Calculatrice d’intérêts composés

VF = P × (1 + r ÷ m)^(m × t), et pour la capitalisation continue VF = P × e^(r × t)

P

Le montant de départ

r

Le taux d’intérêt annuel nominal, exprimé en décimal plutôt qu’en pourcentage

m

Le nombre de fois par an où les intérêts sont ajoutés — 1, 2, 4, 12 ou 365

t

Le nombre d’années entières pendant lesquelles la somme reste placée

VF

Le solde final, que l’on appelle aussi la valeur acquise

Servez-vous-en chaque fois qu’un taux est annoncé avec une fréquence de capitalisation attachée et que vous voulez le chiffre réel plutôt que le chiffre affiché. La formule ci-dessus est la seule dont vous ayez besoin ; le champ de la fréquence ne change qu’un exposant et rien d’autre. Cela vaut la peine de la faire tourner deux fois à deux fréquences avant d’engager de l’argent, parce que l’écart entre annuel et mensuel est réel et grandit avec le taux et la durée — à 5 % sur dix ans il vaut 181,14, et à des taux plus élevés sur des durées plus longues il se compte en milliers. La comparaison la plus utile de cette page est la lecture conjointe des deux dernières sorties : les intérêts acquis avec capitalisation, face aux intérêts que la même somme aurait produits sans elle. Le reste de la page n’est que cette même formule relue à une autre fréquence.

1. 10 000 à 5 % sur dix ans, capitalisation mensuelle

   1. Taux périodique : 5 ÷ 100 ÷ 12 = 0,00416667 par mois
   2. Périodes : 12 × 10 = 120 mois
   3. Solde : 10 000 × 1,00416667^120 = 16 470,09
   4. Intérêts acquis : 16 470,09 − 10 000 = 6 470,09
   5. Taux annuel effectif : 1,00416667^12 − 1 = 5,116 %
   6. Intérêts simples pour les mêmes dix ans : 10 000 × 5 % × 10 = 5 000,00, donc la capitalisation ajoute 6 470,09 − 5 000,00 = 1 470,09

   C’est le cas par défaut de la page. Lisez les deux dernières sorties comme une paire : la capitalisation vaut ici 1 470,09, et ce nombre est invisible sur une page qui ne cite que le taux.

2. 100 000 à 4,5 % sur trente ans, capitalisation mensuelle

   1. Taux périodique : 4,5 ÷ 100 ÷ 12 = 0,00375 par mois
   2. Périodes : 12 × 30 = 360 mois
   3. Solde : 100 000 × 1,00375^360 = 384 769,80
   4. Intérêts acquis : 384 769,80 − 100 000 = 284 769,80
   5. Taux annuel effectif : 1,00375^12 − 1 = 4,594 %
   6. Intérêts simples : 100 000 × 4,5 % × 30 = 135 000,00, donc la capitalisation ajoute 149 769,80

   Comparez avec l’exemple précédent : la somme est dix fois plus grosse et la durée trois fois plus longue, mais le solde final est vingt-trois fois plus élevé. La capitalisation n’est pas une droite, et l’essentiel de sa courbure se situe dans les dernières années.

3. 10 000 à 5 % sur dix ans, capitalisation continue

   1. Croissance continue : 10 000 × e^(0,05 × 10) = 10 000 × e^0,5 = 16 487,21
   2. Intérêts acquis : 16 487,21 − 10 000 = 6 487,21
   3. Taux annuel effectif : e^0,05 − 1 = 5,127 %
   4. Intérêts simples pour les mêmes dix ans : 5 000,00, donc la capitalisation ajoute 1 487,21

   La capitalisation continue est un plafond, pas un produit : elle dépasse de 0,56 les 16 486,65 de la capitalisation quotidienne, et aucune fréquence discrète ne pourra jamais la rattraper. C’est ce que fait la dernière ligne du tableau des fréquences, lu de haut en bas.

Cette page évalue une somme unique laissée intacte, et c’est tout son domaine. Elle ne modélise rien de ce qui serait ajouté ensuite — pas de versements mensuels, pas de retraits, pas de versements qui suivent l’inflation — si bien qu’un plan d’épargne alimenté chaque mois appelle plutôt la calculatrice d’investissement. Elle suppose aussi que le taux tient pendant toute la durée. Les taux d’épargne réels bougent : un taux promotionnel expire, une banque centrale baisse ses taux, une obligation à taux fixe arrive à échéance et doit être replacée à ce qui se propose alors, et la réponse donnée ici est une projection faite avec le taux d’aujourd’hui et non une promesse. La fiscalité n’y est pas, et pour la plupart des épargnants l’impôt se prélève sur les intérêts à mesure qu’ils se constituent, ce qui veut dire que le solde réellement conservé croît plus lentement que ce chiffre. L’inflation est absente elle aussi, donc 16 470,09 dans dix ans achètent moins que 16 470,09 aujourd’hui. Rien n’est arrondi en chemin, ce qui rend l’arithmétique exacte mais peut l’écarter de quelques centimes d’un relevé de compte où la banque arrondit chaque écriture. Enfin, les montants ne portent aucun symbole monétaire : ils sont justes dans la monnaie que vous aviez en tête et faux dans toute autre.

Comment calcule-t-on les intérêts composés sur une somme unique ?

Prenez le montant, multipliez-le par un plus le taux périodique élevé au nombre de périodes, où le taux périodique est le taux annuel divisé par le nombre de fois que les intérêts sont ajoutés dans l’année et où le nombre de périodes est ce même nombre multiplié par les années. 10 000 à 5 % capitalisés mensuellement sur dix ans donnent 10 000 × 1,00416667^120 = 16 470,09, soit 6 470,09 d’intérêts acquis. C’est la formule des intérêts composés sous sa forme unique — tout le reste de la page n’est que cette formule relue à une autre fréquence.

Quelle différence entre le taux annuel et le taux annuel effectif ?

Le taux annuel — 5 % dans l’exemple de cette page — est le taux affiché. Le taux annuel effectif est ce dont l’argent croît réellement en un an une fois que les intérêts de l’année ont eux-mêmes produit des intérêts : 5,116 % en capitalisation mensuelle, 5,127 % en capitalisation continue, et exactement 5,000 % si les intérêts ne sont ajoutés qu’une fois par an. Les deux ne coïncident qu’à la capitalisation annuelle, et l’écart entre eux grandit avec la fréquence et avec le taux. C’est ce taux effectif que l’on appelle TAE en France.

Quelle fréquence de capitalisation faut-il choisir ?

Celle que votre compte applique réellement, et elle figure normalement dans les conditions. Si vous comparez des offres, comparez leurs taux annuels effectifs plutôt que leurs taux affichés, parce que ceux-là sont déjà sur un pied d’égalité. La fréquence joue en votre faveur comme épargnant et contre vous comme emprunteur, et il vaut la peine de savoir de combien elle déplace les choses : sur 10 000 à 5 % pendant dix ans, l’écart entre capitalisation annuelle et capitalisation quotidienne est de 197,70.

La capitalisation continue est-elle réelle, ou seulement une idée mathématique ?

Les deux. Aucun livret n’ajoute des intérêts à chaque instant, donc comme produit elle n’existe pas — mais comme limite, c’est exactement ce qu’emploient les manuels, l’évaluation des options et une bonne partie de l’arithmétique des banques centrales, et c’est le nombre vers lequel tend toute fréquence discrète à mesure qu’elle s’affine. Le mensuel donne 16 470,09, le quotidien 16 486,65 et le continu 16 487,21 sur les mêmes 10 000. Elle figure ici pour que vous voyiez le plafond.

La fréquence de capitalisation compte-t-elle plus que le taux ?

Non, et l’écart n’est pas serré. Faire passer 10 000 de 5 % à 6 % sur dix ans en capitalisation mensuelle rapporte 1 723,88 de plus, tandis que passer de la capitalisation annuelle à la capitalisation continue à 5 % rapporte 198,26. Un point de taux bat donc tous les choix de fréquence disponibles, et les deux sont écrasés par l’ajout d’années. La fréquence est un effet réel et il ne coûte rien de la bien régler, mais le taux et la durée la dominent. Changez d’abord le taux, ensuite la durée, et la fréquence en dernier.

Pourquoi cette page n’inclut-elle ni impôt ni inflation ?

Parce que les deux dépendent de faits que la page ne peut pas connaître. L’impôt sur les intérêts dépend de votre tranche, de votre pays et du fait que le compte soit ou non fiscalement enveloppé, et l’inflation dépend de l’indice et de la période que vous visez. Un solde construit à 5 % est un solde nominal — l’argent que vous verrez — et un rendement réel retranche ce que l’inflation a fait sur les mêmes années. Considérez le chiffre d’ici comme le chiffre nominal et corrigez-le vous-même de ces deux éléments.

• Compound Interest Calculator — la même forme fermée, avec la fréquence expliquée — Commission des opérations de bourse des États-Unis, Investor.gov (États-Unis)
• 12 CFR Part 1026, Appendix J — la convention du nombre de périodes par an qui sous-tend chaque fréquence de cette page — Code électronique des règlements fédéraux (États-Unis)
• H.15 Selected Interest Rates — les taux publiés que le champ du taux annuel représente — Conseil des gouverneurs du Système de réserve fédéral (États-Unis)