Qu’est-ce que l’interpolation linéaire ?

C’est tracer une droite passant par deux points connus et lire la valeur à une position située entre eux. Le mot linéaire énonce l’hypothèse à voix haute : la grandeur est supposée varier à rythme constant sur tout l’intervalle, si bien que la réponse est un mélange pondéré des deux valeurs connues et non une mesure.

Que m’apprend la fraction de segment ?

À quelle distance le long de la droite se trouve le point, comptée depuis le premier point connu. Elle vaut 0 au premier, 0,5 à mi-chemin et 1 au second. La valeur elle-même peut s’écrire comme les deux y connus mélangés dans ces proportions, si bien que la fraction est tout ce que l’interpolation ajoute aux deux points.

Puis-je interpoler en dehors des deux points ?

Vous le pouvez, et cette page le fait — mais l’opération est alors une extrapolation, et la position revient supérieure à 1 ou inférieure à 0 pour le dire. Une droite passant par deux points est une hypothèse sur l’intervalle qui les sépare ; prolongée au-delà d’une extrémité, c’est une hypothèse bien plus forte sur quelque chose que les données n’ont jamais couvert.

Pourquoi un couple de points verticaux est-il refusé ?

Parce qu’il n’y a aucune réponse unique à donner. Deux points de même x sont l’un au-dessus de l’autre, et la droite qui les traverse attribue à ce seul x toutes les valeurs de y à la fois. La page refuse cette entrée en la nommant plutôt que de renvoyer un infini, qui aurait l’air d’une réponse.

L’ordre des deux points a-t-il une importance ?

Pas pour la valeur lue sur la droite, mais il change la pente et la position. Échanger les deux points change le signe de la pente et celui de la fraction de segment tout en laissant le y interpolé à sa place, puisque c’est la même droite qui se décrit dans l’autre sens.

Pourquoi aucune indication de confiance n’est-elle imprimée ?

Parce que deux points ne peuvent pas en fonder une. Un ajustement mesuré sur deux points est parfait par construction, donc tout indicateur de qualité sortirait à sa meilleure valeur à chaque fois, quoi que fassent réellement les données. La page imprime à la place la pente et la position, qui sont des faits sur la droite et non des affirmations sur les données.

Calculatrice d’interpolation linéaire

Résultat

5,000000

y interpolé

Pente: 3,000000
Position sur le segment: 0,500000

Une calculatrice d’interpolation linéaire trouve la valeur y qui se trouve sur la droite entre deux points connus. Donnez les deux points et le x voulu, et vous obtenez la valeur interpolée, la pente de cette droite et la position le long de celle-ci, exprimée comme une fraction de segment entre 0 et 1. Le couple par défaut est (1, 2) et (3, 8) avec x en 2, ce qui tombe exactement à mi-chemin et donne y égal à 5. Interpoler, c’est lire une valeur sur une droite que l’on a déjà tracée à travers deux mesures : la réponse ne vaut donc que ce que vaut l’hypothèse que cette droite est droite. Quand le x demandé tombe en dehors des deux points, la même formule continue et produit une extrapolation ; c’est permis ici, et c’est signalé plutôt que refusé.

Cinq positions sur l’intervalle allant de (1, 2) à (3, 8)

x	t	y
1	0	2
1.5	0.25	3.5
2	0.5	5
2.5	0.75	6.5
3	1	8

Les cinq positions sont les deux extrémités plus trois points qui découpent l’intervalle en parties égales, si bien que la colonne du milieu se lit 0, 0,25, 0,5, 0,75 et 1. La lire de haut en bas est tout l’intérêt du tableau : la colonne des y avance du même pas à chaque fois, parce qu’une droite est exactement le cas où des pas égaux en position donnent des pas égaux en valeur. Les extrémités sont incluses pour que la première et la dernière ligne se contrôlent contre les deux points connus sans aucun calcul. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.25 plutôt que 0,25), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte. Chaque cellule est un nombre, donc le tableau est identique dans toutes les langues du site.

Formule

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁: Le premier point connu. Il ancre la droite : pour x égal à x₁, la formule redonne exactement y₁, parce que tout le terme de distance s’annule. Choisir x₁ égal à 0 est permis et courant, puisque le point se retrouve alors sur l’axe des ordonnées.
x₂, y₂: Le second point connu. Les deux points ensemble fixent la droite, et c’est tout ce dont une droite a besoin. Leurs abscisses doivent différer : deux points de même x décrivent une droite verticale où un seul x correspond à toutes les valeurs de y à la fois, et aucune réponse unique n’existe.
x: La position en laquelle une valeur est demandée. Elle n’a pas besoin de se trouver entre les deux points — en dehors de cet intervalle la même expression continue et le résultat est une extrapolation plutôt qu’une interpolation, et c’est pourquoi la position est signalée au lieu d’être restreinte.
t: La fraction de segment : à quelle distance le long de la droite se trouve le point, comptée depuis le premier point. Elle vaut 0 au premier point, 0,5 à mi-chemin et 1 au second, et c’est le poids avec lequel les deux valeurs de y sont mélangées — la section de la droite, au sens du rapport dans lequel le point la découpe.

Recourez à cette page quand deux mesures sont connues et qu’une valeur intermédiaire est souhaitée : une lecture entre deux lignes d’un tableau, une valeur à une date entre deux observations, ou tout couple de grandeurs supposées varier ensemble en ligne droite. Quand les deux points servent à mesurer l’inclinaison, c’est la pente d’une droite ; quand la valeur cherchée est exactement au milieu, c’est le milieu d’un segment.

Exemples détaillés

À mi-chemin entre (1, 2) et (3, 8)
1. La variation de y vaut 8 − 2 = 6, et la variation de x vaut 3 − 1 = 2
2. La droite monte de 3 en y pour chaque 1 en x, donc la pente vaut 3
3. x = 2 se trouve à 1 unité sur un intervalle de 2 unités, donc la fraction de segment vaut 1 ÷ 2 = 0,5
4. Mélanger les deux valeurs dans cette proportion : (1 − 0,5) × 2 + 0,5 × 8 = 1 + 4 = 5
5. La valeur interpolée est y = 5
Le cas par défaut, et celui qui mérite d’être lu deux fois : à une fraction d’un demi, la réponse est la simple moyenne des deux valeurs de y, 2 et 8. C’est une coïncidence due au fait de tomber pile au centre, et non une règle — au quart du chemin, la réponse serait 3,5.
Une droite qui descend
1. La variation de y vaut −20 − 0 = −20, et la variation de x vaut 10 − 0 = 10
2. La pente vaut −20 ÷ 10 = −2, donc la droite descend de deux unités pour chaque unité horizontale
3. x = 4 se trouve à 4 unités sur un intervalle de 10 unités, donc la fraction de segment vaut 0,4
4. Mélange : 0,6 × 0 + 0,4 × (−20) = −8
5. La valeur interpolée est y = −8
Les deux extrémités de cet exemple sont signées, ce qui le rend utile à contrôler à la main : la largeur vaut 10 et non −10, et la réponse tombe entre les deux valeurs connues plutôt qu’au-delà. Lire l’intervalle à l’envers changerait de signe la pente et la fraction en même temps tout en laissant y correct, et c’est précisément pourquoi la fraction est imprimée à côté de la réponse.
Demander au-delà du dernier point
1. La même droite que dans le premier exemple : une montée de 3 pour chaque 1 en horizontale
2. x = 4 se trouve à 3 unités sur un intervalle de 2 unités, donc la fraction de segment vaut 3 ÷ 2 = 1,5
3. La fraction dépasse 1, et c’est ainsi que la réponse dit que le point se trouve au-delà de la seconde valeur connue
4. Mélange : (1 − 1,5) × 2 + 1,5 × 8 = −1 + 12 = 11
5. La valeur est y = 11
Une extrapolation, et la raison pour laquelle la position est imprimée comme un nombre ordinaire au lieu d’être ramenée de force dans l’intervalle. Une fraction de 1,5 dit que le point se trouve un demi-segment après l’extrémité ; l’arithmétique est identique à celle de l’interpolation, seule l’interprétation change.

Limites

Les deux points connus doivent avoir des abscisses différentes. Deux points empilés sur le même x décrivent une droite verticale, où un seul x correspond à une infinité de valeurs de y et où aucune réponse interpolée unique n’existe — cette entrée est donc refusée au lieu de renvoyer l’infini. Les cinq nombres sont limités à une valeur absolue d’un million, parce que la pente et la fraction sont deux quotients que le panneau arrondit à six décimales et que l’aller-retour cesse d’être vérifiable au-delà. Les valeurs situées hors de l’intervalle sont acceptées et signalées plutôt que refusées : la position revient supérieure à 1 ou inférieure à 0, ce qui est la façon qu’a la page de dire qu’elle a extrapolé. Ce que la page ne peut pas dire, c’est si extrapoler avait un sens — une droite passant par deux points ne dit rien de ce qui se passe après eux, et aucune indication de confiance n’est imprimée, parce que deux points ne peuvent pas en fonder une.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que l’interpolation linéaire ?: C’est tracer une droite passant par deux points connus et lire la valeur à une position située entre eux. Le mot linéaire énonce l’hypothèse à voix haute : la grandeur est supposée varier à rythme constant sur tout l’intervalle, si bien que la réponse est un mélange pondéré des deux valeurs connues et non une mesure.
Que m’apprend la fraction de segment ?: À quelle distance le long de la droite se trouve le point, comptée depuis le premier point connu. Elle vaut 0 au premier, 0,5 à mi-chemin et 1 au second. La valeur elle-même peut s’écrire comme les deux y connus mélangés dans ces proportions, si bien que la fraction est tout ce que l’interpolation ajoute aux deux points.
Puis-je interpoler en dehors des deux points ?: Vous le pouvez, et cette page le fait — mais l’opération est alors une extrapolation, et la position revient supérieure à 1 ou inférieure à 0 pour le dire. Une droite passant par deux points est une hypothèse sur l’intervalle qui les sépare ; prolongée au-delà d’une extrémité, c’est une hypothèse bien plus forte sur quelque chose que les données n’ont jamais couvert.
Pourquoi un couple de points verticaux est-il refusé ?: Parce qu’il n’y a aucune réponse unique à donner. Deux points de même x sont l’un au-dessus de l’autre, et la droite qui les traverse attribue à ce seul x toutes les valeurs de y à la fois. La page refuse cette entrée en la nommant plutôt que de renvoyer un infini, qui aurait l’air d’une réponse.
L’ordre des deux points a-t-il une importance ?: Pas pour la valeur lue sur la droite, mais il change la pente et la position. Échanger les deux points change le signe de la pente et celui de la fraction de segment tout en laissant le y interpolé à sa place, puisque c’est la même droite qui se décrit dans l’autre sens.
Pourquoi aucune indication de confiance n’est-elle imprimée ?: Parce que deux points ne peuvent pas en fonder une. Un ajustement mesuré sur deux points est parfait par construction, donc tout indicateur de qualité sortirait à sa meilleure valeur à chaque fois, quoi que fassent réellement les données. La page imprime à la place la pente et la position, qui sont des faits sur la droite et non des affirmations sur les données.

Références

Cartesian Coordinates — the two-axis frame the known points and the wanted position are both written in — Wolfram MathWorld (United States)
Slope — the constant ratio the interpolated values step by, and the quantity that has no meaning when the two x values match — Wolfram MathWorld (United States)
Line — the object two distinct points determine, and the assumption that makes reading a value between them meaningful — Wolfram MathWorld (United States)

Calculatrices liées

Calculatrice de pentePente d’une droite définie par deux points ou une équation.Calculatrice de taux de variation moyenTaux de variation moyen d’une fonction sur un intervalle.Calculatrice du milieu d’un segmentMilieu d’un segment entre deux points du plan.