Calculatrice de croissance exponentielle

N = N₀ × (1 + r)^t facteur de croissance = 1 + r variation totale = ((1 + r)^t − 1) × 100 %

N₀

La quantité de départ, ce qu’il y avait avant que la croissance ne commence. Elle doit être positive, parce que les colonnes en pourcentage divisent par elle et qu’une quantité de départ nulle ferait de la variation totale une division de zéro par zéro plutôt qu’un grand nombre. Elle ne porte aucune unité : le même calcul couvre des personnes, des bactéries, des points d’indice ou n’importe quelle autre quantité.

r

Le taux de croissance par période, en pour cent. Il se saisit 5 pour cinq pour cent, et non 0,05, et il peut être négatif — un taux de −20 pour cent signifie que la quantité perd un cinquième d’elle-même à chaque période, ce qui est une décroissance et non un calcul à part. Il ne peut pas descendre sous −100 pour cent : à exactement −100 la quantité atteint zéro, et en dessous le facteur par période devient négatif et le signe bascule à chaque période, ce qui ne décrit plus une quantité.

t

Le nombre de périodes. Ce qu’est une période vous appartient — des années, des mois, des jours, des générations —, à condition que le taux soit donné pour la même. Il peut être fractionnaire : une demi-période est une entrée parfaitement ordinaire et multiplie par la racine carrée du facteur de la période entière plutôt que par la moitié. Les valeurs négatives sont refusées, car remonter à une quantité antérieure au départ est une autre question que celle à laquelle ce panneau répond.

(1 + r)^t

Le facteur total par lequel la quantité a été multipliée au bout du compte. C’est la partie qui rend la croissance exponentielle plutôt qu’additive : chaque période multiplie tout ce qui est déjà là, si bien que la hausse de la dixième période n’est pas celle de la première mais bien plus grande. C’est aussi exactement l’opération de la calculatrice de puissance — la base est un plus le taux et l’exposant est le nombre de périodes.

1 + r

Le facteur de croissance par période, la lecture du milieu. Pour un taux de 5 pour cent il vaut 1,05, ce qui veut dire que la quantité est multipliée par un peu plus de un à chaque période. Il est affiché séparément parce que c’est le nombre vers lequel on se tourne quand la question change : un facteur de 1,05 élevé sur quatre périodes, le même taux doublé à 10 pour cent, ou une autre quantité de départ, tout cela n’est plus qu’à une multiplication de distance une fois qu’il est visible.

((1 + r)^t − 1) × 100 %

La variation totale sur toute la durée, en pourcentage de ce dont on est parti. Un taux de 5 pour cent sur dix périodes donne 62,889 pour cent et non 50, parce que les cinq pour cent de chaque période sont prélevés sur une quantité plus grande que la précédente. La soustraction de un est ce qui transforme un facteur en variation : un facteur de 1,6289 est une variation de 62,89 pour cent, et un facteur inférieur à un donne une variation négative, ce qui est la façon dont la décroissance s’exprime.

r = −100 %

La borne inférieure, et le seul taux qui amène la quantité exactement à zéro. Il est accepté parce qu’il est la limite d’une quantité qui rétrécit : à −100 pour cent le facteur de croissance est nul et chaque période après la première multiplie zéro par zéro. En dessous, le facteur est négatif, la quantité change de signe à chaque période et le modèle a cessé de décrire quoi que ce soit de physique — c’est pourquoi cette entrée est refusée plutôt que calculée.

Cette page sert chaque fois qu’une quantité est multipliée par le même facteur de façon répétée et que l’on veut savoir où elle atterrit ou ce que la durée entière a représenté : une croissance composée sur un solde, une population qui croît à taux fixe, un indice des prix qui monte sur des décennies, une culture qui double, un marché qui se contracte d’un pourcentage régulier chaque année. La colonne de la variation totale est celle à citer dans un texte — « une hausse de 62,9 pour cent sur dix périodes » dit plus à la plupart des lecteurs que le chiffre final, et c’est le nombre que le taux seul ne donne pas. C’est aussi la page qui transforme un taux en facteur, ce qui est l’étape dont toute question d’intérêts composés a besoin avant de pouvoir être calculée. Prenez la calculatrice de demi-vie quand la quantité décroît par moitié et que le rythme s’exprime en durée plutôt qu’en pourcentage, puisque cette page prend la demi-vie directement et en donne aussi le compte. Prenez la calculatrice de temps de doublement quand la question porte sur la durée nécessaire pour que la quantité double, et non sur la quantité atteinte : c’est la même équation, résolue pour l’exposant au lieu du résultat. Prenez la calculatrice de puissance quand la base est un nombre que vous avez déjà au lieu d’un nombre dérivé d’un taux : c’est la même opération sans le pourcentage devant. Prenez la calculatrice d’intérêts composés quand la multiplication suit un calendrier et que la question comporte des versements ou une fréquence de composition, car ce sont des dimensions propres à l’argent que cette page ne porte pas.

1. 100 qui croît à 5 pour cent pendant 10 périodes

   1. Le facteur de croissance : 1 + 0,05 = 1,05
   2. Le facteur total : 1,05¹⁰ = 1,628894627…
   3. La quantité finale : 100 × 1,628894627… = 162,889463
   4. La variation totale : (1,628894627… − 1) × 100 = 62,889463 pour cent

   Le cas par défaut, et celui qui montre pourquoi la colonne de la variation totale existe. Dix périodes à cinq pour cent, cela sonne comme cinquante pour cent, et le panneau affiche 62,89 — le supplément vient de ce que les cinq pour cent de chaque période sont prélevés sur une quantité plus grande que la précédente. Un lecteur qui ne cite que le chiffre final a donné à son auditoire le solde mais pas l’histoire ; le pourcentage est la partie qui se répète.

2. 100 qui diminue de 20 pour cent pendant 3 périodes

   1. Le facteur de croissance : 1 + (−0,20) = 0,8
   2. Le facteur total : 0,8³ = 0,512
   3. La quantité finale : 100 × 0,512 = 51,2
   4. La variation totale : (0,512 − 1) × 100 = −48,8 pour cent

   La même page en train de faire de la décroissance, ce qui est tout l’intérêt d’accepter un taux négatif au lieu de fabriquer un second outil. Trois périodes de vingt pour cent représentent une perte de 48,8 pour cent et non de 60, et pour la même raison que le cas de croissance dépasse : chaque période prélève son cinquième sur ce qu’il reste. Un facteur de croissance inférieur à un est aussi le signal le plus clair que la convention de signe fonctionne.

3. 100 qui double à chaque période pendant 5 périodes

   1. Un taux de 100 pour cent signifie que la quantité augmente d’autant qu’elle vaut, le facteur est donc 2
   2. Le facteur total : 2⁵ = 32
   3. La quantité finale : 100 × 32 = 3 200
   4. La variation totale : (32 − 1) × 100 = 3 100 pour cent

   Le doublement, c’est-à-dire le cas où l’arithmétique est assez simple pour être vérifiée de tête et où la colonne des pourcentages ne l’est pas. La quantité a été multipliée par 32, et la page l’annonce comme une hausse de 3 100 pour cent — un nombre qui sonne absurde à côté de « 32 fois plus » tout en étant exactement la même affirmation. C’est l’illustration la plus nette de la raison pour laquelle la dernière colonne soustrait un avant d’appeler cela une variation.

4. 100 qui croît à 5 pour cent pendant une demi-période

   1. Le facteur de croissance vaut toujours 1,05, puisqu’il est défini par période
   2. Le facteur total : 1,05^0,5 = 1,024695076…, soit la racine carrée de 1,05
   3. La quantité finale : 100 × 1,024695076… = 102,469508
   4. La variation totale : 2,469508 pour cent

   La période fractionnaire, et le cas qui sépare le plus nettement les deux lectures. Le facteur de croissance reste à 1,05 parce que c’est une grandeur par période et qu’une demi-période ne le change pas ; le facteur total en est la racine carrée, si bien qu’une demi-période de croissance à cinq pour cent vaut 2,47 pour cent et non 2,5. Appliquer la moitié du taux serait une erreur, et c’est la ligne qui le montre.

5. 2,5 qui croît à 12 pour cent pendant 4 périodes

   1. Le facteur de croissance : 1 + 0,12 = 1,12
   2. Le facteur total : 1,12⁴ = 1,57351936
   3. La quantité finale : 2,5 × 1,57351936 = 3,933798
   4. La variation totale : 57,351936 pour cent

   Une quantité de départ qui n’est pas un nombre rond, ce qui ne change rien : les colonnes de facteurs sont entièrement indépendantes du point de départ, et 2,5 croît exactement des mêmes 57,35 pour cent que 250. Les deux colonnes qui répondent à « de combien » sont celles à lire pour comparer deux scénarios, puisque ce sont les deux seules qui ne bougent pas quand la quantité de départ bouge.

Le taux et le nombre de périodes doivent être donnés sur la même base, et la page n’a aucun moyen de le vérifier : cinq pour cent par an sur dix mois donne une réponse fausse qui a l’air parfaitement normale. La période est ce que vous décidez qu’elle est — une année, un mois, un jour, une génération — et la page ne le demande jamais. La croissance est modélisée comme une multiplication par le même facteur à chaque période, ce qui est le sens de croissance composée et n’est pas vrai de tout ce qui croît : une population qui se heurte à une limite, un marché qui sature ou un taux qui change lui-même sortent de ce modèle. Le taux ne peut pas descendre sous −100 pour cent, puisque c’est là que la quantité atteint zéro et qu’au-delà le signe bascule à chaque période ; la borne haute de 1 000 pour cent et la limite de 1 000 périodes existent pour qu’un débordement reste rare plutôt que pour exprimer une limite mathématique. La quantité de départ doit être positive, ce qui signifie qu’une quantité passant du négatif au positif ne peut pas être représentée. La composition a lieu une fois par période et non en continu : un taux de 5 pour cent par an composé deux fois par an à 2,5 pour cent chaque fois donne un résultat différent, et ce calcul appartient à la page des intérêts composés, qui porte une fréquence de composition. Rien ici ne modélise les versements, les retraits ni les apports — la quantité est laissée seule à croître. Enfin, les sorties sont arrondies à six décimales, ce qui compte pour la colonne des pourcentages quand les nombres deviennent grands.

Pourquoi la variation totale dépasse-t-elle le taux multiplié par le nombre de périodes ?

Parce que le pourcentage de chaque période est prélevé sur une quantité plus grande que celle de la période précédente. Dix périodes à cinq pour cent ne font pas cinquante pour cent mais 62,89, puisque les cinq pour cent de la deuxième période s’appliquent à une quantité qui a déjà crû. Cette croissance composée est toute la différence entre une croissance exponentielle et une croissance additive, et c’est la colonne de la variation totale qui la rend visible : le chiffre final seul ne la montre pas.

Puis-je utiliser un taux de croissance négatif ?

Oui — un taux négatif est une décroissance et il est calculé par la même page. Un taux de −20 pour cent signifie que la quantité perd un cinquième d’elle-même à chaque période, donc 100 devient 51,2 après trois périodes. Le taux ne peut pas descendre sous −100 pour cent : à exactement −100 la quantité atteint zéro et y reste, tandis qu’en dessous le facteur par période devient négatif et la quantité change de signe à chaque période, ce qui ne décrit plus une quantité.

Qu’est-ce qui compte comme une période ?

Ce que vous décidez, à condition que le taux soit donné sur la même base. Cinq pour cent par an avec un nombre de périodes de dix signifie dix ans ; le même taux par mois avec un compte de dix signifie dix mois, et les deux réponses concernent des questions différentes. La page ne peut pas vérifier l’accord, si bien qu’un taux donné par an avec un nombre de périodes en mois produit une réponse fausse qui a l’air parfaitement normale.

Quelle différence entre le facteur de croissance et la variation totale ?

Le facteur de croissance est ce par quoi une période multiplie ; la variation totale est ce que la durée entière a représenté. Un taux de 5 pour cent donne un facteur de croissance de 1,05 — un nombre par période, identique que vous le fassiez tourner sur une période ou sur cent —, tandis que dix périodes donnent une variation totale de 62,89 pour cent, qui est le facteur composé. Quand la question est « de combien cette option est-elle plus rapide », c’est le facteur de croissance qu’il faut comparer.

Le nombre de périodes peut-il être fractionnaire ?

Oui, et une demi-période est une entrée courante. Une demi-période de croissance à cinq pour cent ne fait pas 2,5 pour cent — c’est la racine carrée de 1,05, soit 2,47 pour cent. C’est ce qui donne un sens aux périodes fractionnaires plutôt que d’en faire une commodité d’arrondi : la quantité croît de façon continue pendant la période au lieu de faire un bond à la fin, et prendre la racine est la façon d’exprimer cette continuité.

En quoi est-ce différent d’une calculatrice d’intérêts composés ?

Même formule, autre sujet. Cette page prend un taux et un nombre de périodes et travaille avec n’importe quelle quantité ; une calculatrice d’intérêts composés y ajoute ce que l’argent a et qu’une population n’a pas — une fréquence de composition, des versements réguliers et un capital qui peut être remboursé. Si la question comporte des versements entrants ou sortants, ou des intérêts composés mensuellement plutôt qu’une fois par an, c’est cette page-là qui porte les dimensions supplémentaires.

• Exponential Growth — the law this page evaluates, with the growth rate and the number of periods as its two parameters — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same formula applied to money, including the compounding-frequency distinction that separates that calculation from this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the negative-rate half of the same law, where the factor per period is below one and the quantity approaches zero — Wolfram MathWorld (United States)