’est la montée divisée par le déplacement horizontal, et son signe donne la direction — positif monte, négatif descend, zéro est une droite horizontale. Une pente de 4 signifie que y gagne 4 chaque fois que x gagne 1. Les manuels français appellent ce nombre le coefficient directeur et le notent a dans y = ax + b ; la lettre m est conservée ici parce qu’elle est celle de la page et des autres pages du site.
b: L’ordonnée à l’origine : la valeur de y là où la droite traverse l’axe vertical, autrement dit la valeur de y en x = 0. C’est ce qui reste d’un point une fois la contribution de la pente retirée, et c’est le seul nombre de cette page qui se lise directement sur l’équation. La lettre est la même dans les deux conventions, française comme anglaise.
(x1, y1), (x2, y2): Les deux points. L’un ou l’autre peut être appelé le premier : les échanger change le signe du numérateur et celui du dénominateur de la pente, et les deux retournements s’annulent. Ils ne doivent pas avoir la même abscisse, car cette division-là serait une division par zéro.
x, y: Les deux variables de l’équation obtenue. Tout couple qui la vérifie se trouve sur la droite, et c’est ce qui rend l’équation utile : donnez-lui n’importe quel x et elle rend le y du point situé au-dessus, sans avoir besoin de l’un ou l’autre des deux points de départ.

Recourez à cette page quand une droite est décrite par deux de ses points et que c’est la droite elle-même qui vous intéresse — l’équation, la pente et l’endroit où elle coupe l’axe — plutôt qu’un seul nombre la concernant. Deux relevés dans un tableau, deux positions sur un graphique, une valeur de départ et une mesure plus tard : la pente dit à quelle vitesse cela change et l’ordonnée à l’origine dit d’où l’on est parti. Si vous ne voulez que la pente, ou seulement une prévision à mi-chemin entre les deux points, les calculatrices liées plus bas font exactement cela et rien d’autre.

Exemples détaillés

(1, 2) et (3, 10) — le cas ordinaire
1. Montée : 10 − 2 = 8. Déplacement horizontal : 3 − 1 = 2
2. Pente : m = 8 / 2 = 4
3. Ordonnée à l’origine : b = 2 − 4 × 1 = −2
4. L’équation : y = 4x − 2
Contrôlez-la contre les deux points, c’est l’habitude qui vaut la peine d’être gardée : en x = 1, 4 × 1 − 2 = 2 ✓, et en x = 3, 4 × 3 − 2 = 10 ✓. Que l’ordonnée à l’origine soit négative alors que les deux points sont au-dessus de l’axe n’est pas une erreur — la droite est assez raide pour traverser l’axe bien à gauche du premier point, en x = 0,5.
(0, 1) et (2, 2) — une pente qui n’est pas un nombre entier
1. Montée : 2 − 1 = 1. Déplacement horizontal : 2 − 0 = 2
2. Pente : m = 1 / 2 = 0,5
3. Le premier point se trouve déjà sur l’axe, donc b = 1 en tombe directement : b = 1 − 0,5 × 0 = 1
4. L’équation : y = (1/2)x + 1
Le coefficient est entre parenthèses parce que 1/2x se lirait comme 1 divisé par 2x. Remarquez que les deux nombres imprimés s’accordent exactement avec l’équation : la ligne de la pente annonce 0,5 et l’équation écrit (1/2), qui est le même nombre écrit en fraction — la page imprime un décimal fini sous forme de fraction quand le dénominateur est assez petit pour valoir la peine d’être lu.
(1, 3) et (5, 3) — une droite horizontale
1. Montée : 3 − 3 = 0. Déplacement horizontal : 5 − 1 = 4
2. Pente : m = 0 / 4 = 0
3. Ordonnée à l’origine : b = 3 − 0 × 1 = 3
4. L’équation : y = 3, parce que le terme de la pente n’apporte rien du tout
Une pente nulle fait s’effondrer l’équation : il n’y reste plus aucun x, et écrire y = 0x + 3 n’ajouterait qu’un terme toujours nul. C’est le seul endroit où l’équation imprimée cesse de ressembler à y = mx + b, et c’est correct plutôt qu’un raccourci — tous les points de la droite ont pour ordonnée 3, quelle que soit l’abscisse.

Limites

Uniquement des droites, et seulement par deux points distincts. Si les deux points ont la même abscisse, la droite est verticale : elle n’a pas de pente et ne traverse jamais l’axe des ordonnées, donc il n’y a aucune équation réduite à donner, et la page signale un calcul impossible au lieu d’en imprimer une — la réponse honnête serait x = 3, qui n’est pas une équation que cette page sait produire. Des points confondus forment le même cas, puisqu’une infinité de droites passent par un point unique. La pente est arrondie à six décimales avant que l’ordonnée à l’origine en soit déduite, ce qui fait que les deux nombres imprimés s’accordent toujours avec l’équation imprimée, au prix d’un écart entre cette droite-là et la droite exacte au-delà de la sixième décimale quand la pente se répète — 1/3 devient 0,333333 et l’équation est construite à partir de cette valeur. L’équation est imprimée, pas résolue : la page ne vous dira pas où la droite rencontre l’axe des abscisses, si deux droites sont parallèles, ni combien vaut y pour un autre x. Les coordonnées sont limitées à un million en valeur absolue, et aucune unité n’intervient nulle part, puisqu’une coordonnée est un nombre et non une mesure. Enfin, la notation reste celle de la convention anglaise — les manuels français écrivent y = ax + b là où cette page imprime m — et il n’y a là aucune conversion à faire, seulement une lettre différente.

Questions fréquentes

Lequel des deux points faut-il saisir en premier ?: N’importe lequel — la réponse ne change pas. Échanger les deux points retourne le signe du numérateur et celui du dénominateur dans (y2 - y1) / (x2 - x1), et les deux retournements s’annulent. Il en va de même de l’ordonnée à l’origine, puisqu’elle se calcule à partir d’un point et de la pente. La seule chose qui compte est que les deux coordonnées d’un même point soient saisies sur la même ligne du formulaire.
Et si les deux points ont la même abscisse ?: Alors la droite est verticale et la page signale un calcul impossible. Une droite verticale n’a aucune pente — le déplacement horizontal est nul, donc la division n’a pas de réponse — et elle ne traverse jamais l’axe des ordonnées, si bien que l’équation y = mx + b ne peut pas la décrire quels que soient m et b. L’équation d’une verticale est x = 3, une équation sans pente ni ordonnée à l’origine, et c’est pourquoi elle sort de ce que cette page produit.
Pourquoi la pente s’écrit-elle m et non a ?: Parce que la page suit la convention anglaise. Les manuels français notent a le coefficient directeur et écrivent l’équation réduite y = ax + b ; la convention anglaise écrit y = mx + b. Le m imprimé ici est donc exactement le a des manuels français, et l’ordonnée à l’origine garde la même lettre b dans les deux conventions — il n’y a rien à convertir, seulement une lettre qui change.
Pourquoi la pente est-elle arrondie, et que se passe-t-il avec un décimal qui se répète ?: Elle est arrondie à six décimales, puis l’ordonnée à l’origine est calculée à partir de la valeur arrondie plutôt que de la valeur exacte. C’est délibéré : les deux nombres du panneau de résultats s’accordent ainsi exactement avec l’équation imprimée en dessous, ce qui permet de contrôler la réponse à la main. Le prix à payer est qu’avec une pente qui se répète, comme le 1/3 que produisent (1, 1) et (4, 2), la droite imprimée est la droite arrondie — 0,333333 plutôt qu’un tiers.
En quoi est-ce différent de la calculatrice de forme point-pente ?: Les entrées diffèrent. Cette page-ci prend deux points, ce que l’on a le plus souvent sous la main ; la page de forme point-pente prend un point et une pente déjà connue, et imprime l’équation sous une forme qui montre ce point. Les deux décrivent la même droite, si bien qu’elles s’enchaînent : reprenez la pente annoncée ici et le premier de vos deux points, et la page point-pente écrira la même droite dans l’autre sens.
Comment contrôler la réponse à la main ?: Remplacez x par l’une ou l’autre de vos abscisses dans l’équation imprimée et regardez si vous retrouvez l’ordonnée de ce point. Pour (1, 2) et (3, 10), l’équation est y = 4x − 2, et en x = 1 cela donne 2 tandis qu’en x = 3 cela donne 10 — les deux points sont bien sur la droite. Si l’un des deux échoue, la pente et l’ordonnée à l’origine imprimées au-dessus de l’équation sont les deux nombres à comparer avec votre propre calcul.

Références

Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)

Calculatrices liées

Calculatrice de forme point-penteÉquation point-pente d’une droite à partir d’un point.Calculatrice de pentePente d’une droite définie par deux points ou une équation.Calculatrice d’interpolation linéaireInterpole une valeur entre deux points connus.