Calculatrice de taux de variation moyen

taux de variation moyen = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

L’entrée à la première extrémité de l’intervalle — la valeur la plus ancienne de ce que la fonction prend en argument, le temps dans le cas d’une vitesse, la position dans le cas géométrique. Rien ne la contraint, et elle n’a pas besoin d’être plus petite que x₂ : les deux extrémités peuvent être données dans n’importe quel ordre.

x₂

L’entrée à la seconde extrémité. Elle ne doit pas être égale à x₁. Si elle l’était, le dénominateur du quotient serait nul, et il n’y aurait plus rien à moyenner : on demanderait à la fonction de varier sans que son entrée varie, ce qui est un segment vertical et non un taux.

y₁, y₂

Les sorties de la fonction pour ces deux entrées. Que la fonction soit une formule, un tableau de relevés ou une courbe à l’écran, la page n’a besoin que de ces deux valeurs — et l’ordre compte pour les deux colonnes de variation, même s’il s’élimine dans le quotient.

Δy ÷ Δx

Le taux de variation moyen lui-même : la variation totale de la sortie divisée par la longueur de l’intervalle sur lequel elle s’est produite. Dans la notation delta, la lettre grecque désigne une différence : Δy est la variation de y et Δx celle de x. Lire l’expression comme un rapport « par unité » est tout l’enjeu — la réponse dit de combien y a bougé pour chaque unité de x.

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

La même grandeur écrite en toutes lettres. Elle est numériquement identique au coefficient directeur de la droite qui joint les deux points, ce qui explique que les deux calculatrices donnent la même réponse à des questions différentes : la page du coefficient directeur demande à quel point une droite monte, celle-ci demande à quelle vitesse une fonction a varié sur un intervalle. Seule la seconde lecture survit en calcul différentiel, où l’on resserre l’intervalle de plus en plus.

1. Le taux de variation moyen de x² sur l’intervalle de 1 à 3

   1. L’intervalle mesure deux unités : Δx = 3 − 1 = 2
   2. La sortie a varié de huit : Δy = 9 − 1 = 8
   3. Divisez : 8 ÷ 2 = 4
   4. La fonction a donc gagné en moyenne 4 unités de sortie par unité d’entrée

   Pour la fonction carré, la réponse suit une règle qu’il vaut la peine de connaître : sur un intervalle allant de a à b, son taux de variation moyen vaut toujours a + b, ici 1 + 3 = 4. Cette règle tient parce que b² moins a² se factorise en (b − a)(b + a), et que le facteur b − a se simplifie avec le dénominateur. C’est aussi pour cela que le tableau de référence ci-dessous est construit à partir de cette seule fonction.

2. Une vitesse moyenne sur trois secondes

   1. L’entrée est le temps en secondes, de 0 à 3
   2. La sortie est la position, qui est passée de 10 à 70
   3. La position a varié de 60 en 3 secondes : 60 ÷ 3 = 20
   4. La vitesse moyenne vaut 20 unités de distance par seconde

   La lecture qui rend la grandeur concrète : en portant la position en ordonnée et le temps en abscisse, le taux de variation moyen est la vitesse moyenne. C’est bien une moyenne au sens plein — la vitesse réelle a pu fluctuer entre-temps, et ce quotient ne dit rien du milieu de l’intervalle, seulement des deux extrémités.

3. Les deux extrémités interverties

   1. Les deux mêmes points que dans le premier exemple, notés dans l’autre ordre
   2. Δx = 1 − 3 = −2 et Δy = 1 − 9 = −8
   3. Le quotient vaut −8 ÷ −2 = 4, la même valeur qu’avant
   4. Les deux colonnes de variation ont changé de signe, le taux non

   Un lecteur qui voit un Δx négatif à côté d’un taux positif n’a pas trouvé d’erreur. Le quotient ne change pas lorsque le numérateur et le dénominateur changent de signe en même temps : le taux de variation moyen ne dépend donc pas de l’extrémité que l’on nomme en premier. Les deux colonnes de variation, elles, en dépendent, parce qu’elles décrivent un sens de parcours d’un point vers l’autre. Le résultat principal répond « à quelle vitesse », les colonnes de variation répondent « d’où vers où ».

Les deux entrées doivent être différentes. Lorsque x₂ est égal à x₁, le quotient a un dénominateur nul, et la page refuse le calcul plutôt que de renvoyer l’infini : un segment vertical n’a pas de taux de variation par unité de x, puisque x ne varie pas du tout. Les extrémités peuvent être données dans n’importe quel ordre, et le taux de variation moyen est le même dans les deux cas, mais les deux colonnes de variation sont signées et s’inversent avec l’ordre. La page donne un taux sur un intervalle et jamais un taux en un point — le taux instantané est une limite que cette page ne calcule pas, et il exige de connaître la fonction plutôt que deux de ses valeurs. Chaque coordonnée est limitée à un ordre de grandeur de mille milliards, au-delà duquel la soustraction perdrait en précision et les six décimales affichées seraient trompeuses. Le résultat est arrondi à six décimales, tandis que le calcul tourne en pleine précision. La page n’affiche aucun angle : un angle est une propriété d’une droite, et une fonction sur un intervalle n’en a pas — c’est l’une des différences avec la page du coefficient directeur vers laquelle elle renvoie.

Qu’est-ce que le taux de variation moyen ?

C’est la variation totale de la sortie d’une fonction sur un intervalle, divisée par la longueur de cet intervalle. Si une position passe de 10 à 70 en trois secondes, le taux de variation moyen vaut 60 ÷ 3, soit 20 unités par seconde. Le mot « moyen » fait ici un vrai travail : la grandeur résume tout l’intervalle en un seul nombre et ne dit rien de la façon dont la fonction s’est comportée à l’intérieur.

En quoi est-ce différent du coefficient directeur ?

L’arithmétique est identique — les deux divisent la variation de la grandeur verticale par celle de la grandeur horizontale — mais la question n’est pas la même. Le coefficient directeur décrit à quel point une droite monte, une propriété de la droite elle-même. Le taux de variation moyen décrit à quelle vitesse une fonction a varié entre deux points, et c’est la grandeur qui garde son sens lorsqu’on resserre l’intervalle vers zéro. Rappel utile pour les lecteurs venus de l’anglais : ce que les manuels anglophones appellent slope et notent m, les manuels français l’appellent coefficient directeur et le notent a. Une seule de ces deux notions survit en calcul différentiel.

Pourquoi le résultat est-il le même quand j’intervertis les deux points ?

Parce que le quotient ne change pas lorsque le numérateur et le dénominateur changent de signe en même temps, et que l’échange des extrémités les fait basculer tous les deux d’un coup. Les deux colonnes de variation, elles, basculent bel et bien, puisqu’elles enregistrent un sens de parcours du premier point vers le second. Le taux répond donc à « à quelle vitesse », et les colonnes de variation à « d’où vers où » — les deux sont vrais en même temps.

Le taux de variation moyen peut-il être négatif ?

Oui, et cela signifie que la sortie a baissé tandis que l’entrée augmentait sur cet intervalle. Sur l’intervalle allant de −3 à −1, la fonction carré passe de 9 à 1, son taux de variation moyen y vaut donc −4. Une valeur négative ne signale pas une saisie erronée : c’est le sens de la variation, et c’est pour cela que les deux colonnes de variation figurent à côté du quotient.

Que se passe-t-il si les deux entrées sont égales ?

La page refuse le calcul. Avec x₂ égal à x₁, le dénominateur est nul, il n’y a donc aucun intervalle sur lequel moyenner — on demanderait à la fonction de varier sans que son entrée varie. C’est un segment vertical, et il n’a pas de taux par unité de x. La page signale le refus plutôt que de renvoyer l’infini, qui n’est pas un taux.

Le taux moyen est-il la même chose que le taux instantané ?

Seulement lorsque la fonction est une droite, cas où le taux est partout constant et où les deux coïncident. Sinon, le taux moyen décrit l’intervalle dans son ensemble et le taux instantané une valeur d’entrée unique. Resserrer l’intervalle de plus en plus est ce qui transforme le taux moyen en taux instantané, et cette limite est la dérivée — un pas que cette page ne franchit pas, puisqu’elle travaille à partir de deux valeurs et non de la formule de la fonction.

• Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Derivative — the limit of the average rate of change as the interval shrinks, which is where this quantity is heading — Wolfram MathWorld (United States)